FUNÇÕES
1.Definição e Conceitos Básicos
1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado
Do...
f(X) = {f(x), x X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por
f-1
(Y) = { x A, f(x) Y }. Esclar...
e) ( Esboce! )
3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
3.1. Sejam f, g : A B; A, B R. Define-se:
a) f + g: A R por (f + g)(x) = f(x) + g(...
b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x R / g(x) R } = R  { -2 };
portanto, fog : R  { -2 } R; (fog) (x) = ...
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Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à
sua imagem.
5.1.3. Dizemos que f é...
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6.1.Uma função IA : A A definida por IA(x) = x, para todo x A, é chamada Função
Identidade de A. Com essa definição temo...
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Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função
seja bijetora para que sua inversa e...
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7.2.Exemplos: f: R R; f(x) = x2
+ 5 é uma função par;
g: R R; g(x) = x3
+ x é uma função ímpar.
Observações importantes!...
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3) Funções trigonométricas: sen x, cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x. Analisar Domínio,
Imagem e paridade de cada u...
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3) f: R*
{ -1; 1}; f(x) = x / I x I 4) f: R R; f(x) =
N-Rx0,
Nx,
x
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9. LIMITAÇÃO
9.1.Def.: Seja f: A B
a) Dizemos que ...
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  1. 1. FUNÇÕES 1.Definição e Conceitos Básicos 1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada a A, um único elemento b = f(a) B. Isto é, x A, ! f(x) B. Observações: 1- Para esta apostila, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos; 2- IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor que a função f assume no ponto x A. 1.2. Exemplos a) f : R R; f(x) = l x l (função Módulo) b) g : [10, + ) R; g(x) = 10x c) h : R { 0 } R; h(x) = x 1 d) i ; R+ R; i(x) = ln x e) (Função de Dirichlet) f : R { 0; 1 }; f(x) = Q-Rx1, Qx,0 1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA FUNÇÃO 1.3.1. Quando x percorre o Domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) = { f(x), x A }. Convém atentar que Im(f) B. Exemplos (relativos a 1.2 ): a) Im(f) = R+ b) Im(g) = R+ c) Im(h) = R { 0 } d) Im(i) = R e) Im(f) = { 0 ; 1 } 1.3.2. Entretanto, o conceito de Imagem não se restringe a isso. Consideremos, agora, os subconjuntos X A e Y B. Denomina-se IMAGEM DIRETA de X através de f o conjunto
  2. 2. f(X) = {f(x), x X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por f-1 (Y) = { x A, f(x) Y }. Esclarecendo com exemplos: a) f : R { 0 } R; f(x) = 1/x, com X = ( 2/3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ] f(X) = [1/5; 3/2) e f-1 (Y) = [ 1; + ) b) g: R R; g(x) = x4 , X = Y = [ -1, 2]. Neste caso, g(X) = [ 0; 16 ] e g-1 (Y) = [ 0, 4 2 ] 1.3.3. PROPRIEDADES 1) f(X Y) = f(X) f(Y) 2) f(X Y) f(X) f(Y) 3) Se X Y f(X) f(Y) 4) f-1 (W Z) = f-1 (Z) f-1 (W) 5) f-1 (W Z) = f-1 (Z) f-1 (W) 6) Se Z W f-1 (Z) f-1 (W) 7) f-1 (YC ) = (f-1 (Y))C 8) f-1 (W Z) = f-1 (W) f-1 (Z) 2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 2.1. Def.: O conjunto G(f) = { (x;f(x)); x A } é denominado gráfico de f. É, portanto, um subconjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reais. 2.2. Exemplos a) Função Módulo b) g(x) = 10x c) h(x) = x 1 d) i(x) = ln x
  3. 3. e) ( Esboce! ) 3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 3.1. Sejam f, g : A B; A, B R. Define-se: a) f + g: A R por (f + g)(x) = f(x) + g(x); b) f . g: A R por (f . g)(x) = f(x) . g(x); c) f / g: A R por (f / g)(x) = f(x) / g(x). A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO: 3.2. Def.: Sejam A, B, C R, com B C, f : A B e g: C R. Definimos FUNÇÃO COMPOSTA gof : D A R por: gof(x) = g(f(x)), x D. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!!: 1) O domínio de gof consiste nos x A tais que f(x) pertença ao domínio de g. Por isso é obrigatório que B C !! 2) O contradomínio de gof é o contradomínio de g. 3.2.1.Exemplo: Sejam f: R R; f(x) = x + 3 e g: R { -2 } R; g(x)= 2/(x+2). Achemos gof e fog. a) Com relação a gof, temos que D(gof) = { x R; f(x) R { -2 } } = { x R; x + 3 -2 } = R { -5 }. Assim, gof : R { 5 } R; (gof) (x) = g(f(x)) = g(x+3) = 5x 2 2)3x( 2
  4. 4. b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x R / g(x) R } = R { -2 }; portanto, fog : R { -2 } R; (fog) (x) = f(g(x)) = f 2x 2 = 2x 2 + 3 4.PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE 4.1.Def.: f é PERIÓDICA t R, t 0, tal que x A x + t A e f(x + t)= f(x). Observações: 1) O número t é chamado de UM período de f; 2) O menor período positivo T é denominado O PERÍODO de f, e então f é periódica de período T. 4.2.Def.: Uma função f: A R B é denominada crescente (não decrescente) se x1<x2 f(x1) f(x2); e é dita estritamente crescente se x1<x2 f(x1) < f(x2). Analogamente, uma função f é chamada decrescente (não crescente) se x1<x2 f(x1) f(x2); e é denominada estritamente decrescente se x1<x2 f(x1)>f(x2). Todas essas funções são ditas MONÓTONAS ou MONOTÔMICAS. 4.2.1.Propriedades (Prove!): Sejam as funções f: A B e g: B C. Assim , 1) Se f e g são estritamente crescentes, então gof também é estritamente crescente; 2) Se f e g são estritamente decrescentes, então gof é ESTRITAMENTE CRESCENTE (atenção!!!); 3) Se f é estritamente decrescente e g é estritamente crescente, então gof é estritamente decrescente; 4) Se f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente, então gof é estritamente decrescente. 5.INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, BIJEÇÃO 5.1.Def.: Seja f: A R B R. 5.1.1. Dizemos que f é INJETORA (INJETIVA, BIUNÍVOCA) x1,x2 A com x1 x2, então f(x1) f(x2), isto é, x1, x2 A tais que f(x1) = f(x2), então x1 = x2. 5.1.2. Dizemos que f é SOBREJETORA (SOBREJETIVA) y B, x A tal que f(x) = y . Em outras palavras, Im(f) = B.
  5. 5. 6 Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à sua imagem. 5.1.3. Dizemos que f é BIJETORA (BIJETIVA) f é injetora e sobrejetora, isto é, y B, ! x A / f(x) = y. 5.2. Exemplos: 1) f: R R, f(x) = ax + b; a, b R; a 0 a- Temos que f é injetora; senão, dados x1 e x2 R com f(x1) = f(x2), temos ax1 + b = ax2 + b ax1 = ax2.Como a 0, então x1 = x2. b- Além disso, f é sobrejetiva: dado y R, consideremos x = (y - b) / a R, então f(x) = ax + b = a. by a 1 + b = y. 2) g: R R; g(x) = x2 a- Nesse caso, g não é injetora, pois g(-1) = g(1) = 1, mas -1 1; b- a função g também não é sobrejetora, pois -4 R e não existe x R / g(x) = -4. Repare que, se construirmos h: R+ R+; h(x) = x2 , teremos h uma função BIJETORA. 5.3. Algumas propriedades importantes (Prove!) 5.3.1. Sejam as funções f: A B e g: B C. Então são válidas as seguintes afirmações: 1) Se f e g são injetoras, então gof é injetiva de A em C. 2) Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva de A em C. 3) Se f e g são bijetivas, então gof é bijetiva de A em C. 5.3.2. Toda função estritamente crescente/decrescente é biunívoca. A recíproca é verdadeira??? 5.3.3. f(X Y) f(X) f(Y) somente se f é injetora. O que se pode concluir a partir dessa propriedade e da propriedade 2) do item 1.3.3.? 6. INVERSÃO DE UMA FUNÇÃO
  6. 6. 7 6.1.Uma função IA : A A definida por IA(x) = x, para todo x A, é chamada Função Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA. 6.2.Def.: Seja f: A B; A, B R. Uma função g: B A é denominada FUNÇÃO INVERSA de f gof = I = fog. 6.2.1.Exemplos: 1) f: R R, f(x) = x9 . Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9 x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x. 2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a 3) f: R R+, f(x) = x2 não admite inversa pois, considerando g: R+ R, g(x) = x como inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2 -2. Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x2 então g(x) = x é uma inversa de f. Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na verdade: 6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora. Demonstração: ( ) f possui inversa g: B A tal que fog = I = gof. (I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2 A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) x1 = x2 ; (II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y B, considere x = g(y) A. Então f(x) = f(g(y)) = y. ( ) f é bijetora Dado y B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B A tal que g(y) = x . Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd) Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f-1 . Note que D(f) = CD(f-1 ) e vice-versa! Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa. Observe o exemplo a seguir:
  7. 7. 8 Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função seja bijetora para que sua inversa exista: 6.4.Propriedades 1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente. 2) Sejam as funções f: A B e g: B C; se gof = IA, então g é sobrejetora e f é injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas). 7. PARIDADE 7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-x) = f(x) b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-x) = -f(x) Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que +x D(f) e x D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO.
  8. 8. 9 7.2.Exemplos: f: R R; f(x) = x2 + 5 é uma função par; g: R R; g(x) = x3 + x é uma função ímpar. Observações importantes!!!!! 1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas enquanto o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 2) Se f é uma função par, então gof é par(independentemente de g!). Por que?? 3) Se f é ímpar e g é ímpar, então gof é ímpar. 8. FUNÇÕES ELEMENTARES 8.1. FUNÇÃO CONSTANTE: é a função f(x) = k, k R, x D(f). 8.2. FUNÇÃO ALGÉBRICA: é toda função formada por um número finito de operações sobre a função identidade e a função constante. Exemplos: 1) Função linear: f(x)= ax + b, x R, com a 0 2) Função polinomial: f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x1 + an, x R, a0 0 3) Função racional: f(x) = p(x) / q(x), onde p e q são funções polinomiais e q não é o polinômio identicamente nulo. Lembrar que D(f) = { x R : q(x) 0 } 8.3. FUNÇÕES TRANSCENDENTES 1) Funções exponenciais: ax , 0 < a 1; D(f) = R e Im(f) = R+ { 0 } 2) Funções logaritmicas: logax, 0 < a 1; D(f) = R+ { 0 } e Im(f) = R Vejamos graficamente como as funções exponenciais e logaritmicas se comportam, bem como a relação de inversão que existe entre elas:
  9. 9. 10 3) Funções trigonométricas: sen x, cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x. Analisar Domínio, Imagem e paridade de cada uma delas (Exercício) 4) Funções trigonométricas inversas: arcsen x, arccos x, arctg x, arcsec x, arccossec x, arccotg x. Analisar paridade, Domínio e Imagem de cada uma. 5) Funções hiperbólicas a) senh x = 2 ee xx (negrito) e cosh x = 2 ee xx b) tghx = xcosh xsenh 8.4. Outros Exemplos (esboce os gráficos!) 1) Função maior inteiro menor ou igual a x 2) f(x) = [ x ] - x ; D(f) = R, Im(f) = ( -1; 0 ] [ x ] : R Z
  10. 10. 11 3) f: R* { -1; 1}; f(x) = x / I x I 4) f: R R; f(x) = N-Rx0, Nx, x 1 9. LIMITAÇÃO 9.1.Def.: Seja f: A B a) Dizemos que f é limitada superiormente quando L / f(x) L, x A; neste caso, L é uma cota superior de f. A MENOR das cotas superiores é chamada SUPREMO. b) Dizemos que f é limitada inferiormente quando M tal que f(x) M, x A; assim, M é denominada cota inferior de f. A MAIOR das cotas inferiores é denominada ÍNFIMO. c) Dizemos que f é LIMITADA quando N : l f(x) l < N, x A. 9.2. Exemplos de funções limitadas: 1) seno, cosseno 2) [ x ] x 3) Função de Dirichlet 4) O exemplo 4) do item 8.4 5) A função f(x) = x2 é ILIMITADA em R, mas é limitada em [ a; b ]; a, b R 6) A função g(x) = 1/x é ilimitada em R, mas é limitada em [ a; b ] 0 [ a; b ]; e é ilimitada em ( 0, a ] [ a, 0 ), com a, b R.

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