Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formampolígonos planos regulares congruentes. A sua designação de...
Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidosplatónicos pode ser obtida através do processo da suaconstrução, como P...
O pressuposto de construção que tem estado a serutilizado é o de que a formação de um ângulo sólido novértice de um polied...
Enumeremos então os sólidos que acabámos deconstruir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo edodecaedro. São precisamente c...
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Os sólidos platónicos

  1. 1. Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formampolígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existênciadestes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípciosutilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos queconstruíram.Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos temposdiversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentiauma grande admiração e reverência por eles (Porquêapenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar osmovimentos planetários a partir deles. Além disso,interpretou, no Harmonices Mundi, as associações dePlatão da seguinte forma:
  2. 2. Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidosplatónicos pode ser obtida através do processo da suaconstrução, como Platão fez num seu texto incluído nodiálogo Timeu.Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenaspodemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos porconsiderar o triângulo equilátero, que é o polígono regular commenos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas estepolígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta,centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros(basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).Com dois triângulos equiláteros, não se consegueconstituir um vértice de um poliedro, pois um ângulosólido tem que ser constituído pelo menos por três planos.Com três triângulos equiláteros é possível constituir umvértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro.Esta possibilidade prende-se com facto de a soma dasamplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulosadjacentes, no vértice, ser inferior a 360º, exatamente180º.Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja somadas amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vérticeé de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cincodesses triângulos num vértice, essa soma é de 300º,ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passandopara seis triângulos equiláteros, chegamos a umaimpossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulosinternos adjacentes no vértice é, neste caso, 360º, o quenão permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulosólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmoplano (formando uma pavimentação do plano em torno dosuposto vértice). A consideração de um número maior detriângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamentejá não possibilita a construção de um poliedro.
  3. 3. O pressuposto de construção que tem estado a serutilizado é o de que a formação de um ângulo sólido novértice de um poliedro só é possível se a soma dasamplitudes dos ângulos internos dos polígonosadjacentes no vértice for inferior a 360º.Considerando o quadrado, e o pressuposto atrásenunciado, chegamos à conclusão de que apenasconseguimos construir o cubo. Com pentágonos,apenas conseguimos construir o dodecaedro.Com hexágonos não se consegue construir nenhumsólido platónico. Basta verificar que três hexágonosadjacente em torno de um ponto (supostamente umvértice) pavimentam o plano, pois a soma dasamplitudes dos ângulos internos desses hexágonos éprecisamente 360º, o que não permite formar umângulo sólido. Um número maior de hexágonos,obviamente, que também não permite a construção deum sólido platónico. Analogamente, com polígonos comum número maior de lados isso também não é possível.
  4. 4. Enumeremos então os sólidos que acabámos deconstruir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo edodecaedro. São precisamente cinco, como se queriademonstrar.Outra forma demonstrar a existência de apenas cincosólidos platónicos é através da fórmula de Euler,considerando as restrições relativas aos vértices,arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.

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