3 anpad rl_rq_2005_a_2007_resolvidos

3.783 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.783
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
173
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

3 anpad rl_rq_2005_a_2007_resolvidos

  1. 1. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com1 1) Em uma determinada maternidade estavam num mesmo quarto cinco mães: Marta, Juliana, Vanessa, Giovana e Rosa, e suas filhas: Betina, Clara, Renata, Judite e Lúcia, não necessariamente nessa ordem. Os enfermeiros do hospital afirmaram o seguinte: I. Se Betina é filha de Marta, então Clara não é filha de Juliana. II. Clara é filha de Juliana, ou Renata é filha de Vanessa. III. Se Judite não é filha de Giovana, então Betina é filha de Marta. IV. Nem Renata é filha de Vanessa nem Lúcia é filha de Rosa. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Renata é filha de Vanessa, ou Betina é filha de Marta. b) se Clara é filha de Juliana, Betina é filha de Marta. c) Judite é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. e) Judite é filha de Giovana, e Betina é filha de Marta. Solução: Sejam as proposições simples: :b Betina é filha de Marta; :c Clara é filha de Juliana; :j Judite é filha de Giovana; :r Renata é filha de Vanessa; :l Lúcia é filha de Rosa. Colocando-se o argumento1 lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P cb ~→ V :2P rc ∨ V :3P bj →~ V :4P lr ~~ ∧ V :C ? V Da premissa 4 vem: Renata não é filha de Vanessa e Lúcia não é filha de Rosa. Desse modo, segue-se que, na premissa 2, que Clara é filha de Juliana. Passando-se para a premissa 1: Betina não é filha de Marta. Finalizando, na premissa 3: Judite é filha de Giovana. Resposta: letra c. 2) Quatro colegas – Juca, Josi, Rosângela e Valter – brincavam em casa quando um deles esbarrou num vaso de flores, que caiu e se quebrou. Quando Maria, a dona da casa, chegou, perguntou o que havia acontecido, e cada um contou sua história. O mordomo, que acompanhou o episódio, falou que: “Se Rosângela disse a verdade, então Josi e Valter mentiram. Por outro lado, se Valter mentiu, Juca falou a verdade. Mas se Juca falou a verdade, então foi o Bidu que derrubou o vaso”. Dona Maria tinha certeza de que o cachorro Bidu estava trancado no porão no momento do acidente, logo a) Valter mentiu, ou Juca disse a verdade. b) Rosângela e Josi disseram a verdade. c) Valter e Juca mentiram. d) Valter e Josi mentiram. e) Rosângela e Juca mentiram. Solução: Sejam as proposições simples: 1 Para entender lógica de argumentação, o candidato deverá buscar auxílio de um bom livro de Raciocínio Lógico ou de um curso preparatório. Não aconselhamos tentar entender conceitos fundamentais da lógica (principalmente em se tratando de lógica de argumentação) por meio de exercícios resolvidos. As técnicas utilizadas por nós para poupar o tempo do candidato na prova não estão nos livros e são transmitidas unicamente em sala de aula; não havendo tempo nem espaço para serem inseridas aqui. Nossa técnica permite que se resolva qualquer argumento lógico, sem o uso de tabelas-verdade, e em apenas 30 segundos. O Autor.
  2. 2. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com2 :Ro Rosângela disse a verdade; :Jo Josi disse a verdade; :Va Valter disse a verdade; :Ju Juca disse a verdade :Bi Bidu quebrou o vaso. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P ( )VaJoRo ~~ ∧→ V :2P JuVa →~ V :3P BiJu → V :4P Bi~ V :C ? V Com o valor lógico da premissa 4, sabe-se que, na premissa 3, que Bidu não derrubou o vaso, então Juca está mentindo. Da premissa 2, tem-se que Valter fala a verdade. Na premissa 1, tem-se que Rosângela mente. Resposta: letra e. 3) Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. Embora o que se sabe é que as exportações aumentaram, o que podemos concluir é que a) a taxa de juros aumentou. b) a taxa de juros diminuiu. c) as exportações aumentaram. d) as exportações diminuíram. e) as exportações aumentaram, e a taxa de juros também. Solução: Sejam as proposições simples: :j o governo aumenta a taxa de juros; :e exportações aumentam. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P ej → V :2P e V :C ? V O argumento acima é um silogismo e uma das premissas é uma proposição lógica condicional. Nestas condições, pode ser verificado pelas técnicas de modus ponens ou modus tollens. (1) Pela técnica do modus ponens, o argumento seria válido se sua estrutura lógica fosse: Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. O governo aumenta a taxa de juros, logo (conclusão) as exportações aumentam. (2) Pela técnica do modus tollens, o argumento seria válido se sua estrutura lógica fosse a seguinte: Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. As exportações não aumentaram, portanto (conclusão), o governo não aumentou a taxa de juros. Como se vê, o argumento dado na questão não segue nenhuma das regras acima, restando, como conclusão que as exportações aumentaram. Resposta: letra c. 4) Seja a seqüência de pares de números inteiros: (3, 4), (2, 5), (4, 3), (1, 6). Pode-se concluir que o próximo par de números inteiros será a) (6, 1) b) (5, 2) c) (3, 3) d) (2, 5) e) (1, 6) Solução: Observe o esquema a seguir, formado por todos os pares de valores possíveis obtidos com o lançamento de dois dados:
  3. 3. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com3 Siga as flechas na figura acima para encontrar o próximo par de valores da seqüência dada. Resposta: letra b. 5) Nas frases I, II e III, por meio de uma codificação há a informação “governo de um”. I. É o conjunto de instituições que atendem e apóiam a educação superior e são mantidas pelo governo federal. II. Será encaminhado também um manual com informações e orientações para o trabalho com dicionários em sala de aula. III. Cada qual contribui de uma forma diferente para o processo de letramento e de alfabetização de um aluno. Analise as frases IV, V e VI, observando o mesmo critério de codificação. IV. É o conjunto formado pelas instituições federais de educação superior e pelas instituições privadas. V. As escolas públicas de ensino fundamental estão recebendo dois acervos diferentes de dicionários de língua portuguesa, que são excelentes. VI. A União regula o funcionamento das instituições privadas garantindo desta forma a qualidade da educação evitando falhas adversas. Logo, pode-se afirmar que nas frases IV, V e VI há a informação a) “conjunto escolas adversas”. b) “formado diferentes instituições”. c) “instituições públicas privadas”. d) “instituições são falhas”. e) “pelas escolas privadas”. Solução: Nas frases I, II e III, a codificação é feita tomando-se a penúltima palavra de cada frase, para formar a expressão “governo de um”. Seguindo-se a mesma codificação para as frases IV, V e VI, isto é, tomando-se a penúltima palavra de cada frase, forma-se a expressão “instituições são falhas”. Resposta: letra d. 6) Se os valores lógicos das proposições compostas ( ) RQP ∧→ e ( ) PQR →∨ são verdadeiros, então os valores lógicos (V se verdadeiro; F se falso) das proposições P , Q e R são, respectivamente, a) F F F b) V F F c) V F V d) V V F e) V V V Solução: A proposição lógica:( ) RQP ∧→ é uma conjunção. Para que esta proposição tenha valor lógico verdadeiro, sabe-se que a proposição R deve ser verdadeira, assim como a proposição condicional ( )QP → . Como ainda não se pode determinar os valores lógicos das proposições P e Q , analisa- se a segunda proposição dada: ( ) PQR →∨ . Sabe-se que R é verdadeira, então a antecedente da condicional é verdadeira, portanto a proposição conseqüente também deverá ser verdadeira, isto é, P é verdadeira. Com o valor lógico da proposição P definido, conclui-se (pela primeira proposição dada) que a proposição Q também é verdadeira.
  4. 4. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com4 Resposta: letra e. 7) Sejam as proposições: I. Se Carlos trair a esposa, Larissa ficará magoada. II. Se Larissa ficar magoada, Pedro não irá ao jogo. III. Se Pedro não for ao jogo, o ingresso não será vendido. IV. Ora, o ingresso foi vendido. Portanto, pode-se afirmar que a) Carlos traiu a esposa, e Pedro não foi ao jogo. b) Carlos traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. c) Carlos não traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. d) Pedro foi ao jogo, e Larissa ficou magoada. e) Pedro não foi ao jogo, e Larissa não ficou magoada. Solução: Sejam as proposições simples: :c Carlos traiu a esposa; :l Larissa ficou magoada; :p Pedro foi ao jogo; :v o ingresso foi vendido. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P lc → V :2P pl ~→ V :3P vp ~~ → V :4P v V :C ? V Na premissa 3 (pelo resultado da premissa 4), sabe-se que Pedro foi ao jogo. Na premissa 2, tem- se que Larissa não ficou magoada. Da premissa 1 tem-se que Carlos não traiu a esposa. Resposta: letra c. 8) Considere o tabuleiro de xadrez ao lado onde cada posição é identificada por um par ordenado ( )ba, , sendo que a primeira coordenada (nesse caso “ a ” corresponde ao número da linha, e a segunda coordenada (nesse caso “b ”) corresponde ao número da coluna. Cada posição assume a cor branca ou preta. Baseado nessas informações e considerando uma posição cujas coordenadas correspondem a ( )yx, , assinale a alternativa CORRETA. 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 a) x é par e y é par se, e somente se, a posição é branca. b) Se a cor da posição é branca, então yx = . c) x é ímpar e y é par se, e somente se, a posição é preta. d) Se a posição é branca, então x é ímpar e y é ímpar. e) x é par e y é ímpar somente se a cor da posição é preta. Solução: Sejam as proposições simples: :x x é par; :y y é par; :i yx = ; :b a posição é branca. Escrevendo-se as proposições das alternativas em linguagem simbólica:
  5. 5. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com5 a) byx ↔∧ é FALSA, visto que há posições brancas nas quais não se tem yx ∧ pares. b) ib → é FALSA, visto que há posições em que yx ≠ cuja posição é branca. c) byx ~~ ↔∧ é FALSA, visto que há posições brancas em que x é ímpar e y é par. d) ( )yxb ~~ ∧→ é FALSA, pois há posições brancas em que x e y são pares. e) byx ~~ ↔∧ é VERDADEIRA, pois em todas as posições em que x é par e y é impar, a cor da posição é preta. Resposta: letra e. 9) Em uma casa existem três cestos com roupas (A, B e C) e três cestos vazios (D, E e F). Sabe-se que I. os cestos A e B têm em comum somente toalhas; II. os cestos A e C têm em comum somente saias; III. os cestos B e C têm em comum somente calças; IV. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A, B e C e colocados no cesto D, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; V. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e C e colocados no cesto E, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; e VI. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e B e colocados no cesto F, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, saias, toalhas, vestidos e xales. Com base nos dados acima, pode-se concluir que o conteúdo do cesto A é formado por a) saias, toalhas, vestidos e xales. b) jaquetas, saias, toalhas e vestidos. c) calças, jaquetas, saias e toalhas. d) blusas, saias, toalhas e xales. e) blusas, meias, saias e toalhas. Solução: Observe o quadro a seguir: Toalhas Saias Calças Blusas Jaquetas Meias Vestidos Xales AB = X AC = X BC = X D = A+B+C = X X X X X X X X E = A+C = X X X X X X X F = A+B = X X X X X X A = X X X X Do enunciado, sabe-se que: (1) o cesto C não tem toalhas; (2) o cesto B não tem saias; e (3) o cesto A não tem calças. A partir daí, as peças em comum nos cestos D, E e F revelam o conteúdo do cesto A (ver quadro). Resposta: letra a. 10) Carlos, José, Pedro e Manoel disputaram uma corrida. Sabe-se que: I. Pedro chegou entre José e Carlos. II Não é o caso que José chegou numa posição de número par. III. Manoel foi o primeiro ou o último; se foi o último, chegou logo após Carlos, e se foi o primeiro, chegou logo à frente de Carlos. Com base nessas informações, pode-se concluir que a ordem de chegada, do primeiro para o último, foi a) Carlos, José, Pedro e Manoel. b) Carlos, Pedro, José e Manoel. c) Manoel, Carlos, Pedro e José. d) Manoel, José, Pedro e Carlos. e) José, Pedro, Carlos e Manoel.
  6. 6. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com6 Solução: Observe que, pela afirmação III, tem-se um dos dois esquemas: __, __, C, M; ou M, C, __, __. Ora, pela afirmação II, José não chegou em posição par. Logo, nos dois esquemas acima, deve-se ter: J, __, C, M; ou M, C, J, __. Mas a afirmativa I diz que Pedro chegou entre José e Carlos, então, o único esquema possível é: J, P, C, M Resposta: letra e. 11) Assinale a alternativa que apresenta uma forma de argumento válida. a) Mateus é administrador somente se ele é bem sucedido, ou Mateus está empregado. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado ou é bem sucedido. b) Mateus não é administrador ou não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador ou bem sucedido. c) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. Mateus está empregado. Portanto, Mateus é administrador. d) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado devido ao fato de ser ele vem sucedido. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. e) Se Mateus não é administrador, então Mateus não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador e bem sucedido. Solução: Sejam as proposições simples: :a Mateus é administrador; :b Mateus é bem sucedido; :e Mateus está empregado. Colocando-se os argumentos das alternativas em linguagem simbólica: (a) Validade (b) Validade :1P ( ) eba ∨↔ V :1P ba ~~ ∨ V :C ( )bea ∨→ V :C ( )ba ∨~ V (c) Validade (d) Validade :1P ea → V :1P ( )eab →→ V :2P e V :C ea → V :C a V (e) Validade :1P ba ~~ → V :C ( )ba ∧~ V Na alternativa (a) para que se tenha premissa e conclusão verdadeiras, basta que a proposição “Mateus está empregado” seja verdadeira. Por outro lado, se a proposição “Mateus está empregado” for falsa, para que a premissa seja verdadeira, deve-se ter ambas as proposições “Mateus é administrador” e “Mateus é bem sucedido” falsas ou ambas verdadeiras. Em qualquer dessas situações, ter-se-á conclusão verdadeira. Logo, o argumento é válido. Resposta: letra a. 12) Seja a proposição “A prova está fácil se, e somente se, todos os alunos foram aprovados”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “A prova não está fácil se, e somente se, todos os alunos foram reprovados”. b) “A prova está fácil ou não é verdade que todos os alunos foram aprovados; e a prova não está fácil ou todos os alunos foram aprovados”. c) “A prova não está fácil se, e somente se, nenhum aluno foi aprovado”. d) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e alguns alunos foram reprovados”.
  7. 7. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com7 e) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e todos os alunos foram reprovados”. Solução: Sejam as proposições: :f prova fácil; e :a todos aprovados. (Note que a proposição “todos os alunos foram aprovados” é categórica. Cuidado com a sua negação!) A proposição dada, em linguagem simbólica fica assim: af ↔ , cuja proposição equivalente é: ( ) ( )[ ]faafaf →∧→⇔↔ . Analisando-se as alternativas: (a) INCORRETA! A negação de “todos os alunos foram aprovados” é: “alguns alunos não foram aprovados”. (b) CORRETA! Decorre da equivalência escrita acima: ( ) ( )[ ]faafaf →∧→⇔↔ é o mesmo que escrever: ( ) ( )[ ]faafaf ~~~~ ∧∧∧⇔↔ . Por De Morgan, o termo entre colchetes fica assim: ( ) ( )[ ]faafaf ∨∧∨⇔↔ ~~ , que, em linguagem corrente, pode ser escrito da seguinte maneira: “A prova está fácil ou não é verdade que todos os alunos foram aprovados; e a prova não está fácil ou todos os alunos foram aprovados”. (c) INCORRETO! A negação do quantificador “todo” é “algum... não é...” (d) e (e) INCORRETAS! Estas alternativas utilizam-se da proposição disjuntiva exclusiva (“ou exclusivo”), que somente terá valor lógico verdadeiro quando apenas uma de suas proposições for verdadeira, que coloca esta proposição (disjuntiva exclusiva) em contradição com a proposição bicondicional. Resposta: letra b. 13) Sejam as proposições: I. Para ser aprovado na prova, é suficiente estudar. II. Para ser aprovado na prova, é necessário estudar. A respeito da suficiência e necessidade nessas proposições, pode-se reescrevê-las, respectivamente, da seguinte forma: a) Se estudar, então será aprovado, e estudar garante a aprovação. b) Se estudar, então não será aprovado; e estudar não garante a aprovação. c) Se estudar, então será aprovado; e estudar não garante a aprovação. d) Se estudar, então não será aprovado; e estudar garante a aprovação. e) Se estudar, então será aprovado; e não estudar garante a aprovação. Solução: Numa proposição condicional, sua antecedente é uma condição suficiente para que sua conseqüente ocorra. Já a conseqüente é condição necessária para que sua antecedente ocorra. Sejam, então, as proposições simples: :a ser aprovado na prova; e :e ter estudado. Desse modo, podemos escrever as proposições dadas da seguinte forma: I. ae → (condição suficiente: estudar; condição necessária: ser aprovado) II. ea → (condição suficiente: ser aprovado; condição necessária: estudar) Como as proposições I e II acima são recíprocas (lembre-se de que a recíproca de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira), significa dizer que “Se estudar, será aprovado”, mas o estudo não garante aprovação. Resposta: letra c. 14) Um supermercado comercializa 4 produtos distintos com prazos de validades diferentes. Sabe- se que I. o iogurte tem 1 mês de validade a mais que a manteiga;
  8. 8. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com8 II. o leite tem 2 meses a menos de validade que a compota de pêssego; e III. a compota de pêssego tem 3 meses de validade a mais que o iogurte. A ordem dos produtos, de acordo com a expiração do prazo de validade é a) manteiga, leite, iogurte e comporta de pêssego. b) manteiga, iogurte, leite e comporta de pêssego. c) leite, iogurte, manteiga e comporta de pêssego. d) iogurte, manteiga, comporta de pêssego, e leite. e) compota de pêssego, leite, iogurte e manteiga. Solução: Com os dados da questão, podem ser escritas as seguintes equações: MI += 1 ; 2−= PL ; e IP += 3 , onde I é o prazo de validade do iogurte; M é o prazo de validade da manteiga; L é o prazo de validade do leite; e P é o prazo de validade da compota de pêssego. Para facilitar a resolução rápida do sistema com as três equações, arbitra-se um dos valores, digamos 1=M . Disto resulta: 2=I ; 3=L ; e 5=P . Então, a ordem dos produtos, de acordo com os respectivos prazos de validade é: PLIM ,,, Resposta: letra b. 15) Um número é escrito com dois algarismos. A soma desses algarismos é 11. Subtraindo 9 unidades desse número, obtém-se outro número com os mesmos algarismos em ordem invertida. Os algarismos que compõem esses dois números a) são 5 e 6 b) são 4 e 7 c) são 3 e 8 d) são 2 e 9 e) não existem Solução: Seja XY o número procurado; onde X é o algarismo da casa das dezenas e Y é o algarismo da casa das unidades. O número pode ser escrito da seguinte forma: YX +10 . Assim, 11=+ YX , e XYYX +=−+ 10910 , ou seja: 999 =− YX (dividindo-se ambos os membros por 9): 1=−YX Resolvendo-se o sistema:    =− =+ 1 11 YX YX tem-se: 6=X e 5=Y Resposta: letra a. 16) Numa determinada região chove ou faz sol. Se chove, há enchente; porém se faz sol, há seca. Assim, uma conclusão possível é a de que nessa região a) há seca. b) há enchente. c) há tempos de seca e de enchente. d) há tempos de seca ou de enchente. e) há apenas enchente. Solução: Sejam as proposições simples: :c chove; :s faz sol; :e enchente; :k seca. Escrevendo-se o argumento em linguagem simbólica: Condição :1P sc ∨ V :2P ec → V :3P ks → V :C ? V A premissa 1 será verdadeira se pelo menos uma de suas proposições for verdadeira. Analisando- se estas duas possibilidades, tem-se:
  9. 9. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com9 (a) Se for verdade que chove, só se consegue validar a premissa 2 e conclui-se que haverá enchente. (b) Se for verdade que faz sol, então, na premissa 3, tem-se que é verdade que haverá seca. Resposta: letra d. 17) Todo ladrão é desonesto. Alguns desonestos são punidos. Portanto, pode-se afirmar que a) alguns punidos são desonestos. b) nenhum ladrão é desonesto. c) nenhum punido é ladrão. d) todo ladrão é punido. e) todo punido é ladrão. Solução: Argumento categórico resolve-se mais rapidamente por meio de diagramas lógicos (ou diagramas de Euler-Venn): Resposta: letra a. 18) Manoela vai comprar um computador ou um carro; porém disse ao seu noivo que não é verdade que, se comprar um computador, retirará o dinheiro da poupança. Assim, pode-se afirmar que a) Manoela vai comprar o carro. b) Manoela vai comprar o computador. c) Manoela retirou o dinheiro da poupança. d) Manoela não vai comprar o carro nem o computador. e) Manoela retirou o dinheiro da poupança e vai comprar o computador. Solução: Sejam as proposições simples: :c Manoela compra o computador; :k Manoela compra o carro; :p Manoela retira o dinheiro da poupança. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica: Condição :1P kc ∨ V :2P ( )pc →~ V :C ? V A premissa 2 é a negação da proposição condicional, que pode ser escrita como: pc ~∧ . Para que esta premissa seja verdadeira, é necessariamente verdade que: Manoela compra o computador e não retira o dinheiro da poupança. Desse modo, a premissa 1 é verdadeira e a conclusão do argumento é: Manoela comprará o computador. Resposta: letra b. 19) A negação da proposição “Todo homem taxista dirige bem”. é a) “Existem mulheres taxistas que dirigem bem”. b) “Existe um homem taxista que dirige bem”. c) “Existe pelo menos um homem taxista que dirige bem”. d) “Existe pelo menos um homem taxista que não dirige bem”. e) “Todas as mulheres taxistas dirigem bem”.
  10. 10. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com10 Solução: A negação da proposição categórica formada pelo quantificador “todo” é “algum... não é...”. (Algum é o mesmo que existe) Então, a negação da proposição categórica dada é “Existe homem taxista que não dirige bem”. Resposta: letra d. 20) Qual das seguintes alternativas apresenta uma sentença verdadeira? a) x∀ ( ) ( )( )xxsen cos< b) x∀ ( ) ( )( )π=− xxsen cos c) x∀ ( ) ( )( )1cos =− xxsen d) x∀ ( ) ( )( )0cos2 <⋅→<< xxsenx ππ e) x∀ ( ) ( )( )π<→< xxxsen cos Solução: Em lógica proposicional de primeira ordem é aconselhável julgar as proposições atribuindo-se valores à variável da proposição. Desse modo, atribuindo-se, por exemplo, os valores 2 π (que equivale a 90º), ou 6 π (que equivale a 30º) à variável x , tem-se: Alternativa a) INCORRETA, pois             >      2 cos 2 ππ sen ; Alternativa b) INCORRETA, pois       =      −      1 2 cos 2 ππ sen ; Alternativa c) INCORRETA, pois         − =      −      2 13 6 cos 6 ππ sen ; Alternativa d) CORRETA, pois para valores no intervalo ππ << x2 (que equivale ao segundo quadrante) o valor do cosseno é negativo, o que torna o produto ( ) ( ) 0cos <⋅ xxsen . Alternativa e) INCORRETA, pois, para 2 π =x , tem-se que:       >      2 cos 2 ππ sen Resposta: letra d.
  11. 11. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com11 1) Considere as seguintes sentenças: I. Os gatos são pretos e os cachorros são brancos. II. Se todos os gatos são brancos, não há gatos na varanda. III. Não é verdade que os cachorros são pretos e que há gatos na varanda. Admitindo-se que todas essas sentenças sejam verdadeiras, é CORRETO afirmar que: a) Os gatos são pretos ou os cachorros são brancos. b) Não há gatos na varanda. c) Todos os gatos estão na varanda. d) Os cachorros são pretos. e) Os gatos são brancos. Solução: As três sentenças formam as premissas de um argumento lógico, para o qual se quer sua conclusão. Usando o método visto em aula, coloca-se o argumento em linguagem simbólica e retira-se, rapidamente, sua conclusão. Sejam as proposições: Pg : Os gatos são pretos; Bg : Os gatos são brancos; Pc : Os cachorros são pretos; Bc : Os cachorros são brancos; v : Há gatos na varanda. O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I BcPg ∧ V II vBg ~→ V III ( )vPc ∧~ V C ? V A premissa I deve ser verdadeira (para conclusão verdadeira e validade do argumento). Observe que a premissa é formada por uma proposição lógica conjuntiva. Assim, os valores lógicos de Pg e Bc devem ser V. Na premissa II tem-se a proposição antecedente falsa, logo, ainda não se pode determinar o valor lógico de sua conseqüente (ou seja, os gatos podem ou não estar na varanda). Na premissa III (após se aplicar Lei de De Morgan), tem-se que é falsa, então v~ é verdadeira. A premissa III, após a aplicação da Lei de De Morgan, é disjuntiva. Então, a única conclusão possível para o argumento é a apresentada na alternativa a. Resposta: letra a. 2) Sejam as seguintes proposições: I. ( )( ) ( )RPQPP →∨→↔ II. ( ) ( )( )QRPQP ∧∨↔→~ III. ( )( ) ( )( )RQPRQP →→→→∧ Admitindo-se que os valores lógicos das proposições P, Q e R são respectivamente, F, F e V (V, se verdadeiro; F, se falso), os valores lógicos das proposições compostas I, II e III são, respectivamente: a) F, F, F b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, V e) V, F, V Solução: Facilmente solucionável para quem conhece a valoração de proposições lógicas compostas. I. Se as proposições P e Q são falsas e R verdadeira, então RP → é verdadeira e a proposição lógica disjuntiva deste item é verdadeira sem que seja preciso analisar o valor lógico de ( )( )QPP →↔ , que é falso (verifique!). Apenas com a certeza do valor lógico da proposição do item I, já eliminamos as alternativas a, b e c. Para se chegar à resposta correta, basta agora analisar a proposição do item II:
  12. 12. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com12 ( ) ( )( )QRPQP ∧∨↔→~ . Com os valores lógicos dados para as proposições P e Q (ambas falsas) e R (verdadeira), verifica-se que ( )QP ~→ é verdadeira e que ( )( )QRP ∧∨ é falsa, levando a bicondicional ao valor lógico falso. Resposta: letra e. 3) Uma ilha muito distante era habitada por dois povos rivais que estavam em guerra: o povo condicional e o povo incondicional. Ambos tinham as mesmas palavras em seu vocabulário, mas estruturas oracionais distintas. O povo condicional conhecia proposições, a negação de proposições, proposições condicionais e proposições bicondicionais, mas desconhecia a conjunção e a disjunção entre proposições. O povo incondicional conhecia proposições, a negação de proposições, a disjunção e a conjunção entre proposições. Qual das seguintes alternativas ilustra, entre parênteses, a tradução CORRETA da língua condicional para a língua incondicional? a) Se o povo condicional ganhar a batalha, não deixará o povo incondicional habitar a ilha. (O povo condicional ganha a batalha e o povo incondicional não habitará a ilha) b) Se o povo condicional não ganhar a batalha, o povo incondicional monopolizará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha ou o povo incondicional monopolizará a ilha.) c) Se o povo condicional perder a batalha, o povo incondicional ganhará a batalha. (O povo condicional perde a batalha ou o povo incondicional perderá a batalha). d) Não é o caso que, se o povo condicional não ganhar a batalha, ele deixará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha e não deixará a ilha.) e) O povo incondicional ganhará a batalha se, e somente se, ele monopolizar a ilha. (O povo incondicional ganha a batalha e monopoliza a ilha.) Solução: Observe o candidato que a questão é puramente conceitual! Basta “traduzir” as proposições da linguagem condicional (ou bicondicional) para proposições conjuntivas ou disjuntivas, usando as seguintes equivalências: (1) Para a condicional, tem-se as seguintes equivalências: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ ou qpqp ∨⇔→ ~ ou ainda ( ) ( )qpqp ~~ ∧⇔→ (equivalência da negativa da condicional) (2) Para a bicondicional: ( ) ( )[ ]qpqpqp ~~ ∨∧∨⇔↔ Pelas considerações acima, somente a proposição da alternativa d (negativa da condicional) expressa corretamente a tradução da linguagem condicional para uma proposição conjuntiva. Resposta: letra d. 4) Analise as seguintes proposições: I. QP → é F, ou seja ( ) FQPV =→ II. QR ~∨ é V, ou seja ( ) VQRV =∨ ~ III. ( ) PRQ ∧↔ é F, ou seja ( )( ) FPRQV =∧↔ Os valores lógicos (V , se verdadeiro; F, se falso) de P, Q e de R são, respectivamente: a) V, V, V b) V, V, F c) V, F, V d) V, F, F e) F, V, V Solução: I. A proposição é uma condicional e seu valor lógico é falso, logo a proposição antecedente é verdadeira e a proposição conseqüente é falsa, ou seja: P é verdadeira e Q é falsa. Imediatamente, eliminam-se as alternativas a, b, e. Da proposição II vem a alternativa correta: R deve ter valor lógico verdadeiro para que a proposição disjuntiva tenha valor lógico verdadeiro. Resposta: letra c. 5) Beatriz, Carmem e Diana são esposas de Eduardo, Felipe e Gabriel, mas não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que: I. Eduardo é marido da mulher mais jovem; II. Beatriz é mais velha que a esposa de Felipe; III. As três mulheres citadas têm idades distintas;
  13. 13. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com13 IV. Não há bigamia entre esses casais. Logo, pode-se afirmar com certeza que: a) Beatriz é a esposa de Gabriel. b) A idade de Beatriz é menor que a de Carmem. c) Diana é esposa de Felipe. d) Gabriel é marido de Carmem. e) Eduardo é marido de Beatriz. Solução: Das proposições dadas, sabe-se que Beatriz não é esposa do Eduardo, nem do Felipe, logo, ela só pode ser esposa do Gabriel. Resposta: letra a. 6) Em determinado campeonato de futebol, analisam-se as condições de alguns resultados: I. Se a Portuguesa venceu, nem o Estrela nem o Navegantes foram para a próxima fase. II. Se o Navegantes não foi para a próxima fase, o Ipiranga venceu. III. Se o Ipiranga venceu, o Serrinha foi rebaixado. Sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado; portanto: a) a Portuguesa não venceu e o Navegantes não foi para a próxima fase. b) O Estrela e o Navegantes não foram para a próxima fase. c) O Navegantes não foi para a próxima fase e o Ipiranga não venceu. d) A Portuguesa e o Ipiranga não venceram. e) O Navegantes não foi para a próxima fase ou o Ipiranga venceu. Solução: Questão de lógica de argumentação. Usamos aqui nosso método2 rápido para encontrar a resposta. Sejam as proposições: Pv : A Portuguesa venceu; E : O Estrela foi para a próxima fase; N : O Navegantes foi para a próxima fase; Iv : O Ipiranga venceu; Sr : O Serrinha foi rebaixado. O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I ( )NEPv ~~ ∧→ V II IvN →~ V III SrIv → V IV Sr~ V C ? V Da premissa IV sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado. Desse modo, na premissa III sabe-se que é falso que o Ipiranga venceu. Na seqüência, sabe-se, também, na premissa II, que é falso que o Navegantes não foi para a próxima fase. Finalmente, da premissa I tem-se que é falso que a Portuguesa venceu. Daí, tem-se a conclusão: Nem a Portuguesa e nem o Ipiranga venceram. Resposta: letra d. 7) Se Alfredo ama Rebeca, ele vai se casar com ela e não vai comprar uma casa. Caso ele se case, não comprará a casa. Mas, de fato, ele comprou uma casa. Logo, pode-se dizer que: a) Alfredo vai se casa com Rebeca. b) Alfredo não comprar a casa. c) Alfredo vai se casar com Rebeca e vai comprar uma casa. 2 Nota do professor: O método que usamos para validar argumentos é visto em uma aula do curso presencial. Ele é um método exclusivo, criado por mim (não está em livros), fácil de entender no modo “expositivo”, mas difícil de ser explicado de forma escrita. Com este método, nossos alunos do curso presencial conseguem resolver qualquer questão de lógica de argumentação em menos de 30 segundos, sem o uso de extensas tabelas-verdade.
  14. 14. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com14 d) Alfredo ama Rebeca. e) Alfredo não ama Rebeca. Solução: Mais um questão de lógica de argumentação. Sejam as proposições: Ar : Alfredo ama Rebeca; Cr : Alfredo vi se casar com Rebeca; Cc : Alfredo compra uma casa; O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I ( )CcCrAr ~∧→ V II CcCr ~→ V III Cc V C ? V Da premissa III sabe-se que ele comprou a casa, então, na premissa II tem-se que é falso que ele se casou com Rebeca. Na premissa I, então, também se sabe que ele não ama Rebeca. Resposta: letra e. 8) O que caracteriza uma tautologia e uma contradição é o fato de: a) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade verdadeiros. b) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade falsos. c) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade verdadeiros e apenas valores- verdade falsos, respectivamente. d) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade falsos e apenas valores-verdade verdadeiros, respectivamente. e) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdades, valores-verdades intercalados entre falso e verdadeiro. Solução: Outra questão puramente conceitual. “Tautologia é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico verdadeiro”. “Contradição é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico falso”. Resposta: letra c. 9) Sejam as proposições: :P Faz frio. :Q Chove. :R Faz sol. A proposição composta ( ) ( )RPQP ~~~ ∧→∧ , na linguagem corrente, é: a) Faz frio e chove, mas faz não faz frio e faz sol. b) Faz frio e não chove, mas faz frio e não faz sol. c) Faz frio e não chove, desde que faça frio e não faça sol. d) Se faz frio e não chove, então não faz frio e não faz sol. e) Se faz frio e não chove, não é verdade que faz frio e faz sol. Solução: Questão muito simples. Basta levar a proposição dada em linguagem simbólica para a linguagem corrente. Aqui nem sequer o uso de álgebra de proposições foi exigido do candidato. Resposta: letra d. 10) “Hoje é quarta-feira ou hoje é quinta-feira, e hoje é quarta-feira ou hoje é dia de feira no supermercado”. Dito de outra forma, é: a) “se hoje é quarta-feira, hoje é dia de feira no supermercado”. b) “se hoje é dia de feira no supermercado, hoje é quarta-feira e não é quinta-feira”. c) “se hoje não é quarta-feira, hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”.
  15. 15. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com15 d) “hoje não é quarta-feira e não é quinta-feira”. e) “se hoje é quinta-feira, hoje não é dia de feira no supermercado”. Solução: Ao contrário da questão anterior, esta já exigiu do candidato um bom domínio da álgebra proposicional. Sejam as proposições: p : hoje é quarta-feira; q : hoje é quinta-feira; r : hoje é dia de feira no supermercado. A proposição dada, em linguagem simbólica, fica assim: ( ) ( )rpqp ∨∧∨ Pela propriedade distributiva, pode-se escrever: ( )rqp ∧∨ . Negando-se duplamente a proposição acima: ( )( )rpp ∧∧ ~~~ A proposição acima é equivalente à condicional: ( )rqp ∧→~ , que, em linguagem simbólica fica: “Se hoje não é quarta-feira, então hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”. Resposta: letra c. 11) Considere a tabela abaixo, na qual jiij BCA += com { }3,2,1, ∈ji . + 1B 2B 3B 1C 11A 12A 13A 2C 21A 22A 23A 3C 31A 32A 33A a) 1C = 2 b) 11A = 4 c) 12A = 5 d) 22A = 1 e) 23A = -1 Solução: Basta completar o quadro dado com as informações do enunciado: + 1B = 5 2B = 3 3B = -2 1C = -1 11A = 4 12A = 2 13A = -3 2C = 2 21A = 7 22A = 5 23A = 0 3C = 7 31A = 12 32A = 10 33A = 5 Resposta: letra b. 12) Considere a proposição composta ( ) ( )QPQP ∧∨∨ ~~ . Uma forma alternativa (ou simplificada) de expressar a mesma proposição é a) QP ∧ b) QP ~∧ c) QP ∧~ d) QP ~~ ∧ e) P~ Solução: Por De Morgan, tem-se, inicialmente: ( ) ( )QPQP ∧∨∧ ~~~ . Pela propriedade distributiva: ( )QQP ∨∧ ~~ . A expressão dentro do parênteses é uma tautologia. Numa proposição conjuntiva em que uma delas for tautológica, o resultado será equivalente à outra proposição. No caso acima o resultado é P~ . Resposta: letra e. 13) Roberto viajou para Moscou no inverno. Durante o tempo em que esteve lá, houve 6 tardes e 3 manhãs sem neve; nevou 5 vezes, mas nunca durante a manhã e à tarde de um mesmo dia. Então, Roberto permaneceu em Moscou por a) 5 dias b) 6 dias c) 7 dias d) 8 dias e) 9 dias Solução:
  16. 16. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com16 Esta questão consta no nosso simulado3 de número 13 (setembro de 2004), questão 8. Somando-se todos os turnos com neve e sem neve, vem: 6 + 3 + 5 = 14. Deve-se dividir por 2... Resposta: letra c. 14) Assinale a alternativa que apresenta uma estrutura de argumento não-válida. a) Não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. Portanto, se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. b) Ricardo não foi à festa e Renata não foi à festa. Consequentemente, ambos não foram à festa. c) Não é o caso que Ricardo foi à festa ou Renata foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa ou Renata não foi à festa. d) Se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. Portanto, não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. e) Não é o caso que, se Ricardo não foi à festa, Renata foi à festa. Assim, Renata não foi à festa. Solução: Analisam-se os argumentos um a um... Alternativa a) Para que a proposição dada como premissa seja verdadeira, é necessário que sua antecedente seja verdadeira e sua conseqüente seja falsa. Observe-se que a premissa traz a negação da proposição condicional. A conclusão do argumento o torna válido. Alternativa b) A premissa é uma proposição conjuntiva, logo, ambas as proposições simples que formam a composta devem ter valor lógico verdadeiro. Argumento válido. Alternativa c) A premissa é a negação de uma proposição disjuntiva, logo, nem Ricardo, nem Renata foram à festa. Argumento válido. Alternativa d) A premissa é a contrária ou inversa da conclusão. Argumento não-válido. Resposta: letra d. 15) Karen, Luiza, Mara Nestor e Olga foram a um parque de diversões onde havia as seguintes opções: montanha russa, carrossel e trem-fantasma . sabe-se que I. todos andaram em um dos brinquedos citados II. Mara foi a única que brincou sozinha III. Olga e Nestor fizeram escolhas distintas IV. Luiza não brincou com Olga V. Karen não andou no trem-fantasma VI. Olga não andou no carrossel VII. Mara não andou no trem-fantasma Logo, é CORRETO afirmar que: a) Mara andou na montanha russa. b) Luiza e Karen andaram no carrossel. c) Nestor e Luiza andaram na montanha russa. d) Karen e Nestor andaram no trem-fantasma. e) Nestor e Luiza andaram no trem-fantasma. Solução: O enunciado permite que se monte o seguinte quadro: Karen Luíza Mara Nestor Olga Montanha russa X X Carrossel X Trem-fantasma X X Resposta: letra e. 16) Sabe-se que, I. com 2 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 1 II. com 8 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 2 III. com 18 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 3 3 Consulte o caderno de Simulados do Instituto Integral.
  17. 17. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com17 IV. com 32 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 4 Logo, com 338 triângulos de lado 1, forma-se um losango de lado a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Solução: Os quocientes entre o número de triângulos e o valor do lado do losango formam a seguinte Progressão Aritmética: 2, 4, 6, 8, ... Assim, pode-se escrever: ( ) rnaan ⋅−+= 11 ( ) 212 338 ⋅−+= n n 11 169 −+= n n 2 169 n= 13=n Resposta: letra b. 17) Considere as seguintes premissas: I. Nenhum estudante é ignorante. II. Todo administrador é estudante. Uma conclusão possível, decorrente dessas premissas, é a de que a) nenhum administrador é ignorante. b) algum administrador é ignorante. c) todo administrador é ignorante. d) algum estudante é ignorante. e) todo estudante é administrador. Solução: Resposta: letra a. 18) Seis estudantes vão viajar de ônibus para visitar certa empresa. Foram reservadas as poltronas 7 e 8, 11 e 12, 15 e 16. essas poltronas são seqüenciais e ficam do mesmo lado do corredor, como mostra a figura. Antes de os estudantes entrarem no ônibus, foram designados os números das poltronas que cada um ocuparia, levando-se em consideração as seguintes informações: • Jorge e Pedro são irmãos e é melhor que não fiquem em poltronas consecutivas nem adjacentes. • Marcus e Bia pretendem ler, juntos um livro durante a viagem; portanto, devem sentar-se em poltronas consecutivas. • Aline e Gabi são amigas, mas não estão uma ao lado da outra, pois as duas gostam de sentar-se no corredor • Bia não está sentada atrás de Aline. Assim, pode-se afirmar que um dos arranjos possíveis é: a) Marcus e Bia na frente, Aline e Pedro no meio e Gabi e Jorge atrás. b) Aline e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio e Gabi e Jorge atrás. c) Aline e Pedro na frente, Gabi e Jorge no meio e Marcus e Bia atrás. d) Jorge e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio, Gabi e Aline atrás. e) Aline e Gabi na frente, Marcus e Bia no meio e Pedro e Jorge atrás. Solução:
  18. 18. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com18 Para satisfazer a primeira consideração. Jorge e Pedro deverão ocupar poltronas na primeira e terceira fileiras mostradas na figura da questão. Disso, resulta que Marcus e Bia deverão ocupar as poltronas do centro. Aline e Gabi deverão ocupar as poltronas 8 e 16 (não necessariamente nesta mesma ordem). Entretanto, se Aline estiver na poltrona 8, Bia deverá estar na poltrona 11. Desse modo, um possível arranjo seria: Pedro (poltrona 7), Aline (poltrona 8); Bia (poltrona 11, Marcus (poltrona 12); Jorge (poltrona 15) e Gabi (poltrona 16). Resposta: letra b. 19) Em um planta longínquo, a moeda é o dinheiru, simbolizada por Ж$. Sabe-se que, nesse planeta, existe a seguinte tabela promocional de preços para alguns animais: 2 rinomachos por Ж$ 10,00; 3 rinofêmeas por Ж$ 9,00 e 6 rinobebês por Ж$ 2,00. se Estevaldo gastou Ж$ 100,00 nessa promoção, qual o número máximo de rinomachos que ele comprou, considerando-se que gastou todo seu montante, levou ao menos um animal de cada tipo e comprou 100 animais? a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Solução: Questão idêntica à questão 19 do nosso primeiro simulado, e também à questão RL/14 – JUN/05, resolvida em nossa super-aula de revisão, na véspera do teste... Montando-se as equações: 5102 =⇒= RmRm (o valor de cada rinomacho é Ж$ 5,00) 393 =⇒= RfRf (o valor de cada rinofêmea é Ж$ 3,00) 3126 =⇒= RbRb (o valor de cada rinobebê é Ж$ 0,33) A partir daí, escrevem-se as seguintes equações (uma para a quantidade total de animais e outra para o valor gasto pelo Estevaldo): 100 3 35 100 =++ =++ b fm bfm isolando-se b na primeira equação, e, após multiplicar-se toda a segunda equação por 3, substituir-se o novo valor de b nela, vem: 200814 300100915 100 =+ =−−++ −−= fm fmfm fmb Agora, isola-se o f : 8 14200 m f − = , simplificando-se: 4 7100 m f − = Para os valores apresentados nas alternativas da questão, o número máximo de rinomachos que ele poderia ter comprado seriam 12. Entretanto, para poder participar da “promoção”, ele deverá adquirir quantidades de rinofêmeas em número múltiplo de 3 (ver tabela a seguir). Desse modo, o número máximo possível de rinomachos “dentro da promoção” é 4. m f b Ж$ 4 18 78 100,00 viável 8 11 81 100,00 inviável 10 7,5 82,5 100,00 inviável 12 4 84 100,00 inviável (4 não é múltiplo de 3) 14 0,5 85,5 100,00 inviável Resposta: letra a. 20) Manoel recebeu as seguintes instruções para sua viagem: I. Siga à esquerda e retorne se, e somente se, seu destino for Albuquerque. II. Se seu destino for Albuquerque, siga à direita. III. Siga à esquerda. IV. Retorne ou siga para a colônia de férias. Sabe-se que Manoel obedeceu a todas as instruções. Logo a) seu destino era Albuquerque.
  19. 19. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com19 b) seu destino não era Albuquerque e ele seguiu para a colônia de férias. c) chegou a Albuquerque, seguindo à esquerda. d) seguiu sempre em frente e à direita. e) retornou. Solução: Mais uma questão de lógica de argumentação. Observe que, nesta questão, as premissas “seguir à direita” e “seguir à esquerda” são contraditórias. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica: Condição de Validade I ( ) are ↔∧ V II da → V III e V IV fr ∨ V C ? V Da premissa III “seguir à esquerda” deve ser verdadeira, então, na premissa II, “seguir à direita” é falsa, e, portanto, o destino de Manoel não é Albuquerque. Na premissa I verifica-se que “retornar” é falsa, logo, na premissa IV, “ir para a colônia de férias” deve ser verdadeira. Conclusão: Manoel não foi para Albuquerque e foi para a colônia de férias. Resposta: letra b.
  20. 20. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com20 1) Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito amarelas, doze vermelhas, cinco brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de bolinhas de gude que precisamos retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de uma mesma cor é a) 11 b) 15 c) 21 d) 23 e) 28 Solução: Questões desse tipo requerem um raciocínio simples do candidato. Basta que se retirem duas bolinhas de cada cor (perfazendo-se 10, até o momento). A próxima bolinha retirada completará as três de uma mesma cor. No total, ter-se-á retirado 11 bolinhas. Resposta: letra a. 2) Considere a seguinte seqüência de figuras: A figura que melhor completa a posição ocupada pelo símbolo ? é a) b) c) d) e) Solução: No primeiro conjunto de estrelas, o pontinho se desloca para a esquerda (sentido horário), uma ponta de cada vez. No segundo conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha passa a ser de duas em duas pontas da estrela. No terceiro conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha é de três em três pontas. Assim, na posição marcada com ? estará a figura da alternativa d. Resposta: letra d. 3) Sejam as proposições :p “O cão é bravo” e :q “O gato é branco”. A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é a) qp ∧~ b) qp ~~ ∨ c) qp → d) qp ∨~ e) qp ~∨ Solução: A proposição dada, em linguagem corrente, poderá ser facilmente colocada em sua forma simbólica: ( )qp ~~ ∨ Aplicando-se a Lei de De Morgan à expressão acima, vem: qp ∧~ Resposta: letra a. 4) Tio Fabiano vai dividir barras de chocolate para três sobrinhos: Rui, Sílvio e Tomé. Rui, por ser o mais velho, recebeu a metade das barras mais meia barra. Do que restou, Sílvio recebeu a metade mais meia barra e para Tomé, que é o mais novo, sobrou uma barra. Assim, a quantidade de barras que Sílvio recebeu foi a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5 Solução: Considerando-se que o número inicial de barras seja x , :Rui recebeu a metade das barras de chocolate e mais meia barra, ou seja, recebeu 2 1 2 + x . Então, restou a outra metade das barras
  21. 21. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com21 menos meia barra, ou seja: 2 1 2 − x . Metade dessa quantidade mais meia barra foi dada a Sílvio, ou 2 1 4 1 4 +− x , que serão 4 1 4 + x barras para Sílvio. Agora, somando-se as quantidades que os três receberam, teremos a quantidade inicial de barras, ou seja: ( ) x xx =+      ++      + 1 4 1 42 1 2 (os parênteses na expressão ao lado são para evidenciar as quantidades de barras que cada um dos sobrinhos recebeu). Resolvendo-se a equação, tem-se 7=x . Assim, Rui recebeu 4 barras e Sílvio recebeu 2 barras. Existe um modo mais rápido de se resolver esta questão. Dicas, atalhos, macetes e truques são passados somente aos nossos alunos, durante o curso preparatório. Resposta: letra b. 5) Ao redor de uma mesa redonda estão quatro amigas, Karen, Pámela, Rita e Yasmin, sentadas em posições diametralmente opostas. Cada uma delas tem uma nacionalidade diferente: uma é italiana, outra é francesa, outra é portuguesa e a outra é alemã, não necessariamente nessa ordem. Considerem-se, ainda, as informações: • “Sou alemã e a mais nova de todas”, diz Karen. • “Estou sentada à direita da Karen”, diz Pâmela. • “Rita está à minha direita”, diz a francesa. • “Eu sou italiana e estou sentada em frente a Pâmela”, diz Yasmin. É CORRETO afirmar que a) Pâmela é francesa e Rita é italiana. b) Pâmela é italiana e Rita é portuguesa. c) Rita é francesa e Yasmin é portuguesa. d) Rita é portuguesa e Yasmin é francesa. e) Yasmin é portuguesa e Pámela é italiana. Solução: Das informações dadas no enunciado, tem-se que: Resposta: letra a. 6) Considere os seguintes conjuntos de premissas e conclusões: I. Algum avô é economista. Algum economista é avô. II. Nenhum arquiteto é cantor. Logo, nenhum cantor é arquiteto. III. Todo advogado é poeta. Logo, todo poeta é advogado. Qual(is) argumento(s) é(são) válido(s)? a) somente I b) somente II c) somente I e II d) somente II e III e) todos
  22. 22. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com22 Solução: I. Conclusão: Válido II. Conclusão: Válido III. Conclusão: Não-válido Resposta: letra c. 7) Considere a seqüência de quadros, em que cada quadro é dividido em nove casas numeradas, dispostas em linhas e colunas, da seguinte maneira: 1 2 3 10 11 12 19 20 21 4 5 6 13 14 15 22 23 24 7 8 9 , 16 17 18 , 25 26 27 , ... A posição que o número 2006 ocupa no quadro é a) linha 1 e coluna 3 b) linha 2 e coluna 2 c) linha 2 e coluna 3 d) linha 3 e coluna 1 e) linha 3 e coluna 2 Solução: Observa-se, ,pelos quadros apresentados no enunciado, que os valores preenchidos na última casela de cada quadro são múltiplos de 9. O múltiplo de 9 mais próximo de 2006 é o 2007. Como 2007 só poderá estar localizado na última casela de cada quadro, segue-se que 2006 estará localizado imediatamente à esquerda do 2007. Portanto, 2006 está na terceira linha, segunda coluna. Resposta: letra e. 8) Se x e y são números inteiros, a operação Θ é definida por x Θ y = ( )yxy − , na qual a multiplicação e a subtração são as usuais. Assim, o valor da expressão 2 Θ (3 Θ 4) é a) -28 b) -24 c) -3 d) 2 e) 8 Solução: Seguindo-se a regra de aplicação do operador Θ, deveremos subtrair o número y do número x e multiplicar o resultado por y . Resolvendo a expressão dada, iniciando pelo parênteses: 2 Θ (3 Θ 4) = 2 Θ 4.(3 - 4) = 2 Θ -4 = -4.(2 – (-4)) = -4 . 6 = -24 Resposta: letra b. 9) Cinco amigos,m Abel, Deise, Edgar, Fábio e Glória, foram lanchar e um deles resolveu sair sem pagar. O garçom percebeu o fato, correu atrás dos amigos que saíam do restaurante e chamou-os para prestarem esclarecimentos. Pressionados, informaram o seguinte: • “Não fui eu nem o Edgar”, disse Abel. • “Foi o Edgar ou a Deise”, disse Fábio. • “Foi a Glória”, disse Edgar. • “O Fábio está mentindo”, disse Glória. • “Foi a Glória ou o Abel”, disse Deise. Considerando que apenas um dos cinco amigos mentiu, pode-se concluir que quem resolveu sair sem pagar foi a) Abel b) Deise c) Edgar d) Fábio e) Glória Solução:
  23. 23. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com23 Em questões envolvendo verdades e mentiras, o candidato deverá sempre encontrar aquele único elemento do grupo que diverge dos demais. No caso em tela, significa que deveremos encontrar o único que está mentindo. Vamos inicialmente inferir que o mentiroso é Abel. Ora, se ele fosse o mentiroso, sua afirmação seria falsa, indicando que o culpado seria Abel ou Edgar. Como ainda não poderemos confirmar se o mentiroso do grupo é realmente o Abel, vamos analisar as outras afirmações em busca de uma possível contradição... Se o mentiroso for realmente o Abel, as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, ou seja: Fábio, Edgar, Glória e Deise estariam dizendo a verdade. Mas observe que a afirmação de Glória coloca nossa inferência inicial em contradição, uma vez que afirma que Fábio está mentindo. Se assim fosse, haveria dois mentirosos em vez de apenas um: Abel e Fábio. Como esta conclusão não está de acordo com o enunciado, que diz haver apenas um mentiroso, sabemos que Abel está dizendo a verdade, e, assim, dois suspeitos já estão excluídos: o próprio Abel e Edgar. Passemos nossa inferência para a segunda afirmação: tomemos a afirmação de Fábio como sendo falsa. Isto significaria dizer que, sendo a afirmação falsa, não foram Edgar e nem Deise. Já sabemos que Edgar está fora da lista de suspeitos. Se a afirmação de Fábio for realmente falsa, então as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, isto é, Edgar, Glória e Deise estarão dizendo a verdade. Passemos a uma nova busca por possíveis contradições... Observe que não há mais contradições: Edgar disse que foi Glória; Glória diz que Fábio mente e Deise afirma que foi Glória ou Abel. Como já sabemos que não foi Abel, a afirmação de Deise aponta para Glória, logo, Glória saiu sem pagar a conta. Resposta: letra e. 10) Das proposições “Nenhuma fruta marrom é doce” e “Algum abacaxi é doce”, conclui-se que a) “Algum abacaxi não é marrom”. b) “Todo abacaxi é marrom”. c) “Nenhum abacaxi é marrom”. d) “Algum abacaxi é marrom”. e) “Todo abacaxi não é marrom”. Solução: Na figura acima, o diagrama que representa abacaxi (A) pode ser representado por qualquer um dos diagramas que aparecem nas cores azul ou vermelho. Em qualquer das posições apresentadas para o diagrama A, observa-se que sempre haverá algum elemento de A que não pertence ao diagrama M. Daí, a conclusão para o argumento categórico: algum abacaxi não é marrom. Nota do professor: A lógica de argumentação pode ser complicada de se entender em um primeiro momento. Entretanto, os alunos do curso preparatório do Instituto Integral aprendem técnicas para a resolução rápida e segura de qualquer tipo de argumento (cerca de dez segundos são suficientes!). Como o método é expositivo, é necessário um conjunto de aulas presenciais para a fixação dessas técnicas. Resposta: letra a.
  24. 24. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com24 11) Edmundo percebeu que, na terça-feira, 27 de julho, iriam terminar as suas férias; verificou que o próximo feriado é o dia 7 de setembro e viu que esse dia cai a) numa segunda-feira b) numa terça-feira c) numa quarta-feira d) num sábado e) num domingo Solução: Partindo-se do dia 27 de julho, restam 4 dias para finalizar o mês de julho. Agosto tem 31 dias. Até 7 de setembro, tem-se um total de 4 + 31 + 7 = 42 dias. Observe que 42 é múltiplo de 7, o que indica que o dia 7 de setembro também cairá numa terça-feira (lembre-se de que os dias da semana se repetem a cada sete dias!). Resposta: letra b. 12) Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é a) “Maria é elegante ou é inteligente”. b) “Maria é elegante e não é inteligente”. c) “Maria não é elegante e é inteligente”. d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”. e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”. Solução: Na linguagem simbólica, tem-se: ( )ie →~~ , que uma das formas de se negar uma proposição condicional. A outra seria pela equivalência (veja sua apostila!) que indica que o antecedente deverá ser mantido e o conseqüente deve ser negado. Assim, chegamos rapidamente à resposta: “Maria não é elegante e nem inteligente”. Resposta: letra d. 13) Três amigos, Bernardo, Davi e Fausto, de sobrenome Pereira, Rocha e Silva, não necessariamente nessa ordem, foram assistir, cada um, a um filme diferente – ação, comédia e terror. Sabe-se que: • Bernardo não assistiu ao filme de terror nem ao de ação. • Pereira assistiu ao filme de ação. • O sobrenome de Davi é Silva. É CORRETO afirmar que Solução: Questões dessa natureza se resolvem rapidamente por meio de um quadro: Bernardo Davi Fausto Sobrenome Rocha Silva Pereira Filme comédia terror ação Resposta: letra b. 14) Considere as seguintes proposições: I. 12 > ou 632 = . II. x∀ , ℜ∈x , se 2<x , então 1=x ou 0=x . III. 54 −<− . Os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente, a) F F V b) F V F c) V F F d) V F V e) V V V Solução: I. Proposição disjuntiva (ou). Como 12 > é verdadeira e 632 = é falsa, a proposição composta é verdadeira; II. Proposição falsa, pois 2<x para qualquer valor real menor que 2 e não apenas para zero ou um; III. Proposição falsa. Quanto maior for o módulo de um número negativo, menor ele será! Resposta: letra c.
  25. 25. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com25 15) A figura abaixo mostra uma engrenagem formada por três rodas dentadas iguais (de mesmo raio). Em duas das rodas, há bandeirinhas, e a roda de cima girou menos de uma volta e parou na posição indicada pela bandeirinha pontilhada. Nessas condições, qual das seguintes alternativas apresenta a posição aproximada da bandeirinha da outra roda? a) b) c) d) e) Solução: A engrenagem de cima gira no sentido anti-horário (vide enunciado da questão). Assim, a engrenagem abaixo à esquerda gira no sentido horário, e, a da direita, gira novamente no sentido anti-horário, colocando a bandeirinha contida nessa engrenagem na posição indicada pela alternativa d. Resposta: letra d. 16) Considere as seguintes informações sobre uma prova de concurso composta de dois problemas, X e Y: • 923 candidatos acertaram o problema X. • 581 erraram o problema Y. • 635 acertaram X e Y. O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é a) 183 b) 293 c) 342 d) 635 e) 689 Solução: A questão se resolve facilmente por meio de diagramas. Dica: inicie sempre esse tipo de questão pela interseção de todos os conjuntos. Resposta: letra b. 17) Considerem-se as seguintes proposições: • “Todas as pessoas ricas são cultas”.
  26. 26. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com26 • "Nenhum pescador é culto”. • “Hugo é rico”. Uma conclusão que necessita de todas essa proposições como premissas é a) “Ricos são cultos”. b) “Hugo não é culto”. c) “Hugo não é pescador”. d) “Hugo é rico e pescador”. e) “Hugo é um pescador culto”. Solução: Resposta: letra c. 18) Considerem-se as seguintes premissas: • “Todos os jogadores de futebol são bonitos”. • “Lucas é bonito”. • “Modelos fotográficos são bonitos”. Considerem-se, também, as seguintes conclusões: I. “Lucas não é jogador de futebol nem modelo fotográfico”. II. “Lucas é jogador de futebol e também modelo fotográfico”. III. “Lucas é bonito e jogador de futebol”. Considerando as premissas, a validade de cada argumento gerado pelas conclusões I, II e III é, respectivamente, a) válido, válido, válido. b) não-válido, válido, válido. c) válido, não-válido, não-válido. d) não-válido, válido, não-válido. e) não-válido, não-válido, não-válido Solução: Observe que as premissas não permitem determinar como se relacionam os diagramas F e M. Também não é possível determinar exatamente onde Lucas deve estar. Pode ser em qualquer das posições indicadas no diagrama, nas cores azul, verde ou vermelha. Em outras palavras, o argumento é inconcludente. Desse modo, nenhuma das conclusões apresentadas poderão validá- lo. Resposta: letra e.
  27. 27. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com27 19) As afirmativas a seguir correspondem a condições para a formação de um determinado número X de três dígitos. • 429 não tem nenhum dígito em comum com esse número. • 479 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 756 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. • 543 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 268 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. O número X de três dígitos que satisfaz essas condições é a) 837 b) 783 c) 738 d) 736 e) 657 Solução: • Das duas primeiras afirmações, excluem-se os algarismos 4, 2 e 9 do número procurado e pode-se inferir que o 7 é um dos dígitos do número procurado; • A terceira afirmação exclui os algarismos 5 e 6 do número procurado e confirma o 7 na primeira posição; • A quarta afirmação confirma o 3 como o segundo algarismo do número procurado. Como esse algarismo não está no seu devido lugar, conclui-se que o 3 é o segundo algarismo do número procurado; • A última afirmação completa o número procurado, visto que os algarismos 2 e 6 já haviam sido excluídos. Desse modo, o algarismo 8 completa o número procurado. Resposta: letra c. 20) Cada uma das três amigas Ana, Bia e Carla, gosta de apenas uma das seguintes frutas: maçã, banana e pêra, não necessariamente nessa ordem. Ana gosta de pêra, Bia não gosta de pêra e Carla não gosta de banana. Se apenas uma dessas três afirmações for verdadeira e se cada uma das três amigas gosta de uma fruta diferente, então as frutas de que Ana, Bia e Carla gostam são, respectivamente, a) banana, pêra e maçã. b) pêra, maçã e banana. c) maçã, banana e pêra. d) pêra, banana e maçã. e) banana, maçã e pêra. Solução: Analisando-se as afirmações feitas: • Ana gosta de pêra; • Bia não gosta de pêra; • Carla não gosta de banana. Observe que, se a primeira afirmação for verdadeira, a segunda também o será, o que contradiz o enunciado. Assim, sabemos com certeza que a primeira afirmação é falsa. Passemos à segunda afirmação. Se ela fosse verdadeira, então Bia não gosta de pêra. Como já sabemos que a primeira é falsa, Ana também não gosta de pêra, resta que Carla é quem gosta de pêra. Mas, observe que a terceira afirmação também seria verdadeira, o que contradiz o enunciado (apenas uma é verdadeira). Então a afirmação 2 também é falsa, o que nos leva a concluir que Bia é quem gosta de pêra. A terceira afirmação é verdadeira: Carla não gosta de banana. Desse modo, Ana é quem gosta de banana e Carla gosta de maçã. Resposta: letra a.
  28. 28. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com28 1) “Sejam X e Y conjuntos não vazios. Se a afirmação ‘todo X é Y’ é ______, então a afirmação ‘nenhum X é Y’ é falsa e a afirmação ‘alguns X são Y’ é ______. Agora, se a negação de ‘todo X é Y’ é uma afirmação falsa, então a afirmação ‘alguns X são Y’ será ______.” Qual das seguintes alternativas completa de forma CORRETA, na ordem, as lacunas do texto acima? a) falsa, verdadeira; falsa. b) falsa; falsa; falsa. c) verdadeira; verdadeira; verdadeira. d) verdadeira; falsa; falsa. e) verdadeira; falsa; verdadeira. Solução: Se a afirmação “nenhum X é Y” é falsa, então a afirmação “todo X é Y” é verdadeira e a afirmação “alguns X são Y” também é verdadeira. A negação de “todo X é Y” é “algum X não é Y”. O enunciado diz que esta última afirmação é falsa, logo, a afirmação “alguns X são Y” será verdadeira. Resposta: letra c. 2) Sete pessoas comeram duas pizzas. Cada uma das pizzas estava dividida em dez pedaços iguais. Sabendo-se que cada uma das pessoas comeu ao menos um pedaço de pizza, que não sobraram pedaços, e ainda, que cada uma só comeu pedaços inteiros sem deixar restos, pode-se ter certeza de que a) uma delas comeu, no mínimo, três pedaços. b) alguém comeu quatro pedaços. c) uma delas comeu somente um pedaço. d) todas comeram dois pedaços. e) algumas comeram dois pedaços e as demais comeram três. Solução: O maior múltiplo de 7 contido em 20 é o 14. Significa que cada pessoa pode ter recebido dois pedaços. Qualquer que seja a distribuição dos demais pedaços, tem-se que uma delas pode ter comido, no mínimo, três pedaços. Resposta: letra a. 3) Considera as proposições a seguir: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Pode-se afirmar que a) ambas as proposições são tautologias. b) ambas as proposições são contradições. c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. e) ambas as proposições não são tautologias. Solução: I. Seja a proposição dada em linguagem simbólica: :m Josi é morena; :l Jorge é loiro. A proposição composta é: ( )lmm ∧∨ ~ . Aplicando-se Lei de De Morgan à proposição entre parênteses, vem: lmm ~~ ∨∨ . Que é uma tautologia. II. Seja a proposição dada em linguagem simbólica: :q o café está quente; :d o bolo está delicioso. A proposição composta, em linguagem simbólica é: ( ) ( )dqdq ∧↔∨ ~~ observe o leitor que o primeiro parênteses traz um “ou exclusivo”, que só será verdadeira quando apenas uma de suas proposições for verdadeira. No segundo parênteses, tem-se uma proposição conjuntiva (“e”), que somente terá resultado lógico verdadeiro quando as duas proposições simples forem verdadeiras. Ora, a proposição composta bicondicional somente apresenta valor lógico verdadeiro quando suas
  29. 29. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com29 proposições tiverem mesmo valor lógico. Analisando-se o caso de ambas as proposições simples serem falsas, ter-se-á que a proposição com o “ou exclusivo” será falsa e a proposição conjuntiva (“e”) também será falsa. desse modo, a proposição bicondicional terá resultado lógico verdadeiro. Tem-se aqui, portanto, uma contingência. Confirmação por Tabela-Verdade: q d q~ d~ dq ~~ ∨ dq ∧ ( ) ( )dqdq ∧↔∨ ~~ V V F F F V F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F F V Resposta: não há alternativa que responda corretamente a questão. A questão deveria ter sido anulada, mas a banca não o fez! 4) Considere o anúncio a seguir: “Todo governo democrata é para o povo e um governo que é para o povo é duradouro. Agora, nenhum governo é duradouro.” Pode-se afirmar que a) o Brasil nunca teve um governo duradouro. b) o Brasil nunca teve um governo trabalhista. c) o Brasil nunca teve governo. d) os governos não são democratas. e) existem governos que não são para o povo. Solução: Sejam os diagramas: G : governo Gd : governo democrático P : povo D : duradouro. Com as premissas, pode-se determinar a figura a seguir Uma possível conclusão é: Alguns governos não são para o povo. Veja a região sombreada na figura acima. Resposta: letra e. 5) Sejam os enunciados ditos por José I. A cor azul é a mais bonita. II. O enunciado III é verdadeiro. III. Dentre as cores primárias, uma é a mais bonita. IV. As cores amarela e vermelha são as mais bonitas. V. A cor verde não é a mais bonita. VI. Somente uma das afirmações que fiz anteriormente é falsa. Sabendo que o enunciado VI é verdadeiro, pode-se concluir que o valor verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) dos enunciados I a V é, respectivamente, a) V, V, V, V, F. b) V, V, V, F, V c) V, V, F, V, V d) V, F, V, V, V e) F, V, V, V, V Solução: O melhor modo de se analisar a questão é buscar afirmações contraditórias. Verifica-se, facilmente, que as afirmações III e IV estão em contradição. Arbitra-se o valor falso a uma delas, analisando-se as demais. Supondo-se que a afirmação III seja falsa, verifica-se que a afirmação I também será falsa. Ora, o enunciado indica apenas uma afirmação falsa. Então esta afirmação só
  30. 30. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com30 poderá ser a IV. O leitor poderá fazer a verificação das demais afirmações, confirmando que serão todas verdadeiras. Resposta: letra b. 6) A empresa Estatix está realizando uma pesquisa nas escolas de certa região. As escolas terão avaliações favoráveis se as duas regras a seguir forem satisfeitas. Regra 1: Se a escola possui alguns professores estudiosos, a escola é recomendada. Regra 2: A escola será recomendada se o diretor for competente ou se a biblioteca for suficiente. Realizada a pesquisa na Escola XYZ, obtiveram-se as seguintes conclusões: • Os alunos não são estudiosos. • Os professores são estudiosos. • O diretor é competente. • A biblioteca é insuficiente. Baseando-se nos dados acima, pode-s concluir que a Escola XYZ a) não terá avaliação favorável, pois a biblioteca é insuficiente. b) não terá avaliação favorável, pois os alunos não são estudiosos. c) terá avaliação favorável, pois o diretor não é competente. d) terá avaliação favorável, pois os professores são estudiosos e o diretor é competente. e) terá avaliação favorável, pois a biblioteca é suficiente. Solução: As regras indicadas na questão não passam de premissas de um argumento lógico. Colocando as proposições em linguagem simbólica: :p alguns professores estudiosos; :r escola recomendada; :d diretor competente; :b biblioteca suficiente. Argumento em linguagem simbólica: Condição de validade :1 P rp → V :2 P ( ) rbd →∨ V :C ? V Com o resultado da pesquisa indicado na questão, verifica-se que a proposição p é verdadeira, assim como a proposição d .Já a proposição b é falsa. Colocando-se esses valores lógicos no quadro acima, verifica-se, em ambas as premissas, que o valor lógico da proposição r deve ser verdadeiro para que se verifique a condição de validade do argumento. Desse modo, a escola terá avaliação favorável, uma vez que tem professores estudiosos e diretor competente. Resposta: letra d. 7) Descobriu-se uma espécie de bactéria imortal que, a partir do momento de sua hospedagem e/ou existência, começa seu ciclo reprodutivo infinito e ininterrupto. Sabe-se que dois exemplares dessa espécie de bactéria geram seis exemplares em apenas 5 segundos, totalizando assim oito exemplares em 5 segundos. Com esses dados, se tivéssemos agora dez exemplares da referida bactéria, quantos exemplares teríamos daqui a 10 segundos? a) 420 b) 160 c) 120 d) 50 e) 40 Solução: A partir do número inicial de bactérias, cada novo número gerado é o quádruplo do anterior a cada intervalo de 5 segundos. Se o número inicial é de 10 bactérias, então, 5 segundos depois haverá o quádruplo desse número, ou seja, 40 bactérias. Nos próximos 5 segundos, haverá o quádruplo de 40, ou seja, 160 bactérias. Resposta: letra b. 8) O argumento que NÃO é válido é a) O céu é azul e a terra é amarela. Logo, a terra é amarela.
  31. 31. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com31 b) Manuel é rico. Todos os homens ricos são divertidos. Logo, Manuel é divertido. c) O céu é azul ou a grama é verde. logo, a grama é verde. d) Dinheiro é tempo e tempo é dinheiro. Logo, dinheiro é tempo. e) O domingo é divertido e tudo é azul. Logo, tudo é azul. Solução: Pela definição de argumento dedutivo, é necessário que haja pelo menos duas premissas seguidas de uma conclusão válida, que deve estar baseada em todas as premissas. Observe o leitor que a questão não traz somente argumentos dedutivos. Na verdade, têm-se, nesta questão, quatro argumentos indutivos e apenas um argumento dedutivo (que é o da alternativa “b”). Em argumentos indutivos é necessário que a conclusão seja verdadeira e baseada em premissa(s) verdadeira(s). Observe o leitor que, nos argumentos dedutivos, não é necessário que uma ou mais premissas sejam verdadeiras para que o argumento seja válido Voltando aos argumentos apresentados nesta questão, veja que, nas alternativas em que a premissa é formada por uma proposição conjuntiva, esta somente será verdadeira se ambas as proposições simples tiverem valor lógico verdadeiro. Isto posto, as alternativas “a”, “d” e “e” têm conclusões válidas. A alternativa “b” é a única que traz um argumento que se encaixa na definição de argumento dedutivo. Agora, na alternativa “c” se tem uma proposição disjuntiva, que terá valor lógico verdadeiro se pelo menos uma de suas proposições simples for verdadeira. Dessa forma, a conclusão apresentada não pode ser considerada válida. Resposta: letra c. 9) Três amigos, Régis, Sílvio e Tiago, foram juntos a uma loja que vende camisetas, calças e bonés somente nas cores verde, vermelha e azul. Sabe-se que • Cada um deles comprou um boné, uma camiseta e uma calça; • Cada uma das peças compradas (bonés, ou camisetas, ou calças) tem cor diferente; • Todas as peças da mesma pessoa apresentam cores diferentes; • Régis não comprou o boné vermelho, nem a calça azul; • Sílvio comprou a camiseta azul; • Tiago comprou o boné verde. • Considerando as proposições acima, é CORRETO afirmar que a) a calça do Tiago é azul. b) a camiseta do Régis é vermelha. c) a calça do Sílvio é vermelha. d) a camiseta do Tiago é azul. e) o boné do Sílvio é azul. Solução: Com as afirmações feitas no enunciado da questão, pode-se montar o quadro abaixo: Régis Sílvio Tiago Camiseta Verde Azul Vermelha Calça Vermelha Verde Azul Boné Azul Vermelho Verde O início da colocação das cores foi com as que aparecem em destaque (negrito): a camiseta de Sílvio é azul e o boné de Tiago é verde. A partir daí as demais cores foram facilmente colocadas, observando-se, ainda de acordo com o enunciado, que nenhum deles comprou duas peças da mesma cor. Resposta: letra a. 10) Analise as seguintes definições. • Mx – x é maranhense. • Bx – x é branco. • Rx – x é rico. • Cx – x é uma casa. • Sx – x é em São Luiz. • Pxy – x possui y.
  32. 32. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com32 Utilizando-se as definições acima, qual das seguintes alternativas pode representar a expressão “Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”? a) ( )( ) ( )( )PxyCyyRxBxMxx ∧∃→∧∧∀ b) ( ) ( )( )( )PxyCyRxyRxMxx ∧∧∃→∧∀ c) ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∃→∧∧∀ d) ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∀→∧∧∀ e) ( )( ) ( )( )( )PxyRxCySyBxMxyx ∧∧→∧∧∀∀ Solução: A lógica de predicados apresenta uma convenção notacional própria para proposições categóricas,usando símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que significa “existe” ou “algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a versão da linguagem corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da lógica de predicados. Desse modo, a sentença: “Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”, passa a ser: ∀ x = qualquer que seja x , ou para todo x ; ∃ y = existe y A sentença dada pode ser apresentada do seguinte modo: ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∃→∧∧∀ Resposta: letra c. 11) Dada a proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar, então, ele está de férias e trabalhando”, pode-se afirmar que a) é uma contradição. b) é uma tautologia. c) não é tautologia e nem contradição. d) é equivalente a “se João está de férias então ele não trabalha”. e) é equivalente a “se João está de férias então ele trabalha”. Solução: Sejam as proposições simples: :f João está de férias; :t João vai trabalhar. A proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar; então ele está de férias e trabalhando” em linguagem simbólica pode ser escrita como: ( ) ( )tftf ∧→→~~ verifica-se que a primeira proposição condicional está negada, usando-se a equivalência da negação da condicional, pode-se escrever a proposição acima como: ( ) ( )tftf ∧→∧ ambos os membros da proposição condicional acima são iguais, o que caracteriza uma tautologia. Resposta: letra b. 12) Considere as proposições a seguir. P: -3 > -2 se, e somente se, 1 + 1 = 2. Q: 33 é um múltiplo de 3 se, e somente se, 3 divide 33. R: Se 2 1 < 4 1 , então 5 4 > 12 11 . Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições P, Q e R são, respectivamente, a) F, V, V. b) F, V, F. c) F, F, F. d) V, V, F. e) V, V, V. Solução: I. FALSA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é falsa e a segunda proposição simples é verdadeira.
  33. 33. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com33 II. VERDADEIRA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é verdadeira e a segunda proposição simples também é verdadeira. III. VERDADEIRA: proposição composta condicional na qual a primeira proposição simples é falsa sempre terá resultado lógico verdadeiro (independentemente do valor lógico da segunda proposição simples). Resposta: letra a. 13) Considere as seguintes sentenças: I. Paulo foi Ministro da Educação. II. ( ) 0=πksen , com { }3,2,1,0∈k . III. 125 =+x . Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que a) I, II e III são proposições. b) I e III são proposições. c) II não é uma proposição. e) I, II e III não são proposições. e) I e III não são proposições e II é uma proposição. Solução: Do ponto de vista da lógica, uma proposição lógica é qualquer frase ou sentença declarativa, que somente pode assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Por outro lado, uma sentença que contenha uma incógnita (elemento desconhecido) é uma sentença aberta. Paulo é um elemento desconhecido na sentença I, visto que o leitor não poderá atribuir a essa sentença um valor lógico verdadeiro ou falso, posto que desconhece o Paulo ao qual a frase faz referência. Portanto, a frase do item I é uma sentença aberta e não uma proposição lógica. A sentença II não possui qualquer incógnita, uma vez que k está definido e pode representar uma proposição lógica. A essa sentença poderá ser atribuído apenas um valor lógico verdadeiro ou falso. A sentença III é, sem dúvida, uma sentença aberta, e, portanto, não pode ser uma proposição lógica. Resposta: letra e. 14) Foi usada para codificação a frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Qual palavra está representada no código “0216031009150405”,se o código “2404030304200105” representa a palavra “farrapos”? a) Ternuras b) Carnudas c) Permutas d) Bermudas e) Carinhas Solução: “Decodificando” a palavra “farrapos”... 24 04 03 03 04 20 01 05 f a r r a p o s A palavra codificada por: 02 16 03 10 09 15 04 05 r a s A segunda letra da palavra acima não pode ser “a” uma vez que o código da letra “a” é 04. Assim, o candidato poderá eliminar as alternativas “b” e “e”. A letra “t” não aparece na frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Eliminem-se as alternativas “a” e “c”. Resta, portanto, a alternativa “d”. Resposta: letra d. 15) Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( )PQ ∧~~ b) ( )QP ∧~~ c) ( )QP →~ d) QP →~ e) QP ~~ ∧
  34. 34. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com34 Solução: A proposição “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita, em linguagem simbólica como: ( )QP →~~ A proposição acima na está entre as alternativas. Como se trata da negação da condicional, ela também pode ser escrita como: QP ~~ ∧ Resposta: letra e. 16) Sabendo que P e Q são proposições, o que NÃO se pode afirmar sobre a função valoração (v)? a) v(~P) = V se, e somente se, v(P) = F. b) v(P∧ Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. c) v(P∨ Q) = V se, e somente se, v(P) = V ou v(Q) = V. d) v(P→Q) = V se, e somente se, v(P) = F ou v(Q) = V e) v(P↔Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. Solução: Nesta questão, o candidato precisa apenas verificar a veracidade dos valores indicados em cada alternativa: a) CORRETO: significa que o valor lógico de P~ é verdadeiro se e somente se o valor lógico de P for falso. b) CORRETO: significa que o valor lógico de uma proposição conjuntiva será verdadeiro se, e somente se cada uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro. c) CORRETO: significa que a proposição disjuntiva terá valor lógico verdadeiro se e somente se pelo menos uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro. d) CORRETO: significa que a proposição condicional terá valor lógico verdadeiro se e somente se a primeira proposição simples for falsa ou a segunda proposição simples for verdadeira (vide tabela-verdade da proposição condicional). e) INCORRETO: a proposição composta bicondicional tem valor lógico verdadeiro sempre que ambas as proposições simples forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Resposta: letra e. 17) Numa empresa, os funcionários Pedro, João, Antônio e Manoel trabalham como arquiteto, engenheiro, administrador e contador, não necessariamente nessa ordem. Além disto, sabe-se que • o tempo de empresa do administrador é o dobro do tempo de empresa do contador; • o tempo de empresa do arquiteto é o dobro do tempo de empresa do administrador; • o tempo de empresa do engenheiro é o dobro do tempo de empresa do arquiteto; • Manoel começou a trabalhar na empresa exatamente três anos antes de Antônio; • Pedro é mais antigo que qualquer pessoa que trabalha na empresa há mais tempo que João; • o tempo de empresa de Pedro não é o dobro do tempo de empresa de João. Considerando o tempo de serviço de todos os quatro como números inteiros, uma das conclusões possíveis é que a) Manoel é arquiteto, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é administrador. b) Manoel é engenheiro, Antônio é contador, Pedro é arquiteto e João é administrador. c) Manoel é administrador, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é arquiteto. d) Manoel é contador, Antônio é arquiteto, Pedro é administrador e João é engenheiro. e) Manoel é arquiteto, Antônio é engenheiro, Pedro é contador e João é administrador. Solução: Sejam: Ad advogados, Ct contadores, Ar arquitetos, En engenheiros; e M = Manoel; A = Antônio; J = João; P = Pedro e X = qualquer pessoa mais antiga que João na empresa. Assim, podemos escrever: Ad = 2Ct ; Ar = 2 Ad ; En = 2 Ar ; M = A + 3; P > ( X > J ); P ≠ 2 J Para facilitar a resolução da questão, vamos “arbitrar” o tempo de empresa do contador: Ct = 1. então: Ad = 2; Ar = 4; En = 8.
  35. 35. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com35 Observe que Ar = Ct + 3. Então Manoel é arquiteto e Antônio é contador. Além disso, En ≠ 2 Ad . Então Pedro é engenheiro e João é administrador. Resposta: letra a. 18) Observe a seqüência 121112 = , 321.121112 = , 321.234.1111.1 2 = . Qual o valor de 2 111.11 ? a) 121.131.141 b) 121.345.321 c) 123.444.321 d) 123.454.321 e) 123.451.234 Solução: Seguindo a formação apresentada nos exemplos, o candidato poderá facilmente identificar a resposta correta. Resposta: letra d. 19) Sejam as notações predicativas. Px: x é Presidente do Brasil. Dx: x é democrata. A proposição composta “O Presidente do Brasil não é democrata” pode ser representada na linguagem simbólica por a) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∀ b) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∃→∀ c) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∃→∃ d) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∃ e) ( )DxPxx ~→∃ Solução: A lógica de predicados apresenta convenção notacional para proposições categóricas, através de símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que significa “existe” ou “algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a versão da linguagem corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da lógica de predicados. Desse modo, a sentença: “O Presidente do Brasil não é democrata”, deve ser escrita, em linguagem simbólica, como: Existe um sujeito x e se x é Presidente do Brasil então para qualquer sujeito y , tal que se y é Presidente do Brasil, então x e y são a mesma pessoa e ela não é democrata. Em linguagem simbólica, tem-se: ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∃ Resposta: letra d. 20) Considere as regras do cálculo proposicional e suas derivações, qual das proposições abaixo pode ser derivada das proposições: “ RE ~→ ” e “ AE ~~ → ”? a) RA ∧ b) ( )RA ∧~ c) RA → d) AR →~ e) ( )RA →~ Solução: Da primeira proposição condicional vem: ERRE ~~ →⇔→ (contrapositiva). Acrescentando-se a segunda proposição condicional: AE ~~ → , chega-se a: AR ~→ (por silogismo hipotético). A proposição AR ~→ é equivalente a ( )AR ∧~ Resposta: letra b.
  36. 36. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com36 1) Considere a seguinte seqüência da esquerda para a direita: Dentre as alternativas abaixo, o próximo elemento que obedece à regra de formação até então seguida é a) b) c) d) e) Solução: As figuras internas giram no sentido anti-horário. Ao mesmo tempo, as figuras externas giram no sentido horário. A figura que completa a seqüência é idêntica à primeira. Resposta: letra d. 2) Algumas pessoas de uma mesma família estão reunidas e entre elas existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há casamento consangüíneo entre eles, o número mínimo necessário de pessoas para a ocorrência de todas essas relações é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solução: Resposta: letra a. 3) Considerando-se a proposição :p “Se Rui é bom poeta, então Jorge é atleta”, é CORRETO afirmar que a) a contrapositiva de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. b) a contrapositiva de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. c) a contrapositiva de p é “Se Jorge é atleta”, então Rui é bom poeta”. d) a recíproca de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. e) a recíproca de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. Solução: A expressão “é correto afirmar que” significa “é equivalente a”. A equivalente natural de uma proposição condicional é a sua contrapositiva. A contrapositiva de “Se Rui é bom poeta então Jorge é atleta” é: “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta” Resposta: letra b. 4) Em uma bombonière há 13 bombons, cada qual recheado com apenas um dos sabores: avelã, cereja, damasco ou morango. Sabe-se que existe pelo menos um bombom de cada recheio e que suas quantidades são diferentes. Os bombons recheados com avelã ou cereja somam 4 bombons, enquanto que os recheados com avelã ou morango totalizam 5. Considerando-se essas informações, uma das possíveis alternativas é que somente
  37. 37. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com37 a) 2 bombons sejam de avelã. b) 2 bombons sejam de cereja. c) 3 bombons sejam de damasco. d) 4 bombons sejam de damasco. e) 4 bombons sejam de morango. Solução: 13=+++ MDCA 5 4 =+ =+ MA CA Sabe-se ainda que: 1≥A , 1≥C , 1≥D , 1≥M Das equações acima, podemos escrever: 8 9 =+ =+ DC MD E ainda: 4≠A ; 5≠A ; 4≠C ; 5≠M ; 4≠D 3≤A ; 3≤C ; 4≤M ; 5≤D Com os resultados obtidos acima, conclui-se que a única alternativa correta é a da letra e. Resposta: letra e. 5) Considere os seguintes argumentos: I. Todas as aves são carnívoras. Existem peixes que são carnívoros. Logo, existem peixes que são aves. II. Todos os minerais são aves. Existem borboletas que são minerais. Logo, existem borboletas que são aves. III. O assassino é o chofer ou Lea é pretensiosa. Ora, Lea não é pretensiosa. Logo, o assassino é o chofer. A seqüência CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente, a) não-válido, válido, válido. b) não-válido, válido, não-válido. c) não-válido, não-válido, não-válido. d) válido, válido, não-válido. e) válido, válido, válido. Solução: Argumento I (categórico): Sejam os diagramas A : aves, C : carnívoros, P : peixes Colocando-se as premissas em forma de diagramas, tem-se: Situação 1: Situação 2: Nesta situação, o conjunto P não interage com o conjunto A . A conclusão do argumento deveria ser: “Não se pode tirar conclusão” Nesta situação, o conjunto P pode interagir com o conjunto A (ver a parte hachurada no diagrama). A conclusão do argumento seria: “As aves que são peixes, são carnívoras”. O argumento I é não-válido.
  38. 38. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com38 Argumento II (categórico): Sejam os diagramas: M : minerais, A : aves, B : borboletas Neste caso, da premissa 2, já se sabe que há borboletas que são minerais (ver região hachurada na figura acima). A conclusão do argumento é: “Existem borboletas que são aves”. O argumento II é válido. Argumento III: Este argumento é baseado em proposições lógicas. Sejam as proposições (em linguagem simbólica): :c o chofer é o assassino. :p Lea é pretensiosa. Escrevendo-se o argumento em linguagem simbólica: Condição de validade :1 P pc ∨ V :2 P p~ V :C c V Partindo-se da premissa mais simples ( 2 P ), tem-se que p~ deve ser verdadeira. Desse modo, na premissa 1 ( 1 P ), a proposição p será falsa. Para que a premissa 1 seja verdadeira (a fim de satisfazer a condição de validade), a proposição c , deve ser, necessariamente, verdadeira. Desse modo, está validado o argumento. Resposta: letra a. 6) Paulo possui 5 pares de meias, todos de cores diferentes. Para garantir que pegou um par de mesma cor, ele precisa apanhar no mínimo a) 2 meias b) 5 meias c) 6 meias d) 9 meias e) 10 meias Solução: Para que Paulo consiga a garantia de retirar um ar da mesma cor, ele necessitará retirar no mínimo 6 meias. Resposta: letra c. 7) A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito”, é: a) “Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito”. b) “Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete”. c) “João não é jogador de basquete ou ele é bonito”. d) “João é jogador de basquete ou ele não é bonito”. e) “João é jogador de basquete e ele não é bonito”. Solução: Na negação da proposição condicional, recorre-se à equivalência: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ cuja negação pode ser escrita como: ( ) ( )qpqp ~~ ∧⇔→
  39. 39. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com39 Do segundo membro da equivalência acima, em linguagem corrente, tem-se a forma mais comum da negação da proposição condicional. Para a questão proposta, a negação fica assim: “João é jogador de basquete e não é bonito” Resposta: letra e. 8) As primas Branca, Celeste e Rosa foram almoçar na casa da avó e notaram que estavam com calçados das cores branca, celeste e rosa. Então, Branca disse: “as cores dos calçados combinam com nossos nomes, mas nenhuma está com o calçado da cor que combine com seu próprio nome”. “E daí?”, respondeu a jovem com o calçado rosa. Com essas informações, pode-se afirmar que a) Branca está com calçado rosa. b) Celeste está com calçado rosa. c) Rosa está com calçado celeste. d) Celeste está com calçado branco e Rosa está com calçado celeste. e) Branca está com calçado celeste e Celeste está com calçado branco. Solução: A questão tem solução bastante simples: (1) Branca só poderia estar com o calçado celeste ou rosa; (2) A prima que retrucou sua afirmação é quem está com o calçado rosa, e seu nome não é Rosa. Desse modo, conclui-se que: Branca está com o calçado celeste; Celeste está com o calçado rosa e Rosa está com o calçado branco. Resposta: letra b. 9) Fábia, Júlia e Mariana saíram com os seus namorados para passear de moto. Em certo momento, elas trocaram entre si as motos e os acompanhantes. Cada uma está na moto de uma segunda e com o namorado de uma terceira. A pessoa que está na moto de Fábia está com o namorado de Júlia. Nessas condições, pode-se afirmar que a) Mariana está com o namorado de Fábia. b) Fábia está com o namorado de Júlia. c) Júlia está com o namorado de Fábia. d) Mariana está com a moto de Júlia. e) Júlia está com a moto de Fábia. Solução: Como nenhuma das moças está com sua moto e seu namorado, então, quem está com a moto de Fábia e com o namorado de Júlia só pode ser Mariana. Desse modo, podemos completar, facilmente, o quadro abaixo: Fábia Júlia Mariana Moto Júlia Mariana Fábia Namorado Mariana Fábia Júlia Com o quadro acima, pode-se, agora, selecionar a alternativa correta. Resposta: letra c. 10) De 7 pacotes de biscoitos de mesmo tipo e aparentemente iguais, há 2 pacotes com o mesmo peso e que pesam menos que os demais, cujo peso é idêntico. Para aferir a diferença entre os pesos desses pacotes foi utilizada uma balança de dois pratos, sem pesos. Quantas pesagens, no mínimo, são necessárias para garantir quais são os pacotes mais leves? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solução: Colocam-se 3 pacotes em cada prato da balança, deixando-se um pacote fora da balança. Se houver desequilíbrio na balança, sabe-se que pelo menos um dos pacotes mais leves estará no prato que ficar mais alto. Se, inicialmente, apenas um dos pacotes mais leves foi colocado na balança, saber-se-á que o outro é o que ficou fora da balança. Retiram-se, então, os pacotes deste prato (o que ficou mais alto) e coloca-se um pacote em cada prato. Se houver novo desequilíbrio, encontrou-se o outro pacote mais leve. Desse modo, ter-se-á encontrado os dois pacotes mais leves com apenas duas pesagens.
  40. 40. Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com40 Resposta: letra a. 11) Sejam as proposições: :p “Bruna foi ao cinema”. :q “Caio foi jogar tênis”. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( )qp ~~~ ∧ b) ( )qp ∨~~ c) ( )qp ~~ ∨ d) ( )qp ∧~~ e) ( )qp ~~ ∧ Solução: Em linguagem simbólica, a proposição dada é escrita como pq ~∨ . Obviamente, esta proposição não estará entre as alternativas. O candidato precisa se lembrar das propriedades das proposições lógicas, principalmente, Leis de De Morgan e da propriedade comutativa, empregadas nesta questão. Aplicando-se Lei de De Morgan, vem: ( )pq ∧~~ . Aplicando-se, agora, a propriedade comutativa na proposição composta entre parênteses, vem: ( )qp ~~ ∧ Resposta: letra e. 12) Antônio distribuiu 25 pirulitos inteiros para seus 7 filhos. Sabendo que cada filho recebeu pelo menos um pirulito, pode-se afirmar que a) pelo menos um filho recebeu exatamente 4 pirulitos. b) cinco filhos receberam exatamente 4 pirulitos cada um. c) todos os filhos receberam a mesma quantidade de pirulitos. d) pelo menos dois filhos receberam o mesmo número de pirulitos. e) quatro filhos receberam 4 pirulitos e outros receberam 3 pirulitos cada um. Solução: Se, inicialmente, Antônio der um pirulito a cada filho e todos os 18 restantes para um deles, ou ainda, se redistribuir os 18 restantes de qualquer forma que escolher, sempre haverá pelo menos dois filhos que receberão a mesma quantidade de pirulitos. Resposta: letra d. 13) Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”. b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”. d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”. e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”. Solução: Uma equivalência da proposição condicional é: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ . Aplicando-se Lei de De Morgan no segundo membro da equivalência acima, vem: qpqp ∨⇔→ ~ . Passando-se a proposição para a linguagem corrente, tem-se: “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. Resposta: letra b. 14) Lauro, Moisés e Nelson – cujos sobrenomes são Ramos, Souza e Teixeira, mas não necessariamente nessa ordem – resolveram cada um, fazer uma obra diferente de reforma – fachada, jardim, piscina – em suas casas. Sabe-se que: • Souza não fez obra na fachada nem no jardim; • Lauro e Moisés são os vizinhos de Ramos; • Lauro fez obra na piscina e Teixeira não modificou o jardim. Então, pode-se afirmar que a) Lauro Ramos reformou o jardim. b) Moisés Souza reformou a piscina.

×