Libro 1 antenas

CONTENIDO
Pág.
l. PROPIEDADES DE LAS ANTENAS 4
1.1 Introducción 4
1.2 Función de las antenas 4
1.3 Patrón de radiación 5
1.4 Polarización 7
1.4.1 Polarización lineal 7
1.4.2 Polarización elíptica o circular 8
1.5 Ganancia Directiva 9
1.6 Ganancia de Potencia 11
1.7 Relación Frente-espalda 12
1.8 Resistencia de Radiación 12
1.9 Impedancia 13
l.10 Ancho de Banda 13
l.11 Apertura Efectiva 14
2. ANTENAS ELEMENTALES 15
2.1 Método de Análisis 15
2.1.1 Función Potencial 15
2.2 Antena Dipolo Hertziano 18
2.2.1 Campos en zonas apartadas 21
2.2.2 Patrón de Radiación 22
2.2.3 Potencia Radiada 23
2.2.4 Resistencia de Radiación 24
2.2.5 Polarización 24
2.3 Dipolo Magnético Elemental 25
3. ANTENAS DE ALAMBRE 30
3.1 Antena Dipolo Largo 30
3.1.1 Campos Radiados 31
3.1.2 Patrón de Radiación 35
3.1.3 Potencia Radiada 36
3.1.4 Dipolo de longitud Resonante 37
3.1.5 Impedancia 38
3.1.5.1 Resistencia de Pérdidas 39

2
3.2 Antena Dipolo Doblado 44
3.3 Antena Dipolo Corto 50
3.4 Antena Dipolo de banda Dual 54
3.5 Antena Monopolo 55
4. REDES DE ACOPLAMIENTO 58
4.1 Red tipo L 58
4.2 Red tipo L invertida 63
4.3 Red tipo T 68
4.4 Red tipo PI 70
5. BALUNS 71
6. DUPLEXORES 76
7. ARREGLOS DE ANTENAS 78
7.1 Principio de multiplicación de patrones 79
7.2 Arreglos uniformes en una dimensión 80
7.2.1 Arreglo de radiación lateral 83
7.2.2 Arreglo de radiación longitudinal 87
7.3 Arreglos uniformes en dos dimensiones 91
8. ARREGLOS CON ELEMENTOS PARASITOS 93
8.1 Procedimiento de diseño de una antena YAGI – UDA 99
8.1.1 Determinación del número de elementos del arreglo 99
8.1.2 Cálculo de las longitudes de los dipolos 101
8.1.3 Cálculo de la longitud total de la antena 102
8.1.4 Cálculo de los espaciamientos 102
8.1.5 Cálculo de los diámetros de los conductores 103
8.1.6 Consideraciones en la implementación del diseño 103
9. ANTENAS DE BANDA ANCHA 104
9.1 Diseño de Arreglos logarítmico periódicos de dipolos 105
9.1.1 Regiones de funcionamiento 109
9.1.2 Condiciones de escalamiento 110
9.1.3 Impedancia de entrada 111
9.1.4 Consideraciones de Diseño 112
9.1.4.1 Constante de truncamiento de baja frecuencia 112
9.1.4.2 Constante de truncamiento de alta frecuencia 112
9.1.4.3 Espaciamiento 112
9.1.4.4 Longitud del alimentador y número de elementos 113
9.1.4.5 Carga Terminal 113

3
9.1.5 Procedimiento de diseño 113
Apéndice (Tablas de diseño) 115

4
1. -PROPIEDADES DE LAS ANTENAS
1.1.- INTRODUCCION
Hay dos categorías amplias en los sistemas de comunicaciones: aquellos que utilizan líneas
de transmisión, en la interconexión de una red y, aquellos que dependen de la radiación
electromagnética con una antena en los sitios de transmisión y recepción. En esta segunda
categoría, las antenas son sin duda, componentes esenciales de un sistema de
comunicaciones, consecuentemente, quien esté relacionado con sistemas de
comunicaciones debe tener claro, y entender los fundamentos de las antenas, para poder
evaluar el comportamiento de un sistema de comunicaciones utilizando sus conocimientos
básicos.
Los principios generales revisados hasta ahora, son muy útiles para el estudio de antenas,
el mismo que es inherentemente mas complicado desde el punto de vista electromagnético,
que aquel para líneas de transmisión y guías de onda. El estudio de antenas en el presente
curso, será únicamente superficial puesto que el tema es sumamente extenso y profundo.
1.2.- FUNCION DE LAS ANTENAS
Las antenas son estructuras metálicas o también metálicas dieléctricas, diseñadas para
radiar o recibir ondas electromagnéticas permitiendo una transferencia eficiente de energía
entre una línea de transmisión y el espacio libre; esto es, transforman una onda guiada en
una onda en el espacio libre o viceversa.
El carácter de los procesos, que tienen lugar en las antenas transmisora y receptora
atestigua su reciprocidad, la misma que encuentra su expresión en la posibilidad de utilizar
una misma antena en calidad de transmisora y receptora, y de conservar invariables los
parámetros principales de la antena al pasar del régimen de transmisión al de recepción y
viceversa. Este principio tiene gran importancia práctica, y es utilizado en la mayoría de
sistemas de comunicaciones.
Todas las antenas, independientemente de su aplicación, tienen ciertas propiedades básicas
comunes, como son: patrón de radiación, polarización, directividad, ganancia, impedancia,
ancho de banda, mientras que otras propiedades como: resistencia de radiación, relación
frente a espalda, etc. no son aplicables a todos los tipos de antenas. Estas propiedades son
iguales para transmisión o recepción en virtud del principio de reciprocidad (no para
antenas activas).

5
1.3.- PATRON DE RADIACION
El patrón de radiación de una antena determina la distribución espacial de la energía
radiada, y es usualmente la primera propiedad que es especificada en una antena luego de
conocer la frecuencia de operación. Es común en la práctica realizar gráficas de secciones
planas del patrón de radiación en vez de la superficie tridimensional completa. Las dos
vistas más importantes del patrón de radiación, son aquellas del plano principal paralelo al
vector intensidad de campo eléctrico en la dirección en que este es máximo, conocido
como plano-E y la del plano principal perpendicular al plano-E conocido como plano-H. El
ancho del haz en un plano principal se define como el ancho angular entre puntos que están
3 dB por debajo del máximo del haz.
Los tipos más comunes de patrones de radiación son: patrón de radiación omnidireccional,
patrón direccional, patrón de haz tipo lápiz, patrón de haz tipo abanico, y patrón de haz de
forma arbitraria.
El patrón de radiación omnidireccional se utiliza para sistemas de radiodifusión o servicios
de comunicaciones donde todas las direcciones deben ser cubiertas en igual forma. El
patrón en el plano horizontal es circular, mientras que en el plano vertical, tendrá un ancho
angular.
Figura l.1 Patrones de radiación en Coordenadas Polares (a) Omnidireccional Plano-H;
(b) tipo Lápiz (volumétrico); (c) Direccional plano-E
El patrón de haz tipo lápiz es un patrón altamente direccional y es usado cuando se desea
obtener máxima ganancia y cuando la radiación debe ser concentrada en un sector angular
lo mas angosto posible. El ancho del haz en los dos planos principales es esencialmente
igual. El patrón de haz tipo abanico es similar al tipo lápiz excepto que la sección
transversal del haz es de forma elíptica en vez de circular. El ancho angular del haz en uno
de los planos es mucho mayor que en el otro plano.

6
El patrón de haz de forma arbitraria se usa cuando en uno de los planos se desea tener un
tipo de cobertura especificada. El patrón en el otro plano principal puede tener un ancho
angular angosto o en forma de circunferencia para cierto tipo de aplicaciones.
Hay otros tipos de patrones de diferentes formas utilizados en aplicaciones especiales
(cardioide, de multilóbulo, etc.).
El patrón de radiación de una antena, es particular para el tipo de antena y sus
características eléctricas así como también para sus dimensiones físicas. La medida del
mismo, se realiza a una distancia constante en las zonas apartadas de la antena. El patrón
de radiación de una antena es a menudo graficado en términos de potencia relativa
(normalizado). Esto es, la posición de la potencia máxima radiada es graficada a 0 dbs; así
la potencia de todas las otras posiciones aparecerá como un valor negativo.
En cualquier tipo de patrón de radiación, podrían aparecer haces (lóbulos) de radiación no
deseada, conocidos como lóbulos laterales o secundarios, los cuales están separados del
lóbulo principal y cuyo nivel se especifica con referencia al lóbulo principal generalmente
en dB bajo este. Puesto que estos no contribuyen en la dirección principal de interés,
siempre es deseable mantener los lóbulos laterales en niveles razonablemente bajos.
El patrón de radiación puede ser graficado usando coordenadas rectangulares o
coordenadas polares. Los gráficos en coordenadas rectangulares pueden ser leídos en
forma más precisa, sin embargo, los gráficos polares, dan una representación más real,
siendo así fácil la visualización.
Figura 1.2. Patrón de radiación en coordenadas rectangulares

7
1.4.- POLARIZACION
Aunque este término puede ser aplicado igual para polarización magnética o eléctrica, el
mismo es definido exclusivamente en términos de la orientación del vector intensidad de
campo eléctrico en la dirección de máxima radiación. Esto es, como varía la amplitud del
campo eléctrico en el tiempo, si nos ubicamos en un punto fijo en el espacio. Así, el
extremo del campo eléctrico podría describir una línea recta, una elipse o un círculo. Se
dice entonces que la polarización de una antena, es la polarización del campo eléctrico que
radiaría la antena en la dirección en que este sea máximo.
1.4.1.- POLARIZACIÓN LINEAL
En el caso de polarización lineal, el vector intensidad de campo eléctrico varía
senoidalmente en el tiempo en un plano (plano YZ) como se indica en la figura 1.3. Si un
observador, en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mira la punta del vector campo
eléctrico conforme transcurre el tiempo, observará, que este describe una trayectoria lineal,
y para este caso vertical. Se dice entonces que el campo eléctrico tiene polarización
vertical (polarización lineal). Si la trayectoria lineal es en el plano horizontal, se tendrá el
caso de polarización horizontal. El vector campo eléctrico podría también estar polarizado,
formando cualquier ángulo con los planos horizontal o vertical, sin embargo solo el ángulo
de 45 grados es utilizado, caso en el cual se conoce como polarización oblicua o inclinada.
Em sin (wt-Bz)
Figura 1.3. Variación del campo eléctrico con el tiempo en un punto fijo en el espacio para
polarización vertical.
Es importante entonces hacer notar, que la polarización de la antena receptora, debe
coincidir con la polarización de la radiación incidente, para detectar el máximo del campo

8
eléctrico. Si no sucede esto, será detectado solo el componente del campo en la dirección
de polarización de la antena.
1.4.2.- POLARIZACION ELIPTICA O CIRCULAR
La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica por lo que serán
revisadas juntas. Asúmase que el campo eléctrico radiado por una antena tiene dos
componentes que varían senoidalmente en el tiempo con un desfasamiento temporal y
espacial de 90 grados como se indica en la figura 1.4.
E = Em1 Sin(wt - Bz) i + Em2 Sin(wt – Bz + 90°) j
Figura 1.4 Polarización circular producida por dos ondas planas ortogonal mente
polarizadas en cuadratura de fase.
Un observador ubicado en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mirará que el campo
resultante en cada instante de tiempo, será la suma de los dos componentes. Si las
amplitudes de los componentes son iguales, el campo resultante siempre tendrá la misma
amplitud pero diferente dirección, describiendo por tanto una trayectoria circular como se
indica en la figura 1.4. Se trata entonces de un campo con polarización circular.

9
Si, las amplitudes de los componentes son diferentes (Ejem. Em2>Eml), el campo
resultante describirá una trayectoria elíptica con el eje mayor en la dirección vertical como
se indica en la figura 1.5. El campo eléctrico tendrá entonces polarización elíptica.
Figura 1.5 Dos casos de polarización elíptica: a) eje mayor vertical, b) eje mayor horizontal
Para el caso de los ejemplos, la amplitud del campo eléctrico resultante cambia de posición
rotando en la dirección horaria. Se dice entonces que se trata de POLARIZACIÓN
CIRCULAR A LA DERECHA que se abrevia como RHCP (Right Hand Circular
Polarization). Si el vector resultante, estuviese rotando en la dirección antihoraria se
conoce como POLARIZACIÓN CIRCULAR A LA IZQUIERDA que se abrevia como
LHCP (Left Hand Circular Polarization).
Las antenas pueden radiar energía no deseada con una polarización diferente a la esperada.
A esta radiación con polarización no deseada se la conoce como POLARIZACIÓN
CRUZADA. Para el caso de polarización lineal la polarización cruzada es perpendicular a
la polarización que se espera. Para polarización circular, la polarización cruzada puede ser
considerada como el componente que tiene el sentido de rotación opuesto al que se espera.
1.5.- GANANCIA DIRECTIVA
AKI
Ninguna antena real irradia energía uniformemente en todas las direcciones, por lo que
siempre existirá una mayor concentración de energía en cierta dirección. Si esta
concentración de energía es medida tomando como referencia un radiador ficticio sin
perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones, se tendrá una medida

10
de la concentración de potencia en una dirección particular para esa antena. A esta medida
de la concentración de potencia en una dirección particular (θ, φ) a una distancia fija (r) de
la antena se conoce como ganancia directiva de la antena.
Al radiador ficticio sin perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones
y que se lo toma como referencia se lo conoce como RADIADOR ISOTROPICO. La
ganancia directiva D(θ, φ) de una antena estará entonces dada por:
D(θ, φ) =
),(
)(
φθ
φθ
AVU
U ,
donde: U(θ, φ) = Intensidad de radiación
Uav= Intensidad media de radiación asumiendo distribución uniforme
Uav= P rad / 4π
La intensidad media de radiación asumiendo una distribución uniforme de potencia en
todas las direcciones (radiador isotrópico) se la puede obtener mediante la relación de la
potencia total radiada (P rad ) para el ángulo sólido total 4π. Esto es, la ganancia directiva
quedará:
D(θ, φ) = 4 π
AVP
U ),( φθ
La intensidad de radiación no es mas que la potencia radiada por unidad de ángulo sólido y
puede ser determinada como: U(θ, φ) = Sav r2
ó también así:
U(θ, φ) = (1/2ŋ)E2
(r, θ, φ) . r2
donde:
Sav = Densidad media de potencia
ŋ = Impedancia característica del aire = 120 π
r = Distancia radial desde la antena al punto donde se determina el campo
E(r, θ, φ) = Amplitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas (r, θ, φ)
El valor de la ganancia directiva D(r, θ, φ) en la dirección en que esta es máxima se
conoce simplemente como DIRECTIVIDAD.

11
1.6.- GANANCIA DE POTENCIA
La ganancia directiva de una antena es simplemente una función de la forma del patrón de
radiación de la antena. La ganancia de potencia por otro lado tiene en cuenta las perdidas
en la antena y está definida de manera similar a la ganancia directiva, excepto que en este
caso la potencia de entrada total a la antena es usada como referencia en vez de la potencia
total radiada. Siendo la diferencia entre estas dos potencias una medida de la eficiencia de
la antena; esto es:
Prad = e Pin
Donde e es la eficiencia, Pin es la potencia total de entrada a la antena y Prad es la potencia
total radiada por la antena.
La ganancia de potencia es entonces definida como:
G(θ, φ) = 4 π
inP
U ),( ϕθ
Y usando la relación anterior G(θ, φ) = e D(θ, φ)
Esto quiere decir que para antenas sin pérdidas donde la eficiencia es 100%, la ganancia
directiva y la ganancia de potencia son sinónimos. Esto sucede en el radiador isotrópico.
El valor de la ganancia de potencia en la dirección en que esta es máxima se conoce
simplemente como GANANCIA.
A menudo la ganancia de una antena está dada en decibelios tomando como referencia la
ganancia de un radiador isotrópico Go (que es 1) así:
G(dB) = 10 log (G/Go)
G(dB) = 10 log G -10 log Go
G(dB) = 10 log G
La ganancia expresada en dB teniendo como referencia el radiador isotrópico se conoce
con la unidad dBi. Por el contrario, si la referencia es el dipolo de longitud resonante, su
unidad se denomina dBd.
Las ganancias de las antenas varían entre valores de 2 dB para un dipolo, hasta valores
alrededor de 70 dB para una antena de estación de tierra satelital. Estas representan
ganancias lineales en relaciones de 1.5 a 10'000.000, respectivamente comparados con una
antena isotrópica.

12
1.7.- RELACION FRENTE A ESPALDA
La relación frente a espalda F/B (Front to Back ratio) es una medida de la habilidad de una
antena direccional para concentrar el lóbulo principal en la dirección requerida. En
términos lineales, esta es definida como la relación de la potencia máxima del lóbulo
principal para aquella del lóbulo en la dirección contraria (Backlobe). Esta, está
usualmente expresada en decibelios, como la diferencia entre los niveles del máximo en la
dirección frontal (forward) y el máximo en la dirección opuesta. Ver figura 1.6.
Figura 1.6. Patrón de radiación mostrando el lóbulo de espalda.
1.8.- RESISTENCIA DE RADIACION
La Resistencia de radiación de una antena es aquella resistencia equivalente, la cual
disiparía la misma cantidad de potencia que la antena irradia, cuando la corriente en esta
resistencia es igual a la corriente en los terminales de entrada de la antena. De acuerdo a
esto, la resistencia de radiación caracterizará la capacidad de la antena para la emisión de
energía electromagnética, y no provocará la transformación de energía eléctrica en térmica.
El valor de la resistencia de radiación, puede determinarse entonces, mediante la siguiente
relación:
Rrad = P rad / Iin
2

13
donde Prad , es la potencia total radiada por la antena y, Iin es la corriente en los terminales
de entrada a la antena.
1.9.-IMPEDANCIA
La impedancia de entrada de un sistema de antena es de considerable importancia, puesto
que esta directamente afecta la eficiencia de la transferencia de energía a ó desde la antena.
La impedancia de entrada de un sistema de antena depende no solamente de la impedancia
de los elementos individuales de la antena, sino también de la impedancia mutua entre los
elementos de la antena, así como de las condiciones de acoplamiento y montaje de la
antena.
Es extremadamente difícil determinar de manera teórica la impedancia de entrada de una
antena, aunque tenga una forma geométrica simple. Y aun, para estos casos simples existen
muchos tropiezos, por lo que es generalmente preferible usar inicialmente valores de
impedancia teóricos para propósitos de interpretar y guiar el procedimiento de medición
experimental.
1.10.- ANCHO DE BANDA
El ancho de banda de una antena es una medida de su habilidad para radiar o recibir
diferentes frecuencias, y se define como el rango de frecuencias en que la antena puede
radiar o recibir con una eficiencia de potencia del 50% o más (o, en voltaje con una
eficiencia del 70,7% o más). Un gran ancho de banda, es alcanzado sacrificando la
ganancia.
El ancho de banda es generalmente expresado en una de las dos formas: como un
porcentaje o como una fracción o múltiplo de una octava. (Una octava es una banda de
frecuencias entre una frecuencia y la frecuencia que es el doble o la mitad de la primera
frecuencia.) Cuando éste, está expresado como un porcentaje del ancho de banda, el mismo
debe ser repartido y expresado relativo a su frecuencia central.
Cuando el ancho de banda es expresado en forma de porcentaje, este es definido por la
relación:
Bw= (Δf / f) .100
donde f es la frecuencia central y Δf es el rango de frecuencia.
Ejemplo: Las frecuencias de operación de una antena están en el rango de 1 GHz. a 2GHz.,
expresar el este ancho de banda como un porcentaje.

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Solución: Si el rango de frecuencias es de 1 GHz a 2GHz , Δf será 2-1 = 1 GHz. y la
frecuencia central.5GHz. Utilizando la expresión anterior Bw= 66.7%. Entonces el ancho
de banda puede ser descrito como 66.7% a 1.5GHzó 1.5GHz + 33.3% ó 1.5GHz. +
0.5GHz.
Cuando el ancho de banda es expresado en términos de una fracción o múltiplos de una
octava, éste está definido por la siguiente relación:
Bw= log2( fsup / finf )
donde fsup es la frecuencia mayor y, finf es la frecuencia menor de operación.
1.11.- APERTURA EFECTIVA
Considerando una antena como dispositivo receptor, es sumamente útil emplear el
concepto de área efectiva. Si una antena receptora es ubicada dentro del campo de una
onda electromagnética linealmente polarizada, la potencia recibida disponible en los
terminales de la antena es igual al área efectiva que multiplica a la potencia por unidad de
superficie que transporta la onda (densidad de potencia).
Prec = Sav .Aeff ó Aeff = Prec / Sav
donde Prec es la potencia recibida en vatios, Sav es la densidad de potencia de la onda
presente en vatios por metro cuadrado, y, Aeff es el área efectiva de la antena en metros
cuadrados.
Existe una relación muy útil entre el área efectiva y su ganancia de potencia como sigue:
Aeff = λ2
G / 4π

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2. ANTENAS ELEMENTALES
2.1.- METODO DE ANALISIS
Uno de los métodos para determinar la configuración de los campos electromagnéticos
radiados por una antena es partir del conocimiento ya sea de la distribución de corriente en
la superficie de la estructura o del conocimiento de los campos en la superficie de la
misma. Puesto que es mas sencillo determinar o asumir de alguna manera la distribución
de corriente, antes que la forma de los campos, se enfoca el análisis generalmente a partir
de la distribución de corriente, mediante la utilización de funciones potencial auxiliares
como el vector potencial magnético o el vector potencial eléctrico. En este caso se
utilizará exclusivamente el vector potencial magnético.
2.1.1.- FUNCION POTENCIAL
Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en notación fasorial se tiene
que:
EjwsJHx
BjwHjwEx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ε
μ
+=∇
−=−=∇
donde el término sJˆ es el fasor densidad de corriente en la región, el mismo se lo tratará
como la fuente conocida de los campos electromagnéticos radiados.
Utilizando la identidad vectorial 0=×∇•∇ N
)
Y puesto que 0ˆ =•∇ B , entonces el vector Bˆ puede escribirse como el rotacional de una
función vectorial, que en este caso se la define como vector potencial magnético ( Aˆ ), esto
es,
AB ˆˆ ×∇=
reemplazando en la primera ecuación
0)ˆˆ(
)ˆ(ˆ
=+∇
∇−=∇
AjwEx
AxjwEx
y por la identidad vectorial 0=•∇×∇ V se tiene que
VAjwE −∇=+ ˆˆ

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donde el signo negativo es arbitrario y sirve para simplificar futuros resultados. Siendo V
la función potencial escalar eléctrico.
Por lo tanto si de alguna forma se puede determinar Aˆ y V, los vectores intensidad de
campo eléctrico e intensidad de campo magnético pueden encontrarse como
VAjwE
AxH
∇−−=
∇=
ˆˆ
ˆ1
0μ
)
Esto es, Aˆ y V pueden considerarse únicamente como funciones intermedias en el
proceso de determinación de los vectores de campo deseados.
De la ley de Ampere y utilizando la identidad vectorial del rotacional de una función
vectorial se tiene que
)ˆ(ˆˆ)ˆ(
ˆˆˆ
ˆˆ)(
000
2
000
0000
VAjwjwsJAA
EjwsJA
EjwsJH
∇−−+=∇−•∇∇
+=×∇×∇
+=×∇
εμμ
εμμ
εμμμ
)
de donde,
)ˆ(ˆˆˆ
ˆ)ˆ(ˆˆ
000
2
0
2
0000
2
0
2
VjwAsJAA
VjwAwAsJA
εμμβ
εμεμμ
+•∇∇+−=+∇
∇+−•∇∇+−=∇
ecuación que está en términos únicamente de las funciones potencial ( a ser determinadas)
Aˆ y V y de la fuente (densidad de corriente sJˆ ) la cual se asume conocida.
En este punto, se requiere más información de la función potencial auxiliar. Para
determinar completamente Aˆ , es necesario definir no solo el rotacional sino la
divergencia. Esto es, si se hace que,
VjwA 00
ˆ εμ−=•∇
relación conocida como condición de Lorentz, la ecuación anterior quedará
sJAA ˆˆˆ
0
2
0
2
μβ −=+∇
donde 000
εμωβ =
Se obtiene entonces una ecuación que relaciona exclusivamente al vector potencial
magnético con la densidad de corriente (fuente conocida), la misma que es similar a la
ecuación de la onda con un término adicional - sJˆ
0μ . Esta es una ecuación vectorial que
puede expandirse en sus componentes escalares, cada uno de los cuales será también una
ecuación diferencial parcial de segundo orden no homogénea. Esto es, asumiendo

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coordenadas rectangulares, los componentes escalares serán:
zzz
yyy
xxx
sJAA
sJAA
sJAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
μβ
μβ
μβ
−=+∇
−=+∇
−=+∇
La expresión que se asume como solución de este tipo de ecuación diferencial, es la
conocida expresión integral da por:
´
ˆ
4
ˆ
´
´0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
x
x ∫
−
=
β
π
μ
Teniendo la misma forma para el caso de yAˆ y zAˆ .
O en forma vectorial el vector Potencial magnético estará dado por:
´
'ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ
donde dv’ contiene a 'ˆsJ , R es la distancia entre el diferencial elemental de volumen y el
punto en el cual se está determinando Aˆ y r es la magnitud del vector posición del punto
donde se determina Aˆ .
De este modo entonces, si se conoce la distribución de corriente sobre la superficie del
radiador de una antena ( sJˆ ), mediante la solución de la expresión integral anterior se
puede determinar el vector potencial magnético, y conocido este los vectores del campo
electromagnético radiado de las expresiones
AxH ˆ1ˆ
0
∇=
μ
00
)ˆ(ˆˆ
εμjw
A
AjwE
•∇∇
+−=
Alternativamente, para puntos fuera de la distribución de corriente ( sJˆ = 0) el campo
eléctrico podría ser determinado como
Hx
jw
E ˆ1ˆ
0
∇=
ε
Pero ahora, por el momento, la principal dificultad será determinar sJˆ , sin embargo, la
forma aproximada de sJˆ podría deducirse experimentalmente o por razonamiento físico
para ciertas estructuras simples asumiendo que el mismo está localizado exclusivamente en

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la superficie de la antena. Por lo que las soluciones no son exactas para la mayoría de las
estructuras.
Para antenas de formas complicadas es difícil deducir la forma de sJˆ sobre la superficie de
la antena, por lo que para estos casos deberán utilizarse métodos más sofisticados para
aproximar soluciones, tales como el método de los momentos.
Para obtener una buena simplificación, la solución es típicamente restringida a puntos del
campo a grandes distancias desde la antena.
2.2 ANTENA DIPOLO HERTZIANO
Una antena simple para la cual se pueden calcular los campos de una manera directa no
complicada, es el dipolo Hertziano o dipolo eléctrico elemental. Esta antena ideal consiste
de un elemento infinitesimal de corriente (infinitesimal respecto de la longitud eléctrica),
de longitud “dl”, que transporta un fasor de corriente I
)
el mismo que se asume constante
en magnitud y fase a lo largo de toda la longitud del segmento.
Fig. 2.1 Antena dipolo eléctrico elemental
Así entonces, debido a que se conoce la distribución de corriente, el vector Potencial
magnético en un punto ubicado a una distancia radial r del origen de coordenadas y del
dipolo, puede determinarse como
´
´ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
eJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ

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Puesto de la densidad de corriente está en la dirección Z (k
)
) y la longitud dl del segmento
es sumamente pequeña comparada con la distancia radial r puede aproximarse en la
expresión integral sin cometer un apreciable error que (1/R) ≅ (1/r) en el caso de la
magnitud y que R ≅ r para la fase, y además, debido a que no existe ninguna especificación
respecto del diámetro del segmento diferencial de corriente, el integral de volumen se
transforma en un integral de línea a lo largo de la longitud del segmento. Esto es , Aˆ
queda
kdzIe
r
A
l
rj
))
´
4
ˆ 00
∫
−
= β
π
μ
de donde kdlIe
r
A rj
))0
4
ˆ 0 β
π
μ −
=
Este será entonces el vector potencial magnético a una distancia r de la antena, el mismo
que se encuentra expresado en función de la distancia radial r (coordenadas esféricas) y del
vector unitario k
)
(coordenadas rectangulares), por lo que para la determinación de H y E
será necesario transformar el mismo completamente a coordenadas esféricas o coordenadas
rectangulares para poder aplicar las operaciones diferenciales del rotacional.
Para expresarlo en coordenadas esféricas, se tiene que el vector unitario k
)
esta dado por
θθθ ˆcos senrk −=
))
de donde
θθ
π
μ
θ
π
μ ββ
ˆ
4
ˆcos
4
ˆ
00
00
sen
r
dleI
r
r
dleI
A
rjrj −−
−=
))
esto es, θθ
ˆˆˆ ArAA r += donde
θ
π
μ
θ
π
μ β
θ
β
sen
r
dleI
Ay
r
dleI
A
rjrj
r
4
cos
4
00
00
−−
−==
))
El vector Intensidad de campo magnético estará entonces dado por
AH ˆ1ˆ
0
×∇=
μ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θμ
ϕ
ϕθμ
θ
ϕ
θ
θθμ
θϕθ
ϕ
rr A
r
Ar
rr
ArA
senr
A
ASen
rsen
rH
ˆ)ˆ(1
ˆ
)ˆ(ˆ11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆ
000
)

20
de donde ϕ
θμ
θ
ˆ
ˆ)ˆ(1
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
= rA
r
Ar
r
H
)
esto es, ϕ
β
θ
π
β
ˆ
1
4
ˆ 0
2
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= −
r
j
r
eSen
Idl
H rj
lo que implica que ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=== −
r
j
r
eSen
Idl
HyHH rj
r
0
2
1
4
0ˆ,0 0
β
θ
π
β
ϕθ
))
Se observa entonces que el campo magnético radiado por esta estructura tiene solo un
componente en la dirección φ, el mismo que tiene la contribución de dos partes, la primera
que es proporcional a (1/r) y la segunda que es proporcional a (1/r2
). La primera parte se
denomina componente del campo en zonas apartadas puesto que si r es muy grande, el
término proporcional a (1/r2
) es despreciable, mientras que la segunda se denomina
componente del campo de inducción el mismo que domina en zonas cercanas, puesto que
si r es muy pequeño, el término proporcional a (1/r) es despreciable.
Conocido el campo magnético, es posible rápidamente determinar el campo eléctrico
aplicando localmente la primera ecuación de Maxwell, esto es
H
jw
E ˆ1ˆ
0
×∇=
ε
que se expande como:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θε
ϕ
ϕθε
θ
ϕ
θ
θθε
θ
ϕθ
ϕ
r
r
H
r
Hr
rjw
r
HrH
senrjw
H
HSen
Senjwr
rE
ˆˆ(1
ˆ
)
)ˆ(ˆ
(
11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆˆ
0
00
quedando θ
εθ
θ
θε
ϕϕ ˆ)ˆ(1
ˆ
)ˆ(1ˆ
00 r
Hr
rjw
r
HSen
Senjwr
E
∂
∂
−
∂
∂
=
de donde ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= −
23
0
1
cos2
4
1ˆ
r
oj
r
sene
dlI
Senjwr
E orj
r
β
θθ
πθε
β
)
0
1
4
ˆ
32
2
0
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
−
ϕ
β
θ
ββ
πε
θ
Ey
r
j
r
o
r
o
j
e
wr
IdlSen
E
orj )
Se observa entonces que el campo eléctrico tiene dos componentes un componente en la
dirección radial y un componente en la dirección θ, pero en el componente en la dirección
θ aparece una contribución de campo proporcional a (1/r3
), conocido como campo
electrostático, y que domina en la región sobre el dipolo donde los componentes

21
proporcionales a (1/r) y a (1/r2
) son despreciables.
2.2.1 CAMPOS DEL DIPOLO HERTZIANO EN ZONAS APARTADAS
Debido a que el interés del estudio de antenas radica principalmente en el conocimiento de
los campos en zonas apartadas (transmisión de información a distancia), las expresiones
anteriores para E y H pueden simplificarse notablemente si se desprecian las
contribuciones del campo de inducción (proporcional a 1/r2
) y del campo electrostático
(proporcional a 1/r3
), quedando
θθβη
π
β ˆ
4
ˆ orj
ooFF eSen
r
dlIj
E −
− =
)
ϕθβ
π
β
ˆ
4
ˆ orj
OFF eSen
r
dlIj
H −
− =
)
donde ooo
o
o
o wy εμβ
ε
μ
η ==
puede notarse además que,
FF
FF
o
H
E
−
−
=
ˆ
ˆ
η que no es mas que la impedancia
característica del medio en el que se propagan las ondas, en este caso el vacío. Por lo que
si se conoce el campo eléctrico, el campo magnético puede determinarse como
)ˆˆ(
1ˆ
FF
o
FF ErH −− ×=
η
o, por el contrario si se conoce el campo magnético, el campo
eléctrico será )ˆˆ(ˆ rHE FFoFF ×= −− η
Analizando las expresiones, del campo eléctrico y magnético, se observa que las mismas
tienen una amplitud que decrece como 1/r una función de θ, y una fase. A esta forma de
onda se la conoce como onda esférica, pues se propaga, radialmente en todas las
direcciones, y será la forma que tendrán los campos radiados por la mayoría de estructuras
como se verá mas adelante.
El vector de Poynting o vector densidad media de potencia esta dado por
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η θϕ
))
==×ℜ=
esto es, r
r
SenodlI
S o
AV
ˆ
32 22
2222
π
θβη
=

22
2.2.2 PATRON DE RADIACION DEL DIPOLO HERTZIANO
La gráfica del módulo de la densidad media de potencia para valores constantes de r se
conoce como el patrón de radiación. Para este caso se obtiene un patrón tridimensional
como se indica en la figura 2.2.
Fig. 2.2 Patrón de radiación tridimensional de la antena dipolo Hertziano
Se observa entonces, que la máxima radiación ocurre para un ángulo θ = 90°, mientras que
radiación cero para cualquier punto ubicado sobre el eje Z. La gráficas del patrón de
radiación en los planos E y H dan patrones como los que se indica en la figura 2.3, donde
el patrón en el plano E es direccional con máximos en θ = 90°, siendo el mismo para
cualquier ángulo φ, y el patrón en el plano H omnidirecional.

23
(a) (b)
Figura 2.4 (a) Patrón de radiación plano E (b) Patrón de radiación plano H
2.2.3 POTENCIA RADIADA
Para determinar la potencia total radiada por la antena, es necesario integrar el
vector de Poynting en la superficie esférica de radio r que rodea la antena, como se indica
en la figura 2.5.
Fig. 2.5 Superficie para la determinación de la potencia total radiada por el dipolo
Así entonces, sdSP AVAV
r
∫=

24
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθ
π
θβη
0
2
0
2
22
2222
ˆˆ
32
rddSenrr
r
SenodlI
P o
AV
)
∫=
=
π
θ
θθπ
π
βη
0
3
2
222
)2(
32
dSen
odlI
P o
AV
)
3
4
)2(
32 2
222
π
π
βη odlI
P o
AV =
12
222
π
βη odlI
P o
AV =
puesto que πη 120=o , entonces la potencia media total radiada por el dipolo hertziano
queda
10 222
odlIPAV β=
ó en función de la longitud de onda, sabiendo que
o
o
λ
π
β
2
= , la expresión del PAV queda
2
22
40 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
o
AV
dl
IP
λ
π
2.2.4 RESISTENCIA DE RADIACION
De acuerdo a la definición de resistencia de radiación la PAV será igual a
RIrms rad
2
=AVP
de donde, remplazando el PAV , y sabiendo que I2
= 2 I2
rms se tiene que
RIrms)2(40 rad
2
2
22
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
o
dl
Irms
λ
π
80R
2
2
rad ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
o
dl
λ
π
2.2.5 POLARIZACIÓN
De la expresión del campo eléctrico, θθβη
π
β ˆ
4
ˆ orj
ooFF eSen
r
dlIj
E −
− =
)
,

25
se observa, que el mismo, será máximo cuando θ = 90°, en la dirección θˆ que corresponde
a - k
)
en ese punto. Por lo que el campo eléctrico conforme transcurra el tiempo
describirá una trayectoria lineal, en este caso vertical. Se trata por tanto de una antena con
polarización vertical
2.3 DIPOLO MAGNETICO ELEMENTAL
El dipolo magnético elemental es un lazo conductor de radio “a”, en el que la longitud total
del lazo es sumamente pequeña comparada con la longitud de onda, y a través de la cual
circula una corriente I que se asume es igual en magnitud y fase a lo largo de todo el lazo
(ver Figura 2.6).
Fig. 2.6 Dipolo magnético elemental
Puesto que se conoce la corriente, el vector potencial magnético en un punto situado a una
distancia radial r del centro del lazo será
´
´ˆ
4
ˆ
´
dv
R
eJ
A
v
oRj
o
∫
−
=
β
π
μ
donde, debido a que el diámetro del conductor es despreciable comparado con su longitud,
el integral de volumen se transforma en un integral de línea a lo largo del lazo y J’ dv’ en I
dl, así, Aˆ queda
ld
R
eI
A
oRj
o
r
∫
−
=
β
π
μ ˆ
4
ˆ
utilizando el siguiente artificio, el exponente puede escribirse como

26
))()(()(
)(
rRjSenrRCose
eee
eeee
oo
rRoj
rRojorjoRj
orjorjoRjoRj
−−−=
=
=
−−
−−−−
−−−
βββ
βββ
ββββ
y puesto que R es muy semejante a r se tiene que
[ ] ( )[ ]RjrjerRjee oo
orj
o
orjoRj
βββ βββ
−+≈−−≈ −−−
1)(1
por lo que Aˆ queda ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+= ∫∫
−
ldIojld
R
I
orje
o
A rj
rr
ˆ
ˆ
1
4
ˆ 0
ββ
π
μ β
Puesto que I es un vector constante en magnitud y fase, el segundo integral es cero,
mientras que el primer integral es una expresión conocida dada por
ϕ
θπ
ˆ
ˆˆ
2
2
r
SenaI
ld
R
I
=∫
r
Así, el vector potencial magnético queda
( ) ϕβ
θπ
π
μ β
ˆ1
ˆ
4
ˆ 0
02
2
0 rj
erj
r
SenaI
A −
+=
de donde el vector H será
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
×∇=
δθ
δ
δθ
θδ
μ
ϕ
δ
ϕδ
δϕ
δ
θμ
θ
δθ
θδ
ϕθ
δθ
δ
θμ
μ
ArrA
rr
rAAr
Senr
A
ASen
rSen
rH
AH
o
o
)(1
ˆ
)(11ˆ)(
1
ˆˆ
ˆ1ˆ
00
θ
θ
δ
ϕδ
μ
ϕθ
δθ
δ
θμ
θ
ˆˆˆ
ˆ)(1
ˆ)(
1ˆ
HrHH
rA
r
rASen
rSen
H
r
oo
+=
−=
y por tanto,
rj
r e
r
j
r
aIjw
H 0
cos
11
2
ˆ
ˆ
33
0
22
00
2
0
2
0 β
θ
ββη
βμ −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
0ˆ
111
4
ˆ
ˆ 0
33
0
22
00
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+= −
ϕ
β
θ θ
βββη
βμ
H
esen
r
j
rr
j
aIjw
H rj
o
oo
y, el campo eléctrico podrá determinarse como

27
H
jw
E ˆ1ˆ
0
×∇=
ε
esto es,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
θε
ϕ
ϕθε
θ
ϕ
θ
θθε
θ
ϕθ
ϕ
r
r
H
r
Hr
rjw
r
HrH
senrjw
H
HSen
Senjwr
rE
ˆˆ(1
ˆ
)
)ˆ(ˆ
(
11ˆ
ˆ
)ˆ(
1
ˆˆ
0
00
ϕϕ
θε
ϕ
θ
ˆˆˆ
ˆˆ(1ˆ
0
E
H
r
Hr
rjw
E r
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
de donde, ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−= 22
22
11
sin
4
ˆ
ˆ
rr
j
aIw
jE
oo
oo
ββ
θ
βμ
ϕ
Esto es, el campo eléctrico y magnético quedan definidos completamente, observándose
que en este caso, el campo eléctrico tiene una expresión similar que la del campo
magnético del dipolo Hertziano, y a su vez, el campo magnético, una expresión similar al
campo eléctrico del dipolo Hertziano, con las contribuciones del campo electrostático,
campo de inducción y campo en zonas apartadas.
Considerando exclusivamente las contribuciones en zonas apartadas, las expresiones de los
campos quedan:
θθ
β β ˆ
4
ˆ
ˆ 0
22
rjo
FF esen
r
aI
H −
− −=
ϕθ
βη β
ˆ
4
ˆ
ˆ 0
22
rjoo
FF esen
r
aI
E −
− =
Donde nuevamente se observa que las mismas corresponden a una onda esférica, teniendo
la misma forma que para el caso del dipolo eléctrico.
El vector densidad media de potencia estará dado por
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η ϕθ
))
==×ℜ=
esto es, r
r
SenaI
S oo
AV
ˆ
32 2
2442
θβη
= o, r
r
SenA
IS
o
AV
ˆ1860 2
2
2
2
2 θ
λ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
donde A = πa2

28
La gráfica del módulo de esta expresión para valores constantes de r da una forma del
patrón de radiación tridimensional, similar que para el caso del dipolo Hertziano, como se
observa en la figura 2.7. Y los cortes de esta gráfica en los planos E y H, dan un patrón de
radiación omnidireccional en el plano E y direccional en el plano H como se observa en la
figura 2.8, Esto es, contrario de lo que ocurría con el dipolo eléctrico.
Figura 2.7 Patrón de radiación tridimensional del dipolo magnético elemental
(a) (b)
Figura 2.8 (a) Patrón de radiación plano – E, (b) Patrón de radiación plano - H
La potencia media total radiada por esta estructura se obtiene de igual forma que en el caso
anterior, esto es, integrando el vector de Poynting en toda la superficie esférica que rodea
el lazo.

29
Esto es,
sdSP AVAV
r
∫=
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθ
θβη
0
2
0
2
2
2442
ˆˆ
32
rddSenrr
r
SenaI
P oo
AV
∫=
=
π
θ
θθπ
βη
0
3
442
)2(
32
dSen
aI
P oo
AV
)
3
4
)2(
32
442
π
βη oo
AV
aI
P
)
=
puesto que πη 120=o , y además,
o
o
λ
π
β
2
= , entonces
2
2
2
15585 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
λ
A
IPAV
done A es el área del lazo.
Y de esta expresión, de acuerdo a la definición de resistencia de radiación se tiene que
RIrms rad
2
=AVP
de donde la resistencia de radiación será
31170R
2
2rad
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
o
A
λ
Tanto el dipolo eléctrico elemental como el dipolo magnético, son antenas sumamente
ineficientes esto es, requieren de corrientes excesivamente altas para irradiar bajas
potencias, o de muy altas potencias en el medio para inducir muy bajas corrientes, sin
embargo las expresiones obtenidas para estas antenas, permiten simplificar de cierta
manera el análisis de estructuras más complejas. Para el caso particular de la antena dipolo
magnético, esta se utiliza ampliamente a pesar de su baja eficiencia como antena receptora
en la banda de radiodifusión AM, debido a las altas potencias radiadas en esta banda.
Respecto de la polarización, se observa que el campo eléctrico se encuentra en la dirección
φ, y será máximo, para un ángulo θ = π/2, variando en el tiempo sobre el plano horizontal,
por lo que esta antena tiene polarización horizontal.

30
3. ANTENAS DE ALAMBRE
3.1 ANTENA DIPOLO LARGO
La antena dipolo largo o simplemente dipolo, consiste en un alambre delgado de longitud
comparable a la longitud de onda, que es excitado o alimentado con una fuente de voltaje
insertada en el punto medio como se muestra en la figura 3.1
Figura 3.1 Antena dipolo
Asumiendo que los alambres del dipolo son sumamente delgados, de tal manera que las
variaciones de la corriente en la superficie del alambre sean únicamente a través de la
longitud, y a pesar que no se conozca la distribución de corriente se puede tratar de hacer
una predicción razonable de la misma.
Así entonces, considerando los dos alambres como si se tratase de una línea de transmisión
la misma que tiene un circuito abierto como carga, el fasor I(z) estará distribuido
senoidalmente respecto de la posición a lo largo del alambre, y debido al circuito abierto en
la carga, la corriente debe ser cero en los puntos terminales. Entonces si una línea de
transmisión con esta distribución de corriente es abierta hasta formar un dipolo, la
distribución de corriente no deberá cambiar mayormente respecto de lo indicado como se
observa en la figura 3.2 para diferentes longitudes del dipolo.

31
Figura 3.2 Distribución de corriente a lo largo de líneas abiertas y sus correspondientes
dipolos de diferentes longitudes.
Se puede entonces predecir que la distribución de corriente tendrá la forma
2
0
2
Im)(
l
zz
l
SenzI o <≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= β
0
2
-
2
Im)( <≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= z
l
z
l
SenzI oβ
Debe notarse que estas expresiones son más razonables que la distribución asumida para el
dipolo Hertziano.
3.1.1 CAMPOS RADIADOS POR LA ANTENA DIPOLO
Así, entonces conocida la distribución de corriente en la superficie del dipolo, se puede
determinar el vector potencial magnético como
´
'ˆ
4
ˆ
´
0
0
dv
R
esJ
A
v
Rj
∫
−
=
β
π
μ

32
y, los campos radiados por las expresiones
AxH ˆ1ˆ
0
∇=
μ
00
)ˆ(ˆˆ
εμjw
A
AjwE
•∇∇
+−=
sin embargo, un método mas fácil y directo podría ser utilizar los resultados obtenidos para
el dipolo hertziano, considerando los campos del dipolo de longitud l, como la
superposición de los campos debido a pequeños dipolos hertzianos de longitud dz’, cada
uno de los cuales tiene una corriente constante I(z’). Por ejemplo considerando el
segmento infinitesimal dz’, como se indica en la figura 3.3
Figura 3.3 Principio de superposición para la determinación de los campos
radiados por la antena dipolo.
Así, el campo total será el integral de las contribuciones de todos los elementos
infinitesimales a lo largo de la longitud del dipolo. El integral con todas las contribuciones
de los campos de inducción y electrostático es sumamente complicado, por lo que se
consideran únicamente los campos en zonas apartadas que son los de real interés.
En este caso el campo eléctrico F-F de un segmento diferencial será:

33
R
eSendzzIj
Ed
Rj
oo
o
π
θβη β
θ
4
´´´)(ˆ
−
=
Puesto que r >> l , para el caso de la amplitud puede decirse que R≅ r y θ ≅ θ’, sin
embargo, para la fase, no puede utilizarse la misma aproximación ya que el cambio de fase
no depende de la distancia física R, sino de la distancia eléctrica R/λo. Esto es, por
ejemplo si R=1000,5 m , λo=1m, y r=1000m, entonces despreciar 0,5m en R representa
despreciar 180° de diferencia de fase, por lo que se hace necesario introducir otra
aproximación para la fase, esto es, asumiendo que R es aproximadamente paralela a r
debido a la gran distancia del punto en zonas apartadas, como se observa en la figura 3.4, R
puede ser aproximada entonces por R = r – z’cosθ.
R = r – z’cosθ
Figura 3.4 Aproximación para la fase
Sustituyendo estas aproximaciones en la expresión para el campo eléctrico del segmento
diferencial se tiene que
r
eSendzzIj
Ed
Coszroj
oo
π
θβη θβ
θ
4
´´)(ˆ
)´( −−
=
y el campo eléctrico total en zonas apartadas será
∫
−
−−
=
2
2
)´(
´´)(
4
ˆ
l
l
Coszrojoo
dzezI
r
Senj
E θβ
θ
π
θβη
reemplazando la expresión para la distribución de corriente en las dos secciones del dipolo
queda
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′+= ∫ ∫
−=′ =
−
0
2
2
0´
´´
´
2
Im´
2
Im
4
ˆ 00
l
z
l
z
Cosjz
o
Cosjz
o
rjoo
dzez
l
Sendzez
l
Sene
r
Senj
E o θβθββ
θ ββ
π
θβη
realizando una sustitución de variables y cambiando el signo del primer integral, la
expresión puede escribirse como

34
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−+′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′−= ∫ ∫=′ =
′−−
2
0
2
0´
´
´
22
Im
4
ˆ
l
z
l
z
oCosjz
o
oCoszj
o
rjoo
dzez
l
Senzdez
l
Sene
r
Senj
E o θβθββ
θ ββ
π
θβη
de donde
´)(´
2
Im
4
ˆ
2
0
´
dzeez
l
Sene
r
Senj
E
l
CosozjoCoszj
o
rjoo o
∫ +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= ′−− θβθββ
θ β
π
θβη
´)´(´
2
2Im
4
ˆ
2
0
dzCoszCosz
l
Sene
r
Senj
E
l
oo
rjoo o
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= −
θββ
π
θβη β
Aplicando la identidad trigonométrica SinA CosB = (1/2) (Sin(A+B) +Sin (A-B)) se tiene
que
´´´
2
´´
2
Im
4
ˆ
2
0
dzCoszz
l
SenCoszz
l
Sene
r
Senj
E
l
oooo
rjoo o
∫ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= −
θββθββ
π
θβη β
θ
e integrando
2
0
)1(
)1(´(
2
´
)1(
)1(´(
2
Im
4
ˆ
l
o
oo
o
oo
rjoo
Cos
Cosz
l
Cos
Cos
Cosz
l
Cos
e
r
Senj
E o
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−
= −
θβ
θββ
θβ
θββ
π
θβη β
θ
de donde,
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
2
22
2
ˆ
θ
βθβ
π
θη β
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
e
r
SenIj
E
oo
rjmo o
esto es, rjmo o
eF
r
Ij
E β
θ θ
π
η −
= )(
2
ˆ
donde
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
βθβ
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
F
oo
22
)(

35
Aplicando el mismo procedimiento para el campo magnético, se tiene que
rjm o
eF
r
jI
H β
ϕ θ
π
−
= )(
2
ˆ
con lo que quedan determinados los campos radiados por la antena dipolo en zonas
apartadas, esto es
θθ
π
η β ˆ)(
2
ˆ rjmo
FF
o
eF
r
Ij
E −
− = y ϕθ
π
β
ˆ)(
2
ˆ rjm
FF
o
eF
r
jI
H −
− =
Una vez conocidos los campos radiados el vector densidad media de potencia será
r
E
r
H
HEeS
o
o
AV
ˆ
2
ˆ
2
)ˆˆ(
2
1
22
*
η
η θϕ
))
==×ℜ=
r
r
F
S o
AV
ˆ
8
)(Im
22
22
π
θη
=
3.1.2 PATRON DE RADIACION DE LA ANTENA DIPOLO
La grafica del modulo del vector Sav para valores constantes de r, básicamente
corresponde a la gráfica del módulo de la función F2
(θ), la misma que no puede obtenerse
mientras no se defina la longitud de la antena dipolo (en longitudes de onda). Así, dando
diferentes valores a la longitud de la antena dipolo, se obtienen las gráficas que se indican
en la figura 3.5 en las mismas que únicamente se representan los cortes en el plano E
debido a la complejidad de las gráficas tridimensionales.

36
Figura 3.5 Patrones de radiación en el Plano - E de la antena dipolo para diferentes
longitudes (a) l = 0,5 λ; (b) l = λ; (c) l = 1,25 λ; (e) l =2 λ; (f) l = 3 λ
De estas gráficas puede observarse, que dependiendo de la longitud, la antena dipolo puede
radiar en diferentes direcciones considerando el plano E, mientras que para el plano H (no
graficado) los patrones son generalmente omnidireccionales. Para el caso particular de la
antena dipolo de λ /2 que se conoce como antena dipolo de longitud resonante (por razones
que se indicarán mas adelante), el patrón de radiación es similar al de la antena dipolo
Hertziano (Figura 2.2), esto es direccional en el plano E y omnidirecional en el plano H
3.1.3 POTENCIA RADIADA POR LA ANTENA DIPOLO
La potencia media total radiada por la antena dipolo será
sdSP AVAV
r
∫=

37
∫ ∫= =
•=
π
θ
π
ϕ
ϕθθθ
π
η
0
2
0
22
22
2
ˆˆ)(
8
rddSenrrF
r
I
P mo
AV
∫=
=
π
θ
θθθπ
π
η
0
2
2
2
)()2(
8
dSenF
I
P mo
AV
reemplazando el valor de la impedancia característica, la expresión queda
∫=
=
π
θ
θθθ
0
22
)(30 dSenFIP mAV
Donde el integral de esta expresión no puede obtenerse en forma cerrada para ninguna
longitud de la antena dipolo debiendo ser evaluado en forma numérica.
3.1.4 DIPOLO DE LONGITUD RESONANTE
Para el caso particular de la antena dipolo de longitud resonante (l = λ/2) este integral se
evalúa numéricamente como
2186,1)(
0
2
=∫=
π
θ
θθθ dSenF
por lo que la potencia total radiada por la antena de longitud resonante será
)(5,36
)2186,1(30
2
2
vatiosIP
IP
mAV
mAV
=
=
Nótese que para el dipolo de ½ longitud de onda, la corriente en la entrada de la antena (z
= 0) es Îin = Îm Sin βo(l/2) y puesto que l/2 = λ/2, entonces Îin = Îm . Esto es, la amplitud de
la distribución de corriente a lo largo del dipolo es el valor de la corriente en los terminales
de entrada de la antena.
Puesto que el valor RMS de la corriente de entrada a la antena está dado por ( 2/mI
)
), la
potencia radiada será
radrmsrmsrad RIIP
22
25,36 ==
de donde la resistencia de radiación para la antena dipolo de ½ longitud de onda queda
Ω= 73radR
valor que es muy conocido y que se lo normaliza general mente en 75 ohmios.

38
Para el caso de una antena dipolo de cualquier longitud, la expresión de la resistencia de
radiación será
∫=
=
π
θ
θθθ
0
2
)(60 dSenFRrad
3.1.5 IMPEDANCIA DE LA ANTENA DIPOLO
La impedancia total vista en los terminales de entrada de una antena dipolo será igual en
forma general a una parte real más una parte imaginaria, esto es
Zant = Rin + j Xin
Donde la parte real de la impedancia de la antena puede ser determinada o aproximada en
función de la resistencia de radiación y la resistencia de perdidas de la estructura, mientras
que la determinación de la parte reactiva (imaginaria), es sumamente compleja incluso para
las estructuras más simples.
para determinar la parte real, consideremos la corriente en los terminales de entrada de la
antena, esto es si evaluamos z = 0 en la ecuación de la distribución de corriente esta queda
)
2
(
l))
omin SinII β=
que para el caso en el cual si la longitud del dipolo es algún múltiplo impar de λ/2 se
tendrá que min II
))
= .
La potencia entregada a la antena debido a la corriente en su entrada estará dada en
función de la parte real de la impedancia de la antena como
in
in
ant R
I
P
2
2
= ,
esto es, ino
m
ant RSin
I
P )
2
(
2
2
2
l
β=
por otro lado, la potencia radiada por la antena será rad
m
rad R
I
P
2
2
=
y para el caso en el que se pueda asumir que las pérdidas en la antena sean totalmente
despreciables, la potencia entregada a la antena será simplemente la potencia radiada por la
antena, así,

39
ino
m
rad
m
antrad RSin
I
R
I
PP )
2
(
22
2
22
l
β===
de donde, )
2
(2 l
oinrad SinRR β=
Esto es, para antenas sin pérdidas en las que la longitud es un múltiplo impar de λ/2, la
resistencia de radiación será igual a la parte real de la impedancia de la antena., y si la
longitud es diferente, se aplica la relación anterior.
Para el caso en el que las perdidas no sean despreciables, la parte real de la impedancia de
la antena por el factor )
2
(2 l
oSin β , puede estimarse como la suma de la resistencia de
radiación más la resistencia de perdidas de la antena.
3.1.5.1 RESISTENCIA DE PERDIDAS
La resistencia de pérdidas puede ser determinada aproximadamente de la siguiente forma:
Utilizando conocimientos en líneas de transmisión, puede determinarse la resistencia por
unidad de longitud de los conductores, para luego conocido este valor encontrar la potencia
total disipada en las pérdidas óhmicas integrando las pérdidas de potencia en los segmentos
diferenciales, como sigue:
La potencia de pérdidas a lo largo del dipolo será
∫
−
=
2
2
2
´
2
´)(
l
l
WLOSS dz
zI
rP
donde rw es la resistencia por unidad de longitud del conductor.
O también puede ser determinada en función de la resistencia de perdidas como
LOSS
in
LOSS R
I
P
2
2)
=
de donde, la resistencia de pérdidas será

40
2
´
2
´)(
2
2
2
2
in
l
l
W
LOSS
I
dz
zI
r
R )
∫
−
=
Para establecer la resistencia por unidad de longitud del conductor, es necesario realizar
cierta aproximación, pues la corriente tiende a fluir exclusivamente por la superficie del
conductor y puede asumirse que solo penetra una distancia igual a una profundidad de piel
(δ) en el conductor como se muestra en la figura 3.6, por lo que la resistencia por unidad de
longitud será
Figura 3.6 Sección transversal por donde circula la corriente de grosor δ
A
rW
σ
1
=
donde A, es el área de la sección transversal que estará dada por A = 2 π ra δ, siendo ra el
radio del conductor y δ la profundidad de piel, la misma que esta dada por
σμ
δ
w
2
=
esto es,
δπσ a
W
r
r
2
1
=
Reemplazando en la expresión de la resistencia de pérdidas e integrando la misma para la
distribución de corriente I(z’) a lo largo de la longitud del dipolo se tiene que
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
l
lSen
r
l
R
a
LOSS
β
β
σδπ
1
4

41
Expresión que permite estimar la resistencia de pérdidas de una antena dipolo de cualquier
longitud.
Para el caso de una antena dipolo de longitud λ /2, βl = π por lo que
σδπ
λ
a
o
LOSS
r
R
8
= para l = λ /2
De esta manera se puede estimar la parte real de la impedancia de la antena, mientras que
la determinación de la parte reactiva de la impedancia es difícil porque esta requiere de
expresiones precisas para la corriente de excitación sobre la antena y de los campos
reactivos resultantes en las zonas cercanas.
La impedancia de la antena está relacionada con la potencia y energía reactiva almacenada
de la siguiente forma
( )
2
ˆ
2
*
inin
LOSSrad
II
WeWmwjPP
Zant
−++
=
donde, Prad es la potencia radiada, PLOSS es la potencia disipada en las pérdidas óhmicas,
Wm y We son las energías magnética y eléctrica media almacenadas en los campos de las
zonas cercanas , w la frecuencia e Iin la corriente en los terminales de entrada.
Cuando, la energía eléctrica y magnética almacenadas son iguales, una condición de
resonancia existe, y la parte reactiva de la impedancia de la antena se desvanece. Para una
antena dipolo delgada, esto ocurre cuando la longitud de la antena es muy cercana a 0,5 λ.
El comportamiento general de la impedancia de entrada de una antena dipolo de longitud
l, formada por un cilindro de diámetro d se muestra en la figura 3.7
Estas curvas experimentales son el resultado de muchas mediciones en antenas de
diferentes longitudes y diámetros y de la comparación con valores obtenidos
analíticamente. Las mismas sirven para mostrar el comportamiento de la impedancia de las
antenas dipolo habiéndose graficado la parte real y la parte reactiva como función de la
longitud para diferentes longitudes eléctricas (en longitudes de onda) de la antena y para
diferentes relaciones longitud para el diámetro.

42
Figura 3.7 Curvas típicas de impedancia de una antena dipolo
(a) Parte real; (b) Parte reactiva
En la gráfica de la figura 3.7 (a) donde se representa la parte real, se observa que para
longitudes menores a 0,25λ la parte real es prácticamente cero, para longitudes entre 0,25λ
a 0,5λ la parte real es pequeña llegando a ser aproximadamente 73 ohms para 0,5λ e
independiente del diámetro de la antena. Para longitudes mayores a 0,5 λ la parte real
puede tomar cualquier valor dependiendo de la longitud y del diámetro de la antena. Se
observa además que mientras mayor es el diámetro (relación longitud /diámetro menor) las
curvas tienen menor pendiente, esto implica que mejora el ancho de banda conforme se
incrementa el diámetro.
La gráfica de la figura 3.7 (b) muestra la parte reactiva de la impedancia en la que puede
observarse que para una longitud de la antena aproximadamente de 0,48λ la reactancia es
cero para todas las curvas independientemente del diámetro de la estructura. Es decir
ocurre la resonancia, siendo la impedancia de la antena en esta condición puramente
resistiva y aproximadamente igual a 73 ohms. Esta es una característica sumamente
importante por lo que a esta longitud se la denomina longitud resonante que generalmente
se la aproxima a 0,5 λ, a pesar de ser ligeramente menor. Una segunda resonancia ocurre
entre 0,8λ y 0,9λ y conforme el diámetro disminuye, el punto de resonancia se acerca a l
= λ, pero en este caso la resistencia de radiación alcanza valores grandes, y para un
pequeño cambio de frecuencia la reactancia cambia mucho.
Para una antena un poco mas gruesa la resistencia y la reactancia son mas uniformes

43
respecto de los cambios en l/λ , función que es deseada para que una antena opere mejor
sobre una banda de frecuencias. Debe notarse también, que una antena de longitud menor
a 0,5 λ tiene una resistencia de radiación pequeña y una gran reactancia capacitiva que
podría eliminarse y entrar en resonancia con un inductor en el punto de alimentación de la
antena, pero esto reduce la eficiencia debido a las pérdidas óhmicas en el inductor.
Debe quedar claro, que la impedancia de la antena es influenciada en una forma no
predecible por la capacitancia asociada con la unión física donde la línea de transmisión es
conectada a la antena. La estructura usada para soportar la antena, también influencia la
impedancia de la antena, consecuentemente las curvas indicadas únicamente muestran el
comportamiento típico de estas antenas.
Una expresión práctica que es válida únicamente cuando la longitud de una antena con
alimentación central no es mucho menor que λ /2 (en la práctica es el rango más útil) , se
reduce a la siguiente forma
[ ][ ])2/()2/cot(1)2/ln(120)2/( llll βββ XajRZant −−−=
impedancia que corresponde a una antena cilíndrica de radio “a” y longitud l.
Las funciones R(βl/2) y X(βl/2) se encuentran tabuladas para el rango de 0 < βl/2 < π/2
como se indica a continuación:
(βl/2) R(βl/2) X(βl/2) (βl/2) R(βl/2) X(βl/2)
0,1 0,1506 1,010 0,9 18,16 15,01
0,2 0,7980 2,302 1,0 23,07 17,59
0,3 1,821 3,818 1,1 28,83 20,54
0,4 3,264 5,584 1,2 35,60 23,93
0,5 5,171 7,141 1,3 43,55 27,88
0,6 7,563 8,829 1,4 52,92 32,20
0,7 10,48 10,68 1,5 64,01 38,00
0,8 13,99 12,73 π/2 73,12 42,46
Tabla 3.1 Valores de las funciones R y X para el cálculo de la impedancia de la antena
dipolo.

44
Si (βl/2) cae entre dos valores de la tabla, las funciones R(βl/2), y X(βl/2) pueden
determinarse utilizando interpolación lineal. Por ejemplo si θ es el valor de (βl/2) deseado
y cae entre los valore θ1 y θ2 de la tabla, entonces el valor de la función R(θ) estará dado
por
[ ]
)12(
)1()2()1(
)1()(
θθ
θθθθ
θθ
−
−−
+=
RR
RR
Para antenas de longitud mayor a 0,5λ, existen muchas expresiones, sin embargo, ninguna
de estas es lo suficientemente simple en cuanto al cálculo numérico que concierne las
mismas para ser expuestas en este punto y además la importancia y utilización de antenas
de estas longitudes es mínima.
3.2 ANTENA DIPOLO DOBLADO
Esta antena consiste de dos conductores de longitud l conectados en sus extremos como se
indica en la figura 3.8. Un o de los conductores es abierto en el centro y conectado a la
línea de transmisión. La antena dipolo doblado tiene una resistencia de radiación de 292
ohms y por lo tanto útil con líneas de transmisión de impedancia 300 ohms, el cual es el
nivel de impedancia común en televisión. La antena dipolo doblado por construcción
tiene una línea de transmisión equivalente que actúa como stub de sintonía compensando
variaciones de impedancia de la antena con la frecuencia. Así, la banda de frecuencias de
operación útil, para esta antena es mayor que para la antena dipolo convencional de
espesor equivalente.
Figura 3.8 Antena dipolo doblado o dipolo plegado
En la frecuencia de resonancia donde l = λ/2, la corriente en cada conductor es la misma,
puesto que los conductores tienen el mismo diámetro y la separación eléctrica entre los
mismos es despreciable. La razón para esto es el fuerte acoplamiento mútuo entre los dos
conductores.

45
La corriente en cada conductor puede ser aproximada por
2
Im)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= z
l
SenzI oβ .
Puesto que, los conductores están separados por una pequeñísima facción de longitud de
onda, hay una diferencia de fase despreciable en el campo radiado desde cada conductor.
Consecuentemente el campo radiado es dos veces más fuerte que aquel radiado por un
simple conductor. La potencia radiada será entonces 4 veces más grande. Puesto que la
corriente aplicada por la línea de transmisión es únicamente Im, la resistencia de radiación
referida a los terminales de entrada de la antena, es incrementada en un factor de 4 sobre
aquella de la antena dipolo convencional. Esto es la potencia radiada será
2
56,364
2
2 m
radmrad
I
RIxP ==
esto es,
Ω== 5,29256,368xRrad
Para comprender las características de compensación de impedancia del dipolo doblado,
su operación puede ser vista como la superposición de los efectos obtenidos de la
operación de esta estructura como una antena y como una línea de transmisión.
Las gráficas (b) y (c) de la figura 3.9 muestran dos formas de operación de esta estructura.
(a) (b) (c)
Figura 3.9 Efectos de operación de la antena dipolo doblado
La excitación en la figura 3.9 (b), producirá corrientes iguales en los dos conductores y
funcionará como una antena dipolo convencional. La excitación en la figura 3.9 (c),
producirá corrientes opuestas en cada conductor, o en otras palabras hará funcionar a la
estructura como dos líneas de transmisión terminadas en cortocircuito y conectadas en
serie. Puesto que las corrientes en la línea de transmisión están en direcciones opuestas y
con una separación muy pequeña, la radiación desde las dos es casi completamente
cancelada. Cuando el efecto de los dos métodos de excitación de la estructura se
superponen, el voltaje resultante que maneja un conductor llega a ser V y se reduce a cero

46
en el otro conductor. La corriente de entrada puede ser encontrada por la adición de las
corrientes en el conductor principal debido a las dos formas de excitación.
Figura 3.10 Excitación como antena dipolo equivalente
En la figura 3.10 se muestra la antena dipolo equivalente para la cual, la corriente 2I1 esta
dada por
Zdip
V
I
1
2
2 1 = o, Ydip
V
I
2
2 1 = de donde, Ydip
V
I
4
1 =
siendo Ydip la admitancia de entrada de una antena dipolo construida con dos conductores
paralelos conectados en los extremos y en el centro como se indica en la figura 3.10, donde
la estructura dipolo equivalente tiene un radio que puede determinarse con la siguiente
relación
11
22
21 )ln2ln(
)1(
1
lnln
a
d
vy
a
a
udondevuuu
u
aaeq ==+
+
+=
Ahora debido al efecto como línea de transmisión equivalente la corriente I2, como se
observa en la figura 3.11 puede estará dada por

47
Figura 3.11 Efecto como línea de transmisión equivalente
Yin
V
I
2
2 =
donde Yin es la admitancia de entrada del segmento de línea de transmisión terminada en
corto circuito y por lo tanto esta dada por
)2/cot(
1
lβojY
Zin
Yin −==
siendo Yo la admitancia característica de la línea de transmisión formada por dos
conductores paralelos, la misma que puede determinarse como
o
o
Z
Y
1
= donde,
21
1
2
cosh120
aa
d
Zo
−
=
Entonces, I2 quedará:
)2/cot(
2
2 lβoY
V
jI −=
Cuando las dos excitaciones como se indica en la figura 3.9 se superponen, se obtiene la
excitación original, por lo que la corriente I en el conductor principal será
I = I1 + I2
Y la admitancia vista en los terminales de entrada de la antena estará dada por
V
I
V
I
V
II
V
I
Yant
2121
+=
+
==

48
reemplazando I1 y I2 de las expresiones anteriores se tiene que
)2/cot(
24
1
lβo
ant
Y
j
Y
Y −=
debe notarse que la admitancia de la antena dipolo (simple) se reduce en un factor de 4
y una admitancia de compensación es adicionada en paralelo. Cuando l = λ/2, la
admitancia de compensación se hace cero puesto que 2/lβ = π/2 . Para antenas de
conductores sumamente delgados, esta entra en resonancia cuando l = λ/2 y en este caso
Y1=(73,13)-1
ohms-1
de tal forma que Zant = Rant = 292,5 ohms. Para 2/lβ diferente
de π/2, se tiene que Y1 = G1 + j B1 con B1 positivo (o capacitivo si l << λ/2 ) para 2/lβ
< π/2 y puesto que - )2/cot(
2
lβoY
j es una suceptancia inductiva, se produce la
compensación. Para l > λ/2 , la suceptancia B1 de la antena ( antena dipolo de dos
conductores) es negativa, pero la )2/cot( lβ también cambia de signo ( l > λ/2), así que la
compensación nuevamente se produce. Con una selección apropiada de las dimensiones
del dipolo doblado, el ancho de banda de operación, puede ser incrementado en una
cantidad considerable sobre aquel de un dipolo convencional del mismo espesor
equivalente. En dipolos doblados prácticos la longitud resonante es ligeramente menor que
λ/2, y por lo tanto las frecuencias de resonancia de la antena y de la línea de transmisión no
coinciden exactamente.
El dipolo doblado, no está limitado a ser una estructura con dos conductores de igual
diámetro. Mediante la variación de la relación del diámetro de los conductores la
impedancia puede ser variada desde menos de 2 a 20 o mas veces. Es también, posible
conectar 3 o mas conductores en paralelo. Para tres conductores idénticos, la impedancia
es incrementada en un factor de 9.
En la práctica las antenas dipolo de longitud resonante ( l = λ/2) son las más utilizadas para
las cuales la impedancia de la antena formada por dos conductores de diferente radio puede
ser estimada con la relación
1
2
)2/( )1( ZaZant +=λ
donde Z1 es la impedancia del dipolo resonante equivalente formado por los conductores
conectados en paralelo con un radio equivalente aeq. (1+a)2
es la relación de
transformación que fija el incremento de impedancia donde “a” está dada por

49
Figura 3.12 Relación de transformación de impedancia del dipolo doblado
11
2
22
1
22
1
2
1
2
1
a
d
vy
a
a
usiendo
vu
uv
Cosh
v
uv
Cosh
a ==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
=
−
−
La relación de transformación de impedancia puede ser determinada rápidamente en la
gráfica que se indica en la figura 3.12
El patrón de radiación de la antena dipolo doblado es exactamente igual que para el caso de
la antena dipolo simple, al igual que su polarización, mientras que el ancho de banda puede
incrementarse hasta en un 5% de su frecuencia central.

50
3.3 ANTENA DIPOLO CORTO
A bajas frecuencias donde la longitud de onda es sumamente grande, las limitaciones de
espacio, a menudo no permiten el uso de una antena dipolo de longitud resonante (media
longitud de onda), sino muchísimo menor. Como consecuencia la resistencia de radiación
se reduce considerablemente, por lo que algún medio debe ser empleado para eliminar la
gran reactancia capacitiva que presenta la impedancia de esta antena. Esto último es
usualmente logrado mediante el uso de uno o más inductores conectados en serie con la
antena. Las pérdidas adicionales en estas bobinas de sintonía reducen la eficiencia y
ganancia. El arreglo más simple serían bobinas en la entrada como se muestra en la figura
3.13.
Figura 3.13 Compensación de la alta reactancia capacitiva mediante bobinas en la
entrada
Sin embargo, se ha observado, en la práctica, que si las bobinas son movidas hacia el
centro de cada brazo del dipolo, entonces una distribución de corriente más uniforme en la
antena es obtenida, lo que incrementa la resistencia de radiación.
Para un dipolo corto, la distribución de corriente es triangular y la potencia radiada es
proporcional al cuadrado del área bajo la distribución de corriente. Si una distribución de
corriente uniforme puede ser lograda, un incremento en la resistencia de radiación hasta en
un factor de 4 sobre aquella para una distribución triangular puede ser obtenido.
Para observar como estas bobinas ubicadas en el centro del brazo del dipolo, pueden
mejorar la distribución de corriente, la antena es modelada como una línea de transmisión
terminada en circuito abierto como se muestra en la figura 3.14

51
(a) (b)
Figura 3.14 (a) compensación inductiva en el centro del brazo del dipolo
(b) Antena como línea de transmisión equivalente
La inductancia de las bobinas debe ser escogida, de tal forma que la antena se haga
resonante (como si la longitud efectiva de la línea de transmisión fuese λ/4). Esto es
equivalente a hacer este modelo de línea de transmisión efectivamente un cuarto de
longitud de onda, lo que significa que la impedancia de entrada en la línea de transmisión
equivalente debe hacerse cero. Así, a la izquierda de las bobinas, la impedancia Z1 será:
)4/tan()(
)4/tan()(
1 0
l
l
β
β
∞=+
+∞=
+=
Lo
oL
o
ZjZ
jZZ
ZjwLZ
)4/cot(1 0 lβojZjwLZ −=
y, por lo tanto, en la entrada de la línea se tendrá que:
)4/tan())4/cot((
)4/tan())4/cot((
)4/tan(1
)4/tan(1
0
0
ll
ll
l
l
ββ
ββ
β
β
oo
oo
o
o
o
o
jZjwLjZ
jZjZjwL
ZZin
jZZ
jZZ
ZZin
−+
+−
=
+
+
=
Pero para que esta línea de transmisión sea equivalente a una línea de un cuarto de longitud
de onda, Zin debe ser cero. Por lo que el numerador de la expresión anterior deberá ser
cero, esto es,
0)4/tan())4/cot(( 0 =+− ll ββ oo jZjZjwL
Así, entonces se tiene que
)4/tan()4/cot(0 ll ββ oo ZZwL −=
expresión que determina el valor de inductancia requerida para que se produzca la
condición de resonancia Zin=0.
Considerando ahora las ecuaciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión se
tiene que :

52
)(
)(
zjzj
o
zjzj
ee
Z
V
I
eeVV
ββ
ββ
−
+
−+
Γ−=
Γ+=
l
l
Debido a la condición de impedancia cero en la entrada, la distribución de voltaje
estacionario deberá tener un nodo cero en la entrada y la onda estacionaria de corriente
deberá tener un máximo. Por lo que tomando como punto de referencia z = 0 a la entrada,
las ecuaciones de voltaje y corriente pueden escribirse como:
zCosII
zSinVV
β
β
1
1
=
=
siendo la relación entre I1 y V1 I1 = j(V1/Zo)
Figura 3.15 Relación de voltaje y corriente estacionario en la antena
En la sección a la derecha de las bobinas, la onda estacionaria de corriente debe ser cero en
Z = l/2 y la onda estacionaria de voltaje tendrá un máximo valor como se indica en la
figura 3.15 donde V2 e I2 tendrán la misma relación que I1 y V1.
Puesto que sobre la bobina, la corriente debe ser continua a través de la misma y el voltaje
discontinuo en una cantidad igual a la caída de tensión en el inductor, las relaciones entre
V2 y V1 y entre I2 e I1 llegan a ser
V2 = V1Cot(βl/4) e I2 = I1Cot (βl/4)
La distribución de corriente queda entonces como se indica en la figura 3.16

53
Figura 3.16 Distribución de corriente en la antena dipolo corto
Para una antena con l << λ/4 la función Cos βZ será aproximadamente 1 ya que el
máximo valor del argumento será menor a π/8, por lo que la distribución de corriente
puede aproximarse a la forma que se indica en la figura 3.17
Figura 3.17 Distribución de corriente para l<< λ/4
En esta aproximación la corriente es uniforme e igual a I1 hasta l/4 y entonces decrece
linealmente a cero en Z = l/2. Para esta aproximación, el área bajo la curva de distribución
de corriente es 2(I1 (l/4)+I1 (l /8)) = 3I1(l /4), en vez de I1(l /2), que corresponde a una
distribución lineal. Puesto que la potencia radiada es proporcional al cuadrado del área
bajo la distribución de corriente, esta es incrementada en un factor de (1,5)2
o, 2,25, lo
cual demuestra la ventaja de utilizar bobinas de sintonía en el centro de cada brazo de la
antena en vez de colocarlas en la entrada.
Otro método para proveer una distribución de corriente uniforme es con una carga
capacitiva en los dos extremos, mediante la utilización de un disco conductor ó mediante la
utilización de 4 o mas conductores de longitud l1 orientados radialmente como se indica en
la figura 3.18

54
Figura 3.18 Compensación mediante carga capacitiva
Así, la corriente en Z = l/2 no tiene que ser cero ya que esta puede dividirse y fluir en los
brazos radiales. Al final de cada brazo radial la corriente se hace cero.
El efecto total de esta estructura radial es un alargamiento equivalente de la longitud de la
antena en una cantidad igual a 2l1, haciendo la distribución de corriente más uniforme, e
incrementando la resistencia de radiación y la potencia radiada en un factor de hasta 2,25.
Esta estructura para su análisis también podría modelarse como una línea de transmisión
teniendo como carga una capacitancia. Por eso el nombre de carga capacitiva para esta
estructura.
3.4 ANTENAS DIPOLO DE BANDA DUAL
Antenas dipolo multibanda son a veces construidas como dipolos largos con circuitos
resonantes sintonizados en paralelo colocados en puntos adecuados a lo largo de los brazos
del dipolo, como se indica en la figura 3. 19. Esto hace funcionar a la antena como un
dipolo corto a una frecuencia dada, y como un dipolo largo para otra frecuencia.

55
Figura 3.19 Antena dipolo de banda dual
El circuito L1C1 se escoge para ser resonante a la frecuencia donde l1 = λ/2. El circuito
resonante provee una muy alta impedancia a la corriente y, efectivamente aísla las
secciones extremas del dipolo a esta frecuencia. A otra frecuencia deseada de bajo valor,
el circuito L1C1 tiene una reactancia inductiva neta y forma una bobina de carga para
sintonizar la antena dipolo de longitud l para resonar a esta baja frecuencia. Esto puede
analizarse con el modelo de línea de transmisión.
3.5 ANTENAS MONOPOLO
La antena monopolo es una estructura formada por un conductor ubicado en posición
vertical, donde la alimentación se encuentra entre el extremo inferior del conductor y un
plano de tierra que se asume ser un perfecto conductor. La longitud normal del brazo
monopolo utilizado es en general de un cuarto de longitud de onda excepto en casos
especiales, donde las restricciones de espacio u otros factores obligan a utilizar una
longitud menor.

56
Figura 3.20 Antena monopolo de ¼ de l . Torre vertical para radiodifusión AM
Es ampliamente utilizada en radiodifusión AM ( 500 a 1500 KHz.), puesto que es la antena
pequeña más eficiente para estas grandes longitudes de onda, y también porque a estas
frecuencias las ondas con polarización vertical sufren menos pérdidas de propagación que
aquellas con polarización horizontal.
Figura 19. Dirección de las corrientes en un elemento radiador y su imagen eléctrica.

57
La configuración de los campos electromagnéticos se determina utilizando el principio de
las imágenes, para lo cual se asume que la tierra o el plano de tierra, se comporta como un
perfecto conductor a la frecuencia de operación.
El método de las imágenes eléctricas, consiste en que las ondas electromagnéticas de un
radiador que inciden sobre una superficie conductora, inducen en ella corrientes, bajo la
acción de las cuales, aparece una onda reflejada equivalente a la irradiada por la imagen
eléctrica del radiador.
Utilizando este método, el análisis es exactamente igual que para el dipolo convencional.
Así, los campos radiados serán iguales. Pero para este caso, la radiación es solo en la
semiesfera sobre el plano de tierra, por lo que la potencia total radiada será la mitad que
para el dipolo de λ/2, e igualmente, la resistencia de radiación para el monopolo de altura
λ/4 será 73/2= 36,5 ohmios.
El patrón de radiación, es similar al de la antena dipolo, pero únicamente sobre el plano de
tierra.
En ciertos casos, se puede montar la antena monopolo sobre una torre, para lo cual se
simula el plano de tierra con varillas conductoras distribuidas en forma radial.
En la práctica, debido a la baja conductividad de la tierra, se producen pérdidas excesivas
de potencia en las corrientes inducidas en la tierra, lo que disminuye notablemente la
eficiencia, siendo la resistencia de radiación mucho menor que 36,5 ohms. El efecto de
baja conductividad puede ser superado instalando una pantalla de tierra.

58
Determinar la Directividad de una antena de longitud resonante:
r
r
F
S o
AV
ˆ
8
)(Im
22
22
π
θη
=
)(5,36
)2186,1(30
2
2
vatiosIP
IP
mrad
mAV
=
=
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
βθβ
θ
Sen
l
CosCos
l
Cos
F
oo
22
)( = 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 2
4 r
P
Srad
D
rad
π = 1,641227
D= 2,1516 dBi

59
4. REDES DE ACOPLAMIENTO
Las redes de acoplamiento pueden verse como dispositivos de cuatro terminales, los
mismos que sirven para acoplar impedancias. En este caso, para acoplar la impedancia de
la antena a la línea de transmisión. Existen muchos tipos de redes de acoplamiento, que se
clasifican de diferentes maneras, sin embargo, se revisaran exclusivamente las redes más
simples que se utilizan para el acoplamiento de impedancias mediante el uso exclusivo de
elementos reactivos como son inductancias y capacitancias para el caso de bajas
frecuencias, o mediante el uso de stubs para el caso de frecuencias mas elevadas, en las
cuales el diseño se efectuará utilizando la carta de Smith. Entre las mas conocidas se
tienen la red tipo L, tipo L invertida, tipo T y tipo PI.
Otros dispositivos que permiten el acoplamiento son los transformadores de impedancia
dentro de los cuales en el caso de antenas se destacan los baluns, los mismos que cumplen
una función adicional al acoplamiento de impedancias como será visto mas adelante.
4.1 RED TIPO L
La red tipo L está formada por la conexión de dos elementos reactivos, uno en paralelo
con la entrada de la red y otro en serie con la salida de la red como se muestra en la figura
4.1
Figura 4.1 Red de acoplamiento tipo L
El elemento reactivo en paralelo, se representa con su suceptancia (inverso de la
reactancia), mientras que el elemento reactivo en serie por su reactancia.
El diseño de la red de consiste en determinar los valores de los elementos reactivos de la
red, tal que la impedancia vista por la línea de transmisión en los terminales de entrada de
la red sea igual a la impedancia característica Zo. Esto es, acoplar la impedancia de carga
a la línea de transmisión (cero reflexión).
Para realizar el diseño utilizando la carta de Smith, es necesario primero normalizar las
impedancias respecto de la impedancia característica de la línea, esto es dividir todos los
valores de impedancia para Zo. Así, por ejemplo la impedancia normalizada de carga será

60
LL
o
L
o
L
o
L
jxr
Z
X
j
Z
R
Z
Z
+=+==
Las impedancias normalizadas así obtenidas, se denotan con letras minúsculas como se
indica en la figura 4.2
Figura 4.2 Impedancias normalizadas
Puesto, que el primer elemento cercano a la carga, se encuentra en serie con la misma, es
conveniente trabajar con la carta de impedancias. Se grafica entonces la impedancia
normalizada sobre la carta de Smith, como se muestra en la Figura 4.3.
Figura 4.3 Carta de Smith para el diseño de la red L
La impedancia , será entonces la suma de mas jx puesto que se encuentran en serie,
esto es

61
jxjxrjxzz LLL ++=+=1
)(1 xxjrz LL ++=
y debido a que la impedancia serie jx, es aún desconocida, tiene como coordenadas en
la carta Lr y cualquier valor de la parte reactiva, esto es el circulo que corresponde al lugar
geométrico para Lr constante, como se indica en la figura 4.3, encontrándose en el
tramo arriba de si la reactancia serie es inductiva, y abajo de si la reactancia serie
es capacitiva.
Ahora en el lado de entrada de la red, para que exista acoplamiento con la línea de
transmisión, la impedancia de entrada normalizada debe ser igual a 1 como se indica en la
figura 4.3, pero debido a que el elemento en la entrada de la red se encuentra en paralelo,
será mejor trabajar con admitancias, así, la admitancia de entrada será igual a
1
1
==
in
in
z
y
y la misma deberá ser igual a la suma de la suceptancia jb mas la admitancia y1 (siendo
y1=1/z1), esto es
11 yjbyin +±==
de donde jby m11 =
Al graficar esta admitancia sobre la carta y puesto que jb es aún desconocida, da como
resultado la circunferencia que corresponde al lugar geométrico para valores g = 1 como se

62
Figura 4.4 Carta de Smith, cálculo de la red L
Conocido el lugar geométrico de y1, se obtiene z1 invirtiendo este 180°, resultando dos
lugares geométricos para z1, los mismos que tienen dos puntos de intersección (puntos A y
B), que corresponderán a dos posibles soluciones como se indica en la figura 4.4.
La selección de cualquiera de estas soluciones dependerá de los requerimientos o
disponibilidad de elementos para el diseño de la red, esto es, disponibilidad de
condensadores o bobinas, o la necesidad de que la red actúe como filtro pasa bajos o pasa
altos, etc.
Por ejemplo si se decide por la solución del punto B, el elemento en serie de la red será un
capacitor, el mismo que puede determinarse como sigue:
La lectura sobre la carta de la impedancia z1 en el punto B da como resultado
BLB jxrz 11 −=
y, puesto que, BLLLLB jxrjxjxrjxzz 11 −=++=+=
se obtiene )( 1BL xxjjx +−=
Como puede verse, corresponde entonces a la reactancia de un capacitor, de donde
conociendo la frecuencia de operación, el capacitor en serie de la red estará dado por
CW
ZxX o
1
== (reactancia no normalizada)
WZx
C
o
1
=
Para encontrar el valor del elemento en paralelo, la impedancia z1B, debe transformarse a
admitancia, esto es y1B, como se indica en la figura 4.5

63
Figura 4.5 Carta de Smith, calculo de la red L
Así, la lectura de y1B sobre la carta da como resultado,
BB jby 11 1+=
y, puesto que jbjbjbyy BBin ++=+== 11 11
de donde Bjbjb 1−=
Esto es, debido al signo, se observa que corresponde a la suceptancia de una bobina. El
elemento en paralelo será entonces una inductancia cuyo valor puede determinarse como
LWZ
b
B
o
1
== (Susceptancia no normalizada)
bW
Z
L o
=
De esta manera quedan determinados los valores de los elementos reactivos que forman
esta red tipo L.

64
Figura 4.6 Red tipo L no factible
Para el caso particular en el que la posición de la impedancia de carga, sobre la carta de
Smith, se encuentre dentro del círculo de g = 1, como se indica en la figura 4.6, el lugar
geométrico de z1 que corresponde a los puntos de Lr constante, no tendrá ningún punto de
intersección con el lugar geométrico de z1 que se obtuvo al invertir y1. Esto ocurre
únicamente cuando la parte real de la impedancia de carga es mayor que el valor de la
impedancia característica de la línea. Por esto, queda claro, que la aplicación de una red
tipo L puede realizarse únicamente bajo la condición de que la parte real de la impedancia
de carga sea menor que la impedancia característica de la línea de transmisión, esto es
LR < oZ
4.2 RED TIPO L INVERTIDA
La red tipo L invertida está formada por la conexión de dos elementos reactivos, uno en
serie con la entrada de la red y otro en paralelo con la salida de la red como se muestra en
la figura 4.6

65
Figura 4.6 Red de acoplamiento tipo L invertida
El elemento reactivo en paralelo, se representa con su suceptancia (inverso de la
reactancia), mientras que el elemento reactivo en serie por su reactancia.
El diseño de la red de consiste en determinar los valores de los elementos reactivos de la
red, tal que la impedancia vista por la línea de transmisión en los terminales de entrada de
la red sea igual a la impedancia característica Zo. Esto es, acoplar la impedancia de carga
a la línea de transmisión (cero reflexión).
Para realizar el diseño, primero se normalizan las impedancias como en el caso anterior,
como se indica en la figura 4.7.
Figura 4.7 Impedancias y admitancias normalizadas
Puesto, que el primer elemento cercano a la carga, se encuentra en paralelo con la misma,
es conveniente trabajar con la carta de admitancias. Se grafica entonces la admitancia
normalizada sobre la carta de Smith, como se muestra en la Figura 4.8.

66
Figura 4.8 Carta de Smith para el diseño de la red L invertida
La admitancia , será entonces la suma de mas jb puesto que se encuentran en paralelo,
esto es
jbjbgjbyy LLL ++=+=1
)(1 bbjgy LL ++=
y debido a que la susceptancia jb, es aún desconocida, tiene como coordenadas en la
carta gL, y cualquier valor de la parte reactiva, esto es el circulo que corresponde al lugar
geométrico para gL constante, como se indica en la figura 4.8, encontrándose en el tramo
arriba de si la susceptancia paralelo es capacitiva, y bajo de si la susceptancia
paralelo es inductiva.
Ahora en el lado de entrada de la red, para que exista acoplamiento con la línea de
transmisión, la impedancia de entrada normalizada debe ser igual a 1 como se indica en la
figura 4.8, y la misma deberá ser igual a la suma de la reactancia jx mas la impedancia
(siendo =1/ ), esto es
11 zjxzin +±==
de donde jxz m11 =
Al graficar esta impedancia sobre la carta y puesto que jx es aún desconocida, da como
resultado la circunferencia que corresponde al lugar geométrico para valores r = 1 como se

67
Figura 4.9 Carta de Smith, cálculo de la red L invertida
Conocido el lugar geométrico de , se obtiene invirtiendo este 180°, resultando dos
lugares geométricos para , los mismos que tienen dos puntos de intersección (puntos A y
B), que corresponderán a dos posibles soluciones como se indica en la figura 4.9.
La selección de cualquiera de estas soluciones dependerá de los requerimientos o
disponibilidad de elementos para el diseño de la red, esto es, disponibilidad de
condensadores o bobinas, o la necesidad de que la red actúe como filtro pasa bajos o pasa
altos, etc.
Por ejemplo si se decide por la solución del punto B, el elemento paralelo de la red será
una inductancia, la misma que puede determinarse como sigue:
La lectura sobre la carta de la admitancia en el punto B da como resultado
BLB jbgy 11 −=
y, puesto que, BLLLLB jbgjbjbgjbzy 11 −=++=+=
se obtiene )( 1BL bbjjb +−=
Como puede verse (por el signo), corresponde entonces a la susceptancia de una bobina, de
donde conociendo la frecuencia de operación, la inductancia en paralelo de la red estará
dada por
WL
Z
b
B
o
== (susceptancia no normalizada)

68
WZ
b
L
o
=
Para encontrar el valor del elemento serie, la admitancia By1 debe transformarse a
impedancia, esto es Bz1 , como se indica en la figura 4.10
Figura 4.10 Carta de Smith, calculo de la red L invertida
Así, la lectura de Bz1 sobre la carta da como resultado,
BB jxz 11 1+=
y, puesto que jxjxjxzz BBin ++=+== 11 11
de donde Bjxjx 1−=
Esto es, debido al signo, se observa que corresponde a la reactancia de un condensador. El
elemento en serie será entonces un capacitor cuyo valor puede determinarse como
CW
xZX o
1
== (Reactancia no normalizada)
WxZ
C
o
1
=
De esta manera quedan determinados los valores de los elementos reactivos que forman

69
esta red tipo L invertida.
Figura 4.11 Red tipo L invertida no factible
Para el caso particular en el que la posición de la admitancia de carga, sobre la carta de
Smith, se encuentre dentro del círculo de r = 1, como se indica en la figura 4.11, el lugar
geométrico de que corresponde a los puntos de Lg constante, no tendrá ningún punto de
intersección con el lugar geométrico de que se obtuvo al invertir . Para que no ocurra
esto, es decir para que exista solución en el diseño de la red tipo L invertida, deberá
cumplirse que
oZ >
L
LL
R
XR 22
+
4.3 RED TIPO T
La red tipo T está formada por la conexión de tres elementos reactivos, dos en serie y uno
en paralelo formando una T como se indica en la figura 4.12

70
Figura 4.12 Red de acoplamiento tipo T
Existen diferentes procedimientos de diseño para este tipo de red, sin embargo uno de los
más versátiles y simples, es mediante la utilización de un parámetro característico de la
red como es el factor de calidad (Q), el mismo que en este caso está definido como
L
L
R
XX
Q
2±
=
De experiencias practicas, se ha observado, que valores óptimos del factor de calidad están
en el rango de 1 a 2, por lo que asumiendo un valor para el factor de calidad dentro de este
rango, puede determinase la reactancia serie X2. El carácter de la reactancia, inductiva o
capacitiva, depende del signo seleccionado, y puesto que en el numerador de la expresión
del factor de calidad se requiere el modulo, esto permitirá que para ciertos casos se cumpla
la misma condición con un valor de reactancia inductiva o con otro de reactancia
capacitiva.
Si X2 ha sido determinada, la determinación de los dos elementos restantes se reduce a la
solución de una red tipo L invertida como se indica en la figura 4.13. La misma que tendrá
solución únicamente si se cumple que
oZ >
L
LL
R
XXR 2
2
2
)( ±+
Figura 4.13 Reducción de la red T a L invertida
Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo
T se reduce a la solución de una red tipo L invertida cuya solución fue analizada
anteriormente.

71
4.4 RED TIPO PI
La red tipo PI, está formada por la conexión de tres elementos reactivos, dos en paralelo y
uno en serie como se indica en la figura 4.14
Figura 4.14 Red de acoplamiento tipo PI
Existen diferentes procedimientos de diseño para este tipo de red, sin embargo uno de los
más versátiles y simples, es mediante la utilización de un parámetro característico de la
red como es el factor de calidad (Q), el mismo que en este caso está definido como
L
L
G
BB
Q
2±
=
De experiencias practicas, se ha observado, que valores óptimos del factor de calidad están
en el rango de 1 a 2, por lo que asumiendo un valor para el factor de calidad dentro de este
rango, puede determinase la susceptancia paralelo B2. El carácter de la susceptancia,
inductiva o capacitiva, depende del signo seleccionado, y puesto que en el numerador de la
expresión del factor de calidad se requiere el modulo, esto permitirá que para ciertos casos
se cumpla la misma condición con un valor de susceptancia inductiva o con otro de
susceptancia capacitiva.
Si B2 ha sido determinada, la determinación de los dos elementos restantes se reduce a la
solución de una red tipo L como se indica en la figura 4.15. La misma que tendrá solución
únicamente si se cumple que
LR < oZ
Figura 4.13 Reducción de la red PI a tipo L

72
Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo PI se
reduce a la solución de una red tipo L cuya solución fue analizada anteriormente.
5. BALUNS
Los baluns son dispositivos que permiten acoplar un sistema no balanceado a uno
balanceado o viceversa a mas de permitir un acoplamiento de impedancia (el nombre balun
viene de las palabras en inglés balanced, unbalanced). Es necesario entonces definir lo que
se conoce como sistemas balanceados y no balanceados.
Un sistema balanceado es aquel cuyos terminales de entrada o salida tienen potenciales
simétricos respecto de tierra, y uno no balanceado aquel cuyos terminales tienen
potenciales no simétricos respecto de tierra. Como ejemplo de un sistema balanceado se
tiene el caso de una línea de transmisión de conductores paralelos, o una antena dipolo
simple o dipolo doblado, mientras que una línea de transmisión coaxial será el caso típico
de un sistema no balanceado como se indica en la figura 5.1
Figura 5.1 (a) Sistemas balanceados; (b) Sistemas no balanceados
Cuando se conecta una línea de transmisión coaxial a una antena dipolo, como se muestra
en la figura 5.2 (a), esto es una línea no balanceada, a la antena que requiere de una entrada
balanceada, el potencial de cero respecto de tierra del conductor externo del cable coaxial
aplicado a un brazo del dipolo, permite que se produzca la inducción de corrientes en la
superficie exterior del conductor externo del cable e coaxial, lo que a su vez ocasiona
radiación de energía desde esta superficie cambiando totalmente la distribución de energía
radiada por la antena dipolo, la impedancia y la resistencia de radiación, esto es, los
parámetros de la antena cambian en forma no predecible. Para que no ocurra esto, es
necesario transformar la alimentación no balanceada a una balanceada, siendo esta la
función del balun.
Un balun sumamente simple es el que se indica en la figura 5.2 (b) conocido como choque
de RF, el mismo que esta formado por un conductor cilíndrico de longitud λ/4 que rodea al
conductor coaxial y conectado al conductor externo del cable coaxial en la parte inferior.
Así, la impedancia de entrada en la línea de transmisión formada por el conductor
cilíndrico y el conductor externo del cable coaxial tiende al infinito (transformador de λ/4),

73
lo que impide la circulación de corriente en la parte externa del cilindro conductor y por
ende del cable coaxial, permitiendo así, que las características de radiación de la antena
permanezcan invariables.
Figura 5.2 (a) Conexión incorrecta; (b) Balun choque de RF
Otros tipos de balun que pueden construirse fácilmente con secciones de líneas de
transmisión de λ/4 y λ/2, y que además producen transformación de impedancia son los
que se indican en las figuras 5.2 (a) y 5.2 (b)
Figura 5.2 (a) Balun de relación 1:1 (b) Balun de relación 4:1
El balun de la figura 5.2 (a) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada), a una
antena dipolo de 75 ohmios (balanceada), esto es, no existe transformación de impedancia.
Este balun esta formado por dos secciones de línea de transmisión de impedancia
característica 75 ohmios, una de longitud λ/4 y otra de longitud 3λ/4. La impedancia en
los terminales de entrada de la antena dipolo, es de 75 ohmios, mientras que la impedancia
entre cada uno de los terminales de la antena y el punto de tierra es 37,5 ohmios (mitad de

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la impedancia entre los terminales de la antena). En el otro extremo de las secciones de
línea de transmisión, la impedancia será (Zo)2
/37.7= 150 ohmios, pues se trata de
transformadores de λ/4. Puesto que estos extremos están conectados en paralelo, la
impedancia que ve la línea de transmisión será de 150/2= 75 ohmios. Esto es, la relación
de transformación de impedancia es de 1:1.
Debido a que la diferencia de longitud entre las dos secciones de línea de transmisión es
λ/2, los voltajes en los terminales que alimentan a la antena tendrán una diferencia de fase
de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es decir una alimentación balanceada. De esta
forma se acopla la línea coaxial (no balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una
relación de transformación de impedancia 1:1.
El balun de la figura 5.2 (b) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada) a una
antena dipolo doblado de 300 ohmios (balanceada), esto es, produce una transformación de
impedancia de 4:1. Este balun, esta formado por una sección de línea de transmisión de
impedancia característica 75 ohmios, de longitud λ/2 conectada como se indica en la figura
5.2 (b). La impedancia en los terminales de entrada de la antena dipolo doblado, es 300
ohmios, mientras que la impedancia entre cada uno de los terminales de la antena y el
punto de tierra es 150 ohmios (mitad de la impedancia entre los terminales de la antena).
Así, la impedancia de 150 ohmios entre el brazo derecho del dipolo y el punto de tierra se
aplica a la entrada de la sección de línea de λ/2, y debido a la longitud de la línea en el otro
extremo aparece la misma impedancia, esto es 150 ohmios. Pero este extremo de la línea
está conectado en paralelo con el terminal izquierdo de la antena y el punto de tierra que
también tienen una impedancia de 150 ohmios, por lo que la impedancia resultante será
150/2 = 75 ohmios, que es la impedancia que verá la línea de transmisión de alimentación.
Así, entonces, se produce una transformación de impedancia de 300 ohmios a 75 ohmios,
esto es de 4:1
Debido a la conexión entre los brazos del dipolo a través de la línea de λ/2, el voltaje entre
estos dos puntos tiene una diferencia de fase de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es
decir una alimentación balanceada. De esta forma se acopla la línea coaxial (no
balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una relación de transformación de
impedancia de 4:1.
Otro tipo de balun de banda ancha muy utilizado en RF y en televisión, es el que se indica
en la figura 5.3 el cual esta formado por dos secciones de línea de transmisión de cables
paralelos enrollados en un pequeño núcleo toroidal formando un transformador, con
relación de impedancia de 300 a 75 ohmios.

75
Figura 5.3 Balun de banda ancha de relación 4:1
El funcionamiento de este tipo de balun puede explicarse mediante el principio de
superposición del sistema con conexión balanceada y no balanceada como se indica a
continuación.
Figura 5.4 (a) Conexión balanceada (b) Conexión no balanceada (c) Superposición
Debido a la conexión, balanceada de las dos secciones de línea de transmisión como se
indica en la figura 5.4 (a), el potencial en el punto medio de la carga será cero, al igual que
el potencial en el punto medio del conductor que conecta las dos líneas. Así, una línea de
transmisión tendrá como carga efectiva ZL/2, y para que no exista reflexión debe cumplirse
que
o
L
Z
Z
=
2
La corriente Ia será entonces igual a
o
a
Z
V
I
2
= y, reemplazando la ecuación
anterior en Ia, esta queda
L
a
Z
V
I
4
=
Ahora, debido a la conexión no balanceada (figura 5.4 (b)), la corriente Ib dependerá de la
capacitancia parásita de los terminales de las líneas con respecto a tierra.
Al sumar los dos efectos, aplicando el principio de superposición, como se observa en la

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