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Magneto estática en el
Vacío
EE-521 Propagación y
Radiación Electromagnética I
Miguel Delgado León
MSc. Ing. Miguel Delgado León
Introducción: Campo eléctrico E
Miguel Delgado León
' 2 3
0 0
ˆ1 ' 1 '
. (1)
4 4
q q
e
q q R q q R
F N
R Rπ ε π ε
→ = =
r
r
En electrostática se vio la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo
(Ley de Coulomb)
q’ es la carga fuente, q es la carga de campo y
el vector unitario. Separando la carga de campo
q se define un nuevo campo vectorial:
'
3
0
1 '
( ) ./ . (2)
4
q q
e
F
q R
E r V m
q Rπ ε
→
= =
r
r
r r
E es el campo vectorial llamado campo eléctrico
que es producido por la carga fuente q’.
La presente figura muestra la dirección del
campo E calculado y graficado con Matlab
ˆR
Campo magnético de corrientes estacionarias
Miguel Delgado León
Si las cargas se movieran con velocidades constantes v’ y v, respectivamente,
existiría además una fuerza magnética ejercida por q’ sobre q
( ) ( )0 0
' 2 3
ˆ' ' ' ' .
4 4
q q
m
q q
F V q V R V q V R N
R R
µ µ
π π
→ = × × = × ×
r r r r r r
es conocida como la permeabilidad del vacío0µ
En el Sistema Internacional
7
0 4 10 ./ .Henry mµ π −
= ×
Separando la carga de campo q y su velocidad v
se define otro campo vectorial:
0
3
' '
( ) ( ) (3)
4
m
q V R
F qV B r B r Tesla
R
µ
π
×
= × ⇒ =
r r
r r r rr r
El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo inducción magnética
o densidad de flujo magnético o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q’
reemplazamos por un diferencial de carga dq’ tenemos:
0
3
' '
( ) (4)
4
d q V R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
r r
r r
Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y Savart
Miguel Delgado León
Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
total sobre una carga móvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.e mF F+
r r
( ) . (5)F q E V B N= + ×
r r r r
La fig. muestra un dq’ que se desplaza dr’ en un tiempo
dt. Tenemos: ' '
' ' ' ' ' ' (6)
d r d q
dq V dq d r I d r
d t d t
= = =
rr r r
Reemplazando (6) en (4) llegamos a:
0
3
' '
( ) (7)
4
I d r R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
rrr r
Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El
campo debido a todo el circuito C’ es la integral dada por:
0
3
'
' '
( ) (8)
4 C
I d r R
B r Tesla
R
µ
π
×
= ∫
rrr r
Es la Ley de Biot y Savart donde I’ es constante
Ley de fuerzas de Ampere
Miguel Delgado León
La fórmula (3) es la fuerza magnética sobre una carga q. Si en lugar de q
reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en:
( ) (9)md F dqV B r= ×
r r r r
La fórmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a:dqV I d r=
r r
( ) (10)md F I d r B r= ×
r rr r
Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de un
circuito. La fuerza magnética sobre todo el circuito C es una
integral:
( ) (11)m
C
F I d r B r= ×∫
r rr r
Reemplazando (8) en (11) llegamos a:
0
3
'
' ( ' )
(11)
4
m
C C
I I d r d r R
F
R
µ
π
× ×
= ∫ ∫
rr rr
Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito
C’ de corriente I’ ejece sobre el circuito C de corriente I
Aplicación de la Ley de Biot y Savart
Miguel Delgado León
Ejemplo 1: El campo magnético del segmento recto portador de corriente
Solución. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es:
( )
( ) ( )
2
1
0 0
3/2 3/22 2 2 2
'
ˆˆˆ ˆ' '' ' '
( )
4 4' '
L
C L
d z z z zI I d z
B r
z z
ρ ρµ µ φ ρ
π πρ ρ−
× −
= =
+ +
∫ ∫
r r
( )
2
1
0 0 2 1
3/ 2 2 2 2 22 2
2 1
ˆ ˆ' ''
( )
4 4'
L
L
I I L Ld z
B r
L Lz
µ φ ρ µ φ
π πρ ρ ρρ−
 
 = = +
 + ++  
∫
r r
A partir de este resultado se puede determinar el
campo B debido a una corriente recta infinita haciendo
1 2,L Lρ <<
0 ' ˆ( )
2
I
B
µ
ρ φ
π ρ
=
r
Para una corriente recta infinita
La presente figura muestra la dirección del campo B
calculado y graficado con Matlab
Aplicación de la Ley de Biot y Savart
Miguel Delgado León
Ejemplo 1: El campo magnético debido a una espira circular de radio a que
conduce una corriente I’ en puntos de su eje.
0
3
' '
( )
4
I d r R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
rrr r
Solución: Aplicando la fórmula (7) que es el campo de
un elemento de corriente, tenemos:
Según la figura es fácil darse cuenta que la resultante
del campo tiene la dirección del eje Z y el módulo es
La componente en la dirección Z será:
El campo B debido a toda la espira será:
o
0 0
3 2
' ' ' '
4 4
I R dr I dr
d B
R R
µ µ
π π
= =
0 0 0
2 3 3
' ' ' '' '
cos
4 4 4
z
a I dr a I adI dr a
d B d B
R R R R
µ µ µ φ
θ
π π π
= = = =
2 2
2
0 0
3 30
' '
'
4 2
z
I a I a
B d
R R
πµ µ
φ
π
= =∫
( )
2
0
3/22 2
'
ˆ
2
I a
B z
a z
µ
=
+
r
Efecto Hall
Miguel Delgado León
Cuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magnético, se genera
una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto de la corriente como del
campo magnético.
Si los portadores de carga son electrones que se
mueven con una velocidad de arrastre V experimentan
una fuerza magnética hacia abajo acumulándose en la
superficie inferior electrones y dejando en la superficie
superior exceso de cargas positivas. Esta acumulación
de cargas en los bordes establece un campo eléctrico en
el conductor y se incrementa hasta que la fuerza
eléctrica equilibra la fuerza magnética. Cuando se
alcanza el equilibrio no habrá desplazamiento de cargas.
Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo eléctrico:
eE eV B E VB− = − × ⇒ =
r r r
La tensión de Hall es:
hV Ed VBd= =
La relación entre la densidad de corriente
volumétrica y la velocidad es:
J neV=
Aquí n es el número de electrones por unidad de
volumen. De las expresiones de J llegamos a:
I I
J
S ld
= =También
I
V
neld
= Que reemplazando en Vh:
h
h
V nelBI
V o B
nel I
= =
conductores metálicos
28 3
8.4 10n m−
= ×
Ley de Biot y Savart para distribuciones de
corrientes continuas
Miguel Delgado León
Puede demostrarse fácilmente que
la relación de la corriente filamental,
superficial y volumétrica es:
' ' ( ') ' ( ') ' (12)I dr K r dS J r dV= =
r rr r r
Reemplazando en (8) tenemos:
0
3
'
( ')
( ) ' (13)
4 S
K r R
B r dS Tesla
R
µ
π
×
= ∫
r rrr r
K es el vector densidad de
corriente superficial A/m
Reemplazando en (8) tenemos
(B para corriente superficial)
0
3
'
( ')
( ) ' (14)
4 V
J r R
B r dV Tesla
R
µ
π
×
= ∫
r rrr r
(B para corriente volumétrica)
J es el vector densidad de corriente
volumétrica A/m2
Se define el flujo magnético como la
integral de superficie del campo B
ˆ( ) (15)
S
B r n dS WeberΦ = ×∫
r r
Ejemplos
Miguel Delgado León
1) Una corriente I’ circula a lo largo
de una placa infinita de ancho w.
Determine el campo inducción
magnética B en z=d
3) Un solenoide ideal
consiste en un número de
vueltas (bobina) distribuido
uniformemente como se
muestra en la figura. Para
un solenoide de longitud L,
N vueltas que conduce una
corriente I’ determine el
campo B dentro del
solenoide en un punto del
eje z
4) Demostrar que para un solenoide ideal
infinitamente largo de n vueltas por unidad
de longitud y que conduce una corriente I’
el campo dentro (en cualquier punto) del
solenoide es constante e igual a
Y fuera del solenoide el campo B=0
0
ˆ 'B z nIµ=
r
2) Una corriente circula en todo el
plano XY con una densidad de
corriente superficial dada por
donde Ko es constante,
determine el campo B en todo el
espacio
0
ˆK x K=
r
Caracterización del campo magnético, Ley circuital
de Ampere
Miguel Delgado León
Teorema de Helmholtz: Un campo
vectorial está determinado si su
divergencia y su rotacional están
especificados en todos los puntos
El campo inducción magnética es
solenoidal, es decir, la divergencia
del campo B es nula:
( ) 0 (16)B r∇× =
r r
El campo B es rotacional, es decir:
0( ) ( ) (17)B r J rµ∇× =
r rr r
Considerando una superficie abierta S
con recorrido C que puede intersectar la
fuente de corriente J. Efectuando la
integral de superficie sobre la última
ecuación, tenemos:
0
ˆ ˆ( ) ( )
S S
B r nd S J r nd Sµ∇× × = ×∫ ∫
r rr r
Aplicando el teorema de Stokes al
primer lado:
0 0
ˆ( ) ( ) (18)a través
deSC S
B r d r J r nd S Iµ µ× = × =∫ ∫
r rr r r
Ñ
Es la forma integral de la Ley de
Ampere o también conocida como Ley
circuital de Ampere para el campo B.
Se definirá posteriormente un campo
intensidad magnética H (A./m.) que es:
0
( )
( )
B r
H r
µ
=
r rr r
0( ) ( ) (18. )B r H r aµ=
r rr r
Problemas de la ley circuital de Ampere
Miguel Delgado León
2) Dos regiones cilíndricas de
longitudes infinitas y radio a se
intersecan como se muestra en la
figura. Conducen densidades de
corrientes y excepto
en la intersección. Determine el
campo B en módulo y dirección en
cualquier punto de la intersección.
0ˆJ zJ=
r
0ˆJ zJ= −
r
1) En una región cilíndrica de longitud
infinita y radio a cuyo eje coincide
con el eje z conduce una corriente a
lo largo del cilindro con densidad de
corriente . Determine el campo
B en todo el espacio
0
ˆJ zJ=
r
3) Determine el campo B en módulo y
dirección en todo el espacio debido a la
distribución de corriente cuya densidad
volumétrica está dada por:
0
0
ˆ 0
ˆ 0
zJ para x a
J
zJ para a x
< <
= 
− − < <
r
4) Determine en forma aproximada la
componente radial del campo B en
puntos muy cercanos del eje de una
espira circular de radio a que conduce
una corriente I’
Potencial vector magnético
Miguel Delgado León
El campo B es solenoidal, es
decir la divergencia de B es cero.
Por las matemáticas sabemos
que la divergencia de un
rotacional siempre es cero. Es
decir B es un rotacional:
( ) 0 ( ) 0B r A r∇× = ⇒ ∇×∇× =
rr r r
Para deducir el campo A de un
circuito fila mental partimos del
campo B. Como se sabe
0
3
'
' '
( )
4 C
I d r R
B r Tesla
R
µ
π
×
= ∫
rrr r
Mediante análisis vectorial se
demuestra que:
3
' 'dr R dr
R R
×  
= ∇× ÷
 
rr r
Reemplazando está equivalencia en la
expresión de B:
0
'
' '
( )
4 C
I d r
B r Tesla
R
µ
π
 
= ∇×  
 
∫
rr r
El término entre corchetes es el campo A
0
'
' '
( ) (19)
4 C
I d r
A r Tes m
R
µ
π
= −∫
rr r
y para una corriente volumétrica es:
0
'
( ')
( ) '
4 S
K r
A r dS Tes m
R
µ
π
= −∫
r rr r
0
'
( ')
( ) '
4 V
J r
A r dV Tesla m
R
µ
π
= −∫
r rr r
El potencial vector debido
a una corriente superficial:
Propiedades del potencial vector magnético
Miguel Delgado León
Ejemplo 2: Determinar el potencial vector magnético del segmento recto portador
de corriente
Solución. De la fórmula (19) , el campo A es:
2
1
2 2
2 20 0 0
2 2 2 2
' 1 1
' ' '' '
ˆ ˆ( )
4 4 4'
L
C L
L LI I Id r dz
A r z z Ln
R z L L
ρµ µ µ
π π πρ ρ−
 + +
 = = =
 + − + + 
∫ ∫
rr r
A partir de está expresión puede calcularse el campo A
debido a una corriente recta infinita haciendo que2 1,L L → ∞
2 1
2 2
2 20 0 0
2 2,
1 1
' '
ˆ ˆ( ) lim
4 2L L
L LI I
A r z Ln z Ln
L L
ρµ µ ρ
π π ρρ→∞
 + +  
 = =  ÷
 − + +   
r r es un punto de
referencia donde A=0
0ρ
Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para una
distribución de corriente infinita debe escogerse otro punto de referencia
donde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresión anterior es
que si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresión correcta del campo B
0ρ ≠ ∞
[ ]0 0
0
' 'ˆ ˆ ˆ( ) ( )
2 2
Z I IA
B r A r Ln Ln
µ µ
φ φ ρ ρ φ
ρ π ρ π ρ
∂ ∂
= ∇× = − = − − =
∂ ∂
rr r r
Problemas de potencial vectorial magnético
Miguel Delgado León
1) Una espira circular de radio a
localizado en al plano xy cuyo centro
coincide con el origen de coordenadas
conduce una corriente I’ demostrar que
el potencia vectorial magnético en
cualquier punto del espacio es:
( )
/2
0
22 2 22
0
/ 2
2 2
2
0
' 2ˆ 1
1
2
1
I a d
A
k k sena z
k sen d
k
π
π
µ α
φ
απ ρ
α α
 
= − ÷
  −+ +

− − 

∫
∫
r
( )
2
2 2
4a
k
a z
ρ
ρ
=
+ +
donde
2) Determinar el potencial
vectorial magnético en
todo el espacio producido
por un solenoide ideal de
longitud muy grande,
radio a (L>>a) y n vueltas
por unidad de longitud
que conduce una
corriente I’.
3) Una carga eléctrica espacial con
densidad de carga volumetrica
constante ρ0 se distribuye en una
región cilindrica de radio a y longitud
infinita. Si la distribución de carga
gira alrededor de su eje con una
velocidad angular constante ω.
Determine el campo A y B en todo el
espacio.
Ecuación diferencial para el campo A
Miguel Delgado León
Otra propiedad del potencial vectorial
magnético es que la divergencia de A
es cero:
( ) 0 (20)A r∇× =
r r
Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente:
0( ) ( )B r J rµ∇× =
r rr r
2
0( ) ( ) (21)A r J rµ∇ = −
r rr r
y
Solución. Sabemos que:
( )B A B A= ∇× ⇒ ∇× = ∇× ∇×
r rr r
Aplicando la conocida propiedad:
( ) ( ) 2 2
A A A A∇× ∇× = ∇ ∇× −∇ = −∇
r r r r
Ósea que:
2
B A∇× = −∇
rr
Considerando la expresión del campo
A debido a una distribución de corriente
volumétrica, tenemos que:
2 2 0
'
20
'
( ')
'
4
1
( ') '
4
V
V
J r
A dV
R
J r dV
R
µ
π
µ
π
 
∇ = ∇ = 
 
 
∇  ÷
 
∫
∫
r rr
r r
Utilizando las propiedades de las
funciones Delta de Dirac :
2 1
4 ( '),r r
R
π δ
 
∇ = − − ÷
 
r r
( ')r rδ −
r r
'
0
( ') ( ') '
( )V
F r r r dV
F r
δ

− = 

∫
r r r r
r r
La última integral es cero cuando r está fuera
de la región de r’ y diferente de cero cuando r
está en la región de r’. Finalmente el flujo
magnético es:
ˆ ˆ
S S C
B ndS A ndS A d rΦ = × = ∇× × = ×∫∫ ∫∫ ∫
r rr r
Ñ
(Ecuación diferencial para A)
Potencial Escalar magnético Vm
Miguel Delgado León
En la región fuera de la fuente (J=0) se cumple:
0B∇× =
r
Según las matemáticas: El rotacional de un gradiente
siempre es cero. Es decir podemos considerar:
0( ) ( ) (22)mB r V rµ= − ∇
r r r
El potencial escalar magnético cumple con la ecuación
diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22):
[ ]0 0( ) ( ) ( ) 0m mB r V r V rµ µ∇× = ∇×− ∇ = − ∇×∇ =
r r r r
La divergencia de un gradiente es el laplaciano:
2
( ) 0 (23)mV r∇ =
r
Se conoce una expresión explicita de Vm para circuitos
fila mentales cerrados:
3
'
ˆ' '
( ) ' (24)
4
m
S
I R n
V r dS
Rπ
×
= ∫∫
r
r
y ( ) ( )mH r V r= −∇
r r r
Potencial Escalar magnético Vm
Miguel Delgado León
Ejemplo 3: Determine el potencial
escalar magnético Vm debido a una
espira circular de radio a y corriente I´
Solución: Aplicamos la fórmula (24)
( )
3
'
2
3
0 0
ˆ' '
( ) '
4
cos'
' ' '
4
m
S
a
I R n
V r dS
R
RI
d d
R
π
π
β
ρ ρ φ
π
×
= =∫∫
∫ ∫
r
r
2
3
0 0
2
3/22 2
0 0
'
( ) ' ' '
4
' ' '
'
4 '
a
m
a
I z
V r d d
R
I z d
d
z
π
π
ρ ρ φ
π
ρ ρ
φ
π ρ
= =
 + 
∫ ∫
∫ ∫
r
Las dos integrales son simples, el
resultado final es:
2 2
'
( ) 1
2
m
I z
V r
a z
 
= − ÷
+ 
r
El campo B se obtiene mediante (22)
0
0
( ) ( )
1 ˆˆ ˆ´
m
m m m
B r V r
V V V
z
z
µ
µ ρ φ
ρ ρ φ
= − ∇ =
 ∂ ∂ ∂
− + + ∂ ∂ ∂ 
r r r
2
0
3/22 2
ˆ'
( )
2
I a z
B r
a z
µ
=
 + 
r r
Campo magnético de circuitos distantes
(dipolo magnético)
Miguel Delgado León
El potencial vector magnético debido a un circuito muy pequeño
o el punto donde se evalúan los campos magnéticos está muy
distante puede evaluarse con relativa facilidad. Así:
', 'r r R r>> >>
0 0
2 2 1/ 2
' '
' '' '
( ) (25)
4 4 ' 2 'C C
I Id r d r
A r
R r r r r
µ µ
π π
= =
 + − × 
∫ ∫
r rr r
r rÑ Ñ
Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos:
32 2 1/2
1 1 '
' 2 '
r r
r rr r r r
×
≈ +
 + − × 
r r
r r
Reemplazando
en (25) queda
( )0
3
' '
' 1 1
( ) ' ' '
4 C C
I
A r d r r r d r
r r
µ
π
 
= + × 
 
∫ ∫
r r r r r r
Ñ Ñ
Es fácil demostrar que la primera
integral es cero, quedando:
( )0
3
'
' 1
( ) ' ' (26)
4 C
I
A r r r d r
r
µ
π
= ×∫
r r r r r
Ñ
Utilizando la siguiente identidad vectorial:
( ) ( ) ( )F G H F H G F G H× × = × − ×
r r rr r r r r r
( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (27)r r d r r d r r r r d r× × = × − ×
r r r r r r r r r
Así:
Diferenciando ( )' 'r r r×
r r r
( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (28)d r r r r d r r r r d r× = × + ×  
r r r r r r r r r
Dipolo magnético
Miguel Delgado León
De (27) y (28) despejando
y reemplazando en (26) se obtiene:
( )' 'r r r×
r r r
( ) ( ){ }0
3
'
' 1
( ) ' ' ' '
4 2 C
I
A r r d r r d r r r
r
µ
π
= × × + ×  ∫
r r r r r r r
Ñ
La segunda integral es cero, queda:
( )0
3
'
' 1
( ) ' ' (29)
4 2 C
I
A r r d r r
r
µ
π
 
= × × 
 
∫
r r r r r
Ñ
Se puede demostrar que el término
entre corchetes es el área con
dirección encerrada por C’
( )
'
1
ˆ' ' ' ' '
2 C
S n S r d r= = ×∫
r r r
Ñ
Se define el momento dipolar
magnético como:m
r
( )
'
1
' ' ' ' '
2 C
m I S I r d r= = ×∫
rr r r
Ñ
De manera que (29) se expresa como:
0
3
( ) (30)
4
m r
A r
r
µ
π
×
=
r rr r
Es el potencial vector magnético de un
dipolo magnético. Se puede demostrar:
( )0
5 3
3
( ) (31)
4
m r r m
B r
r r
µ
π
× 
= − 
 
r r r rr r
Es el campo B de un dipolo magnético.
El potencial escalar magnético es:
3
( ) (32)
4
m
m r
V r
rπ
×
=
r r
r
Ejemplos de dipolos magnéticos
Miguel Delgado León
1) Una espira circular de radio a
localizado en al plano xy cuyo centro
coincide con el origen de
coordenadas conduce una corriente
I’ . Encontrar los campo A , B y Vm
para puntos r>>a
2) Una carga eléctrica Q se distribuye de
forma uniforme en una región circular de
radio a. Si la distribución gira alrededor de
su eje con una velocidad angular constante
ω. Determine los campos A, B y Vm en
puntos r>>a.
Momento de rotación magnético o torque magnético
Miguel Delgado León
Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque
sobre un circuito cerrado. El momento de rotación es el
momento de la fuerza magnética, el momento de rotación
infinitesimal está dado por:
( ) ( )md r d F r I d r B I r d r Bτ = × = × × = × ×
r r rr r r r r r
El momento de rotación sobre un
circuito cerrado es:
( ) (33)
C
I r d r Bτ = × ×∫
rr r r
Ñ
Si el campo B no es uniforme, no
puede simplificarse la expresión. Un
campo vectorial es uniforme cuando
es constante en módulo y dirección.
Cuando B es uniforme procedemos
así:
( ) ( ) ( )r d r B d r B r B r d r× × = × − ×
r r rr r r r r r
Está expresión reemplazamos en (33):
( ) ( )
C C
I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫
r rr r r r r
Ñ Ñ
( ) ( )
C C
I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫
r rr r r r r
Ñ Ñ
o
La segunda integral es cero, queda
( ) (34)
C
I B r d rτ = ×∫
rr r r
Ñ
Utilizando la identidad conocida
ˆ
C S
g d r n g dS= ×∇∫ ∫∫
r
Ñ
Momento de rotación magnético
Miguel Delgado León
La expresión (34) se transforma en:
( )ˆ (35)
S
I n B r dSτ = ×∇ ×∫∫
rr r
Se demuestra fácilmente que
cuando B es uniforme
( )B r B∇ × =
r rr
La expresión (35) queda como:
ˆ ˆ
S S
I n B dS I ndS Bτ
 
= × = × 
 
∫∫ ∫∫
r rr
El término entre corchetes es el
momento dipolar magnético. Ósea
m Bτ = ×
rr r
Está fórmula es válida solamente
para cualquier circuito que sea fila
mental.
Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1 y
m2 son paralelos y están separados
una distancia r. Los dipolos están
fijos en sus posiciones pero el dipolo
2 puede girar.
a)Determine el torque sobre m2
b)El ángulo θ para el torque máximo

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Magnetostatica en el vacío

  • 1. Magneto estática en el Vacío EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética I Miguel Delgado León MSc. Ing. Miguel Delgado León
  • 2. Introducción: Campo eléctrico E Miguel Delgado León ' 2 3 0 0 ˆ1 ' 1 ' . (1) 4 4 q q e q q R q q R F N R Rπ ε π ε → = = r r En electrostática se vio la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo (Ley de Coulomb) q’ es la carga fuente, q es la carga de campo y el vector unitario. Separando la carga de campo q se define un nuevo campo vectorial: ' 3 0 1 ' ( ) ./ . (2) 4 q q e F q R E r V m q Rπ ε → = = r r r r E es el campo vectorial llamado campo eléctrico que es producido por la carga fuente q’. La presente figura muestra la dirección del campo E calculado y graficado con Matlab ˆR
  • 3. Campo magnético de corrientes estacionarias Miguel Delgado León Si las cargas se movieran con velocidades constantes v’ y v, respectivamente, existiría además una fuerza magnética ejercida por q’ sobre q ( ) ( )0 0 ' 2 3 ˆ' ' ' ' . 4 4 q q m q q F V q V R V q V R N R R µ µ π π → = × × = × × r r r r r r es conocida como la permeabilidad del vacío0µ En el Sistema Internacional 7 0 4 10 ./ .Henry mµ π − = × Separando la carga de campo q y su velocidad v se define otro campo vectorial: 0 3 ' ' ( ) ( ) (3) 4 m q V R F qV B r B r Tesla R µ π × = × ⇒ = r r r r r rr r El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo inducción magnética o densidad de flujo magnético o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q’ reemplazamos por un diferencial de carga dq’ tenemos: 0 3 ' ' ( ) (4) 4 d q V R d B r Tesla R µ π × = r r r r
  • 4. Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y Savart Miguel Delgado León Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza total sobre una carga móvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.e mF F+ r r ( ) . (5)F q E V B N= + × r r r r La fig. muestra un dq’ que se desplaza dr’ en un tiempo dt. Tenemos: ' ' ' ' ' ' ' ' (6) d r d q dq V dq d r I d r d t d t = = = rr r r Reemplazando (6) en (4) llegamos a: 0 3 ' ' ( ) (7) 4 I d r R d B r Tesla R µ π × = rrr r Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El campo debido a todo el circuito C’ es la integral dada por: 0 3 ' ' ' ( ) (8) 4 C I d r R B r Tesla R µ π × = ∫ rrr r Es la Ley de Biot y Savart donde I’ es constante
  • 5. Ley de fuerzas de Ampere Miguel Delgado León La fórmula (3) es la fuerza magnética sobre una carga q. Si en lugar de q reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en: ( ) (9)md F dqV B r= × r r r r La fórmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a:dqV I d r= r r ( ) (10)md F I d r B r= × r rr r Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de un circuito. La fuerza magnética sobre todo el circuito C es una integral: ( ) (11)m C F I d r B r= ×∫ r rr r Reemplazando (8) en (11) llegamos a: 0 3 ' ' ( ' ) (11) 4 m C C I I d r d r R F R µ π × × = ∫ ∫ rr rr Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito C’ de corriente I’ ejece sobre el circuito C de corriente I
  • 6. Aplicación de la Ley de Biot y Savart Miguel Delgado León Ejemplo 1: El campo magnético del segmento recto portador de corriente Solución. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es: ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 3/2 3/22 2 2 2 ' ˆˆˆ ˆ' '' ' ' ( ) 4 4' ' L C L d z z z zI I d z B r z z ρ ρµ µ φ ρ π πρ ρ− × − = = + + ∫ ∫ r r ( ) 2 1 0 0 2 1 3/ 2 2 2 2 22 2 2 1 ˆ ˆ' '' ( ) 4 4' L L I I L Ld z B r L Lz µ φ ρ µ φ π πρ ρ ρρ−    = = +  + ++   ∫ r r A partir de este resultado se puede determinar el campo B debido a una corriente recta infinita haciendo 1 2,L Lρ << 0 ' ˆ( ) 2 I B µ ρ φ π ρ = r Para una corriente recta infinita La presente figura muestra la dirección del campo B calculado y graficado con Matlab
  • 7. Aplicación de la Ley de Biot y Savart Miguel Delgado León Ejemplo 1: El campo magnético debido a una espira circular de radio a que conduce una corriente I’ en puntos de su eje. 0 3 ' ' ( ) 4 I d r R d B r Tesla R µ π × = rrr r Solución: Aplicando la fórmula (7) que es el campo de un elemento de corriente, tenemos: Según la figura es fácil darse cuenta que la resultante del campo tiene la dirección del eje Z y el módulo es La componente en la dirección Z será: El campo B debido a toda la espira será: o 0 0 3 2 ' ' ' ' 4 4 I R dr I dr d B R R µ µ π π = = 0 0 0 2 3 3 ' ' ' '' ' cos 4 4 4 z a I dr a I adI dr a d B d B R R R R µ µ µ φ θ π π π = = = = 2 2 2 0 0 3 30 ' ' ' 4 2 z I a I a B d R R πµ µ φ π = =∫ ( ) 2 0 3/22 2 ' ˆ 2 I a B z a z µ = + r
  • 8. Efecto Hall Miguel Delgado León Cuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magnético, se genera una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto de la corriente como del campo magnético. Si los portadores de carga son electrones que se mueven con una velocidad de arrastre V experimentan una fuerza magnética hacia abajo acumulándose en la superficie inferior electrones y dejando en la superficie superior exceso de cargas positivas. Esta acumulación de cargas en los bordes establece un campo eléctrico en el conductor y se incrementa hasta que la fuerza eléctrica equilibra la fuerza magnética. Cuando se alcanza el equilibrio no habrá desplazamiento de cargas. Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo eléctrico: eE eV B E VB− = − × ⇒ = r r r La tensión de Hall es: hV Ed VBd= = La relación entre la densidad de corriente volumétrica y la velocidad es: J neV= Aquí n es el número de electrones por unidad de volumen. De las expresiones de J llegamos a: I I J S ld = =También I V neld = Que reemplazando en Vh: h h V nelBI V o B nel I = = conductores metálicos 28 3 8.4 10n m− = ×
  • 9. Ley de Biot y Savart para distribuciones de corrientes continuas Miguel Delgado León Puede demostrarse fácilmente que la relación de la corriente filamental, superficial y volumétrica es: ' ' ( ') ' ( ') ' (12)I dr K r dS J r dV= = r rr r r Reemplazando en (8) tenemos: 0 3 ' ( ') ( ) ' (13) 4 S K r R B r dS Tesla R µ π × = ∫ r rrr r K es el vector densidad de corriente superficial A/m Reemplazando en (8) tenemos (B para corriente superficial) 0 3 ' ( ') ( ) ' (14) 4 V J r R B r dV Tesla R µ π × = ∫ r rrr r (B para corriente volumétrica) J es el vector densidad de corriente volumétrica A/m2 Se define el flujo magnético como la integral de superficie del campo B ˆ( ) (15) S B r n dS WeberΦ = ×∫ r r
  • 10. Ejemplos Miguel Delgado León 1) Una corriente I’ circula a lo largo de una placa infinita de ancho w. Determine el campo inducción magnética B en z=d 3) Un solenoide ideal consiste en un número de vueltas (bobina) distribuido uniformemente como se muestra en la figura. Para un solenoide de longitud L, N vueltas que conduce una corriente I’ determine el campo B dentro del solenoide en un punto del eje z 4) Demostrar que para un solenoide ideal infinitamente largo de n vueltas por unidad de longitud y que conduce una corriente I’ el campo dentro (en cualquier punto) del solenoide es constante e igual a Y fuera del solenoide el campo B=0 0 ˆ 'B z nIµ= r 2) Una corriente circula en todo el plano XY con una densidad de corriente superficial dada por donde Ko es constante, determine el campo B en todo el espacio 0 ˆK x K= r
  • 11. Caracterización del campo magnético, Ley circuital de Ampere Miguel Delgado León Teorema de Helmholtz: Un campo vectorial está determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos El campo inducción magnética es solenoidal, es decir, la divergencia del campo B es nula: ( ) 0 (16)B r∇× = r r El campo B es rotacional, es decir: 0( ) ( ) (17)B r J rµ∇× = r rr r Considerando una superficie abierta S con recorrido C que puede intersectar la fuente de corriente J. Efectuando la integral de superficie sobre la última ecuación, tenemos: 0 ˆ ˆ( ) ( ) S S B r nd S J r nd Sµ∇× × = ×∫ ∫ r rr r Aplicando el teorema de Stokes al primer lado: 0 0 ˆ( ) ( ) (18)a través deSC S B r d r J r nd S Iµ µ× = × =∫ ∫ r rr r r Ñ Es la forma integral de la Ley de Ampere o también conocida como Ley circuital de Ampere para el campo B. Se definirá posteriormente un campo intensidad magnética H (A./m.) que es: 0 ( ) ( ) B r H r µ = r rr r 0( ) ( ) (18. )B r H r aµ= r rr r
  • 12. Problemas de la ley circuital de Ampere Miguel Delgado León 2) Dos regiones cilíndricas de longitudes infinitas y radio a se intersecan como se muestra en la figura. Conducen densidades de corrientes y excepto en la intersección. Determine el campo B en módulo y dirección en cualquier punto de la intersección. 0ˆJ zJ= r 0ˆJ zJ= − r 1) En una región cilíndrica de longitud infinita y radio a cuyo eje coincide con el eje z conduce una corriente a lo largo del cilindro con densidad de corriente . Determine el campo B en todo el espacio 0 ˆJ zJ= r 3) Determine el campo B en módulo y dirección en todo el espacio debido a la distribución de corriente cuya densidad volumétrica está dada por: 0 0 ˆ 0 ˆ 0 zJ para x a J zJ para a x < < =  − − < < r 4) Determine en forma aproximada la componente radial del campo B en puntos muy cercanos del eje de una espira circular de radio a que conduce una corriente I’
  • 13. Potencial vector magnético Miguel Delgado León El campo B es solenoidal, es decir la divergencia de B es cero. Por las matemáticas sabemos que la divergencia de un rotacional siempre es cero. Es decir B es un rotacional: ( ) 0 ( ) 0B r A r∇× = ⇒ ∇×∇× = rr r r Para deducir el campo A de un circuito fila mental partimos del campo B. Como se sabe 0 3 ' ' ' ( ) 4 C I d r R B r Tesla R µ π × = ∫ rrr r Mediante análisis vectorial se demuestra que: 3 ' 'dr R dr R R ×   = ∇× ÷   rr r Reemplazando está equivalencia en la expresión de B: 0 ' ' ' ( ) 4 C I d r B r Tesla R µ π   = ∇×     ∫ rr r El término entre corchetes es el campo A 0 ' ' ' ( ) (19) 4 C I d r A r Tes m R µ π = −∫ rr r y para una corriente volumétrica es: 0 ' ( ') ( ) ' 4 S K r A r dS Tes m R µ π = −∫ r rr r 0 ' ( ') ( ) ' 4 V J r A r dV Tesla m R µ π = −∫ r rr r El potencial vector debido a una corriente superficial:
  • 14. Propiedades del potencial vector magnético Miguel Delgado León Ejemplo 2: Determinar el potencial vector magnético del segmento recto portador de corriente Solución. De la fórmula (19) , el campo A es: 2 1 2 2 2 20 0 0 2 2 2 2 ' 1 1 ' ' '' ' ˆ ˆ( ) 4 4 4' L C L L LI I Id r dz A r z z Ln R z L L ρµ µ µ π π πρ ρ−  + +  = = =  + − + +  ∫ ∫ rr r A partir de está expresión puede calcularse el campo A debido a una corriente recta infinita haciendo que2 1,L L → ∞ 2 1 2 2 2 20 0 0 2 2, 1 1 ' ' ˆ ˆ( ) lim 4 2L L L LI I A r z Ln z Ln L L ρµ µ ρ π π ρρ→∞  + +    = =  ÷  − + +    r r es un punto de referencia donde A=0 0ρ Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para una distribución de corriente infinita debe escogerse otro punto de referencia donde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresión anterior es que si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresión correcta del campo B 0ρ ≠ ∞ [ ]0 0 0 ' 'ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 2 Z I IA B r A r Ln Ln µ µ φ φ ρ ρ φ ρ π ρ π ρ ∂ ∂ = ∇× = − = − − = ∂ ∂ rr r r
  • 15. Problemas de potencial vectorial magnético Miguel Delgado León 1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I’ demostrar que el potencia vectorial magnético en cualquier punto del espacio es: ( ) /2 0 22 2 22 0 / 2 2 2 2 0 ' 2ˆ 1 1 2 1 I a d A k k sena z k sen d k π π µ α φ απ ρ α α   = − ÷   −+ +  − −   ∫ ∫ r ( ) 2 2 2 4a k a z ρ ρ = + + donde 2) Determinar el potencial vectorial magnético en todo el espacio producido por un solenoide ideal de longitud muy grande, radio a (L>>a) y n vueltas por unidad de longitud que conduce una corriente I’. 3) Una carga eléctrica espacial con densidad de carga volumetrica constante ρ0 se distribuye en una región cilindrica de radio a y longitud infinita. Si la distribución de carga gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante ω. Determine el campo A y B en todo el espacio.
  • 16. Ecuación diferencial para el campo A Miguel Delgado León Otra propiedad del potencial vectorial magnético es que la divergencia de A es cero: ( ) 0 (20)A r∇× = r r Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente: 0( ) ( )B r J rµ∇× = r rr r 2 0( ) ( ) (21)A r J rµ∇ = − r rr r y Solución. Sabemos que: ( )B A B A= ∇× ⇒ ∇× = ∇× ∇× r rr r Aplicando la conocida propiedad: ( ) ( ) 2 2 A A A A∇× ∇× = ∇ ∇× −∇ = −∇ r r r r Ósea que: 2 B A∇× = −∇ rr Considerando la expresión del campo A debido a una distribución de corriente volumétrica, tenemos que: 2 2 0 ' 20 ' ( ') ' 4 1 ( ') ' 4 V V J r A dV R J r dV R µ π µ π   ∇ = ∇ =      ∇  ÷   ∫ ∫ r rr r r Utilizando las propiedades de las funciones Delta de Dirac : 2 1 4 ( '),r r R π δ   ∇ = − − ÷   r r ( ')r rδ − r r ' 0 ( ') ( ') ' ( )V F r r r dV F r δ  − =   ∫ r r r r r r La última integral es cero cuando r está fuera de la región de r’ y diferente de cero cuando r está en la región de r’. Finalmente el flujo magnético es: ˆ ˆ S S C B ndS A ndS A d rΦ = × = ∇× × = ×∫∫ ∫∫ ∫ r rr r Ñ (Ecuación diferencial para A)
  • 17. Potencial Escalar magnético Vm Miguel Delgado León En la región fuera de la fuente (J=0) se cumple: 0B∇× = r Según las matemáticas: El rotacional de un gradiente siempre es cero. Es decir podemos considerar: 0( ) ( ) (22)mB r V rµ= − ∇ r r r El potencial escalar magnético cumple con la ecuación diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22): [ ]0 0( ) ( ) ( ) 0m mB r V r V rµ µ∇× = ∇×− ∇ = − ∇×∇ = r r r r La divergencia de un gradiente es el laplaciano: 2 ( ) 0 (23)mV r∇ = r Se conoce una expresión explicita de Vm para circuitos fila mentales cerrados: 3 ' ˆ' ' ( ) ' (24) 4 m S I R n V r dS Rπ × = ∫∫ r r y ( ) ( )mH r V r= −∇ r r r
  • 18. Potencial Escalar magnético Vm Miguel Delgado León Ejemplo 3: Determine el potencial escalar magnético Vm debido a una espira circular de radio a y corriente I´ Solución: Aplicamos la fórmula (24) ( ) 3 ' 2 3 0 0 ˆ' ' ( ) ' 4 cos' ' ' ' 4 m S a I R n V r dS R RI d d R π π β ρ ρ φ π × = =∫∫ ∫ ∫ r r 2 3 0 0 2 3/22 2 0 0 ' ( ) ' ' ' 4 ' ' ' ' 4 ' a m a I z V r d d R I z d d z π π ρ ρ φ π ρ ρ φ π ρ = =  +  ∫ ∫ ∫ ∫ r Las dos integrales son simples, el resultado final es: 2 2 ' ( ) 1 2 m I z V r a z   = − ÷ +  r El campo B se obtiene mediante (22) 0 0 ( ) ( ) 1 ˆˆ ˆ´ m m m m B r V r V V V z z µ µ ρ φ ρ ρ φ = − ∇ =  ∂ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ ∂  r r r 2 0 3/22 2 ˆ' ( ) 2 I a z B r a z µ =  +  r r
  • 19. Campo magnético de circuitos distantes (dipolo magnético) Miguel Delgado León El potencial vector magnético debido a un circuito muy pequeño o el punto donde se evalúan los campos magnéticos está muy distante puede evaluarse con relativa facilidad. Así: ', 'r r R r>> >> 0 0 2 2 1/ 2 ' ' ' '' ' ( ) (25) 4 4 ' 2 'C C I Id r d r A r R r r r r µ µ π π = =  + − ×  ∫ ∫ r rr r r rÑ Ñ Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos: 32 2 1/2 1 1 ' ' 2 ' r r r rr r r r × ≈ +  + − ×  r r r r Reemplazando en (25) queda ( )0 3 ' ' ' 1 1 ( ) ' ' ' 4 C C I A r d r r r d r r r µ π   = + ×    ∫ ∫ r r r r r r Ñ Ñ Es fácil demostrar que la primera integral es cero, quedando: ( )0 3 ' ' 1 ( ) ' ' (26) 4 C I A r r r d r r µ π = ×∫ r r r r r Ñ Utilizando la siguiente identidad vectorial: ( ) ( ) ( )F G H F H G F G H× × = × − × r r rr r r r r r ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (27)r r d r r d r r r r d r× × = × − × r r r r r r r r r Así: Diferenciando ( )' 'r r r× r r r ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (28)d r r r r d r r r r d r× = × + ×   r r r r r r r r r
  • 20. Dipolo magnético Miguel Delgado León De (27) y (28) despejando y reemplazando en (26) se obtiene: ( )' 'r r r× r r r ( ) ( ){ }0 3 ' ' 1 ( ) ' ' ' ' 4 2 C I A r r d r r d r r r r µ π = × × + ×  ∫ r r r r r r r Ñ La segunda integral es cero, queda: ( )0 3 ' ' 1 ( ) ' ' (29) 4 2 C I A r r d r r r µ π   = × ×    ∫ r r r r r Ñ Se puede demostrar que el término entre corchetes es el área con dirección encerrada por C’ ( ) ' 1 ˆ' ' ' ' ' 2 C S n S r d r= = ×∫ r r r Ñ Se define el momento dipolar magnético como:m r ( ) ' 1 ' ' ' ' ' 2 C m I S I r d r= = ×∫ rr r r Ñ De manera que (29) se expresa como: 0 3 ( ) (30) 4 m r A r r µ π × = r rr r Es el potencial vector magnético de un dipolo magnético. Se puede demostrar: ( )0 5 3 3 ( ) (31) 4 m r r m B r r r µ π ×  = −    r r r rr r Es el campo B de un dipolo magnético. El potencial escalar magnético es: 3 ( ) (32) 4 m m r V r rπ × = r r r
  • 21. Ejemplos de dipolos magnéticos Miguel Delgado León 1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I’ . Encontrar los campo A , B y Vm para puntos r>>a 2) Una carga eléctrica Q se distribuye de forma uniforme en una región circular de radio a. Si la distribución gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante ω. Determine los campos A, B y Vm en puntos r>>a.
  • 22. Momento de rotación magnético o torque magnético Miguel Delgado León Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque sobre un circuito cerrado. El momento de rotación es el momento de la fuerza magnética, el momento de rotación infinitesimal está dado por: ( ) ( )md r d F r I d r B I r d r Bτ = × = × × = × × r r rr r r r r r El momento de rotación sobre un circuito cerrado es: ( ) (33) C I r d r Bτ = × ×∫ rr r r Ñ Si el campo B no es uniforme, no puede simplificarse la expresión. Un campo vectorial es uniforme cuando es constante en módulo y dirección. Cuando B es uniforme procedemos así: ( ) ( ) ( )r d r B d r B r B r d r× × = × − × r r rr r r r r r Está expresión reemplazamos en (33): ( ) ( ) C C I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫ r rr r r r r Ñ Ñ ( ) ( ) C C I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫ r rr r r r r Ñ Ñ o La segunda integral es cero, queda ( ) (34) C I B r d rτ = ×∫ rr r r Ñ Utilizando la identidad conocida ˆ C S g d r n g dS= ×∇∫ ∫∫ r Ñ
  • 23. Momento de rotación magnético Miguel Delgado León La expresión (34) se transforma en: ( )ˆ (35) S I n B r dSτ = ×∇ ×∫∫ rr r Se demuestra fácilmente que cuando B es uniforme ( )B r B∇ × = r rr La expresión (35) queda como: ˆ ˆ S S I n B dS I ndS Bτ   = × = ×    ∫∫ ∫∫ r rr El término entre corchetes es el momento dipolar magnético. Ósea m Bτ = × rr r Está fórmula es válida solamente para cualquier circuito que sea fila mental. Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1 y m2 son paralelos y están separados una distancia r. Los dipolos están fijos en sus posiciones pero el dipolo 2 puede girar. a)Determine el torque sobre m2 b)El ángulo θ para el torque máximo