1. INVERSA DE UNA MATRIZ Y DIVISIÓN
MATRICIAL
Matriz Inversa
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A y la representamos por
matriz que verifica la siguiente propiedad:
A 1
a 22 a12
1
a11a22 a12a21 a21 a11
, a la
, así:
A 1
a 22
a a a a
12 21
11 22
a 21
a11a 22 a12 a 21
a12
a11a 22 a12 a 21
a11
a11a 22 a12 a 21 2 x 2
Ejemplo:
Sea
Entonces;
por lo que;
Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y
es "singular" si su determinante es igual a cero.
Existen condiciones básicas del uso y de la validez de las matrices inversas como las
siguientes:
1. Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
2. La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
3. Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza
funciones análogas a dicha operación.
La matriz anteriormente seleccionada para calcular la matriz inversa es de una dimensión
sencilla de dos por dos. Sin embargo para calcular matrices inversas de mayor dimensión
se debe hacer uso de otras alternativas.
Sea cualquier matriz de dimensión de 3X3 el proceso que se debe utilizar comienza hacer
un poco más complejo y la primer alternativa de solución es hacer uso de la propiedad
.
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2. Ejemplo:
Se requiere calcular la inversa de la siguiente matriz:
Para calcular la inversa de la matriz A se va a desarrollar el siguiente proceso en base a
la propiedad de las matrices inversas
En donde la segunda matriz corresponderá a la matriz inversa de la matriz inicial. Al
multiplicar las matrices quedan tres sistemas de ecuaciones para dar solución a los nueve
términos de la matriz inversa.
Al solucionar los anteriores sistemas de ecuaciones por cualquier método de solución
anteriormente mencionado se puede determinar cada uno de los componentes de la
matriz inversa de la matriz A
En donde la matriz inversa de A corresponde a la siguiente matriz:
Con lo que se puede demostrar
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3. Ahora, este no es el único procedimiento que puede ser usado para poder resolver
problemas de cálculo de inversas de matrices. Un método alternativo es el uso del método
de Gauss-Jordan. Para comprobar este resultado se hará uso de este método para
comprobar la respuesta del ejemplo anterior.
Ejemplo:
Se requiere calcular la inversa de la siguiente matriz:
Para calcular la inversa de la matriz A se apoya de igual manera en la propiedad de las
matrices inversas
, pero de la siguiente manera:
Al hacer el anterior cambio se puede hallar la matriz inversa de la matriz A
Después,
Luego,
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4. Finalmente,
Para llevar al resultado esperado y comprobado de:
División Matricial
En cuanto a la división matricial se tienen una dificultad dentro del ámbito de las matrices
y es que esta operación no se tiene definida. Por tanto se debe hacer uso de otro
mecanismo para poder lograr determinar el resultado de la división de dos matrices.
El proceso del cual se hace uso es:
Ejemplo:
Se requiere hallar la división
siendo las matrices A y B las siguientes:
Dado que para resolver dicha división se debe hacer uso de la inversa de la matriz que se
encuentra en el denominador se requerirá desarrollar
y para ello se debe
calcular la matriz inversa de B. se puede hacer uso de cualquiera de los métodos
anteriormente presentados pero se utilizará el método de Gauss-Jordan para practicar un
poco más dicho método.
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5. Con lo que se concluye que la matriz inversa de B está definida por los valores de:
(Es de notar que la matriz B es la misma del ejemplo anterior y por tal motivo resulta la
misma inversa del mismo ejemplo, pero el proceso debería ser el mismo sin importar la
matriz a la cual hay que determinarle la matriz inversa)
Para finalizar la división matricial se debe realizar la multiplicación entre las matrices
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6. Lo que determina que:
Recuerde que la multiplicación de matrices no conserva la propiedad conmutativa que
mantiene los conjuntos numéricos reales. Es por tal motivo que se debe ser cuidadoso
con respecto al orden de multiplicación de las matrices y de quien debe ser averiguada la
matriz inversa.
También se debe revisar el hecho que la cantidad de columnas de la primera matriz sea
correspondiente a la cantidad de filas de la segunda matriz para que se pueda desarrollar
la multiplicación de matrices y que el tamaño de la matriz que dé como resultado final de
la operación debe ser del tamaño de las filas de la primera matriz con las columnas de la
segunda matriz.
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