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Algebra Linear cap 09

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66
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 9
OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS
No capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear ou
de um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivo
deste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação a
qual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal.
1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORES
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → um
operador linear. Um vetor Vv∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalar
K∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado ao
auto-vetor v.
OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico.
São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico.
Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinado
pelo auto-vetor v de T.
OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mas
cada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir.
Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto
}v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒
0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que
}v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− .
Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− é
chamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ).
67
Exemplo (1): Seja 22
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão em
torno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, se
existirem.
Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2
)y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal que
v)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒



λ=
λ=
yx
xy
⇒ 1±=λ . Logo,
existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor,
teremos:
Para 11 =λ ⇒



⋅=
⋅=
y1x
x1y
, ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Mais
precisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2
=ℜ∈= que a reta
bissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T =
Para 12 −=λ ⇒



⋅−=
⋅−=
y1x
x1y
, ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= .
Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2
−=ℜ∈=−
que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −=
V(1) V(-1)
T(v1) = v1
T(v2) = -v2
v2
T(w)
w
y
x
68
Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= .
Exemplo (2): Seja 22
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de
90o
em torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem.
Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valores
nem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒



λ=
λ=−
yx
xy
⇒
ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2
.
Exemplo (3): Seja 33
:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeção
ortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem.
Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3
≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ=
⇒





λ=
λ=
λ=
z0
yy
xx
⇒



=λ
=λ
0
1
2
1
Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V 3
=ℜ∈= é o subespaço
próprio gerado por 11 =λ que é o plano xy.
Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V 3
==ℜ∈= é o subespaço
próprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz..
y
x
T(v) v
69
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matriz
A, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se














=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A , então:
λ−
λ−
λ−
=λ
nn2n1n
n22221
n11211
C
a...aa
............
a...aa
a...aa
)(P . Onde Id é o
operador linear identidade.
Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico.
Exemplo (4): Mostre que as matrizes 





=
12
31
A e 







−−
−
=
2
1
2
3
2
5
2
5
B são semelhantes.
Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A e
B. Então:
λ−
λ−
=λ−=λ
12
31
)IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P 2
AC −λ−λ=λ
x V(1)
V(0)
T(v2)
v1
T(v1)
y
z
v2
70
λ−−−
−λ−
=λ−=λ
2
1
2
3
2
5
2
5
BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P 2
BC −λ−λ=λ
Como BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes.
Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-se
polinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômio
característico da matriz de T em relação a qualquer base.
Exemplo (5): Seja 33
:T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= .
Determine o polinômio característico de T em relação a:
a) base canônica do ℜ3
.
b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= .
Solução: a)





=
=
=
)1,0,0()1,0,0(T
)0,1,0()0,1,0(T
)1,1,1()0,0,1(T
⇒










=
101
011
001
]T[ C ⇒
λ−
λ−
λ−
=λ
101
011
001
)(PT ⇒
133)1()(P 233
T +λ−λ+λ−=λ−=λ
b)





=−
=
=
)3,0,1()2,1,1(T
)2,5,2()0,3,2(T
)2,1,1()1,0,1(T
⇒









 −−−
=
2105
252
9188
]T[ C ⇒
λ−
λ−
−−λ−−
=λ
2105
252
9188
)(PT
⇒ 133)1()(P 233
T +λ−λ+λ−=λ−=λ
Portanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T é
sempre o mesmo.
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. As
raízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores.
2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
Teorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI.
Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear que
admite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto-
vetores de T.
71
OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T,
então














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamente
distintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{'B 321= é uma base de V e














=
n
2
1
B
a...00
............
0...a0
0...0a
]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai.
Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , em
relação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto-
vetores de T.
Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável se
existir uma base de V formada por auto-vetores de T.
OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, é
uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, então














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina a
posição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. A
matriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade das
raízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto-
valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na forma
fatorada 2
C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a
1, então ela aparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λ
tem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um bloco
de ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas:

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  • 1. 66 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 9 OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS No capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear ou de um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivo deste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação a qual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal. 1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORES Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → um operador linear. Um vetor Vv∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalar K∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado ao auto-vetor v. OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico. São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico. Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinado pelo auto-vetor v de T. OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mas cada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir. Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto }v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒ 0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− . Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− é chamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ).
  • 2. 67 Exemplo (1): Seja 22 :T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão em torno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, se existirem. Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2 )y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal que v)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒    λ= λ= yx xy ⇒ 1±=λ . Logo, existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor, teremos: Para 11 =λ ⇒    ⋅= ⋅= y1x x1y , ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Mais precisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2 =ℜ∈= que a reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T = Para 12 −=λ ⇒    ⋅−= ⋅−= y1x x1y , ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= . Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2 −=ℜ∈=− que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −= V(1) V(-1) T(v1) = v1 T(v2) = -v2 v2 T(w) w y x
  • 3. 68 Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= . Exemplo (2): Seja 22 :T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de 90o em torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem. Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valores nem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒    λ= λ=− yx xy ⇒ ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2 . Exemplo (3): Seja 33 :T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeção ortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem. Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3 ≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ= ⇒      λ= λ= λ= z0 yy xx ⇒    =λ =λ 0 1 2 1 Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V 3 =ℜ∈= é o subespaço próprio gerado por 11 =λ que é o plano xy. Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V 3 ==ℜ∈= é o subespaço próprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz.. y x T(v) v
  • 4. 69 Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matriz A, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se               = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A , então: λ− λ− λ− =λ nn2n1n n22221 n11211 C a...aa ............ a...aa a...aa )(P . Onde Id é o operador linear identidade. Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico. Exemplo (4): Mostre que as matrizes       = 12 31 A e         −− − = 2 1 2 3 2 5 2 5 B são semelhantes. Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A e B. Então: λ− λ− =λ−=λ 12 31 )IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P 2 AC −λ−λ=λ x V(1) V(0) T(v2) v1 T(v1) y z v2
  • 5. 70 λ−−− −λ− =λ−=λ 2 1 2 3 2 5 2 5 BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P 2 BC −λ−λ=λ Como BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes. Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-se polinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômio característico da matriz de T em relação a qualquer base. Exemplo (5): Seja 33 :T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= . Determine o polinômio característico de T em relação a: a) base canônica do ℜ3 . b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= . Solução: a)      = = = )1,0,0()1,0,0(T )0,1,0()0,1,0(T )1,1,1()0,0,1(T ⇒           = 101 011 001 ]T[ C ⇒ λ− λ− λ− =λ 101 011 001 )(PT ⇒ 133)1()(P 233 T +λ−λ+λ−=λ−=λ b)      =− = = )3,0,1()2,1,1(T )2,5,2()0,3,2(T )2,1,1()1,0,1(T ⇒           −−− = 2105 252 9188 ]T[ C ⇒ λ− λ− −−λ−− =λ 2105 252 9188 )(PT ⇒ 133)1()(P 233 T +λ−λ+λ−=λ−=λ Portanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T é sempre o mesmo. Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. As raízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores. 2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES Teorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI. Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear que admite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto- vetores de T.
  • 6. 71 OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T, então               λ λ λ = n 2 1 B ...00 ............ 0...0 0...0 ]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamente distintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{'B 321= é uma base de V e               = n 2 1 B a...00 ............ 0...a0 0...0a ]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai. Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , em relação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto- vetores de T. Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável se existir uma base de V formada por auto-vetores de T. OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, então               λ λ λ = n 2 1 B ...00 ............ 0...0 0...0 ]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina a posição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. A matriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade das raízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto- valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na forma fatorada 2 C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a 1, então ela aparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λ tem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um bloco de ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas:
  • 7. 72           − − 300 030 004 ou           − − 400 030 003 Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a matriz de T em relação a base de auto-vetores. a) )y3x2,y4x()y,x(T ++= b) )z4y6x3,z2y4x,z6y6x5()z,y,x(T −−++−−−= Solução: a) Vamos determinar os auto-valores determinando o polinômio característico de T e calculando a suas raízes. Como o polinômio característico é o mesmo em relação a qualquer base, vamos usar sempre a base canônica para construir a matriz de T. Então:    = = )3,4()1,0(T )2,1()0,1(T ⇒       = 32 41 ]T[ ⇒ λ− λ− =λ 32 41 )(PC ⇒ 54)(P 2 C −λ−λ=λ , cujas raízes são os auto-valores 1e5 21 −=λ=λ . Para determinar os auto-vetores sabemos que v)v(T λ= ⇒ 0)v](IdT[ =λ− . Essa expressão podemos escrevê-la na forma matricial. Então, seja )0,0(0e)y,x(v == . • Para 51 =λ , temos:       =      ⋅      − − 0 0 y x 532 451 ⇒    =− =+ 0y2x2 0y4x4 ⇒ yx = . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,1(x)x,x(v == . Seja )1,1(v1 = um representante destes auto-vetores. • Para 12 −=λ , temos:       =      ⋅      −− −− 0 0 y x )1(32 4)1(1 ⇒    =+ =+ 0y4x2 0y4x2 ⇒ y2x −= . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,2(y)y,y2(v −=−= . Seja )1,2(v2 −= um representante destes auto-vetores. • Como )}1,2(),1,1{(B −= é uma base de auto-vetores do ℜ2 , então T é um operador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto- vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto- valores, ou seja:      − =      − = 50 01 ]T[ou 10 05 ]T[ BB . A ordem dos auto-valores na diagonal da matriz depende da posição dos auto-vetores dentro da base B.
  • 8. 73 b) Determinando o polinômio característico de T:      −−= −−= −= )4,2,6()1,0,0(T )6,4,6()0,1,0(T )3,1,5()0,0,1(T ⇒           −− − −− = 463 241 665 ]T[ ⇒ 485 463 241 665 )(P 23 C +λ−λ+λ−= λ−−− λ−− −−λ− =λ . Então 2 C )2()1()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 11 =λ com multiplicidade 1 e um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2. • Para 11 =λ , temos:           =           ⋅           −− − −− 0 0 0 z y x 563 231 664 ⇒      =−− =++− =−− 0z5y6x3 0z2y3x 0z6y6x4 ⇒    −= −= y3z y3x . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )3,1,3(y)y3,y,y3(v −−=−−= . Seja )3,1,3(v1 −−= um representante destes auto-vetores. • Para 22 =λ , temos:           =           ⋅           −− − −− 0 0 0 z y x 663 221 663 ⇒      =−− =++− =−− 0z6y6x3 0z2y2x 0z6y6x3 ⇒ z2y2x += . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,0,2(z)0,1,2(y)z,y,z2y2(v +=+= . Sejam )0,1,2(v2 = e )1,0,2(v3 = os representantes destes auto-vetores. •Como )}1,0,2(),0,1,2(),3,1,3{(B −−= é uma base de auto-vetores do ℜ3 , então T é um operador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto- valores, ou seja:           =           = 100 020 002 ]T[ou 200 020 001 ]T[ BB . Exemplo (7): Mostre que o operador linear )z4y2,zy,yx2()y,x(T +−+= não é diagonalizável. Solução: Determinando o polinômio característico de T:      −= = = )4,1,0()1,0,0(T )2,1,1()0,1,0(T )0,0,2()0,0,1(T ⇒
  • 9. 74           −= 420 110 012 ]T[ ⇒ 12167 420 110 012 )(P 23 C +λ−λ+λ−= λ− −λ− λ− =λ . Então 2 C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 31 =λ com multiplicidade 1 e um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2. •Para 31 =λ , temos:           =           ⋅           −− − 0 0 0 z y x 120 120 011 ⇒      =+ =−− =+− 0zy2 0zy2 0yx ⇒    −= = y2z yx . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )2,1,1(y)y2,y,y(v −=−= . Seja )2,1,1(v1 −= um representante destes auto-vetores. •Para 22 =λ , temos:           =           ⋅           −− 0 0 0 z y x 220 110 010 ⇒      =+ =−− = 0z2y2 0zy 0y ⇒    =−= = 0yz 0y . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )0,0,1(x)0,0,x(v == . Seja )0,0,1(v2 = o representante destes auto-vetores. •Como )}0,0,1(),2,1,1{(B −= não é uma base de auto-vetores do ℜ3 , então T não é um operador diagonalizável. Isso significa que T não possui uma matriz diagonal em relação a base qualquer base do ℜ3 . Exercícios Propostos 1) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a matriz do operador em relação a base de auto-vetores. a) )z3x2,zy2x,zx2()z,y,x(T +−++= b) t)a7a9()a6a8()taa(T 1o1o1o −+−=+ Resp: a) É diagonalizável e ... 400 010 002 ou 200 040 001 ou 400 020 001 ]T[ B                               = b) É diagonalizável e      −       − = 20 01 ou 10 02 ]T[ B 2) Seja )TS(M)TS(M:T 22 → , onde )TS(M2 é o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores, cuja base canônica é                         = 10 00 00 10 , 00 01 C . Mostre que o operador linear
  • 10. 75       ++− =      cb3a0 b3a3 c0 ba T é um operador diagonalizável e exibir sua matriz em relação a base de auto-vetores. Resp: É diagonalizável e                     = 300 030 001 ou 100 030 003 ]T[ B 3) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a matriz do operador em relação a base de auto-vetores. a) )zyx,zyx,zyx()z,y,x(T −−−+++= b)       +− = 4 y3x2 , 4 yx6 )y,x(T c) )z2,zy,x()z,y,x(T += d) )zy3x3,z2yx2,z3y2x()x,y,x(T ++++++= Resp: a) É diagonalizável e ... 200 010 002 ou 200 020 001 ou 200 020 001 ]T[ B           −          −           − = b) É diagonalizável e             = 4 5 4 5 B 0 01 ou 10 0 ]T[ c) Não é diagonalizável. d) É diagonalizável e ... 600 010 002 ou 100 020 006 ou 200 010 006 ]T[ B           − −           − −           − −=