Raciocínio Lógico 
Formal 
Prof. . Milton Araujo 
INSTITUTO INTEGRAL 
| www.institutointegralead.com.br
Sumário 
1 INTRODUÇÃO ................................ 
.....................................................................
4.3 CONTINGÊNCIA ................................ 
4.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ 
...............
8.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ 
8.6 ARGUMENTO CATEGÓRICO 
........................................
5 
Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e 
atualizações, seja para corrigir erros, seja para mel...
1 Introdução 
1.1 O que é Lógica? 
6 
"Não se pode ensinar coisa alguma a um homem; apenas 
ajudá-lo a encontrá-la dentro ...
7 
dos que iniciam seus estudos nesse assunto, o fazem 
buscando respostas prontas 
prontas, 
pois pensam que irão aprende...
impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Num 
raciocínio dedutivo a informação da 
conclusão já ...
1.4 Interpretações 
9 
Os conceitos da lógica formal 
são apresentados de modo muito simples, e talvez 
seja justamente es...
10 
simples de se entender certos conceitos, que estão neste livro, são dos meus 
alunos, não meus. Posso dizer que este l...
2 Conceitos Básicos 
2.1 Visão Geral 
11 
“A Experiência é uma professora difícil, pois ela dá o teste 
Lógica Informal (N...
No argumento acima, tanto a premissa 1 quanto sua conclusão são falsas 
(julgamento), e a premissa 2 é verdadeira (julgame...
2.2.1.3 Valoração 
A valoração de uma proposição depende da 
em detalhes, mais adiante, esse importante ponto do conceito....
Exemplo: 
"João é médico." 
2.2.2.1.2 Período 
É uma frase que possui uma ou mais orações. 
O período pode ser: 
a) Simple...
Redefinindo o conceito: 
expressa de forma afirmativa ou negativa. 
da classe a que ela pertence. 
Exemplos de proposições...
h) “Nenhum aluno compareceu à aula 
“Algum aluno compareceu à aula hoje.” (forma negativa) 
hoje.” (forma afirmativa) 
2.2...
Exemplos: 
a) Dadas as proposições: “João é médico.” e “Pedro é engenheiro.” 
Note que, neste exemplo, têm 
não é um conec...
2.2.6 Três princípios básicos da Lógica Formal 
2.2.6.1 Princípio da identidade 
Se uma proposição é verdadeira, então ela...
2.2.7 Classificação das Proposições 
Proposição Lógica 
(fechada) 
Também conhecida 
como proposição fe-chada, 
ou seja, a...
Exemplo: “x + 5 = 12” está em linguagem simbólica (simbolismo matemático). 
Em linguagem corrente, tem 
oração declarativa...
2.2.9 Proposição Simples 
Diz-se que uma proposição é simples quando nela não há conectivos lógicos. 
Exemplos: 
a) p: “Jo...
Linguagem corrente 
a) “Pedro e Paulo não estudaram 
b) “Não é verdade que Pedro e Paulo estudaram 
prova.” 
c) “Pedro não...
2.3 Exercícios Propostos 
(1) 
Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições 
simples e col...
16) “Se eu frear, o carro para 
e para.” 
17)“Se Milton é professor 
professor, então Paulo é motorista.” 
24 
18) “Se a i...
2.3.1 Gabarito Exercícios Propostos (1) 
25 
Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições ...
4) “Paulo não é atleta ou Sara não é míope. 
Solução: 
p: Paulo é atleta. 
~p: Paulo não é atleta. 
q: Sara é míope. 
~q: ...
Solução: 
p: Polércio vai para Fortaleza. 
27 
Observação: não se preocupe com o tempo verbal. A Lógica Formal se preocupa...
28 
13) “Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições 
climáticas favoráveis para a prática de tal ...
q: Paulo é motorista. 
29 
18) “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um 
ponto percen...
2.4 Exercícios Propostos (2) 
Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: 
L: proposição...
10) “Paulo foi Ministro da Educação.” 
11) “João é médico.” 
12) “Chove.” 
13) “Todos os vegetarianos são magros. 
magros....
2.4.1 Gabarito Exercícios Propostos (2) 
Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: 
L:...
Solução: 
L 
10) “Paulo foi Ministro da Educação.” 
Solução: 
A2 
11) “João é médico.” 
Solução: 
A2 
12) “Chove.” 
Soluçã...
19) “Célia não é escritora 
Solução: 
A2 
escritora.” 
20) “Paulo não é atleta.” 
Solução: 
A2 
21) “Todo administrador en...
2.5 Exercícios Propostos (3) 
1) ANPAD 2011 – Sejam 
I. Se o objeto reluz, então é de ouro. 
II. O objeto é barato ou não ...
36 
III. A bicondição é falsa quando uma das proposições simples é verdadeira e a 
outra é falsa. Como já sabemos que v(q)...
É CORRETO afirmar que 
a) apenas II não é uma proposição. 
propo 
b) apenas I e III não são proposições. 
c) apenas I e II...
Gabarito: 
1 – A 2 – C 
3 – D 4 – B 5 – E 
Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou 
Por gentileza, envie-nos ...
3 Operações Lógicas 
Operação 
a) Negação 
b) Conjunção 
c) Disjunção Inclusiva 
d) Disjunção Exclusiva 
e) Condição 
39 
...
3.1 Tabela-Verdade: 
3.1.1 Etapas para o preenchimento de uma Tabela 
3.1.1.1 Identificando e contando 
Exemplo: 
Tabela-V...
3.1.1.4 Distribuição dos valores lógicos na Tabela 
istribuição Tabela-Verdade 
a) na coluna mais à esquerda, preenche 
va...
[Nota: observe que, em uma tabela 
se dá do seguinte modo: na primeira coluna, 
em dois; na terceira coluna, de 
42 
, tab...
3.2 Operações Lógicas Sobre Proposições 
3.2.1 Negação 
A negação é uma operação lógica que tem por finalidade 
uma propos...
Obs.: As expressões “não é verdade que” ou “é falso que” colocadas na frente de 
uma proposição estabelecem sua negação. É...
3.2.2 Conjunção 
3.2.2.1 Símbolo: ∧ 
3.2.2.2 Significado: 
“...e...”, “...mas...” 
Exemplo: 
P: “João é médico e Paulo é e...
3.2.2.5 Diagramas Lógicos: 
Onde: 
Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. 
W representa o conjunto Universo....
É verdade que x está no diagrama Q; 
47 
É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama 
acima). ...
É verdade que x está no diagrama Q; 
É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). 
Linha ...
3.2.3 Disjunção Inclusiva 
3.2.3.1 Símbolo: ∨ 
3.2.3.2 Significado: 
“...ou...” 
Exemplo: 
P: “Maria vai ao cinema ou 
Not...
3.2.3.5 Diagramas Lógicos: 
Onde: 
Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. 
W representa o conjunto Universo....
É verdade que x está no diagrama P; 
É verdade que x está no diagrama Q; 
51 
É verdade que x está na “área da verdade” (r...
É falso que x está no diagrama P; 
É verdade que x está no diagrama Q; 
52 
É verdade que x está na “área da verdade” (reg...
Em resumo: 
A disjunção inclusiva (p 
proposições simples é verdadeira. 
Acompanhe a série de dicas 
∨ q) é verdadeira qua...
3.2.4 Disjunção Exclusiva 
3.2.4.1 Símbolo: ∨ 
3.2.4.2 Significado: 
“Ou... ou...” 
Exemplo: 
P: “Ou Maria viaja ou Carlos...
3.2.4.5 Diagramas Lógicos: 
Onde: 
Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. 
W representa o conjunto Universo....
3.2.4.6 Preenchimento da Tabela 
Tabela-Verdade (linha por linha): 
Tomemos um elemento x 
Linha 1: 
x. 
É verdade que x e...
57 
É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama 
acima). 
Linha 3: 
É falso que x está no diag...
É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). 
Em resumo: 
A disjunção exclusiva 
proposiç...
3.2.5 Condição 
3.2.5.1 Símbolo: → 
3.2.5.2 Significado: 
“Se..., então...”, “Quando...”, “Quem...”, 
Exemplo: 
P: “Se Joã...
3.2.5.4 Tabela-Verdade: 
1 
2 
3 
4 
3.2.5.5 Diagramas Lógicos: 
Onde: 
p q p ⟶ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Os conjunto...
Observe o esquema a seguir: 
P ⟶ q 
⇓ ⇓ 
antecedente consequente 
acarretante acarretado 
causa efeito 
⇓ ⇓ 
Condição 
Suf...
A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. 
Linha 2: 
É verdade que x está no diagrama P; 
É falso que x está ...
A condição está satisfeita, 
Linha 4: 
e, portanto, é verdadeira. 
É falso que x está no diagrama P; 
É falso que x está n...
I. p ⟶ q ⇔ ~p ∧ ~q) 
II. p ⟶ q ⇔ ~p ∨ q 
[Nota: as equivalências vistas acima são também chamadas de 
Tabela-Verdade: 
I I...
Tabela-Verdade: 
1 
2 
3 
4 
I II III IV 
p q p ⟶ q q ⟶ p 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
65 
[Nota: observe que as c...
3.2.5.10 Contrapositiva: 
Exemplo: 
“Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) 
p ⟶ q (linguagem simbólica...
III. p ⟶ q ⇔ ~q ⟶ ~p 
Coloque-as em um cartaz e 
Exercícios Propostos 
visualize-as diariamente! 
67 
1) O seguinte enunci...
Gabarito 
Exercício 1 
Solução: 
1º passo - A primeira coisa que se deve fazer é buscar, na proposição dada, as 
proposiçõ...
q: “O funcionário tem Pós 
Pós-Graduação.” 
Proposição dada em linguagem simbólica: 
p ⟶ q 
69 
Com as informações dadas n...
3.2.6 Bicondição 
3.2.6.1 Símbolo: ⟷ 
3.2.6.2 Significado 
“... se, e somente se...” 
Exemplo: 
P: “João vai ao médico se,...
3.2.6.5 Diagramas Lógicos: 
Onde: 
Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. 
W representa o conjunto Universo....
3.2.6.6 Preenchimento da Tabela 
Tabela-Verdade (linha por linha): 
Tomemos um elemento x 
Linha 1: 
x. 
É verdade que x e...
É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). 
Linha 3: 
É falso que x está no diagrama P;...
74 
É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama 
acima). 
Em resumo: 
A bicondição (p ⟷ q) 
en...
p ⟷ q ⇔ ~(p ∨ q) 
e 
~( p ⟷ q) ⇔ p ∨ q 
estão representadas na Tabela 
essas equivalências notáveis aparecem. 
Tabela-Verd...
3.4 Exercícios Propostos 
76 
1) ANPAD 2010 – Dadas as proposições: 
I. 6  3 e 2 + 7 = 8. 
II. 2  5 ou 4 – 1 = 3. 
III. Se...
4) ANPAD 2009 – Dada 
cinema”, identifique, dentre as alternativas a seguir, aquela que a torna 
a) “Eu saí de casa” é fal...
c) eu não freio ou o carro para. 
d) o carro parou sem eu frear. 
e) se eu parei o carro, é porque eu freei. 
8) ANPAD 200...
79 
Sabe-se que os símbolos 
e representam, respectivamente, os 
operadores lógicos “∧” ” e “∨” “ 
” (os quais são binário...
80 
d) só ser aceito no estág 
currículo. 
e) ser aceito no estágio, apesar de não ir bem na entrevista, não ter bom currí...
81 
17) ANPAD 2011 – Sejam dadas as sentenças a seguir: 
I. x + 5 = 0 → x2 = 25 
II. x2 = 25 → x + 5 = 0 
III. x + 5 = 0 ↔...
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  1. 1. Raciocínio Lógico Formal Prof. . Milton Araujo INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br
  2. 2. Sumário 1 INTRODUÇÃO ................................ ................................................................................................................................ 1.1 O QUE É LÓGICA? ................................ 1.2 RECOMENDAÇÕES NECESSÁRIAS ................................ 6 ................................................................................................ ............................................................ 6 ÕES ................................................................................................ 1.2.1 Como estudar Lógica? .......................................... 6 ............................................ 6 ................................................................................................ 1.3 TIPOS DE ARGUMENTO ................................ ................................................................................................ 1.3.1 Argumento Dedutivo 1.3.2 Argumento Indutivo ..................................................... 7 mento ................................................................................................ .............................................. 7 ................................................ 8 ................................................................................................ 1.4 INTERPRETAÇÕES ................................ 1.5 PARA FINALIZAR ................................ ................................................................................................ ............................................................................................................................... 2 CONCEITOS BÁSICOS ................................ ............................................................. 9 ............................... 9 ................................................................................................ 2.1 VISÃO GERAL ................................ 2.2 PROPOSIÇÃO ................................ ................................................... 11 ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 2.2.1 Conceito ................................ 2.2.2 Indo além do conceito 2.2.3 Linguagem corrente e Linguagem simbólica 2.2.4 Aspas ................................ 2.2.5 Valor lógico ou valor 2.2.6 Três princípios básicos da Lógica Formal 2.2.7 Classificação das Proposições 2.2.8 Conectivos Lógicos 2.2.9 Proposição Simples 2.2.10 Proposição Composta ................................ 11 ................................. 12 ................................ 12 conceito................................................................................................ ........................................... 13 ........................................ 16 ................................................................................................................................ .................................... 16 valor-verdade de uma proposição ............................................................... ............................... 17 .............................................. 18 ............................... 19 ................................................................................................ ................................................................................................ 2.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1) ............................................................................................... ................................................ 20 ............................................... 21 ................................................................................................ ....................................... 21 ................................................................................................ 2.3.1 Gabarito Exercícios Propostos (1) 2.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (2) ............................................. 23 ......................................................... 25 ................................................................................................ 2.4.1 Gabarito Exercícios Propostos (2) 2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (3) ................................................................ ............................................. 30 ................................................................ ......................................................... 32 ................................................................................................ 3 OPERAÇÕES LÓGICAS ................................ ............................................. 35 ................................................................................................ 3.1 TABELA-VERDADE: ................................ ................................................................ ................................................................ .................................................. 39 ................................................................................................ 3.1.1 Etapas para o preenchimento de uma Tabela 3.2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE ......................................................... 40 ....................................................... 40 ......................................................... 43 OBRE PROPOSIÇÕES ................................................................ 3.2.1 Negação ................................ 3.2.2 Conjunção ................................ 3.2.3 Disjunção Inclusiva 3.2.4 Disjunção Exclusiva 3.2.5 Condição ................................ 3.2.6 Bicondição ................................ ................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................ 43 ............................. 45 ................................................................................................ ................................................................................................ ............................................... 49 ............................................... 54 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................ 3.3 QUADRO-RESUMO ................................ 3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ Tabela-Verdade ................................ ............................... 59 ............................ 70 ................................................................................................ ......................................................... 75 ................................................................................................ 4 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA .................................................. 76 ÇÃO ................................................................ 4.1 TAUTOLOGIA ................................ 4.2 CONTRADIÇÃO................................ ......................................... 97 ................................................................................................................................ ............................................................................................................................... Acompanhe a série de dicas 2 ................................. 97 ............................... 98 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  3. 3. 4.3 CONTINGÊNCIA ................................ 4.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ .............................................................................................................................. .............................. 99 ................................................................................................ 5 IMPLICAÇÃO LÓGICA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA 5.1 IMPLICAÇÃO LÓGICA ................................ ................................................ 101 ......................................... 104 ................................................................................................ 5.1.1 Símbolo: ⇒ ................................ 5.1.2 Significado: ................................ ..................................................... 104 .......................................................................................................................... ................................................................................................ 5.2 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ................................ .......................... 104 ......................................................... 104 ................................................................................................ 5.2.1 Símbolo: ⇔ ................................ 5.2.2 Significado: ................................ 5.2.3 Equivalências Notáveis .................................................. 107 ................................................................................................ ................................................................................................ ......................................................... 107 ......................................................... 107 lências ................................................................................................ 5.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ ....................................... 108 ................................................................................................ 6 ÁLGEBRA PROPOSICIONAL ................................................ 112 L ................................................................................................ 6.1 PROPRIEDADE COMUTATIVA ........................................ 119 OMUTATIVA ................................................................................................ ........................................................................................................................... 6.1.1 Conjunção ................................ 6.1.2 Disjunção Inclusiva 6.1.3 Disjunção Exclusiva 6.1.4 Bicondição ................................ 6.1.5 5Observação Importantíssima: .......................................... 119 ........................... 119 ................................................................................................ ................................................................................................ ............................................. 119 ............................................. 120 .......................................................................................................................... 6.2 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA .......................... 120 ........................... 120 ........................................................................................... ISTRIBUTIVA ................................................................................................ 6.2.1 Conjunção x Disjunção Inclusiva 6.2.2 Disjunção Inclusiva x Conjunção .......................................... 121 ................................................................ ................................................................ 6.3 LEIS DE DE MORGAN ................................ 6.4 NEGAÇÃO DE OUTRAS PROPOSIÇ ......................................................... 121 ......................................................... 121 ................................................................................................ .................................................... 122 O PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ................................................................ 6.4.1 Negação de proposição condicional 6.4.2 Negação de proposição bicondicional 6.4.3 Negação da Disjunção Exclusiva: ............................................... 124 ................................................................ ................................................................ ................................................... 124 ................................................ 127 ................................................................ 6.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ ........................................................ 129 ................................................................................................ ÃO ................................................................................................ 7 LÓGICA DE ARGUMENTAÇ 7.1 ARGUMENTO LÓGICO DEDUTIVO 7.2 VALIDAÇÃO DE ARGUMENTOS ................................................................ ................................................ 129 .................................... 135 EDUTIVO ................................................................................................ .................................... 135 RGUMENTOS ................................................................................................ ........................................ 137 7.2.1 Método da Tabela- 7.2.2 Método da condicional associada para validação de argumentos 7.2.3 Método das regras de inferência para validação de argumentos -Verdade para validação de argumentos ................................ 7.3 SILOGISMO HIPOTÉTICO ................................ 7.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ .............................................. 137 .................................... 141 ...................................... 145 ................................................................................................ ................................................................................................ 8 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (QUANTIFICADORES ................................................ 146 ................................................ 148 CAS QUANTIFICADORES) ................................................................ 8.1 QUANTIFICADORES ................................ 8.2 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 8.3 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS DE 8.4 REPRESENTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES ................................... 171 ................................................................................................ ....................................................... 171 ........................................................ 173 ROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ................................................................ OTÁVEIS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ................................................................ .................................. 176 ROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS POR MEIO DE DIAGRAMAS DE EULER-VENN ................................................................................................ 8.4.1 “Todo P é Q.” ................................ 8.4.2 “Nenhum P é Q.” ................................ 8.4.3 “Algum P é Q.” ................................ 8.4.4 “Algum P não é Q.” ENN. .................... 177 ...................................................... 177 ................................................................................................ ................................................................................................ Acompanhe a série de dicas ................................ ................................ ................................................. 177 .................................................... 177 ................................................................................................ 3 ............................................. 177 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  4. 4. 8.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ 8.6 ARGUMENTO CATEGÓRICO ................................................................................................ ................................................ 177 ATEGÓRICO ................................................................................................ 8.6.1 Validação de Argumentos Categóricos 8.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ ............................................ 186 ............................................... 187 ................................................ 191 ................................................................ ................................................................................................ 9 PROPOSIÇÕES ABERTAS DE PRIMEIRA ORDEM 9.1 CONCEITO ................................ 9.2 CONJUNTO-VERDADE ................................ 9.3 IMPLICAÇÃO LÓGICA ................................ 9.4 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ................................ 9.5 OPERAÇÕES LÓGICAS ................................ .......................................... 205 ................................................................................................................................ .................................. 205 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 9.5.1 Negação ................................ 9.5.2 Conjunção ................................ 9.5.3 Disjunção Inclusiva ................................................... 206 ..................................................... 207 .................................................. 207 .................................................... 208 .............................................................................................................................. ........................................................................................................................... .............................. 208 ........................... 211 ................................................................................................ 10 LÓGICA INFORMAL (APRESENTAÇÃO) ............................................. 211 ESENTAÇÃO) ................................................................ 11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA ....................................................... 213 DITORA - CATÁLOGO ................................................................ Acompanhe a série de dicas ................................................................ 4 ............................................. 218 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  5. 5. 5 Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/ Cadastre-se também aqui ou aqui http://mga960.klicksite.com.br/pre mail, informações e atualizações souintegral/. http://integral.klicksite.com.br/anpad anpad-poa-rs/ pre-anpad-poa-rs/ e receba, via e em primeira mão. e- Este material é parte integrante dos nossos cursos a distância. Por contrato assinado com a RB (empresa que tem os direitos de veiculação dos nossos cursos online), não poderemos mantê-mantê lo com distribuição pública e gratuita por muito tempo. Por isto, é aconselhável aco nselhável que você se inscreva também no Cadastro por e-mail, pois apenas para os integrantes da lista circulação pública e gratuita. enviaremos as correções e atualizações, sem custos, lista, quando o material for retirado d Por gentileza, repasse esse materi amigos. Obrigado! Participe do nosso projeto: it-forward-corrente-do- -bem.html Acompanhe a série de dicas , da material para o maior número al possível de http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay pay- dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  6. 6. 1 Introdução 1.1 O que é Lógica? 6 "Não se pode ensinar coisa alguma a um homem; apenas ajudá-lo a encontrá-la dentro de si mesmo." [Galileu] Certamente, o leitor já deve ter se deparado com uma dúzia de definições, e isto pode ter trazido mais confusão do qu que esclarecimento. A Lógica surgiu como um ramo da Filosofia, mas atualmente suas aplicações permeiam os limites de todas as áreas do pensamento, inclusive os mais simples afazeres cotidianos. Podemos dizer, não de modo conclusivo, que o homem é um ser es lógico. essencialmente Este livro não tem a pretensão de lhe trazer respostas prontas a respeito das questões relacionadas à Lógica. E, por aí, já estaremos mostrando o que a lógica pode ser: uma forma de bem pensar e buscar, por si só, conclusões fundamentadas em evidências. Certamente que não estamos dizendo que cada um poderá praticar ciência isoladamente, sem qualquer base conceitual. Deixaremos para examinar, Formal, antecipando apenas que seu objeto principal de estudo é o Enfim, para não nos alongarmos demasiadamente neste ponto, deixaremos para o leitor a tarefa de chegar às suas próprias conclusões, desde qu fundamentadas. 1.2 Recomendações necessárias 1.2.1 Como estudar Lógica? Paciência e disciplina são requisitos fundamentais! Muitos alegam que não conseguem aprender lógica, mas um simples diagnóstico mostra que a maioria Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ adas mais adiante, os conceitos e definições da Lógica que consistentemente , argumento. e
  7. 7. 7 dos que iniciam seus estudos nesse assunto, o fazem buscando respostas prontas prontas, pois pensam que irão aprender raciocínio lógico por meio de questões resolvidas. Pense apenas no seguinte: se uma questão de raciocínio lógico já está respondida, não haverá aprendizado... rendizado... Na verdade, nem sequer se tem uma questão. Nosso cérebro é extremamente poderoso, mas também é bastante preguiçoso... Se lançarmos um desafio ao cérebro, ele jamais irá parar de trabalhar sobre o problema, até que consiga solucioná cérebro, ele imediatamente para de trabalhar na questão, passando a fazer uma simples leitura do raciocínio alheio. É como correr uma maratona na garupa de alguém: a brisa suave e agradável no rosto seria como uma aprendizado. solucioná-lo. Porém, ém, se a solução é apresentada ao ilusão de A recomendação fundamental, então, é: deixe as questões propostas em segundo plano e se preocupe em assimilar bem os conceitos. Vale dizer: tenha paciência! Geralmente, as questões de lógica formal requerem o domínio de mais de um conceito para que se possa respondê respondê-las. Estude todos os conceitos primeiro, baseando-se apenas nos exemplos solucionados para a assimilação dos conceitos. Deixe os exercícios para a segunda leitura: releia um capítulo de cada vez e tente responder a bateria de questões que propostas. Tenha disciplina! Estude todos os dias, dias , nem que sejam apenas 30 minutos, e não abandone um capítulo enquanto não tiver pelo menos 70% de aproveitamento nas questões propostas. Leia o post: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/03/como raciocinio.html 1.3 Tipos de Argumento como-estudar estudar-e-aprender- A lógica diferencia duas classes fundamentais de argumentos: os dedutivos e os indutivos. 1.3.1 Argumento Ded Dedutivo Os argumentos dedutivos são aqueles fundamento definitivo da conclusão. Em outras palavras, numa dedução é Acompanhe a série de dicas nos quais as premissas fornecem um dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  8. 8. impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Num raciocínio dedutivo a informação da conclusão já está contida nas premissas, de modo que se toda a informação das premissas é verdadeira, a informação da conclusão também deverá ser verdadeira. Resumidamente: nos argumentos dedutivos o raciocínio parte de premissas gerais para uma conclusão particular. Exemplo: Todos os mamíferos são mortais. Os cães são mamíferos. Logo, os cães são mortais. 1.3.2 Argumento Indutivo Nos argumentos indutivos as premissas proporcionam somente alguma fundamentação da conclusão, que contém alguma informação que nã contida nas premissas, ficando em aberto a possibilidade de que essa informação a mais cause a falsidade da conclusão apesar das premissas verdadeiras. Resumidamente: Raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma conclusão geral. Exemplo: lusão Um aluno chega à sua escola e, ao passar pela sala 1 percebe que ela foi pintada de azul. Observa que a sala 2 também foi pintada de azul. Ao passar pelas salas 3 e 4 percebe que ambas foram pintadas de azul, o mesmo ocorrendo com s que é a 5. Dessa forma, esse aluno conclui que todas as salas de aula da escola foram pintadas de azul. Entretanto, esse aluno não pode ter certeza de que isto está correto, visto que é uma generalização (inferência) baseada em alguns casos particulares (experiência). Leitura recomendada: raciocinio-logico-4.html Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ ulares http://profmilton.blogspot.com/2013/12/pilulas 8 não está sua sala, pilulas-de-
  9. 9. 1.4 Interpretações 9 Os conceitos da lógica formal são apresentados de modo muito simples, e talvez seja justamente essa simplicidade que gere confusões e interpretações diversas de um mesmo conceito. Para ilustrar, tomaremos a frase: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Se perguntarmos se o leitor “sim!” entendeu a frase acima, a resposta certamente será Vamos imaginar que essa frase é um dos conceitos que estamos tentando interpretar. Façamos então um exercício, tirando da frase interpretações diversas: Interpretação 1: “Eu não disse que ele pego Significado: pode ter sido outra pessoa quem disse isso. pegou o dinheiro.” ele pegou o dinheiro.” Interpretação 2: “Eu não disse que Significado: posso ter dito que outra pessoa pegou o dinheiro. o dinheiro.” Interpretação 3: “Eu não disse que ele pegou Significado: posso ter dito que ele pegou outro objeto. Interpretação 4: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro...” Significado: eu já havia dito isto antes, mas não me deram ouvidos... Como se vê, isto não pode acontecer quando se trata de um conceito. É p haver consenso na interpretação, sob pena de se criar muita confusão. 1.5 Para finalizar preciso Este livro não foi escrito com a pretensão de fechar a questão em torno do assunto, visto que nem mesmo os mais renomados logicistas alcançaram tal proeza. Entretanto, o consenso é algo constantemente buscado nos cursos que ministro, e é justamente isto que apresentarei neste livro. Foram os meus alunos que me incentivaram a transformar minhas notas de aulas neste livro. Várias das re Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ nificado: recomendações comendações para estudo e até mesmo formas mais
  10. 10. 10 simples de se entender certos conceitos, que estão neste livro, são dos meus alunos, não meus. Posso dizer que este livro tem tantos coautores, que citá-citá los nominalmente tomaria todas as suas páginas... Fica aqui o meu agradecimento a todos eles. Tiro-lhes o chapéu! Espero que o leitor possa ter com este livro o mesmo proveito e alcance os mesmos resultados que os alunos dos nossos cursos presenciais, visto que vários deles já conseguiram gabaritar provas de Raciocínio Lógico, tanto no Teste ANPAD quanto em Concursos Públicos. Em onze anos, o Instituto Integral já preparou mais de 100 turmas (quase 1.000 alunos) para o Teste ANPAD (maioria) e para Concursos Públicos em geral. Nosso índice de aprovação já ult ultrapassou os 75%. Estude com garra e determinação! Depois, envie que o seu nome seja inserido em nossa Galeria dos Campeões. Acompanhe a série de dicas envie-nos sua história de sucesso, para O Autor. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  11. 11. 2 Conceitos Básicos 2.1 Visão Geral 11 “A Experiência é uma professora difícil, pois ela dá o teste Lógica Informal (Não clássica) ↓ VERDADE (julgamento) ↓ Interpretação Textual ↓ “O que” foi dito Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. ( ) correto. (×) incorreto. “o que” foi dito está incorreto, pois fumaça não causa fogo. primeiro e a lição depois.” Lógica Formal (Clássica) ↓ VALIDADE (forma) ↓ Estrutura Lógica ↓ “Como” foi dito Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. (×) correto. ( ) incorreto. “como” foi dito está correto, pois fumaça é a proposição antecedente, e fogo é a proposição consequente. Observa-se, no quadro acima, que a Lógica Formal preocupa lógica (como foi dito), e não com seu conteúdo questão solicite que seja feito um julgamento de valor. [Nota: Lógica Informal será tratada em outro livro.] Veja um exemplo: preocupa-se com a estrutura (o que foi dito), a menos que a Premissa 1: “Se três é um número primo, então dois não é um Premissa 2: “Mas dois é um número par.” Conclusão: “Três não é um número primo.” Acompanhe a série de dicas [Vernon Sanders Law] , número par.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  12. 12. No argumento acima, tanto a premissa 1 quanto sua conclusão são falsas (julgamento), e a premissa 2 é verdadeira (julgamento). Entretanto, o argumento acima é válido (estrutura). [Nota: Argumentos serão vistos em capítulo próprio, assim como a forma correta e segura de validá-los. Neste ponto, é suficiente deixar apenas o alerta ao leitor: a lógica formal se baseia na estrutura lógica (como foi dito) e não na 2.2 Proposição 2.2.1 Conceito O conceito de proposição 2.2.1.1 Definição Chama-se de proposição Exemplo: "João é médico." 2.2.1.2 Formas de apresentação Uma proposição se apresenta de duas formas: 2.2.1.2.1 Afirmativa Exemplo: "João é médico." 2.2.1.2.2 Negativa Exemplo: "João não é médico." Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ álido interpretação do texto (o que foi dito)]. está fundamentado em três pilares: uma frase ou sentença declarativa. 12
  13. 13. 2.2.1.3 Valoração A valoração de uma proposição depende da em detalhes, mais adiante, esse importante ponto do conceito. Esquemática e resumidamente, temos: Pilar 1: Definição. 13 classe dessa proposição. Veremos mente, Pilar 2: Formas de apresentação (afirmativa ou negativa). Pilar 3: Valoração: depende da classe da propo Leia no blog o post raciocinio-logico-2.html http://profmilton.blogspot.com.br/2013/04/pilulas 2.2.2 Indo além do conceito 2.2.2.1 Frase proposição. pilulas-de-linguístico, É todo enunciado linguístico, constituído de uma ou mais palavras, que expressa um enunciado de sentido completo. A frase não vem necessariamente acompanhada por um sujeito, verbo ou predicado. Por exemplo: “Atenção.” é uma frase, pois transmite uma id tem sentido, mas não há verbo, sujeito ou predicado. não é declarativa, e, portanto, 2.2.2.1.1 Oração , não é uma proposição. É todo enunciado linguístico que contém um Acompanhe a série de dicas ideia, ou Ademais, a frase “Atenção.” verbo. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  14. 14. Exemplo: "João é médico." 2.2.2.1.2 Período É uma frase que possui uma ou mais orações. O período pode ser: a) Simples: Quando constituído de uma só oração. Exemplo: Mariana foi ao cinema ontem. b) Composto: Quando é constituído de duas ou mais orações. Exemplo: O aluno foi bem na prova, pois 2.2.2.2 Tipos de frases a) declarativas. Exemplo: João teve b) exclamativas. Exemplo: c) imperativas. Exemplo: d) interrogativas. Exemplo: e) rogativas. Exemplo: Por favor, me Há ainda outros tipos de frases, mas não é propósito deste estudo discutir essa questão. À Lógica formal só interessa o primeiro tipo, ou seja, as frases Seguindo-se o conceito acima, pode declarativa. Observe o leitor que, para fazer uma uso de um verbo. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ : : estudou muito. cuidado. Que dia lindo! Vire à esquerda. Será que vai chover? liga. declarativas pode-se definir proposição como uma . declaração necessita 14 declarativas. oração necessita-se fazer
  15. 15. Redefinindo o conceito: expressa de forma afirmativa ou negativa. da classe a que ela pertence. Exemplos de proposições: Proposição é uma oração declarativa, que pode ser A valoração da proposição depende a)“João é funcionário público. “João não é funcionário público.” (forma negativa) b) “Paulo foi Ministro da Educação. “Paulo não foi Ministro da Educação.” (forma c) “sinkπ) = 0, com k ∈ “sinkπ) ≠ 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}. d) “x + 5 = 12.” (forma afirmativa) “x + 5 ≠ 12.” (forma negativa) Observe que a proposição (simbolismo matemático). Podemos estabelecer a leitura dessa proposição em linguagem corrente: d) “Xis mais cinco é igual a doze.” (forma afirmativa) “Xis mais cinco não é igual a doze.” ou “Xis mais cinco é diferente de doze.” (forma negativa) e) “Este carro é azul.” (forma afirmativa) “Este carro não é azul.” (forma negativa) f) “Todos foram aprovados no exame. “Nem todos foram aprovados no exame.” (forma negativa) [Nota: As formas de se estabelecer a negação dos capítulo próprio. Fica o alerta ao leitor vez!] g) “2 + 2 = 3.” (forma afirmativa) “2 + 2 ≠ 3.” (forma negativa) Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ sse público.” (forma afirmativa) Educação.” (forma afirmativa) negativa) {0, 1, 2, 3}.” (forma afirmativa) 3}.” (forma negativa) ” ” d acima está representada em sua forma ” exame.” (forma afirmativa) diversos tipos de proposições serão vistas em leitor, para que se preocupe em assimilar um conceito de cada ” 15 simbólica
  16. 16. h) “Nenhum aluno compareceu à aula “Algum aluno compareceu à aula hoje.” (forma negativa) hoje.” (forma afirmativa) 2.2.3 Linguagem corrente e Linguagem simbólica 16 Uma proposição pode ser representada tanto em linguagem corrente quanto em linguagem simbólica. 2.2.3.1 Linguagem corrente É a representação sob ob a forma de uma frase, no idioma natural do leitor. Exemplo: “João é médico.” 2.2.3.2 Linguagem simbólica É a representação por meio de letras do alfabeto. As proposições simples são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, t, etc.), e as proposições compostas são representadas por letras maiúsculas (P, Q, R, S, T, etc.). Exemplos: a) p: “João é médico.” (proposição simples) b) P: “Pedro é engenheiro e Maria é professora.” (proposição composta) [Nota: os conceitos de proposição simples e adiante.] 2.2.4 Aspas Quando estiver na linguagem corrente, é prudente sempre colocar uma proposição entre aspas. Embora nem todos os autores sigam essa determinação, aconselha-se ao leitor desenvolver esse háb na identificação das proposições simples e compostas. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ s proposição composta serão vistos em detalhes mais hábito, ito, a fim de evitar algumas confusões
  17. 17. Exemplos: a) Dadas as proposições: “João é médico.” e “Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, têm não é um conectivo lógico. p: “João é médico.” e q: “Pedro é engenheiro.” têm-se duas proposições simples. O “e” entre ambas b) Dada a proposição: “João é médico e Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, tem proposições simples. O e tem-se uma proposição composta, formada por duas entre as proposições simples é um conectivo lógico. P: “João é médico e Pedro é engenheiro.” 2.2.5 Valor lógico ou valor valor-verdade de uma proposição Há duas formas de se valorar uma proposição: V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. 2.2.5.1 Função de Valoração v(p) = V. Lê-se: “O valor lógico da proposição ou v(p) = F. Lê-se: “O valor lógico da proposição [Nota: A forma correta de se indicar o valor lógico de uma proposição de valoração. Jamais se deve escrever igual ao seu valor-verdade.] [Nota: As proposições abertas de primeira ordem não são valoradas dessa forma. Assim, neste livro, sempre que houver referência a valor lógico ou valor estaremos nos referindo às proposições abertas de primeira ordem. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ , p é Verdadeiro”; p é Falso” é através de sua . algo do tipo p = V ou p = F, pois uma proposição não é valor-verdade de uma pro ordem.] 17 . , função , proposição não
  18. 18. 2.2.6 Três princípios básicos da Lógica Formal 2.2.6.1 Princípio da identidade Se uma proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. 2.2.6.2 Princípio da não contra contradição Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 2.2.6.3 Princípio do terceiro excluído Uma proposição não pode ser nem verdadeira, nem falsa. [Nota: Excluem-se desse conceito as proposições abertas de primeira ordem. Acompanhe a série de dicas ordem.] 18 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  19. 19. 2.2.7 Classificação das Proposições Proposição Lógica (fechada) Também conhecida como proposição fe-chada, ou seja, a ela pode-se atribuir um único valor lógico: ver-dadeiro ou falso. Exemplos: a) “sinπ) = 0, e k ∈ {0, 1, 2, 3}.” b) “2 + 2 = 3.” c) “No dia 04/03/2010 choveu na cidade de Porto Alegre-RS.” d) “Oito é um número primo.” A principal caracterís-tica da proposição ló-gica ou fechada é o fato de a informação contida entre aspas estar com-pleta, clara e exata, o que possibilita o seu julgamento. Proposição Aberta (presença de incógnita) Proposição Categórica (presença de quantificador [Nota: As proposições abertas de primeira ordem são chamadas de “Sentenças Abertas” por vários autores. Este tipo de proposição foi introduzido na Lógica Formal por matemáticos, e, como não têm valor-verdade (ou valor lógico), foram deixadas à margem do co proposição. Todavia, há que se ressaltar que o conceito de Lógica Aristotélica (lógica filosófica), e nele ficou estabelecido que uma proposição tem associado a ela um valor-verdade (ou valor lógico): V, se Lembre-se o leitor de que, para ser uma oração declarativa, que possa ser representada tanto na quanto na forma negativa primeira ordem) se enquadram perfeitamente neste conceito. O que precisa ficar claro aqui é que a questão da proposição. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ , gica pleta, 1) Primeira ordem: tipo de proposição para a qual não se pode atribuir um valor-verdade. A proposição se caracteriza pela presença de uma incógnita mate-mática (x, y, z, ...). Exemplos: a) “sinπ) = 0.” b) “x + 5 = 12.” ___________________ 2) Segunda ordem: tipo de proposição na qual algum elemento é desconhecido (geralmente, o sujeito da frase). Exemplos: a) “Carlos é funcionário público.” b) “Paulo foi Ministro da Educação.” c) “Este carro é azul.” d) “Ontem choveu em São Paulo.” Estabelece-sição categórica mediante o uso de quantificador 1. Todo: universal afir mativo. 2. Nenhum gativo. 3. Algum: particular ou existencial afirmativo. 4. Algum não é ou existencial negativo. Exemplos: a) “Todos foram aprova dos no exame. b) “Nenhum aluno com pareceu à aula. c) “Alguns homens são bons motoristas. d) “Existe triângulo que não é retângulo. Observação: mesmo significado Algum. proposição foi estabelecido pela verdadeira; F, se falsa proposição, uma frase ou sentença precisa ser , forma afirmativa negativa. As “Sentenças Abertas” (ou proposições abertas de valoração dependerá unicamente do 19 quantificador) -se uma propo-sição quantificadores: : afir- Nenhum: universal ne- : é: particular aprova-dos exame.” com-pareceu aula.” motoristas.” retângulo.” Existe tem o de conceito de falsa.] , afirmativa, . tipo de
  20. 20. Exemplo: “x + 5 = 12” está em linguagem simbólica (simbolismo matemático). Em linguagem corrente, tem oração declarativa dita de forma afirmativa. 20 tem-se: “Xis mais cinco é igual a doze.”, que é uma Na forma negativa, a frase acima fica: “ “Xis mais cinco é diferente de doze.” Como se vê “x + 5 = 12” se e ficando a questão da valoração enquadra perfeitamente no conceito de proposição, ligada ao tipo da proposição. Neste livro chamaremos as primeira ordem, separando Xis mais cinco não é igual a doze.”, ou, nquadra sentenças abertas, de proposições abertas de , separando-as do conceito quando se tratar da sua valoração. Lembre-se o leitor de que a Lógica Formal está fundamentada no conceito de proposição (oração declarativa). 2.2.8 Conectivos Lógicos Um conectivo lógico tem a função de formar uma proposição composta. São eles: Conectivo a) Conjuntivo b) Disjuntivo Inclusivo c) Disjuntivo Exclusivo d) Condicional e) Bicondicional Acompanhe a série de dicas Símbolo Linguagem Corrente ∧ ... e ... ∨ ... ou ... ∨ Ou... ou... ⟶ Se..., então... Quando... Quem... ...que... ...somente se... ⟷ ... se e somente se... dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  21. 21. 2.2.9 Proposição Simples Diz-se que uma proposição é simples quando nela não há conectivos lógicos. Exemplos: a) p: “João é médico.” b) q: “Paulo é engenheiro.” c) r: “Hoje está chovendo.” d) s: “2 + 2 = 3.” [Nota: Abstenha-se de julgar uma proposição, quando isto não for solicitad + 2 = 3” é uma proposição falsa preocupe-se apenas com sua estrutura.] 21 o. falsa. Mas, se o comando da questão não solicitar o seu valor lógico, e) Pedro e Paulo estudaram para a prova.” [Nota: No exemplo acima, tem um sujeito composto, mas não é um conectivo lógico.] tem-se uma proposição simples, pois o e entre “Pedro e Paulo” forma 2.2.10 Proposição Composta solicitado. Evidentemente, “2 Uma proposição composta é aquela em que há conectivos lógicos. Sejam as proposições: p: “Pedro e Paulo estudaram q: “Pedro estudou para a prova r: “Paulo estudou para a prova prova.” Acompanhe a série de dicas para a prova.” .” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  22. 22. Linguagem corrente a) “Pedro e Paulo não estudaram b) “Não é verdade que Pedro e Paulo estudaram prova.” c) “Pedro não estudou estudou para a prova.” d) “Não é verdade que Pedro estudou Paulo estudou para a prova.” Linguagem simbólica para a prova.” ~p para a ~p para a prova e Paulo não ~ q ∧ ~r para a prova e ~( q ∧ r) Observe, no quadro da página anterior corrente transmitem exatamente a mesma ideia todas elas). Em outras palavras, todas elas têm o mesmo significado. anterior, que todas as frases em linguagem (“o que” foi dito é o mesmo em Entretanto, na linguagem simbólica da Lógica os itens a e b têm a mesma simbologia, que é, demais (“como” foi dito). A linguagem simbólica mostrada em álgebra proposicional, em sua forma equivalente: [Nota: Veremos o que é equivalência lógica e álgebra proposicional mais adiante.] Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ . Formal, verifica-se que somente estruturalmente d também pode ser escrita ~( q ∧ r) ⟺ ~ q ∨ ~r 22 , estruturalmente, diferente das escrita, por meio de
  23. 23. 2.3 Exercícios Propostos (1) Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições simples e coloque-as na linguagem simbólica, conforme mostra o exemplo. 1) Exemplo: “Se eu sair de casa, eu vou ao cinema p: “Eu saio de casa.” q: “Eu vou ao cinema.” 2) “Célia não é escritora ou Paulo é atleta. atleta.” 3) “Sara é míope ou Paulo não é atleta. atleta.” 4) “Paulo não é atleta ou Sara não é míope. cinema.” míope.” 5) “Se Pedro está na empresa, Mário e Cíntia estão de folga do trabalho. 6) “Se Bruno não vai à esco escolinha, Pietra também não vai.” 7) “Ou Paulo irá para Curitiba, ou Pedro irá para Belém, ou Pierre irá para Campo Grande.” 8) “Se Polércio for para Fortaleza, então Pierre irá para Campo Grande 9) “Se as vendas diminuem, então a empresa vai à falência. 10) “Se o custo de produção sobe, então os preços sobem. 11) “Se os preços sobem, então as vendas diminuem. 12) “Alberto não vai ao shopping 13) “Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade. 14) “Não é verdade que todas as 15) “Residir em apartamentos é ruim ou residir em casa é bom. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ u e falência.” sobem.” diminuem.” ou Beatriz vai à praia.” s atividade.” mulheres não são estudiosas.” bom.” 23 trabalho.” Grande.”
  24. 24. 16) “Se eu frear, o carro para e para.” 17)“Se Milton é professor professor, então Paulo é motorista.” 24 18) “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um ponto percentual.” 19) “Se eu corro, eu me condiciono fisicamente. fisicamente.” 20) “Se chover, então Roger não sairá de casa Acompanhe a série de dicas casa.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  25. 25. 2.3.1 Gabarito Exercícios Propostos (1) 25 Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições simples e coloque-as na linguagem simbólica, conforme mostra o exemplo. 1) Exemplo: “Se eu sair de casa, eu vou ao cinema p: “Eu saio de casa.” q: “Eu vou ao cinema.” 2) “Célia não é escritora ou Paulo é atleta. Solução: critora atleta.” p: Célia é escritora. ~p: Célia não é escritora. q: Paulo é atleta. cinema.” Observe que, se colocarmos a proposição p sob a forma: p: Sara não é escritora. não estaremos cometendo qualquer erro. Entretanto, esta for uma proposição, na qual já contém uma negação, em sua linguagem simbólica gera erros no momento de se estabelecer a negação da proposição (veremos isto mais adiante). Assim, proceda do seguinte modo: a) escolha uma letra para representa forma ma de representar representar r a proposição na linguagem simbólica; b) escreva a proposição sempre no modo afirmativo (mesmo que a questão traga a proposição na forma negativa). 3) “Sara é míope ou Paulo não é atleta. Solução: p: Sara é míope. q: Paulo é atleta. ~q: Paulo não é atleta. Acompanhe a série de dicas atleta.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  26. 26. 4) “Paulo não é atleta ou Sara não é míope. Solução: p: Paulo é atleta. ~p: Paulo não é atleta. q: Sara é míope. ~q: Sara não é míope. míope.” 5) “Se Pedro está na empresa, Mário e Cíntia estão de folga do trabalho. Solução: p: Pedro está na empresa. q: Mário e Cíntia estão de folga do trabalho. Observação: Mário e Cíntia formam um proposição composta! 6) “Se Bruno não vai à escolinha, Pietra também não vai. Solução: p: Bruno vai à escola. ~p: Bruno não vai à escola. q: Pietra vai à escola. ~q: Pietra não vai à escola. 7) “Ou Paulo irá para Curitiba, ou Pedro irá para Belém, ou Pierre irá para Campo Grande.” Solução: p: Paulo irá paga Curitiba. q: Pedro irá para Belém. r: Pierre irá para Campo Grande. 8) “Se Polércio for para Fortaleza, então Pierre irá para Campo Grande Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ o sujeito composto vai.” u á e 26 trabalho.” e não uma Grande.”
  27. 27. Solução: p: Polércio vai para Fortaleza. 27 Observação: não se preocupe com o tempo verbal. A Lógica Formal se preocupa apenas com a estrutura lógica lógica, e não com sintaxe ou semântica! q: Pierre irá para Campo Grande. 9) “Se as vendas diminuem, então a empresa vai à falência. Solução: p: As vendas diminuem. q: A empresa vai à falência. falência.” 10) “Se o custo de produção sobe, então os preços sobem. Solução: p: O custo de produção sobe. q: Os preços sobem. sobem.” 11) “Se os preços sobem, então as vendas diminuem. Solução: p: Os preços sobem. q: As vendas diminuem. 12) “Alberto não vai ao shopping Solução: shopping. p: Alberto vai ao shopping ~p: Alberto não vai ao shopping q: Beatriz vai à praia. shopping. Acompanhe a série de dicas diminuem.” ou Beatriz vai à praia.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  28. 28. 28 13) “Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade. Solução: atividade.” p: Beatriz e Carlos irão o acampar. (reveja a observação feita na questão 5) q: Existem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade. (reveja a observação feita na questão 8) 14) “Não é verdade que todas as Solução: mulheres não são estudiosas.” p: Todas as mulheres são estudiosas. ~p: Todas as mulheres não são estudiosas. Observação: Esta proposição é suas formas de negação mais adiante. categórica. . Veremos a forma correta de tratar de 15) “Residir em apartamentos é ruim ou residir em casa é bom. Solução: p: Residir em apartamentos é ruim. q: Residir em casa é bom. 16) “Se eu frear, o carro para e para.” Solução: p: Eu freio. q: O carro para. 17)“Se Milton é professor Solução: professor, então Paulo é motorista.” p: Milton é professor. Acompanhe a série de dicas bom.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  29. 29. q: Paulo é motorista. 29 18) “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um ponto percentual.” Solução: p: A inflação sobe dois pontos percentuais. q: O salário será reajustado em um ponto percentual. 19) “Se eu corro, eu me condi Solução: condiciono fisicamente.” p: Eu corro. q: Eu me condiciono fisicamente. 20) “Se chover, então Roger não sairá de casa Solução: p: Chove. q: Roger sairá de casa. ~q: Roger não sairá de casa. Acompanhe a série de dicas casa.” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  30. 30. 2.4 Exercícios Propostos (2) Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: L: proposição lógica; A1: proposição aberta de primeira ordem; A2: proposição aberta de segunda ordem; UA: proposição categórica universal afirmativa; UN: proposição categórica universal negativ PA: proposição categórica particular afirmativa; PN: proposição categórica particular negativa. Exemplo: negativa; 1) “Todos os brasileiros são vegetarianos. Classificação: UA vegetarianos.” 2) “Existem índios que são brasileiros. Classificação: PA 3) “x + 5 = 12” Classificação: A1 brasileiros.” 4) “Carlos é funcionário público.” Classificação: A2 5) “Alguns alunos não estão presentes na aula hoje.” Classificação: PN 6) “Nenhum aluno foi reprovado.” Classificação: UN 7) “Dois mais dois é igual a três.” Classificação: L 8) “2 + 2 = 3” Classificação: L 9) “2 é um número ímpar.” Acompanhe a série de dicas 30 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  31. 31. 10) “Paulo foi Ministro da Educação.” 11) “João é médico.” 12) “Chove.” 13) “Todos os vegetarianos são magros. magros.” 14) “Existem índios que são brasileiros. brasileiros.” 15) “Existem índios que são magros. xistem magros.” 16) “Nenhum aluno que cola sai da escola.” 17) “Paulo é desorganizado. desorganizado.” 18) “Todos que são desorganizados erram. 19) “Célia não é escritora escritora.” 20) “Paulo não é atleta.” erram.” 21) “Todo administrador entende de finanças pessoais. 22) “5 é um número primo.” 23) “Nenhuma bola é vermelha. vermelha.” 24) “Algumas frutas são vermelhas. vermelhas.” 25) “Os cachorros são mamíferos.” Acompanhe a série de dicas pessoais.” 31 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  32. 32. 2.4.1 Gabarito Exercícios Propostos (2) Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: L: proposição lógica; A1: proposição aberta de primeira ordem; A2: proposição aberta de segunda ordem; UA: proposição categórica universal afirmativa; UN: proposição categórica universal negativa; PA: proposição categórica particular afirmativa; PN: proposição categórica particular negativa. Exemplo: a 1) “Todos os brasileiros são vegetarianos. Classificação: UA vegetarianos.” 2) “Existem índios que são brasileiros. Classificação: PA 3) “x + 5 = 12” Classificação: A1 brasileiros.” 4) “Carlos é funcionário público.” Classificação: A2 5) “Alguns alunos não estão presentes Classificação: PN 6) “Nenhum aluno foi reprovado.” Classificação: UN 7) “Dois mais dois é igual a três.” Classificação: L 8) “2 + 2 = 3” Classificação: L 9) “2 é um número ímpar.” Acompanhe a série de dicas na aula hoje.” 32 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  33. 33. Solução: L 10) “Paulo foi Ministro da Educação.” Solução: A2 11) “João é médico.” Solução: A2 12) “Chove.” Solução: A2 13) “Todos os vegetarianos são magros. Solução: UA magros.” 14) “Existem índios que são brasileiros. Solução: PA brasileiros.” 15) “Existem índios que são magros. Solução: PA xistem magros.” 16) “Nenhum aluno que col Solução: UN cola sai da escola.” 17) “Paulo é desorganizado. Solução: A2 desorganizado.” 18) “Todos que são desorganizados erram. Solução: UA Acompanhe a série de dicas erram.” 33 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  34. 34. 19) “Célia não é escritora Solução: A2 escritora.” 20) “Paulo não é atleta.” Solução: A2 21) “Todo administrador entende de finanças Solução: UA 22) “5 é um número primo.” Solução: L 23) “Nenhuma bola é vermelha. Solução: UN vermelha.” 24) “Algumas frutas são vermelhas. Solução: PA vermelhas.” 25) “Os cachorros são mamíferos.” Solução: L Acompanhe a série de dicas pessoais.” 34 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  35. 35. 2.5 Exercícios Propostos (3) 1) ANPAD 2011 – Sejam I. Se o objeto reluz, então é de ouro. II. O objeto é barato ou não é de ouro. III. O objeto é de ouro se, e somente se, for barato. Se os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) de I, II e III são, respectivamente, F, V e F, então o objeto a) reluz e é barato. b) é barato e é de ouro. c) não reluz e é de ouro. d) não é de ouro e não reluz. e) é de ouro e não é barato. Sejam: p: O objeto reluz. q: O objeto é de ouro. r: O objeto é barato. dadas as seguintes proposições compostas: Colocando as proposições I, II e III em linguagem simbólica: I. p → q II. r ˄ ~q III. q ⟷ r Valores lógicos (dados na questão): p → q F I. A proposição condicional é falsa quando a proposição antecedente é verdadeira e a proposição consequente v(p) =V v(q) = F II. A conjunção é verdadeira quando ambas as proposições simples são verdadeiras: v(r) = V v(~q) = V Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ ivamente, r ˄ ~q q V é falsa. Assim: 35 ⟷ r F
  36. 36. 36 III. A bicondição é falsa quando uma das proposições simples é verdadeira e a outra é falsa. Como já sabemos que v(q) A conclusão é: O objeto reluz. (V) O objeto é de ouro. (F) O objeto é barato. (V) Gabarito: Alternativa A = F, conclui-se que v(r) = V. 2) ANPAD 2010 – Sejam dadas as sentenças a seguir: I. 2 – x ≤ 7. II. 1/4 + 3/4 = 1. III. A empresa obteve lucro lucr em 2009. IV. Todo cachorro é mamífero. Qual(is) delas é(são) sentença(s) aberta(s)? a) Somente I. b) Somente III. c) Somente I e III. d) Somente II e III. e) Somente III e IV. 3) ANPAD 2009 – Considere as seguintes sentenças: I. sin(kπ) = 0, para k ∈{0,1,2,3} II. Quem comprou o pastel? III. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4 e 12. Do ponto de vista da lógica, pode-pode se dizer que a) II é uma proposição interrogativa. b) III é uma proposição verdadeira. c) I e II não são proposições. d) I e III são proposições. ções. e) I, II e III são proposições. 4) ANPAD 2010 – Considere as sentenças a seguir: I. Faça a prova ou vá para casa! II. Se a taxa de juros sobe, então o poder de compra diminui. III. Qual a tua idade? Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  37. 37. É CORRETO afirmar que a) apenas II não é uma proposição. propo b) apenas I e III não são proposições. c) apenas I e III são proposições d) I, II e III não são proposições. e) I, II e III são proposições. 5) ANPAD 2006 – Considere as seguintes sentenças: I. Paulo foi Ministro da Educação. II. 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}. III. x + 5 = 12. Do ponto de vista da lógica, pode pode-se dizer que a) I, II e III são proposições. b) I e III são proposições. c) II não é uma proposição. e) I, II e III não são proposições. e) I e III não são proposições e II é uma proposição. 6) ANPAD 2009 – Considere as seguintes sentenças: I. Eu fui para São Paulo ontem. II. Vamos trabalhar! III. O número -2 é um número natural. Do ponto de vista da lógica, sabe-sabe se que a) II é uma proposição interrogativa. b) III é uma proposição o verdadeira. c) I e II não são proposições. d) I e III são proposições. e) I, II e III são proposições. 37 [Nota: Há um erro conceitual na questão acima. A proposição I não é lógica; é aberta de segunda ordem! Entretanto, o comando da questão diz do ponto significa dizer que, exatamente como ocorreu na questão 3, o enunciado pede que se aponte somente as proposições lógicas. lógicas.] Acompanhe a série de dicas de vista da lógica, o que dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  38. 38. Gabarito: 1 – A 2 – C 3 – D 4 – B 5 – E Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou Por gentileza, envie-nos um e máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: it-forward-corrente-do- -bem.html Acompanhe a série de dicas sugestão? 38 6 – D e-mail. Nossa proposta é responder em, no http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay pay- dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  39. 39. 3 Operações Lógicas Operação a) Negação b) Conjunção c) Disjunção Inclusiva d) Disjunção Exclusiva e) Condição 39 “A Oportunidade é uma dama altiva, pois não perde tempo com f) Bicondição ou Dupla portunidade despreparados.” Símbolo Linguagem Corrente ~ ... não ... Não é verdade que É falso que ... ão ... ∧ ... e ... ∨ ... ou ... ∨ Ou... ou... ⟶ Se..., então... Quando... Quem... ...que... ...somente se... condição ⟷ ...se e somente se... Observação: compare o quadro acima com o do item 1. é operação lógica, mas não é conectivo lógico os de [Autor desconhecido] 1.2.8 e note que lógico. a negação Reforçando o conceito: um conectivo lógico serve para formar uma proposição composta. Observe que a mera negação de uma proposição simples não a transforma em uma proposição composta, razão pela qual o operador lógico de negação não pode ser considerado um Exemplo: “João é médico.” (proposição simples conectivo lógico. – forma afirmativa) “João não é médico.” (proposição simples Acompanhe a série de dicas – forma negativa) dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  40. 40. 3.1 Tabela-Verdade: 3.1.1 Etapas para o preenchimento de uma Tabela 3.1.1.1 Identificando e contando Exemplo: Tabela-Verdade as proposições simples 40 Na proposição composta “Não é verdade que, se João vai ao cinema, então ele estuda para a prova.”, tem tem-se duas proposições simples: p: “João vai ao cinema.” q: “João estuda para a prova.” 2 n é a quantidade de proposições simples. 3.1.1.2 Número de linhas da Ta Fórmula: Onde: Tabela-Verdade k é o número de linhas da tabela 2 tabela-verdade, e n é o número ou quantidade de proposições simples. No exemplo acima, tem-se que 2, então 2 4 linhas 3.1.1.3 Desenha-se uma coluna para cada proposição simples Acompanhe a série de dicas p q ... ... ... ... ... dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  41. 41. 3.1.1.4 Distribuição dos valores lógicos na Tabela istribuição Tabela-Verdade a) na coluna mais à esquerda, preenche valores lógicos V, e a metade inferior com valores b) na coluna seguinte, preenche preenche-se a metade superior das linhas com preenche-se, alternadamente, com valores lógicos V e F. p q V V V F F V F F [Nota: observe que, em uma tabela lógicos se dá do seguinte modo: na primeira coluna, em um] lógicos F; , tabela-verdade de quatro linhas, o preenchimento dos valores de dois em dois; na segunda coluna, de um A tabela-verdade acima ainda não está completa! O que se fez até agora foi apenas a distribuição de todos os possíveis valores lógicos para as proposições simples encontradas no exemplo dado. O preenchimento completo da tabela verdade só será possível após o estudo do Capítulo 2 Outro exemplo: n = 3 2 8 linhas Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ s – Operações Lógicas. ~ → ~! → ∧ ! p q r ... V V V ... V V F ... V F V ... V F F ... F V V ... F V F ... F F V ... F F F ... 41 tabela-
  42. 42. [Nota: observe que, em uma tabela se dá do seguinte modo: na primeira coluna, em dois; na terceira coluna, de 42 , tabela-verdade de oito linhas, o preenchimento dos valores lógicos um em um] 3.1.1.5 Esquematicamente, tem Primeira coluna: k/2 Segunda coluna: k/4 Terceira coluna: k/8 Quarta coluna: k/16 ... Acompanhe a série de dicas de quatro em quatro; na segunda coluna, de dois tem-se: dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  43. 43. 3.2 Operações Lógicas Sobre Proposições 3.2.1 Negação A negação é uma operação lógica que tem por finalidade uma proposição. 43 mudar o valor lógico de por valor lógico as proposições abertas de primeira ordem ordem, conjunto-de [Nota: Excluem-se de apreciação que não possuem valor-verdade (em alguns casos, essas proposições possuem conjunto verdade). É necessário ressaltar que a tipo de proposição (inclusive as abertas de primeira ordem). Lembre é uma oração declarativa que pode ser apresentada tanto na forma afirmativa como na forma negativa.] 3.2.1.1 Símbolo: ~ operação de negação pode ser estabelecida para qualquer [Nota: Organizadoras de Concursos Públicos, como a CESPE s CESPE-UnB costumam usar 3.2.1.2 Significado: “...não...”, “Não é verdade que Exemplo: ão que,,,”, “É falso que...”, “Não é o caso que p: “João é médico.” 3.2.1.3 Negação em linguagem simbólica: ~p 3.2.1.4 Negação em linguagem corrente: a) “João não é médico.” b) “Não é verdade que João é médico.” c) “É falso que João é médico.” Acompanhe a série de dicas Lembre-se de que uma proposição o símbolo ¬] ão que...” dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  44. 44. Obs.: As expressões “não é verdade que” ou “é falso que” colocadas na frente de uma proposição estabelecem sua negação. É nece necessário ter cuidado quando uma proposição composta for prece precedida por uma dessas expressões. Os casos de negação de proposições compostas (e suas equivalências, que são obtidas por meio de álgebra proposicional de Álgebra das Proposições. 3.2.1.5 Tabela-Verdade: proposicional) serão vistos mais adiante [Nota: Negação de proposições compostas será vista mais adiante. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ gebra P ~p V F F V adiante.] 44 ssário ) adiante, no capítulo
  45. 45. 3.2.2 Conjunção 3.2.2.1 Símbolo: ∧ 3.2.2.2 Significado: “...e...”, “...mas...” Exemplo: P: “João é médico e Paulo é engenheiro.” Note que: p: “João é médico.” e q: “Paulo é engenheiro.” são proposições simples. 3.2.2.3 Linguagem simbólica: p 3.2.2.4 Tabela-Verdade: 1 2 3 4 Acompanhe a série de dicas ∧ q p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F 45 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  46. 46. 3.2.2.5 Diagramas Lógicos: Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. W representa o conjunto Universo. 46 A operação p ∧ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação de interseção entre conjuntos (P ∩ Q. A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∧ q. 3.2.2.6 Preenchimento da Tabela Tabela-Verdade (linha por linha): Tomemos um elemento x Linha 1: x. É verdade que x está no diagrama P; Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  47. 47. É verdade que x está no diagrama Q; 47 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2: É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3: É falso que x está no diagrama P; Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  48. 48. É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4: É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A conjunção (p ∧ q) é verdadeira quando verdadeiras. Acompanhe a série de dicas 48 AMBAS as proposições simples são dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  49. 49. 3.2.3 Disjunção Inclusiva 3.2.3.1 Símbolo: ∨ 3.2.3.2 Significado: “...ou...” Exemplo: P: “Maria vai ao cinema ou Note que: p: “Maria vai ao cinema.” e q: “Joana estuda.” são proposições simples. Joana estuda.” 3.2.3.3 Linguagem simbólica: p 3.2.3.4 Tabela-Verdade: 1 2 3 4 Acompanhe a série de dicas ∨ q p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F 49 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  50. 50. 3.2.3.5 Diagramas Lógicos: Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. W representa o conjunto Universo. 50 A operação p ∨ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação de união entre conjuntos (P ∪ Q A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∨ q. 3.2.3.6 Preenchimento da Tabela Tabela-Verdade (linha por linha): Tomemos um elemento x Linha 1: x. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  51. 51. É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; 51 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2: É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3: Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  52. 52. É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; 52 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4: É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  53. 53. Em resumo: A disjunção inclusiva (p proposições simples é verdadeira. Acompanhe a série de dicas ∨ q) é verdadeira quando PELO MENOS UMA 53 das dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  54. 54. 3.2.4 Disjunção Exclusiva 3.2.4.1 Símbolo: ∨ 3.2.4.2 Significado: “Ou... ou...” Exemplo: P: “Ou Maria viaja ou Carlos joga futebol Note que: p: “Maria viaja.” e q: “Carlos joga futebol.” são proposições simples. 3.2.4.3 Linguagem simbólica: p 3.2.4.4 Tabela-Verdade: 1 2 3 4 Acompanhe a série de dicas futebol.” ∨ q p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F 54 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  55. 55. 3.2.4.5 Diagramas Lógicos: Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. W representa o conjunto Universo. A operação p ∨ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação P ∪ Q – P ∩ Q. A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∨ q. Acompanhe a série de dicas 55 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  56. 56. 3.2.4.6 Preenchimento da Tabela Tabela-Verdade (linha por linha): Tomemos um elemento x Linha 1: x. É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2: É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas 56 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  57. 57. 57 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3: É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4: É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  58. 58. É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A disjunção exclusiva proposições simples é verdadeira. (p ∨ q) é verdadeira quando APENAS UMA Acompanhe a série de dicas 58 das dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  59. 59. 3.2.5 Condição 3.2.5.1 Símbolo: → 3.2.5.2 Significado: “Se..., então...”, “Quando...”, “Quem...”, Exemplo: P: “Se João estuda, então Note que: p: “João estuda.” e q: “Pedro vai ao cinema.” .” são proposições simples. “...que...”, “...somente se...” Pedro vai ao cinema.” [Nota: Uma proposição condicional também pode ser dita modo:“Pedro vai ao cinema, se João estuda.”] Outros exemplos: a) “Quando chove, não tem aula ao ar livre.” b) “Quem tem dinheiro, não compra fiado.” – ver exemplo acima c) “Pessoas que têm dinheiro, não compram fiado.” d) “Carlos vai à festa somente se 3.2.5.3 Linguagem simbólica: p Acompanhe a série de dicas Júlia for à festa.” → q 59 – do seguinte dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  60. 60. 3.2.5.4 Tabela-Verdade: 1 2 3 4 3.2.5.5 Diagramas Lógicos: Onde: p q p ⟶ q V V V V F F F V V F F V Os conjuntos P e Q representam as W representa o conjunto Universo. proposições p e q. A operação p ⟶ q é representada, em diagramas lógicos, por uma causa e efeito: P ⊂ Q. 60 relação de Note que, na figura acima, não há “região sombreada”. Esta é uma das características da condição: condição apesar de ser considerada uma operação lógica verdade não passa de uma Acompanhe a série de dicas lógica, na relação de causa e efeito entre duas condições. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  61. 61. Observe o esquema a seguir: P ⟶ q ⇓ ⇓ antecedente consequente acarretante acarretado causa efeito ⇓ ⇓ Condição Suficiente Condição Necessária Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” 61 Condição suficiente (causa): “chegam visitas.” Significa dizer que o fato de chegarem visitas é uma condição suficiente para o cachorro latir. Condição necessária (efeito): cachorro latir é condição necessária, desde que a condição precedente tenha sido satisfeita. “o cachorro late.” Significa dizer que o fato de o 3.2.5.6 Preenchimento da Tabela Tabela-Verdade (linha por linha): Tomemos um elemento x Linha 1: x. É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  62. 62. A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. Linha 2: É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; A condição não está satisfeita, e, portanto é falsa. Não é possível que diagrama P e não esteja no diagrama Q, uma vez que Linha 3: É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas P ⊂ Q. 62 x esteja no dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  63. 63. A condição está satisfeita, Linha 4: e, portanto, é verdadeira. É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. Em resumo: A condição (p ⟶ q) é verdadeira quando entre as proposições simples. VF, nesta ordem, NÃO OCORRER VF 63 Observação: A operação de condição (p ⟶ q) é, na verdade, um argumento contém uma premissa (p) seguida de sua conclusão (q). Um argumento só é válido quando sua conclusão não entra em contradição com suas premissas. Esta é a razão pela qual não se pode dizer que não estar no diagrama Q (ver figura da Linha 2 acima). argumento, que ão x pode estar presente no Veremos argumentos em detalhes mais adiante. 3.2.5.7 Algumas equivalências lógicas notáveis: diagrama P e [Nota: Equivalências lógicas serão abordadas leitor ter presente que uma equivalência lógica é uma igualdade lógica, isto é, relaciona duas proposições que terão valores lógicos sempre iguais. Acompanhe a série de dicas mais adiante, em capítulo próprio. Por ora, basta o iguais.] dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  64. 64. I. p ⟶ q ⇔ ~p ∧ ~q) II. p ⟶ q ⇔ ~p ∨ q [Nota: as equivalências vistas acima são também chamadas de Tabela-Verdade: I II III p q ~p 1 V V F 2 V F F 3 F V V 4 F F V notáveis.] equivalências notáveis IV V VI VII ~q p ⟶ q p ∧ ~q ~p ∧ ~q) F V F V V F V F F V F V V V F V 64 VIII ~p ∨ q V F V V [Nota: observe, atentamente, as colunas V, VII e VIII na Tabela acima. São todas exatamente iguais! Em outras palavras, as colunas V, VII e VIII são equivalentes entre si.] Desafio: O leitor saberia dizer o que ocorre entre as colunas Dica: Reveja o conceito de : V e VI? : negação. 3.2.5.8 Recíproca: Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) p ⟶ q (linguagem simbólica) A recíproca da proposição acima é: “Se o cachorro late, chegam visitas.” (linguagem corrente) q ⟶ p (linguagem simbólica) Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  65. 65. Tabela-Verdade: 1 2 3 4 I II III IV p q p ⟶ q q ⟶ p V V V V V F F V F V V F F F V V 65 [Nota: observe que as colunas III e IV na Tabela acima não apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que sempre é verdadeira. Conclui-se que uma proposição condicional 3.2.5.9 Contrária ou Inversa: Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” ( p ⟶ q (linguagem simbólica) a recíproca de uma proposição condicional nem recíproca.] não é equivalente à sua recíproca linguagem corrente) A contrária ou inversa da proposição acima é: “Se não chegam visitas, o cachorro não late.” (linguagem corrente) ~p ⟶ ~q (linguagem simbólica) Tabela-Verdade: I p 1 V 2 V 3 F 4 F II III IV V VI q ~p ~q p ⟶ q ~p ⟶ ~q V F F V V F F V F V V V F V F F V V V V [Nota: observe que as colunas V e VI na Tabela acima não apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que nem sempre é verdadeira. Conclui-se que uma proposição condicional Acompanhe a série de dicas a contrária ou inversa de uma proposição condicional inversa.] não é equivalente à sua contrária ou inversa dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  66. 66. 3.2.5.10 Contrapositiva: Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) p ⟶ q (linguagem simbólica) A contrapositiva da proposição acima é: “Se o cachorro não late, não chegam visitas.” (linguagem corrente) ~q ⟶ ~p (linguagem simbólica) Tabela-Verdade: I p 1 V 2 V 3 F 4 F II III IV V VI q ~p ~q p ⟶ q ~q ⟶ ~p V F F V V F F V F F V V F V V F V V V V 66 [Nota: observe que as colunas V e VI na Tabela acima apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que uma proposição condicional é equivalente à sua contrapositiva.] Contrarrecíproco: Tem-se aqui o Teorema Contrarrecíproco p ⟶ q ⇔ ~q ⟶ ~p Agora revise cuidadosamente os conceitos vistos até aqui. Você precisará memorizar as três importantíssimas são: I. p ⟶ q ⇔ ~(p ∧ ~q) II. p ⟶ q ⇔ ~p ∨ q Acompanhe a série de dicas equivalências notáveis vistas até agora, que dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  67. 67. III. p ⟶ q ⇔ ~q ⟶ ~p Coloque-as em um cartaz e Exercícios Propostos visualize-as diariamente! 67 1) O seguinte enunciado é verdadeiro: “Se uma mulher está grávida, a substância gonadotrofina coriônica está presente em sua urina.” Duas amigas, Fátima e Mariana fizeram esse exame. O de Fátima acusou a presença da substância, e o de Mariana, não. Considerando o enunciado, o resultado dos exames e os conceitos da lógica formal, responda: a) Fátima está grávida? Justifique. b) Mariana está grávida? Justifique. 2) Em uma empresa de exportações, o cargo de ocupado por uma pessoa pós empresa, Alex ocupa atualmente o cargo de Diretor Executivo. Fátima já ocupou esse cargo e Bruno nunca foi Diretor Executivo. Com base nessas premissas, o que se pode afirmar sobre a formação acadêmica de Alex, Bruno e Fátima? Justifique. Acompanhe a série de dicas Diretor Executivo só pode ser pós-graduada em Administração de Empresas. Nessa dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  68. 68. Gabarito Exercício 1 Solução: 1º passo - A primeira coisa que se deve fazer é buscar, na proposição dada, as proposições simples e colocá colocá-las em linguagem simbólica: p: “A mulher está grávida.” q: “A substância está presente em sua urina.” 2º passo – Escrever a proposição dada em linguagem simbólica: p → q 3º passo – Vamos colocar a proposição dada em um quadro e lançar nele a informação dada (resultados dos exames da Fátima e da Mariana) Como a proposição dada é verdadeira (conforme o enunciado da questão), podemos concluir que a Mariana com certeza não está grávida, e nada se pode afirmar sobre Fátima estar ou não grávida. Exercício 2 Solução: Aqui precisamos definir primeiro qual é a proposição antecedente e qual é a proposição consequente. Observe que, para a empresa, a condição necessária (proposição consequente) é que o funcionário tenha pós cargo” é a condição sufic p: “O funcionário está/esteve no cargo.” Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ o pós-graduação. Então, “ter o suficiente (proposição antecedente): 68
  69. 69. q: “O funcionário tem Pós Pós-Graduação.” Proposição dada em linguagem simbólica: p ⟶ q 69 Com as informações dadas no enunciado, podemos desenvolver o quadro a seguir: Conclui-se que Alex e Fátima são pós Empresas, mas nada se pode afirmar sobre a formação acadêmica de Bruno. pós-graduados em Administração de Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: it-forward-corrente-do- -bem.html Acompanhe a série de dicas e-mail. Nossa proposta é responder em, no http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay pay- dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  70. 70. 3.2.6 Bicondição 3.2.6.1 Símbolo: ⟷ 3.2.6.2 Significado “... se, e somente se...” Exemplo: P: “João vai ao médico se, e somente se Note que: p: “João vai ao médico.” e q: “João está doente.” são proposições simples. 3.2.6.3 Linguagem simbólica: p 3.2.6.4 Tabela-Verdade: 1 2 3 4 Acompanhe a série de dicas está doente.” ⟷ q p q p ⟷ q V V V V F F F V F F F V 70 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  71. 71. 3.2.6.5 Diagramas Lógicos: Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q. W representa o conjunto Universo. A operação p ⟷ q é representada, em diagramas lógicos, W − (p ∨ q). pela operação A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ⟷ q. Acompanhe a série de dicas 71 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  72. 72. 3.2.6.6 Preenchimento da Tabela Tabela-Verdade (linha por linha): Tomemos um elemento x Linha 1: x. É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; 72 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2: É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  73. 73. É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3: É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4: É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas 73 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  74. 74. 74 É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A bicondição (p ⟷ q) entre as proposições simples. é verdadeira quando NÃO OCORRER VF NEM FV 3.2.6.7 Algumas equivalências notáveis: I. p ⟷ q ⇔ p ⟶ q) II. p ⟷ q ⇔ ~(p ∨ q) ) III. ~( p ⟷ q) ⇔ p ∨ q ∧ q ⟶ p) [Nota: observe que a bicondição é a negação natural da disjunção exclusiva, e vice Tabela-Verdade a seguir.] Tabela-Verdade: I p 1 V 2 V 3 F 4 F vice-versa. Veja a II III IV V q p ⟷ q p ∨ q ~(p ⟷ q) ~( V V F F F F V V V F V V F V F F As colunas III e IV na Tabela acima apresentam valores é, nas linhas em que a proposição e nas linhas em que a proposição p ⟷ q é verdadeira, a proposição p ⟷ q é falsa, a proposição p ∨ q Reveja o conceito de negação natural da disjunção exclusiva, e vice VI p ∨ q) V F F V valores-verdade contrários, isto p ∨ q é falsa, é verdadeira. e comprove que a bicondição é uma negação vice-versa. [Nota: Conforme já foi dito, a negação de proposições compostas será vista no capítulo de Álgebra das Proposições. Veremos Veremo também, , em Álgebra das Proposições, outra forma de estabelecer a negação da bicondição.] bicondição. Observe o leitor que as equivalências notáveis: Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  75. 75. p ⟷ q ⇔ ~(p ∨ q) e ~( p ⟷ q) ⇔ p ∨ q estão representadas na Tabela essas equivalências notáveis aparecem. Tabela-Verdade acima. Tente associar as colunas em Fica como exercício para o leitor a representação em Tabela equivalência: p ⟷ q ⇔ p ⟶ q) ∧ q ⟶ Tabela-Verdade da seguinte p) [Nota: O leitor já deve ter observado que, para operação lógica, é necessário saber em que situação cada um dos operadores lógicos resulta verdadeiro ou falso. Desse modo, convém associar na memória o quadro a seguir.] 3.3 Quadro-Resumo Proposição: p ∧ q É verdadeira quando: TODAS as proposições simples são verdadeiras Acompanhe a série de dicas se desenvolver a Tabela-ração dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ . p ∨ q p ∨ q p ⟶ q PELO MENOS UMA das proposições simples é verdadeira APENAS UMA das proposições simples é verdadeira NÃO OCORRER VF nesta ordem, entre as proposições simples 75 que -Verdade de uma ração p ⟷ q VF, NÃO OCORRER VF, NEM FV, entre as proposições simples
  76. 76. 3.4 Exercícios Propostos 76 1) ANPAD 2010 – Dadas as proposições: I. 6 3 e 2 + 7 = 8. II. 2 5 ou 4 – 1 = 3. III. Se 8 3, então 3 4. IV. Se 3 4, então 8 3. Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições acima são, respectivamente, a) F V F V b) F V F F c) F F V V d) V V F F e) V V V V 2) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições compostas em que P e Q são proposições verdadeiras e R é uma proposição falsa: I. P → (Q ∧ ~R) II. R → (Q ∧ P) III. (~P ∧ Q) → ~R IV. R ↔ Q V. P ∨ (R ∨ Q) A sequência CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições compostas acima é a) V V V F V b) V F F V F c) V V V V V d) F V F F V e) F V V F F 3) ANPAD 2011 – Se, sob o ponto de vista dos valores lógicos, as proposições compostas PÚ(QÙR), Q (V), falsa (F) e verdadeira (V), então as prop respectivamente, a) V, F e F. b) V, F e V. c) V, V e F. d) V, V e V. e) F, F e F. Acompanhe a série de dicas Ú (P ÙR) e RÚ (PÚQ) são, respectivamente, verdadeira proposições osições P, Q e R são, dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  77. 77. 4) ANPAD 2009 – Dada cinema”, identifique, dentre as alternativas a seguir, aquela que a torna a) “Eu saí de casa” é falso. b) “Eu saí de casa” é verdade. c) “Eu vou ao cinema”.é falso. d) “Eu saí de casa” é falso, e “Eu vou ao cinema” é falso. e) “Eu saí de casa é verdade”, e “Eu vou ao cinema” é falso. 77 a proposição composta “Se eu sair de casa, eu vou ao falsa. 5) ANPAD 2009 – Sejam as proposições compostas: I. Se Maria foi à festa, então ela sabe dançar se, e somente se, se Pedro foi à festa, então ele sabe dançar. II. Se Maria foi à festa, então Pedro sabe dançar. III. se Pedro foi à festa, então Maria sabe dançar. Sabendo que as proposições “Mari Maria a foi à festa”, “Pedro foi à festa”, “Maria sabe dançar” e “Pedro não sabe dançar” são verdadeiras, pode-pode se concluir que os valores-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II e III são, respectivamente, a) V, V e V b) V, F e V c) F, F e F d) F, V e V e) F, F e V 6) ANPAD 2009 – Duas cartas são retiradas de um baralho e colocadas com a face para baixo sobre uma mesa. Alguém, que viu as duas cartas, diz para você que somente uma das proposições abaixo é verdadeira: I. Há um Rei ou um Ás, ou o estão ambos na mesa. II. Há uma Dama ou um Ás, ou estão ambos na mesa. Então, pode-se afirmar que a) a carta que está na mesa não pode ser o Ás. b) a carta com maior probabilidade de estar na mesa é o Ás. c) a carta com maior probabilidade de estar na me mesa é a Dama. d) a carta com maior probabilidade de estar na mesa é o Rei. e) Rei, Dama e Ás têm a mesma possibilidade de estarem na mesa. 7) ANPAD 2009 – Dado que “se eu frear, o carro para”, posso afirmar que a) eu freei, e o carro não parou. b) eu freio ou o carro não para. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  78. 78. c) eu não freio ou o carro para. d) o carro parou sem eu frear. e) se eu parei o carro, é porque eu freei. 8) ANPAD 2009 – Considere a proposição p: Q ou R, em que Q: Lia é frentista. R: Se Milton é pedreiro, então Nei é jardineiro. Ora, sabe-se que a proposição p é falsa. Logo, a) Lia é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. b) Lia é frentista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. c) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. d) Lia não é frentista; ista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. e) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei é jardineiro. 9) ANPAD 2010 – Sejam dadas as proposições verdadeiras a seguir: I. Tavares é estudioso. II. Aranhas voam. Qual alternativa apresenta uma verdade? verda a) Se aranhas voam, então Tavares não é estudioso. b) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares for estudioso. c) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares não for estudioso. d) Se aranhas voam, então Tavares é estudioso e aranhas não voam. e) Se Tavares é estudioso ou aranhas não voam, então Tavares não é estudioso. 10) ANPAD 2010 – Se quem come manga com leite passa mal; logo, quem a) come manga passa mal. b) não come manga com leite não passa mal. c) não passou mal não comeu manga ou não tomou d) passa mal é só quem toma leite ou come manga. e) toma leite passa mal. 11) ANPAD 2010 – A porta de um escritório é controlada por uma fechadura lógica, cujo esquema é o seguinte: Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ ares leite. 78
  79. 79. 79 Sabe-se que os símbolos e representam, respectivamente, os operadores lógicos “∧” ” e “∨” “ ” (os quais são binários, no sentido de terem duas entradas e uma saída). A configuração padrão para as entradas A, B, C e D consiste em, respectivamente, F, F, V e V e implica que a porta do escritório esc está trancada. Uma combinação lógica das chaves A, B, C e D, respectivamente, para abrir a porta corresponde a a) F F F F b) F V F F c) F V V F d) V V F V e) V V V F 12) ANPAD 2010 – Dadas as proposições: I. 6 3 e 2 + 7 = 8. II. 2 5 ou 4 – 1 = 3. III. Se 8 3, então 3 4. IV. Se 3 4, então 8 3. Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições acima são, respectivamente, a) F V F V b) F V F F c) F F V V d) V V F F e) V V V V 13) ANPAD 2010 – A condição para ser estagiário no laboratório LEA é: “Se o candidato se sair bem na entrevista e/ou tiver bom currículo ou falar inglês, então ele será aceito no estágio”. Logo, um acontecimento possível é um candidato a) não ser aceito no estágio, apesar b) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista e de falar inglês. c) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista, de falar inglês e de ter bom currículo. Acompanhe a série de dicas de ir bem na entrevista e de ter bom currículo. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  80. 80. 80 d) só ser aceito no estág currículo. e) ser aceito no estágio, apesar de não ir bem na entrevista, não ter bom currículo e não falar inglês. estágio io se for bem na entrevista, falar inglês e tiver bom 14) ANPAD 2010 – Dadas as proposições compostas: I. Se 7 + 3 = 9, então 7 + 7 = 15. II. Se 5 + 5 = 9, então 6 + 6 = 12. III. Se 6 + 6 = 12, então 5 + 5 = 11. IV. Ou 6 + 6 = 12 e 5 + 5 = 11, ou 7 + 2 = 6. Os valores-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II, III e IV são, respectivamente, a) V, V, F, F b) V, F, F, F c) V, V, F, V d) F, V, F, V e) F, F, V, V 15) ANPAD 2011 – Considerando que a proposição “o muro é alto” é verdadeira e que a proposição “ele pulou o muro” é falsa, NÃO é verdade que: a) Ou ele pulou o muro, ou o muro é alto. b) Se o muro é alto, então ele pul pulou o muro. c) Se o muro não é alto, então ele pulou o muro. d) Se ele pulou o muro, então o muro não é alto. e) Ou o muro não é alto, ou ele não pulou o muro. 16) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se uma flor tem perfume, então 2 1. II. Se 2 1, então a vida é curta. III. O baralho está viciado ou eu estou lendo esta questão. IV. Se x y, então x2 y Os valores lógicos (V, se verdadeira; F, se falsa) das proposições acima são, respectivamente, a) F F V V b) F V F F c) V V F F d) V F V F e) V V V F Acompanhe a série de dicas y2, para todo número inteiro. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  81. 81. 81 17) ANPAD 2011 – Sejam dadas as sentenças a seguir: I. x + 5 = 0 → x2 = 25 II. x2 = 25 → x + 5 = 0 III. x + 5 = 0 ↔ x2 = 25 Os valores lógicos (V, se verdadeira; F, se falsa) das proposições acima são, respectivamente, a) V F F b) V V F c) V F V d) V V V e) F F F 18) ANPAD 2011 – Na empresa multinacional AZW, o diretor precisa falar, além do português, os idiomas inglês e alemão. Alberto foi diretor antes de Pedro nessa empresa, e José ainda não foi diretor, pois assumiu o cargo de gestor de investimentos. Sobre Alberto, Pedro e José é CORRETO afirmar: a) Ou José fala alemão, ou José fala inglês. b) José não fala inglês e Alberto fala inglês. c) Se Alberto fala inglês, lês, então José fala alemão. d) Se José fala português, ortuguês, então Pedro fala inglês. e) Se Pedro e Alberto falam português, então José fala inglês. 19) ANPAD 2011 – Ao ler a notícia “Dado que o reator da usina aqueceu, então ocorreu vazamento ou a contaminação se propagou.”, certo cidadão ficou em dúvida, pois tanto a veracidade das notícias sobre o vazamento como a veracidade das notícias sobre a propagação da conta seja, as notícias podiam ter valores verdade distintos dependendo de onde eram anunciadas. Assim, a notícia ora apresentada pode ser considerada falsa se for a) falso que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e a contaminação se propagou. b) verdade que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e falso que a contaminação se propagou. c) verdade que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e verdade que a contaminação se pr d) verdade que o reator da usina aqueceu, verdade que o vazamento ocorreu e falso que a contaminação se propagou. e) verdade que o reator da usina aqueceu, verdade que o vazamento ocorreu e verdade que a contaminação se propagou. Acompanhe a série de dicas contaminação eram diversas, ou propagou. minação falso que dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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