Ө
‫اجلبوري‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫ادلكتور‬
‫االدب‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
1
2023
‫سادس‬‫ل‬‫ا‬
‫العلمي‬
‫الاحيايئ‬
Tele@mathematicsiniraq
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫ا‬
‫بوري‬‫جل‬‫ا‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫تور‬‫ك‬‫دل‬
MATHEMATICS
‫الرياضيات‬
2023

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
2
‫مقدمة‬
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
:‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐
= −𝟏,
⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏,
‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬ ‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬
-1
‫االعداد‬ ‫من‬ ‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ ,
. ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬
( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬
𝒊 = √−𝟏
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ )
:‫ان‬ ‫حيث‬
𝑖2
= 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1,
𝑖3
= 𝑖2
. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖,
𝑖4
= 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1 = 1,
𝑖5
= 𝑖3
. 𝑖2
= −𝑖. −1 = 𝑖,
: ‫مثال‬
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬
1) 𝑖6
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔
= 𝒊𝟐
. 𝒊𝟒
= −𝟏(𝟏) = −𝟏
2) 𝑖8
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖
= 𝒊𝟒
. 𝒊𝟒
= 𝟏. 𝟏 = 𝟏
3) 𝑖16
= (𝑖4
)4
= (1)4
= 1
4) 𝑖17
= (𝑖4
)4
. 𝑖 = (1)4
. 𝑖 = 𝑖
5) 𝑖58
= (𝑖4
)14
. 𝑖2
= (1)14
. (−1) = −1
6) 𝑖12𝑛+93
= (𝑖4
)3𝑛
. 𝑖93
= (1)3𝑛
. (𝑖4)32
. 𝑖 = 𝑖
7) 𝑖−13
= 𝑖−13
. 1 = 𝑖−13
. (𝑖4)4
= 𝑖16−13
= 𝑖3
= −𝑖
8) 𝑖−26
= 𝑖−26
. 1 = 𝑖−26
. (𝑖4)7
= 𝑖28−26
= 𝑖2
= −1
‫استخ‬ ‫يمكن‬ : ‫مالحظة‬
‫دام‬
(i)
. ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
√−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 .
𝟏 ‫الفصل‬
6=4+2
58=56+2
= 4(14)+2

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
3
:‫مثال‬
‫استخدم‬
(i)
: ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖
2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖
3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
, ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬
: ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬
𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊,
‫تمثل‬
a
‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬
b
‫زوج‬ ‫بصورة‬ ‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬
‫كاالتي‬ ‫مرتب‬
(𝒂, 𝒃)
:‫مثال‬
( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬
𝒂 + 𝒃𝒊
‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ )
: ‫التالية‬
a) −5 = −5 + 0𝑖
b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖
c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖
d)
1+√−25
4
=
1
4
+
5
4
𝑖
e) 𝑖999
= (𝑖4
)249
. 𝑖2
. 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖
f) 𝑖4𝑛+1
= (𝑖4
)𝑛
. 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖
:‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬
x , y
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖
R R
I I
❖
‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬
. ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬
❖
‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬
x
‫ومعادلة‬
‫لـ‬
y
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
x,y
.

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
4
Sol/
2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2
∴ 𝑥 = 1
2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1
∴ 𝑦 = 1
b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖
Sol/
2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9
∴ 𝑦 =
−9
2
−2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2
∴ 𝑥 = −1
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬
❖
‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬
❖
‫ليكن‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊.
:‫مثال‬
‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬
a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖
(3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖
=8+2√2𝑖
R
I
R I R I
R
I

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
5
b) 3 , 2-5𝑖
(3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖
c) 1 − 𝑖, 3𝑖
1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖.
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
(𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊)
(7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖
=−2 − 17𝑖
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
(𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊
Sol
𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖
∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖
❖
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬
. ‫اخرى‬ × ‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬
‫لدينا‬
𝒄𝟏 =
𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬
𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊)
= 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐
= (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊.
❖
‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬
❖
‫نظير‬
a+bi
‫هو‬
–a-bi

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
6
:‫مثال‬
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬
a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊)
(2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2
= 6 − 15 − 19𝑖
= −9 − 19𝑖
b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊)
(2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2
= 6 − 6 + 15𝑖
= 0 + 15𝑖 = 15𝑖
c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐
(3 + 4𝑖)2
= 9 + 24𝑖 + 16𝑖2
= 9 − 16 + 24𝑖
= −7 + 24𝑖
d) −
𝟓
𝟐
(𝟒 + 𝟑𝒊)
−
5
2
(4 + 3𝑖) = −
5
2
4 −
5
2
3𝑖 = −10 −
15
2
𝑖
e) (𝟏 + 𝒊)𝟒
− (𝟏 − 𝒊)𝟒
(1 + 𝑖)4
− (1 − 𝑖)4
= ((1 + 𝑖)2
)2
− ((1 − 𝑖)2
)2
= (1 + 2𝑖 + 𝑖2
)2
− (1 − 2𝑖 + 𝑖2
)2
= (1 − 1 + 2𝑖)2
− (1 − 1 − 2𝑖)2
= (2𝑖)2
− (2𝑖)2
= 4𝑖2
− 4𝑖2
= −4 + 4 = 0 + 0𝑖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
7
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫هو‬
𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
‫خصائص‬
‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 1
2
2 2
1)
2)
3)
4)
5)( ) , 0.
c c c c
c c c c
c c
if c a bi c c a b
c c
c
c c
 = 
 = 
=
 = +   = +
= 
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
1 2
1 , 3 2
c i c i
= + = −
: ‫ان‬ ‫فاثبت‬
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
1)
2)
3)
c c c c
c c c c
c c
c c
 = 
 = 
 
=
 
 

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
8
Sol/
1-
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
. . .:
1 3 2 4 4
. . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2
4
. . . .
L H S c c
c c i i i i
R H S c c i i i i
i
L H S R H S

+ = + + − = − = +
+ = + + − = − + +
= +
 =
2-
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2
1 2
2
. . .:
(1 )(3 2 ) 3 2 3 2
3 2 5 5
. . .:
(1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 )
3 2 3 2 3 2 5
. . . .
L H S c c
i i i i i
i i i
R H S c c
i i i i
i i i i i
L H S R H S

= + − = − + −
= + + = + = −

= +  − = − +
= + − − = + − = −
 =

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
9
3-
1
2
2 2
1
2
2 2
. . .:
3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2
. . .:
3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1
1 5 1 5
2 2 2
. . . .
c
L H S
c
i i i i i
i i i
i
i i
c
R H S
c
i i i i i i
i i i
i
i
i
L H S R H S
 
 
 
− − − − − −
     
= =  =
     
+ + − +
     
−
   
= = − = +
   
   
− + + + + + −
= = =  =
− − + +
+
+
= = +
 =
:‫مثال‬
‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬
2 2
c i
= −
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
Sol/
2 2
1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
8 8 8 4 4
i i
c i i i
i i
i
+ +
= =  =
− − + +
+
= = + = +
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
c
‫هو‬
𝟏
𝒄
❖
❖
‫مقام‬ × ‫ومقام‬ ‫بسط‬ × ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬ × ‫نضرب‬
❖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
10
:‫تمرين‬
: ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
1)
𝟐−𝒊
𝟑+𝟒𝒊
=
2 − 𝑖
3 + 4𝑖
.
3 − 4𝑖
3 − 4𝑖
=
6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4
9 + 16
=
2 − 11𝑖
25
=
2
25
−
11
25
𝑖
2)
𝟏𝟐+𝒊
𝒊
=
12 + 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
=
−12𝑖 − 𝑖2
1
=
1 − 12𝑖
1
= 1 − 12𝑖
3)
𝒊
𝟐+𝟑𝒊
=
𝑖
2 + 3𝑖
×
2 − 3𝑖
2 − 3𝑖
=
2𝑖 + 3
4 + 9
=
3 + 2𝑖
13
=
3
13
+
2
13
𝑖
4) (
𝟑+𝒊
𝟏+𝒊
)
𝟑
= (
3 + 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
)
3
= (
3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
1 + 1
)
3
= (
4 − 2𝑖
2
)
3
= (
4
2
−
2𝑖
2
)
3
= (2 − 𝑖)3
= (2 − 𝑖)2
. (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖)
= (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖
5)
𝟐+𝟑𝒊
𝟏−𝒊
×
𝟏+𝟒𝒊
𝟒+𝒊
=
2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12
4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
×
5 + 3𝑖
5 + 3𝑖
=
−50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33
52 + 32
==
−83 + 25𝑖
34
=
−83
34
+
25
34
𝑖
6) (𝟏 + 𝒊)𝟑
+ (𝟏 − 𝒊)𝟑

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
11
= (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖)
= 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖
:‫تمرين‬
‫ان‬ ‫اثبت‬
1)
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
8
25
𝑖.
L.H.S:
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
1
4−4𝑖−1
−
1
4+4𝑖−1
=
1
3−4𝑖
×
3+4𝑖
3+4𝑖
−
1
3+4𝑖
×
3−4𝑖
3−4𝑖
=
3 + 4𝑖
9 + 16
−
3 − 4𝑖
9 + 16
=
3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖
25
=
8
25
𝑖
2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4
L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2
. 𝑖)
= 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2)
= 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S
❖
‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
: ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
𝒊𝟐
= (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊)
❖
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
❖
❖
‫بدل‬ ‫نعوض‬
𝒊𝟐
= −𝟏
‫وبدل‬
𝒊𝟑
= −𝒊
‫نضرب‬ ‫ثم‬
❖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
12
:‫مثال‬
‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬
a+bi
.
a) 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥2
− 𝑦2
𝑖2
= (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖)
b) 9𝑥2
+ 49𝑦2
= 9𝑥2
− 49𝑦2
𝑖2
= (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖)
c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2
= (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖)
d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2
= (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖)
‫تمرين‬
:
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
x , y
:‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊).
Sol/
𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
− 2 + 5𝑥𝑖
𝑦 = 2𝑥2
− 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2),
( ‫معادلة‬ ‫من‬
2
)
( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
1
: )
𝑥 =
5
5
= 1,
𝑦 = 2(1)2
− 2 = 0.
2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏
8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖
⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2)
( ‫معادلة‬ ‫من‬
1
)
𝒙 =
𝟑
𝒚
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
2
)
❖
‫الى‬ + ‫نحول‬
−𝒊𝟐
‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬
❖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
13
[(
3
𝑦
+ 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2
= 4𝑦 ⇒ 𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
(𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0
Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 =
3
3
= 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 =
3
1
= 3.
3) (
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
⇒ (
1 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4
⇒ (
1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2
12 + 𝑖2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖
⇒ (
−2𝑖
2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖
⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5.
4)
𝟐−𝒊
𝟏+𝒊
𝒙 +
𝟑−𝒊
𝟐+𝒊
𝒚 =
𝟏
𝒊
.
(
2 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) 𝑥 + (
3 − 𝑖
2 + 𝑖
×
2 − 𝑖
2 − 𝑖
) 𝑦 =
1
𝑖
×
−𝑖
−𝑖
⇒ (
2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
) 𝑥 + (
6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1
4 + 1
) 𝑦 =
−𝑖
1
⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (
5 − 5𝑖
5
) 𝑦 = −𝑖 ⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖
⇒
1
2
𝑥 −
3
2
𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and −
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2),
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1)
−
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2)

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
14
−
2
2
𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
1
2
(1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = −
1
2
.
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒙−𝒚𝒊
𝟏+𝟓𝒊
,
𝟑−𝟐𝒊
𝒊
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
Sol/
: ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(
𝑥 − 𝑦𝑖
1 + 5𝑖
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
3 − 2𝑖
𝑖
⇒
𝑥 + 𝑦𝑖
1 − 5𝑖
=
3 − 2𝑖
𝑖
‫ألن‬
(
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅) =
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅̅̅
̅
⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10
⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖
⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7
:‫مثال‬
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
𝒚
𝟏+𝒊
=
𝒙𝟐+𝟒
𝒙+𝟐𝒊
.
Sol/
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
+ 4
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
− 4𝑖2
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
(𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖)
𝑥 + 2𝑖
R R
I I

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
15
⇒
𝑦
1 + 𝑖
= 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖)
⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2,
𝑦 = 2 + 2 = 4.
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
a) 𝑖5
b) 𝑖124
c) 𝑖−7
d) 𝑖−15
e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖)
g) (2 + 3𝑖)2
+ (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2
+ (1 − 𝑖)2
i)
1+𝑖
1−𝑖
j)
1+2𝑖
−2+𝑖
k)
3+4𝑖
3−4𝑖
2
‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ )
a) 41 b) 29
3
)
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
(
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
4
‫كان‬ ‫اذا‬ )
𝟑+𝒊
𝟐−𝒊
6
𝑥+𝑦𝑖
‫و‬
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
R
R I
I
R

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
16
➢ The square root of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
: ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬
▪
‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬
𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖
.
▪
‫ان‬ ‫نفرض‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 𝑎 + 𝑏𝑖
.
▪
‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
. ‫التخيلي‬
===========================================
:‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 8 + 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 8 … (1), and
2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 =
6
2𝑥
=
3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
)
𝑥2
− (
3
𝑥
)
2
= 8 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 8] × 𝑥2
𝑥4
− 9 = 8𝑥2
⇒ 𝑥4
− 8𝑥2
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 9)(𝑥2
+ 1) = 0,

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
17
Either (𝑥2
− 9) = 0 ⇒ 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ∓3
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
3
= 1 or 𝑦 =
3
−3
= −1
∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 .
2) 𝒄 = −𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 0 − 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1), and
2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 =
−6
2𝑥
=
−3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
−3
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 0] × 𝑥2
𝑥4
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 3)(𝑥2
+ 3) = 0, either (𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√3 or
(𝑥2
+ 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= −3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
18
𝑦 =
3
√3
= √3 or 𝑦 =
3
−√3
= −√3
∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
√𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊.
3)
𝟒
𝟏−√𝟑𝒊
Sol/
4
1 − √3𝑖
×
1 + √3𝑖
1 + √3𝑖
=
4 + 4√3𝑖
12 + (√3)
2 =
4 + 4√3𝑖
4
= 1 + √3𝑖
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 1 + √3𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 1 … (1), and
2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 =
√3
2𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
√3
2𝑥
)
2
= 1 ⇒ [𝑥2
−
3
4𝑥2
= 1] × 4𝑥2
4𝑥4
− 3 = 4𝑥2
⇒ 4𝑥4
− 4𝑥2
− 3 = 0 ⇒ (2𝑥2
− 3)(2𝑥2
+ 1) = 0,
Either (2𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 2𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√
3
2

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
19
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1 .
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
√3
√2 . √2(−
√3
√2
)
=
1
√2
or 𝑦 =
√3
√2 . √2(
−√3
√2
)
=
−1
√2
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
±(√
3
2
+
1
√2
𝑖).
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
20
➢ Solving the equation in ℂ
‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
:‫ان‬ ‫اي‬
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
:‫مثال‬
‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
:
1) 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4 ± √42 − 4(1)(5)
2
⇒ 𝑥 =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4±2𝑖
2
= −2 ± 𝑖
∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖}
2) 𝑧2
= −12
Sol/
𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖
∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.
3) 𝒛𝟐
− 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎
𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
21
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖)
2
=
3 ± √9 − 12 − 4𝑖
2
=
3 ± √−3 − 4𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −3 − 4𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= −3 … (1)
⇒ 𝑦 =
−4
2𝑥
=
−2
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−2
𝑥
)
2
= −3 ⇒ [𝑥2
−
4
𝑥2
= −3] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 4 = −3𝑥2
⇒ 𝑥4
+ 3𝑥2
− 4 = 0
⇒ (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 1) = 0
𝑥2
= 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−2
±1
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
√−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖)
: ‫ان‬ ‫اي‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
22
𝑧 =
3 ± (1 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
3
2
−
1+2𝑖
2
= 1 + 𝑖 or 𝑧 =
3
2
+
1−2𝑖
2
= 2 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
4 ) 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎
Sol
𝑧2
+ 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2
+ 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1)
2
=
−2 ± √4 − 8𝑖 − 4
2
=
−2 ± √−8𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟖𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −8𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −8𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1)
⇒ 𝑦 =
−8
2𝑥
=
−4
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−4
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
16
𝑥2
= 0] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 16 = 0

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
23
⇒ (𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4) = 0
∴ 𝑥2
− 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−4
±2
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−8𝑖
√−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖)
𝑧 =
−2 ± (2 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
−2
2
−
2+2𝑖
2
= −2 + 𝑖 or 𝑧 =
−2
2
+
2−2𝑖
2
= 0 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
: ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬
•
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬
•
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)
.
•
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 × 𝒄𝟐)
.
•
‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝒙𝟐
− (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎
•
. ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
24
:‫مثال‬
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
• ±(2 + 2𝑖)
𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0
𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− −8𝑖 = 0
• 𝑀 =
3−𝑖
1+𝑖
, 𝐿 = (3 − 2𝑖)2
𝑀 =
3 − 𝑖
1 + 𝑖
=
3 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
=
3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
=
2 − 4𝑖
2
= 1 − 2𝑖
𝐿 = (3 − 2𝑖)2
= 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖
𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖
𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0
:‫مثال‬
: ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊.
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
B=(3+4i)
𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6
𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
25
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− 6𝑥 + 25 = 0
2 ) 𝑨 =
√𝟐+𝟑𝒊
𝟒
Sol/
‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬
√𝟐−𝟑𝒊
𝟒
= 𝐵
𝐴 + 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) + (
√2
4
−
3
4
𝑖) = (
√2
4
+
√2
4
) + (
3
4
𝑖 −
3
4
𝑖)
=
√2
2
+ 0𝑖 =
1
√2
𝐴 × 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) (
√2
4
−
3
4
𝑖) =
2
16
−
3√2
16
𝑖 +
3√2
16
𝑖 +
9
16
=
11
16
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
−
1
√2
𝑥 +
11
16
= 0
:‫تمرين‬
‫ا‬
‫كان‬ ‫ذا‬
𝟑 + 𝒊
‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬
𝒙𝟐
− 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎
‫قيمة‬ ‫فما‬
a
‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬
Sol/
= ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
L
: ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬
𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
×
3 − 𝑖
3 − 𝑖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
26
⇒ 𝐿 =
15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5
9 + 1
=
20 + 10𝑖
10
= 2 + 𝑖
: ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬
⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀
⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖
⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖
➢ Geometric Representation of Complex Numbers
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
z
‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒙, 𝒚)
‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬
𝒛(𝒙, 𝒚)
.
:‫مثال‬
‫مثل‬
: ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬
1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
= (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖
2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
= (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖)
= 4 + 3𝑖
Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊)
Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
27
‫تمرين‬
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ :
.
a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖
𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3)
−𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3)
b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖
𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3)
−𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3)
‫تمرين‬
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ :
a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖
𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3)
𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3)
Figure 3: the geometric Representation for example a
Figure 4: the geometric Representation for example b
Figure 5: the geometric Representation for example a

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
28
b ) 𝑧 = −2𝑖
𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2)
𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2)
:‫تمرين‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊
‫و‬
𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊
:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6)
b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4)
c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4)
d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0)
Figure 6: the geometric Representation for example b
(a) (b) (c) (d)
Figure 6: the geometric Representation for example

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
29
➢ Polar form of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
❖
‫ليكن‬
z
‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬
𝒑(𝒙, 𝒚)
‫فان‬
(𝒓, 𝜽)
‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬
p
‫حيث‬
O
‫تمثل‬
‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬
𝑶𝑿
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
. ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬
❖
‫ليكن‬
r
‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
r
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬
z
: ‫حيث‬
𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛)
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒙
𝒓
=
𝒙
‖𝒛‖
⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒓
=
𝒚
‖𝒛‖
⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
❖
‫كانت‬ ‫اذا‬
𝜽
‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬
𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ
. ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬
❖
‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅)
. ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬
Figure 8: Polar form of complex number

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
30
‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬.
∴ arg(𝑧) =
𝜋
3
.
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − 𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ ∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
.

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
31
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
.
: ‫مالحظة‬
1
)
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝒛 = 𝟎
. ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬
2
)
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z
: ‫هي‬
𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)
=========================================================
:‫مثال‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −2 + 2𝑖
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos
3𝜋
4
+ 𝑖 sin
3𝜋
4
)
b) 7i

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
32
7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos
𝜋
2
+ 𝑖sin
𝜋
2
)
➢ De Moivre’s Theorem
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬
‫ليكن‬
𝒛𝟏
‫و‬
𝒛𝟐
‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑
,
‫فان‬
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑)
= 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑
= (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽)
= 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑))
‫كانت‬ ‫واذا‬
𝜽 = 𝝑
‫فان‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐
= 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)
‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏
= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ
==========================================================
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬
(cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
= cos 4
3𝜋
8
+ 𝑖sin 4
3𝜋
8
= cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
= 0 + 𝑖(−1) = −𝑖
b) (𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟐𝟒
+ 𝒊𝐬𝐢𝐧
𝟓𝝅
𝟐𝟒
)𝟒
(cos
5𝜋
24
+ 𝑖sin
5𝜋
24
)4
= cos 4
5𝜋
24
+ 𝑖sin 4
5𝜋
24
= cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
= −
√3
2
+ 𝑖 (
1
2
)
❖
‫هنا‬
θ = 5 (30) = 150
‫إذن‬ ،
θ
‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬
cos θ
‫و‬ ‫سالبة‬
sin
‫موجبة‬
.

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
33
c) (𝐜𝐨𝐬𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖
(𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒
cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛
‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4
= (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃)
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4
= cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃
==========================================================
d) (1 + 𝑖)11
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫االول‬ .
∴ 𝜃 =
𝜋
4
.
𝑧11
= 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11
= (√2)
11
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= (√2
2
)
5
. √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= 32√2 (cos 11
𝜋
4
+ 𝑖 sin 11
𝜋
4
)
= 32√2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −32 − 32𝑖.
==========================================================
c) (1 − 𝑖)7
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
34
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ,
‫الرابع‬ ..
∴ arg (𝑧) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
.
𝑧7
= 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7
= (√2)
7
(cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= (√2
2
)
3
. √2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= 8√2 (cos 7
7𝜋
4
+ 𝑖 sin 7
7𝜋
4
)
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = 8 + 8𝑖.
‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬
‫لكل‬
𝒏 ∈ ℤ+
, 𝜽 ∈ ℝ
‫فان‬ ,
√𝒛
𝒏
= 𝒓
𝟏
𝒏 [𝐜𝐨𝐬
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
+ 𝒊 𝐬𝐢𝐧
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
],
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.
❖
. ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
35
‫تمرين‬
4
:
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
(−𝟏 + √𝟑𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg (𝑧) = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)
𝑧
1
2 = 𝑟
1
2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
1
2
𝑧
1
2 = (2)
1
2 (cos
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
)
= √2 (cos
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
)
For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos
2𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋
6
) = √2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
)
= √2 (
1
2
+
√3
2
𝑖) =
1
√2
+
√3
√2
𝑖
If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos
2𝜋+6𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋+6𝜋
6
) = √2 (cos
4𝜋
3
+ 𝑖sin
4𝜋
3
)
= √2 (
−1
2
−
√3
2
𝑖) =
−1
√2
−
√3
√2
𝑖
=====================================================
❖
‫هنا‬
n=3
‫اذا‬
k
‫قيمتين‬ ‫لها‬
𝒌 = 𝟎, 𝟏
.

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
36
‫تمرين‬
6
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫االربعة‬
‫للعدد‬
(−𝟏𝟔)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
𝑧
1
4 = (16)
1
4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
4 = 2 (cos
𝜋+2𝜋𝑘
4
+ 𝑖sin
𝜋+6𝜋𝑘
4
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖sin
𝜋
4
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
3𝜋
4
+ 𝑖sin
3𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖sin
7𝜋
4
) = 2 (
1
√2
−
1
√2
𝑖) = √2 − √2𝑖
‫تمرين‬
7
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫الستة‬
‫للعدد‬
(−𝟔𝟒𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
𝑧
1
6 = (64)
1
6 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
1
6
= 2 (cos
3𝜋
2
+2𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
3𝜋
2
+6𝜋𝑘
6
)
= 2 (cos
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
+ 𝑖sin
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
3𝜋
12
+ 𝑖sin
3𝜋
12
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
12
+ 𝑖sin
7𝜋
12
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
37
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
11𝜋
12
+ 𝑖sin
11𝜋
12
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos
15𝜋
12
+ 𝑖sin
15𝜋
12
) = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
)
= 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos
19𝜋
12
+ 𝑖sin
19𝜋
12
)
𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos
25𝜋
12
+ 𝑖sin
25𝜋
12
)
:‫مثال‬
‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
(√𝟑 + 𝒊)𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬.
∴ 𝜃 =
𝜋
6
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
𝜋
6
+ 𝑖 sin
𝜋
6
)
𝑧2
= 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2
= 22
(cos
2𝜋
6
+ 𝑖 sin
2𝜋
6
) = 4 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋
3
)
𝑧
2
5 = 𝑟
2
5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
2
5 = (2)
2
5 (cos 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
)
= √4
5
(cos
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
)

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
38
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4
5
(cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
) = √4
5
(−
√3
2
+
1
2
)
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4
5
(cos
35𝜋
6
+ 𝑖sin
35𝜋
6
)
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4
5
(cos
65𝜋
6
+ 𝑖sin
65𝜋
6
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4
5
(cos
95𝜋
6
+ 𝑖sin
95𝜋
6
)
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4
5
(cos
155𝜋
6
+ 𝑖sin
155𝜋
6
)
===========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝑥3
+ 1 = 0
‫حيث‬
𝑥 ∈ ℂ
.
Sol/
𝑥3
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥3
= −1 ⇒ 𝑥3
= −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋
⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
3 = cos
𝜋+2𝜋𝑘
3
+ 𝑖sin
𝜋+2𝜋𝑘
3
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
=
1
2
+
√3
2
𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos
3𝜋
3
+ 𝑖sin
3𝜋
3
= −1 + 0 𝑖 = −1
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos
5𝜋
3
+ 𝑖sin
5𝜋
3
=
1
2
−
√3
2
𝑖
∴ 𝑆 = {
1
2
+
√3
2
𝑖 , −1 ,
1
2
−
√3
2
𝑖}.

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
39
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖
2
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1
3
)
: ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
7𝜋
12
+ 𝑖 sin
7𝜋
12
)
−3
b)
(cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5
(cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3
4
)
( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
27𝑖
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
1
: ‫القطوع‬ ‫من‬ ‫انواع‬ ‫ثالثة‬ ‫فيتكون‬ ‫مختلفة‬ ‫بمسنويات‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫سطح‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫المخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫تتكون‬
❖
. ‫مولداته‬ ‫الحد‬ ‫مواز‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬
❖
. ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫وال‬ ‫قاعدته‬ ‫يوازي‬ ‫ال‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الناقص‬ ‫القطع‬
❖
. ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الزائد‬ ‫القطع‬
: ‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬
(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐
+ (𝒚 − 𝒚𝟏)𝟐
= 𝒆𝟐
.
|𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄|
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
‫حيث‬
e
. ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫هي‬
❖
‫(أو‬ ‫ببؤره‬ ‫ويحدد‬ ‫الخاصة‬ ‫معادلته‬ ‫القطوع‬ ‫انواع‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫ولكل‬
.) ‫ببؤرتين‬
: ‫حاالت‬ ‫اربعة‬ ‫وله‬
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒙 = −𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝒑, 𝟎)
Tele@mathematicsiniraq
‫اعداد‬
‫ا‬
‫لدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
𝟏
‫ئ‬‫المكاف‬ ‫القطع‬
Limit
𝟐 ‫الفصل‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
2
❖
‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬
𝒚𝟐
= − 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒙 = 𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(−𝒑, 𝟎)
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = −𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, 𝒑)
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬
𝒙𝟐
= −𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = 𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, −𝒑)

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
3
‫مثال‬
1
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑥 = −𝑝 ⇒ 𝑥 = −1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
2
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟖𝒙
.
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⇒ 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 =
8
4
= 2
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−2,0) ‫البؤره‬
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 = 2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
3
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= −4𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −4𝑥 ⇒ −4𝑝 = −4
⇒ 𝑝 =
−4
−4
= 1
𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−1,0) ‫البؤره‬
❖
‫لحل‬
‫بمقارنة‬ ‫نقوم‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫المسائل‬
‫القياسية‬ ‫بالمعادلة‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬
‫ونستخرج‬ ‫للقطع‬
p
. ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫نكتب‬ ‫ثم‬
❖
. ‫الدليل‬ ‫اشارة‬ ‫عكس‬ ‫دائما‬ ‫البؤرة‬ ‫اشارة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
4
‫مثال‬
4
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑦2
= 4𝑥 ⇒ 𝑦 = ±2√𝑥
===========================================================
‫مثال‬
4
:
: ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫أ‬
)
( ‫بؤرته‬
0
,
3
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ )
𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0)
⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
‫ب‬
)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
2𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =
6
2
= 3
∴ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= −4𝑝𝑥 = −4(3)𝑥 = −12𝑥
𝑥 1 2
𝑦
= ±2√𝑥
±2 ±2√2
‫بالمقارنة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
5
‫تمرين‬
2
/
b
:
: ‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤره‬ ‫جد‬
2𝑥 + 16𝑦2
= 0
2𝑥 + 16𝑦2
= 0 ⇒ 16𝑦2
= −2𝑥 ⇒ 𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −
1
8
𝑥 = −4𝑝𝑥 ⇒ −
1
8
= −4𝑝 ⇒ 𝑝 =
1
32
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 =
1
32
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹 (−
1
32
, 0) ‫البؤره‬
========================================================
‫مثال‬
5
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝟑𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎
.
3𝑥2
− 24𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2
= 24𝑦 ⇒ 𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦
⇒ 8𝑦 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 2
⇒ 𝐹(0,2) ‫البؤره‬
𝑦 = −𝑝
⇒ 𝑦 = −2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
6
‫مثال‬
6
:
( ‫بؤرته‬ )‫أ‬ : ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
5
,
0
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ )
𝑭(𝟎, 𝒑) = 𝑭(𝟎, 𝟓)
⇒ 𝑝 = 5
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦
⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬
y=7
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝑦 = 7 ⇒ 𝑝 = 7
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= −4(7)𝑦
⇒ 𝑥2
= −28𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
==========================================================
‫تمرين‬
1
:‫د‬/
‫دليله‬ ‫معادلة‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4y-3=0
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 4𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 =
3
4
⇒ 𝑝 =
3
4
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥2
= −4 (
3
4
) 𝑦 ⇒ 𝑥2
= −3𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹(0, −
3
4
) ‫البؤرة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
7
‫مثال‬
7
:
( ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
,
2
‫و‬ )
(2,-4)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
. ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫من‬ **
(2,-4) (2,4) ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫النقاط‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(−4)2
= 4𝑝(2) ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
⇒ 16 = 8𝑝 ⇒ 𝑝 =
16
8
= 2
∴ 𝑝 = 2
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(2)𝑥
⇒ 𝑦2
= 8𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
8
:
‫بالنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(3,-5)
.
: ‫معلوم‬ ‫غير‬ ‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫ألن‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ **
‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= −4𝑝𝑥
𝑥 = 3 ‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫تتجه‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫اذا‬ , ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= −4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= −12𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= 4𝑝𝑦
𝑦 = −5 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, 𝑝) = 𝐹(0,5) ⇒ 𝑝 = 5
⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
8
‫تمرين‬
4
:
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
(-3,4)
‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥 = −3 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= 12𝑥 : ‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑦 = 4 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, −𝑝) = 𝐹(0, −4) ⇒ 𝑝 = 4
⇒ 𝑥2
= −4(4)𝑦 ⇒ 𝑥2
= −16𝑦 :‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
=========================================================
‫تمرين‬
5
:
‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫قطع‬
𝑨𝒙𝟐
+ 𝟖𝒚 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬
(1,2)
‫قيمة‬ ‫جد‬
A
‫وارسم‬ ‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
. ‫القطع‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
(1,2)
: ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫اذا‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
𝐴(1)2
+ 8(2) = 0 ⇒ 𝐴 + 16 = 0 ⇒ 𝐴 = −16
∴ −16𝑥2
+ 8𝑦 = 0 ⇒ −16𝑥2
= −8y
⇒ 𝑥2
=
−8
−16
y ⇒ 𝑥2
=
1
2
y
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇔ 𝑥2
=
1
2
y ‫بالمقارنة‬
4𝑝 =
1
2
⇒ 𝑝 =
1
2
(
1
4
) =
1
8
∴ 𝑦 = −
1
8
‫الدليل‬
⇒ 𝐹(0,
1
8
) ‫البؤرة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
9
===========================================================
‫مثال‬
9
:
‫بؤرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫بستخدام‬
(√𝟑, 𝟎)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
/ ‫الحل‬
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − √3)
2
+ (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−√3)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = √𝑥2 + 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑥2
− 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑦2
= 4√3𝑥
=========================================================
‫تمرين‬
6
:
‫بؤرته‬ )‫أ‬ :‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
(7,0)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−7)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = √𝑥2 + 14𝑥 + 49
⇒ 𝑥2
− 14𝑥 + 49 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 14𝑥 + 49
⇒ 𝑦2
= 28𝑥
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬
𝒚 = √𝟑
.
𝑦 = √3 ⇒ 𝐹(0, −√3)
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
10
⇒ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−√3))
2
= √(𝑥 − 𝑥) 2 + (𝑦 − √3) 2
⇒ √𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = √𝑦2 − 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2√3𝑦 + 3 = 𝑦2
− 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
= −4√3𝑦

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
11
‫الناقص‬ ‫القطع‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
:‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتين‬ ‫وله‬ ‫وبؤرتين‬ ‫وقطبين‬ ‫رأسين‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ ‫بيضوي‬ ‫شكل‬ ‫له‬
❖
( ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑎2
‫تحت‬
𝑥2
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬
❖
( ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑎2
‫تحت‬
𝑦2
)
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
12
‫مثال‬
1
:
. ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
1.
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Sol
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏
2
= 16 ⟹ 𝑏 = 4
2a= 2(5)=10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = √9 = 3
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(3,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(5,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−5,0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,4) ‫و‬ 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −4) ‫القطبان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
5
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
==========================================================
2. (4𝑥2 + 3𝑦2 =
4
3
) ×
3
4
⟹ 3𝑥2 +
9
4
𝑦2 = 1
𝑥2
1
3
+
𝑦2
4
9
= 1
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 =
4
9
⟹ 𝑎 =
2
3
, 𝑏
2
=
1
3
⟹ 𝑏 =
1
√3
2a= 2(
2
3
)=
4
3
‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2 (
1
√3
) =
2
√3
‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √
4
9
−
1
3
= √
1
9
=
1
√9
=
1
3
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
13
𝐹1(0, 𝑐) ⟹ 𝐹1 (0,
1
3
), 𝐹2(0, −𝑐) ⟹ 𝐹2 (0, −
1
3
) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎) ⟹ 𝑉1 (0,
2
3
) , 𝑉2(0, −𝑎) ⟹ 𝑉2 (0, −
2
3
) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0) ⟹ 𝑀1 (
1
√3
, 0) , 𝑀2(−𝑏, 0) ⟹ 𝑀2 (−
1
√3
, 0) ‫القطبان‬
𝒆 =
𝒄
𝒂
=
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
‫المر‬ ‫االختالف‬
‫كزي‬
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
. ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
a. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏
𝑥2
1
+
𝑦2
1
2
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏
2
=
1
2
⟹ 𝑏 =
1
√2
2a= 2(1)= 2 , 2𝑏 = 2 (
1
√2
) =
2
√2
= √2
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √1 −
1
2
= √
1
2
=
1
√2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1 (
1
√2
,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2 (−
1
√2
,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(1,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−1,0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1 (0,
1
√2
) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2 (0, −
1
√2
)
‫بالمقارنة‬

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
14
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
1
√2
1
=
1
√2
==========================================================
b. 9𝒙𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚𝟐
= 117 ⟹
9𝑥2
117
+
13𝑦2
117
= 1
𝑥2
13
+
𝑦2
9
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = √13, 𝑏
2
= 9 ⟹ 𝑏 = 3
2a= 2(√13)= 2 √13 , 2𝑏 = 2(3) = 6
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √13 − 9 = √4 = 2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−2,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(√13, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−√13, 0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,3) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −3)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
2
√13
‫مثال‬
2
:
‫جد‬
: ‫يلي‬ ‫كما‬ ‫وراساه‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Ex. 𝑭𝟏(𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟑, 𝟎) , 𝑽𝟏(𝟓, 𝟎) , 𝑽𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 3 ⟹ 𝑐2
= 9, 𝑎 = 5 ⟹ 𝑎2
= 25
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
9 = 25 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑏 = 4

Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
15
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
===================================================
‫مثال‬
3
:
‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ويقطع‬
8
‫طوله‬ ‫جزءا‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬
12
‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬
. ‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑏 = 8 ⟹ 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏2
= 16
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √36 − 16 = √20 ⟹ 𝑐 = 2√5
2𝑐 = 2(2√5) = 4√5 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 = 6(4)𝜋 = 24𝜋 ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝑎2+𝑏2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋√
52
2
= 2𝜋√26 ‫القطع‬ ‫محيط‬
‫تمرين‬
2
:
‫جد‬
‫المعادلة‬
‫القياسية‬
‫للقطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫في‬
‫كل‬
‫مما‬
‫يأتي‬
:
a) 𝑭𝟏(𝟓 , 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
25 = 36 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 36 − 25
= 11 ⟹ 𝑏 = √11
❖
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
8
‫طول‬ ‫اذا‬ , ‫وحدات‬
‫الكبير‬ ‫المحور‬
2b
=
8
.
❖
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
12
‫طول‬ ‫اذا‬ ,‫وحدة‬
‫الصغير‬ ‫المحور‬
2a
=
12
2015-1

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
16
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
===================================================
b. 𝑭𝟏(𝟎 , 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐)
𝑐 = 2 ⟹ 𝑐2
= 4
𝑏 = 4 ⟹ 𝑏
2
= 16
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 𝑎2
− 16 ⟹ 𝑎2
= 16 + 4 = 20 ⟹ 𝑎 = √20
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
20
= 1
C
.
‫احدى‬
‫بؤرتيه‬
‫تبعد‬
‫عن‬
‫نهايتي‬
‫محوره‬
‫الكبير‬
‫بالعددين‬
5
,
1
‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬
‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
: ‫احتماالن‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑎 = 5 + 1 ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫البؤرة‬ ‫بعدي‬ ‫مجموع‬
= 6 ⟹ 𝑎 = 3
𝑐 = 𝑎 − (‫االقل‬ ‫البعد‬ ) = 3 − 1 = 2 ⟹ 𝑐 = 2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 9 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 9 − 4 = 5
∴
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟓
= 𝟏
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝒙𝟐
𝟓
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏
===================================================
❖
‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬
𝒙 = ±𝟒
‫اذا‬ ,
b=4

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
17
d
.
= ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
𝟐
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬
12
. ‫وحدة‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑏 = 12 ⟹ 𝑏 = 6 ⟹ 𝑏2
= 6
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑎 =
𝑐
𝑒
=
𝑐
1
2
= 2𝑐 ∴ 𝑎 = 2𝑐
𝑎2
= 4𝑐2
...(1)
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
…(2) ⟹ 4𝑐2 = 36 + 𝑐2 ⟹ 4𝑐2 − 𝑐2 = 36 ⟹ 3𝑐2 = 36
𝑐2
= 12 ⟹ 𝑎2
= 4(12) = 48 ( ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
∴
𝑥2
48
+
𝑦2
36
= 1
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
48
= 1
e
)
= ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
8
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬
3
.‫وحدات‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑐2
= 16 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑏 = 3 ⟹ 𝑏2
= 9 ‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نصف‬
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
⟹ 𝑎2
= 9 + 16 = 25
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
18
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
‫تمرين‬
3
:
:‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬ .‫أ‬
(𝟎, ±𝟐)
‫النقطتان‬ ‫ورأساه‬
(𝟎, ±𝟑)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
𝑭𝟏(𝟎, 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) ‫البؤرتان‬
𝑽𝟏(𝟎, 𝟑), 𝑽𝟐(𝟎, −𝟑) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 2(3) = 6
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 = 6
√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 6 − √𝑥2 + (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 + 4
−4𝑦 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 4𝑦
12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 36 + 8𝑦 ÷ 4
3√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 9 + 2𝑦
9(𝑥2
+ (𝑦 + 2)2) = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
+ 36𝑦 + 36 = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
− 4𝑦2 = 81 − 36
⟹ 9𝑥2 + 5𝑦
2
= 45 ÷ 45
∴
𝑥2
5
+
𝑦2
9
= 1

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
19
= ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ )‫ب‬
6
‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدات‬
10
‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬
2𝑐 = 6 ⟹ 𝑐 = 3 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 = 10 ⟹ 𝑎 = 5 = ‫الثابت‬ ‫العدد‬
10
𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(−5,0), 𝑉2(5,0) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 10
√(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 10
√(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 − √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2
(𝑥 + 3)2
+ 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 + 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 𝑦2
6𝑥 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − 6𝑥
20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 12𝑥 ÷ 4 5√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 =
25 − 3𝑥
25((𝑥 − 3)2
+ 𝑦2) = 625 − 150𝑥 + 9𝑥2
⟹ 25𝑥2 − 9𝑥2 − 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 625 − 150𝑥
⟹ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 625 − 225 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦
2
= 400 ÷ 400
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
==========================================================
‫تمرين‬
4
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬
(𝟐√𝟑, √𝟑)
.
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −8𝑥
❖
. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬
❖
‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
20
𝑦2
= −4𝑝𝑥 −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⟹ 4𝑝 = 8 ⟹ 𝑝 = 2 ⟹ 𝐹(−2,0)
𝐹1(−2,0), 𝐹2(2,0) ⟹ 𝑐 = 2, 𝑐2 = 4
𝑎2
= 𝑏2
+ 4 …. (1)
(2√3, √3) ⟹
(2√3)
2
𝑎2
+
(√3)
2
𝑏2
= 1 ⟹
12
𝑎2
+
3
𝑏2
= 1 × (𝑎2
𝑏2
)
12𝑏2
+ 3𝑎2
= 𝑎2
𝑏2
… (2)
12𝑏2
+ 3(𝑏2
+ 4) = (𝑏2
+ 4)𝑏2
12𝑏2
+ 3𝑏2
+ 12 = 𝑏4
+ 4𝑏2
⟹ 𝑏4
− 11𝑏2
− 12 = 0
(𝑏2
− 12)(𝑏2
+ 1) = 0 ⟹ 𝑏2
= −1 𝑜𝑟 𝑏2
= 12
∴ 𝑎2
= 12 + 4 = 16
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
===================================================
‫تمرين‬
5
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
.
(3)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
16
𝑏2
= 1 … (1)
(6)2
𝑎2
+
(2)2
𝑏2
= 1 ⟹
36
𝑎2
+
4
𝑏2
= 1 … (2)
36
𝑎2
+
64
𝑏2
= 4
−
36
𝑎2
∓
4
𝑏2
= −1
60
𝑏2 = 3 ⟹ 𝑏2
=
60
3
= 20 ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
❖
‫بالنقطين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬ ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫فهما‬ ‫اذا‬ ,
‫قيم‬ ‫اليجاد‬ ‫الناقص‬
a , b
.
× 4

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
21
9
𝑎2
+
16
20
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
4
5
= 1 ⟹
9
𝑎2
= −
4
5
+ 1 ⟹
9
𝑎2
=
1
5
⟹ 𝑎2
= 45
𝑥2
45
+
𝑦2
20
= 1
‫تمرين‬
6
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫نقطتا‬
‫تقاطع‬
‫المنحني‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
−
𝟑𝒙 = 𝟏𝟔
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
.
/‫الحل‬
‫نعوض‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬
x=0
‫ونجد‬
y
.
𝑥 = 0 ⟹ (0)2
+ 𝑦2
− 3(0) = 16 ⟹ 𝑦2
= 16 ⟹ 𝑦 = ±4
(𝟎, 𝟒), (𝟎, −𝟒) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ⟹ 𝑐 = 4 ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
𝑦2
= 12𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 4𝑝𝑥 = 12𝑥 ⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3 ⟹ 𝑥 = −3
⟹ (−3,0) ⟹ (3,0), (−3,0) ‫هما‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبا‬ ‫اذا‬ , ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫يمس‬
⟹ 𝑏 = 3, 𝑏
2
= 9
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
= 16 + 9 = 25
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
‫تمرين‬
7
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫بؤرتاه‬
‫تنتميان‬
‫الى‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ومركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫محوره‬ ‫وطول‬
‫الكبير‬
‫ضعف‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الصغير‬
‫ويقطع‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫عند‬
‫النقطة‬
‫التي‬
= ‫السيني‬ ‫احداثيها‬
-2
.
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫نعوض‬
2
-
x=
. ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
+ 8(−2) = 0
⟹ 𝑦2 − 16 = 0 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4
2𝑎 = 2(2𝑏) ‫اذا‬ , ‫الصغير‬ ‫ضعف‬ = ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
= 4𝑏 ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑎2
= 4𝑏2
… (1)

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
22
𝑥 = −2, 𝑦 = 4 ( ‫في‬ ‫التعويض‬ ‫ثم‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬
1
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
(−2)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
4
4𝑏2
+
16
𝑏2
= 1 ⟹
1
𝑏2
+
16
𝑏2
= 1
⟹
17
𝑏
2
= 1 ⟹ 𝑏
2
= 17
𝑎2
= 4(17) = 68
𝑥2
68
+
𝑦2
17
= 1
===================================================
‫تمرين‬
8
:
‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬
𝒉𝒙𝟐
+ 𝒌𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
‫يساوي‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
60
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدة‬
𝒚𝟐
= 𝟒√𝟑𝒙
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ .
h,k
‫؟‬
:‫الحل‬
ℎ𝑥2
+ 𝑘𝑦2
= 36 ⟹
𝑥2
36
ℎ
+
𝑦2
36
𝑘
= 1 ⟹ 𝑎2
=
36
ℎ
, 𝑏2
=
36
𝑘
𝑦2
= 4√3𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 4𝑝 = 4√3 ⟹ 𝑝 = √3
𝑂(0, √3)
𝐹1(0, √3), 𝐹2(0, −√3) ⟹ 𝑐 = √3 ⟹ 𝑐2
= 3
(2𝑎)2
+ (2𝑏)2
= 60 ⟹ 4𝑎2
+ 4𝑏2
= 60 ⟹ 𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑐2
⟹ 𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
2𝑎2
= 18 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 15 − 𝑎2
= 15 − 9 = 6

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
23
𝑎2
=
36
ℎ
⟹ ℎ =
36
𝑎2
=
36
9
= 4
𝑏2
=
36
𝑘
⟹ 𝑘 =
36
𝑏2
=
36
6
= 6
===================================================
‫تمرين‬
9
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒙𝟐
= 𝟐𝟒𝒚
‫ومجموع‬
‫طولي‬
‫محوريه‬
( 36 )
‫وحدة‬
.
/‫الحل‬
𝑥2
= 24𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦 4𝑝𝑦 = 24𝑦 ⟹ 4𝑝 = 24 ⟹ 𝑝 = 6 ⟹ 𝐹(0, −6)
𝐹1(0,6), 𝐹2(0, −6) ⟹ 𝑐 = 6, 𝑐2 = 36
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 …. (1)
2𝑎 + 2𝑏 = 36 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 18 ⟹ 𝑎 = 18 − 𝑏 … (2) ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مجموع‬
(18 − 𝑏)2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 324 − 36𝑏 + 𝑏2
− 𝑏2
= 36 ( ‫نعوض‬
1
(‫في‬ )
2
)
⟹ 324 − 36 = 36𝑏 ⟹ 36𝑏 = 288 ⟹ 𝑏 =
288
36
= 8 ⟹ 𝑏
2
= 64
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 𝑎2
= 64 + 36 ⟹ 𝑎2
= 100
𝑥2
64
+
𝑦2
100
= 1
❖
‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬
. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬
❖
‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
24
‫تمرين‬
10
:
‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝑭𝟏(𝟒, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎)
‫والنقطة‬
P
‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬
𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐
‫يساوي‬
24
. ‫وحدة‬
Sol
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
⟹ 𝑐 = 4
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝐹1𝐹2 = 24 … (1)
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎, ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 + 2𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 4 = 12 ⟹ 𝑎 = 12 − 4 = 8 ⟹ 𝑎2 = 64
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
⟹ 𝑏2
= 64 − 16 = 48
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
25
‫الزائد‬ ‫القطع‬
: ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتان‬ ‫وله‬
❖
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الرأسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
===========================================================
❖
‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬
‫الصادات‬
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الرأسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
2𝑎 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫مثال‬
1
‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫والمرافق‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عين‬ :
𝒙𝟐
𝟔𝟒
−
𝒚𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏
‫ارسمه‬ ‫ثم‬
.

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
26
Sol ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
𝑥2
64
−
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 64 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏2
= 36
⟹ 𝑏 = 6
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √64 + 36 = √100 = 10
𝐹1(10,0), 𝐹2(−10,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(8,0), 𝑉2(−8,0) ‫الرأسان‬
2𝑎 = 2(8) = 16 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 = 2(6) = 12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
===========================================================
‫مثال‬
2
:
= ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
6
= ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫وحدات‬
2
. ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبؤرتان‬
2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9 = ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
6
𝑒 =
𝑐
𝑎
‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫قانون‬ ‫باستخدام‬
⟹ 2 =
𝑐
3
⟹ 𝑐 = 2(3) = 6 ⟹ 𝑐2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 36 − 9 = 27
𝑥2
9
−
𝑦2
27
= 1

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
27
‫مثال‬
3
:
‫المرافقة‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫وحدات‬
𝑭𝟏(𝟎, √𝟖), 𝑭𝟐(𝟎, −√𝟖)
.
Sol
2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏2
= 4 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫بما‬
4
‫اذا‬ , ‫وحدات‬
𝐹1(0, √8), 𝐹2(0, −√8) ⟹ 𝑐 = √8 ⟹ 𝑐2
= 8
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
= 8 − 4 = 4
𝒚𝟐
𝟒
−
𝒙𝟐
𝟒
= 𝟏
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
‫عين‬
‫كل‬
‫من‬
‫البؤرتين‬
‫والرأسين‬
‫ثم‬
‫جد‬
‫طول‬
‫كل‬
‫من‬
‫المحورين‬
‫واالختالف‬
‫المركزي‬
‫للقطوع‬
‫االتية‬ ‫الزائدة‬
:
a) 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒚𝟐
= 𝟒𝟖
Sol
12𝑥2
− 4𝑦2
= 48 ÷ 48
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 4 ⟹ 𝑎 = 2 ⟹ 2𝑎 = 2(2) = 4 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 12 ⟹ 𝑏 = √12 ⟹ 2𝑏 = 2(√12) = 2√12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 4 = √16 = 4
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(2,0), 𝑉2(−2,0) ‫الرأسان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
4
2
= 2 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
b) 𝟏𝟔𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
= 𝟏𝟒𝟒
16𝑥2
− 9𝑦2
= 144 ÷ 144

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
28
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 9 ⟹ 𝑎 = 3, 2𝑎 = 2(3) = 6 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 16 ⟹ 𝑏 = √16 ⟹ 𝑏 = 4, 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 16 = √25 = 5
===========================================================
‫تمرين‬
2
:
‫اكتب‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫في‬
‫الحاالت‬
‫االتية‬
‫ثم‬
‫ارسم‬
‫القطع‬
:
‫أ‬
.
‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
(±𝟓, 𝟎)
‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬
𝒙 = ±𝟑
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) : ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫اذا‬
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫هما‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
‫ب‬
.
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 12 )
‫وحدة‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
( 10 )
‫وحدات‬
‫وينطبق‬
‫محوراه‬
‫على‬
‫المحورين‬
‫االحداثيين‬
‫ومركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
.
/‫الحل‬
2𝑎 = 12 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
⟹ 𝑉1(6,0), 𝑉2(−6,0)
2𝑏 = 10 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏2
= 25

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
29
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 25 = √61
⟹ 𝐹1(√61, 0), 𝐹2(−√61, 0) ‫البؤرتان‬
:‫احتمالين‬ ‫فناخذ‬ ‫البؤرتان‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ **
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ال‬‫او‬
𝑥2
36
−
𝑦2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
𝑦2
36
−
𝑥2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
30
.‫جـ‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫الصادات‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
𝟐√𝟐
‫المركزي‬ ‫واختالفه‬ ‫وحدة‬
=
3
.
/‫الحل‬
2𝑏 = 2√2 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = √2 ⟹ 𝑏2
= 2
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 3 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑐 = 3𝑎 … (1)
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 9𝑎2
= 𝑎2
+ 2
⟹ 9𝑎2
− 𝑎2
= 2 ⟹ 8𝑎2
= 2
⟹ 𝑎2
=
1
4
⟹ 𝑎 =
1
2
⟹ 𝑐 = 3𝑎 = 3 (
1
2
) =
3
2
⟹ 𝑉1 (0,
1
2
) , 𝑉2 (0, −
1
2
) ‫الرأسان‬
⟹ 𝐹1 (0,
3
2
) , 𝐹2 (0, −
3
2
) ‫البؤرتان‬
⟹
𝑦2
1
4
−
𝑥2
2
= 1
==========================================================
‫تمرين‬
3
:
‫جد‬
‫باستخدام‬
‫تعريف‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتيه‬
𝑭𝟏(𝟐√𝟐, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟐√𝟐, 𝟎)
‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫والقيمة‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬
‫يساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬
4
. ‫وحدات‬
𝐹1(2√2, 0), 𝐹2(−2√2, 0) ⟹ 𝑐 = 2√2
⟹ 𝑐2
= 4(2) = 8
|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 4 ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬

Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
31
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = ±4 + √(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
(𝑥 − 2√2)2
+ 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + (𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
𝑥2
− 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + 𝑥2
+ 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
−8√2𝑥 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 ÷ 8
−√2𝑥 − 2 = ±√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
2𝑥2
+ 2√2𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 2√2𝑥 + 8 + 𝑦2
2𝑥2
− 𝑥2
= 𝑦2
+ 8 − 4 ⟹ 𝑥2
− 𝑦2
= 4 ÷ 4
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1
‫تمرين‬
4
:
‫قطع‬
‫زائد‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 6)
‫وحدات‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(1, ±2√5)
‫جد‬
‫معادلتي‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫والقطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
.‫االصل‬
2𝑎 = 6 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
(1, ±2√5) ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫النقطتين‬ ‫اذا‬ , ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(2√5)
2
= 4𝑝(1) ⟹ 20 = 4𝑝 ⟹ 𝑝 = 5