Conjuntos numéricos

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Conjuntos numéricos

  1. 1. A linguagem dos números
  2. 2. Os conjuntos numéricos <ul><li>Como surgiram os números? Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem e a ciência foram juntando novos tipos de números aos já existentes. </li></ul><ul><li>Com o tempo, por questões práticas, foi preciso agrupá-los, formando estruturas com características e propriedades comuns. </li></ul>
  3. 3. Conjuntos – Conceitos iniciais <ul><li>Ficaram definidos, assim, os conjuntos numéricos </li></ul><ul><li>ℕ , dos números naturais ; </li></ul><ul><li>ℤ , dos números inteiros ; </li></ul><ul><li>ℚ , dos números racionais ; </li></ul><ul><li>ℝ , dos números reais ; </li></ul>
  4. 4. Conjunto dos números naturais ( ℕ ) <ul><li>A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos contavam apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo incorporadas. A idéia do zero só surgiu mais tarde. </li></ul><ul><li>Números utilizados para contar formam o conjunto ℕ dos números naturais, definido assim: </li></ul>ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .. . }
  5. 5. Conjunto dos números inteiros ( ℤ ) <ul><li>A soma e o produto de dois naturais são sempre naturais. Mas a diferença de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo, </li></ul><ul><li>(5 – 2)  ℕ , mas (2 – 5)  ℕ </li></ul><ul><li>Subtrações como essa última só são definidas com a introdução dos números inteiros negativos (–1, –2, –3, –4, ...). </li></ul><ul><li>A união dos naturais com os inteiros negativos forma o conjunto ℤ dos números inteiros. </li></ul>ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, .. . }
  6. 6. Conjunto dos números inteiros ( ℤ ) <ul><li>Podemos separar os inteiros em três categorias: </li></ul><ul><ul><li>Os positivos : 1, 2, 3, 4, ... </li></ul></ul><ul><ul><li>O zero : 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Os negativos : –1, –2, –3, –4, ... </li></ul></ul><ul><li>De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é inteiro. </li></ul><ul><li>Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos . </li></ul>
  7. 7. Conjunto dos números inteiros ( ℤ ) <ul><li>Simetria em relação ao zero. </li></ul>0 -1 -2 -3 -4 1 2 4 3
  8. 8. Exemplo <ul><li>De dois inteiros simétricos k e –k, não-nulos, qual é o positivo? Qual o negativo? </li></ul><ul><li>Dois inteiros simétricos podem ser iguais? </li></ul><ul><li>A soma, a diferença, o produto e o quociente de dois inteiros são sempre inteiros? </li></ul>
  9. 9. Conjunto dos números inteiros ( ℤ ) <ul><li>Definem-se, em ℤ , as relações de igualdade e de ordem (desigualdade). </li></ul><ul><li>Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e somente uma, das seguintes relações: </li></ul><ul><ul><li>p = q (p é igual a q); </li></ul></ul><ul><ul><li>p < q (p é menor que q); </li></ul></ul><ul><ul><li>p > q (p é maior que q). </li></ul></ul>-> 3 – 5 = 2 -> – 5 < –1 < 0 < 3 -> 7 > 2 > 0 > –4
  10. 10. Observação <ul><li>Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por meio de desigualdades. No caso, devemos estar atentos ao universo indicado. </li></ul><ul><li>Exemplos </li></ul><ul><li>A = {x  ℕ / x < 4} </li></ul>-> A = {0, 1, 2, 3}. <ul><li>B = {x  ℤ / –3 ≤ x < 2} </li></ul>-> B = {–3, –2, –1, 0, 1}. <ul><li>C = {x  ℤ / x ≥ –2} </li></ul>-> C = {–2, –1, 0, 1, ...}.
  11. 11. Observação <ul><li>Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados de certos símbolos, que têm a função de excluir, dele, determinados números. Veja: </li></ul><ul><li>O símbolo asterisco (*) exclui o zero; </li></ul><ul><li>O símbolo mais (+) exclui os negativos; </li></ul><ul><li>O símbolo menos (–) exclui os positivos. </li></ul>
  12. 12. Observação <ul><li>Quando colocamos os inteiros em ordem crescente, valem os conceitos de antecessor e sucessor . O antecessor de 8 é o 7 e o sucessor de 8 é o 9. Identifique, entre as sentenças a seguir, as que são verdadeiras. </li></ul><ul><li>O antecessor de –6 é –5 ( ). </li></ul><ul><li>Se p é inteiro, seu sucessor é (p + 1) e seu antecessor (p – 1) ( ). </li></ul><ul><li>Se p, é par e q ímpar, então (p + 1).q é impar ( ). </li></ul><ul><li>Se p é par e q é ímpar, então (p + q).(q + 1) é par ( ). </li></ul><ul><li>No conjunto dos naturais, 0 não tem antecessor ( ). </li></ul>
  13. 13. Conjunto dos números racionais ( ℚ ) <ul><li>A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser representadas por números inteiros e, consequentemente exigem subdivisões levou à criação dos números fracionários: </li></ul>3 5 , 8 7 , 1 10 , etc. <ul><li>Divisões como essas são definidas com a introdução do conceito de número racional . </li></ul>
  14. 14. Conjunto dos números racionais ( ℚ ) <ul><li>Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número racional. </li></ul><ul><li>Veja a definição do conjunto ℚ dos números racionais. </li></ul>ℚ = {x/x = p/q; p, q  ℤ , q ≠ 0}
  15. 15. Exemplo <ul><li>São racionais os seguintes números </li></ul>8 2 = 4 <ul><li>(inteiro) </li></ul>3 7 <ul><li>(fracionário de termos inteiros) </li></ul>– 3 8 = –0,375 <ul><li>(decimal exato) </li></ul>5 9 = 0,555... <ul><li>(dízima periódica) </li></ul>
  16. 16. Conjunto dos números racionais ( ℚ ) <ul><li>Em resumo, são números racionais </li></ul><ul><ul><li>Os números inteiros; </li></ul></ul><ul><ul><li>Os números fracionários; </li></ul></ul><ul><ul><li>Os decimais exatos; </li></ul></ul><ul><ul><li>As dízimas periódicas. </li></ul></ul>
  17. 17. Transformando decimais exatos em frações <ul><li>Um número decimal exato é sempre igual a uma fração, cujo denominador é uma potência de base 10 e expoente natural. </li></ul><ul><li>Exemplos </li></ul>0,35 = 35 10 2 = 35 100 = 7 20 – 1,8 = – 18 10 1 = – 18 10 = – 9 5
  18. 18. Transformando decimais periódicos em frações <ul><li>Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que se repete é chamado período da dízima. Por exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72. </li></ul><ul><li>A fração que dá origem a uma dízima é a sua geratriz. </li></ul>
  19. 19. Exemplos <ul><li>Achar a fração geratriz da dízima periódica 0,424242... </li></ul>Suponhamos (1) x = 0,424242... 100 . x = 100 . 0,424242... 100x = 42,4242... ⇒ ⇒ (2) subtraindo (2) – (1) , membro a membro 100x = 42, 4242... – x = 0, 424242... 99x = 42 ⇒ x = 42 99 = 14 33
  20. 20. Exemplos <ul><li>Encontrar a fração geratriz da dízima periódica 4,73333... </li></ul>Suponhamos (1) x = 4,73333... 10 . x = 10 . 4,73333... 10x = 47,3333... ⇒ ⇒ (2) subtraindo (2) – (1) , membro a membro 10x = 47,3 3333... – x = 4,7 3333... 9x = 42,6 ⇒ 90x = 426 ⇒ x = 426 90 = 71 15
  21. 21. Conjunto dos números racionais ( ℚ ) <ul><li>Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada, bastando para isso fazer subdivisões convenientes no eixo dos inteiros. </li></ul>0 -1 -2 -3 1 2 3 0,333... 0,6 – 5/3 1,5 – 6/5
  22. 22. Conjunto dos números reais ( ℝ ) <ul><li>Vimos anteriormente, que os únicos números decimais racionais são os exatos e as dízimas periódicas. </li></ul><ul><li>Existirão números decimais que não sejam exatos nem dízimas? Ou seja, números decimais não-racionais? </li></ul>
  23. 23. Conjunto dos números reais ( ℝ ) <ul><li>Veja a figura a seguir. Ela mostra um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o cálculo de sua hipotenusa. </li></ul>x 1 1 x 2 = 1 2 + 1 2 x 2 = 2 x = √ 2 <ul><li>Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número 1,41421356237 ... que não é racional. </li></ul>
  24. 24. Conjunto dos números reais ( ℝ ) <ul><li>Números com √ 2 são chamados de números irracionais. Sua representação decimal não é exata e nem periódica. </li></ul><ul><li>De modo geral, número irracional é todo número que, escrito na forma decimal, é infinito e não-periódico. Veja alguns exemplos: </li></ul><ul><li>√ 3 = 1,73205080... </li></ul><ul><li>3 √5 = 1,70099759... </li></ul><ul><li> = 3,141592653... </li></ul><ul><li>0,202202220... </li></ul>
  25. 25. Você sabia? <ul><li>que  é aproximadamente </li></ul><ul><li>3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…? </li></ul>
  26. 26. Conjunto dos números reais ( ℝ ) <ul><li>A reunião dos racionais com os irracionais resulta no conjunto dos números reais. Ele é a partir de agora, o nosso universo numérico. </li></ul>ℝ = {x/x é racional ou irracional}
  27. 27. Visão geral dos conjuntos numéricos <ul><li>No nosso estudo você deve ter notado como os conjuntos numéricos ℕ , ℤ , ℚ e ℝ foram sendo construídos. Na verdade, cada um deles amplia o anterior, com acréscimo de novos tipos de números. </li></ul>ℕ ℤ ℚ ℝ + Inteiros negativos + racionais fracionários + irracionais
  28. 28. Visão geral dos conjuntos numéricos <ul><li>Veja sua representação por diagrama. </li></ul>Inteiros negativos racionais fracionários irracionais ℕ ℤ ℚ ℝ
  29. 29. Números reais como pontos da reta <ul><li>O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado em correspondência com o conjunto dos pontos de uma reta. Para isso definimos </li></ul>O <ul><li>Um sentido positivo, indicado pela seta; </li></ul><ul><li>Um ponto O, chamado origem , associado ao zero; </li></ul><ul><li>uma unidade de medida arbitrária. </li></ul>1 u <ul><li>A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real ; </li></ul>
  30. 30. Números reais como pontos da reta <ul><li>Na reta da figura marcamos os pontos O(0), A(1), B(–3,5), C(4) e D(–2). </li></ul>O 0 A C B D 1 4 – 2 – 3,5 <ul><li>Na representação: </li></ul><ul><li>A(1), 1 é a abscissa ou a coordenada do ponto A; </li></ul><ul><li>Em geral : Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número x. </li></ul>
  31. 31. Números reais como pontos da reta <ul><li>A reta estabelece uma ordenação para os números reais, expressas por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos: </li></ul><ul><li>a < b (a é menor que b) significa que, na reta real, a está à esquerda de b. </li></ul><ul><li>a > b (a é maior que b) significa que, na reta real, a está à direita de b. </li></ul>
  32. 32. Números reais como pontos da reta <ul><li>Na reta real da figura a seguir, estão representados os números reais 0, p e q. </li></ul>O 0 q p Podemos escrever, por exemplo: <ul><li>p < 0 </li></ul>(p é negativo) <ul><li>q > 0 </li></ul>(q é positivo) <ul><li>p < 0 < q </li></ul>(0 está entre p e q)
  33. 33. Observação <ul><li>A relação a ≤ b significa que (a < b ou a = b) e a relação a ≥ b indica que (a > b ou a = b). </li></ul><ul><li>a ≤ b ( a é menor que ou igual a b ) </li></ul><ul><li>a ≥ b ( a é maior que ou igual a b ) </li></ul><ul><li>Exemplos </li></ul><ul><li>5 ≥ 3 </li></ul>(5 é maior ou igual a 3) <ul><li>– 2 ≤ 1 </li></ul>(–2 é menor ou igual a 1)
  34. 34. Exemplos <ul><li>A figura mostra a reta real, em que O é a origem. São dados os pontos A(a) e B(b) e sabe-se que OA = OC. </li></ul>O C b a A B <ul><li>Quais são as abscissas de dos pontos O e C. </li></ul><ul><li>Complete os pontilhados com os sinais de desigualdade > ou <. </li></ul>a .... 0 – a .... 0 a + b .... 0 a 2 .... 0 b .... 0 – b .... 0 ab .... 0 – b .... a 0 e –a < > > > > < < <

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