Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
Similar to 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل (20)
More from anasKhalaf4
More from anasKhalaf4 (8)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
- 1. العلمي السادس للصف – التطبيقي الفصل الثالث التفاضل تطبيقات دادعا الجبوري ذياب أنس الدكتور 2021 - 2022
- 2. تقديم سلسلة من واحدة هي والتطبيقي االحيائي بفرعيه العلمي السادس للصف الرياضيات ملزمة المالزم الحديثة مسائل لحل توضيحية خطوات على تحتوي وهي , الرياضيات لمادة كل مواضيع الرياضيات كتاب خ شرح مع ط كما الوزارية االسألة الى واالشارة والتمارين لالمثلة الحل وات الرياضات مادة تقديم هو الملزمة هذه من الغرض ان . االضافية التمارين بعض على تحتوي من وذلك الرياضيات في الضعيف المستوى ذوي للطلبة حتى ومفهوم واضح باسلوب للطلبة ش خالل و للحل الطرق ابسط واختيار الدقيق بالتفصل الحل خطوات رح ا رسوم ضافة ذلك من والهدف مباشرة لها المشابهة التمارين ثم االمثلة حل وتم كما . توضيحية ومخططات من الطالب تركيز ابقاء هو األسأ من النوع هذا على ًاصب االسألة بكل ًاملم الطالب يكون وان لة حو ترد ان يمكن التي . النقطة هذه ل الى هذه جهدي ثمرة اهدي مجد طالب كل ًاساعي طموح و اه تحقيق الى دوما دافه كل رغم الصعوبات ف والتحديات وجل عز هللا أسأل له له وأقول , حياته في والنجاح التوفيق دوام " ةمقلابلاايضرتلاوةمهاليلاعًامدونك ." الدكتور خلف ذياب أنس 07818192576 anasdhyiab@gmail.com محفوظة الحقوق جميع © 2021 .المؤلف بموافقة اال العمل هذا طباعة اعادة او قص او تعديل يجوز ال
- 3. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د الثالث الفصل التفاضل تطبيقات
- 4. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د االمثلة بعض مع االشتقاق قواعد 1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 ==================================== ====================== 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5𝑥4 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = −6𝑥−7 C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥) 1 2 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 (𝑥) 3 2 E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 ========================================================= 3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙)) 𝒏−𝟏 . 𝒈 ́ (𝒙) Ex. A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2 − 14𝑥)5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5(6𝑥2 − 14𝑥)4 (12𝑥 − 14) B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2 3 ⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2) 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 (21𝑥 + 2) −2 3 (21) = 7 √(21𝑥+2)2 3
- 5. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉 ́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈 ́ (𝒙) Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7𝑥) ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3 − 10) ============================================================= 5) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒉(𝒙).𝒈 ́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉 ́ (𝒙) (𝒉(𝒙))𝟐 Ex. 𝒇(𝒙) = (𝒙)𝟑 𝟒−𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏) (𝟒−𝒙)𝟐
- 6. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د المشتقة رموز 1. 𝒚́ = 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2. 𝒚́ ́ = 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 3. 𝒚́ ́ ́ = 𝒇 ́ ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 4. 𝒚(𝒏) = 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝒅(𝒏)𝒚 𝒅𝒙(𝒏) =========================================================== :مثال كانت اذا 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 فجد 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 . :الحل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥 =========================================================== :مثال اذا أن علمت 𝑦2 + 𝑥2 = 1 : ان على فبرهن 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 . ا :لحل 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 = 0 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 + 1 = 0
- 7. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ). 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 0 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ========================================================== تمرين 1 جد : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 : يلي مما لكل a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙) 𝟏 𝟐, ∀𝒙 < 𝟐 Sol/ 𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥) 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 (−1) = − 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 (−1) = − 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 = −1 4√(2 − 𝑥)3 ========================================================== b. 𝒚 = 𝟐−𝒙 𝟐+𝒙 , 𝒙 ≠ −𝟐 Sol/ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1) (2 + 𝑥)2 = −4 (2 + 𝑥)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1) (2 + 𝑥)4 = −(−4) (4 + 2𝑥) (2 + 𝑥)4
- 8. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د = 16 + 8𝑥 (2 + 𝑥)4 ========================================================== C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎 Sol/ 2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 = −5 (2𝑥 − 4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2) (2𝑥 − 4)2 = 10 (2𝑥 − 4)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2)) (2𝑥 − 4)4 = −40 (2𝑥 − 4)4 ========================== ========== =============== 2 ) جد 𝒇 ́ ́ ́ (𝟏) ياتي مما لكل a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑 𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥) 1 2 𝑓 ́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 1 2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)− 1 2 𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 3 2(−2) = −4(6 − 2𝑥)− 3 2 𝑓 ⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)− 5 2(−2) = −12(6 − 2𝑥)− 5 2 𝑓 ⃛(1) = −12 √(6 − 2(1))5 = −12 √(4)5 = −12 √1024 = −12 32 = −3 8
- 9. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 𝑓 ́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2 sin 𝜋𝑥 𝑓 ⃛(𝑥) = −𝜋3 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓 ⃛(1) = −𝜋3 cos 𝜋(1) = −𝜋3 (−1) = 𝜋3 ======================================================== c. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝟐−𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟐 𝑓(𝑥) = 3 2 − 𝑥 = 3(2 − 𝑥)−1 𝑓 ́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2 ⟹ 𝑓 ́ ́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3 ⟹ 𝑓 ́ ́ ́ (𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4 𝑓 ́ ́ ́ (1) = 18(2 − 1)−4 = 18(1)−4 = 18 . ======================================================== تمرين 3 : كانت اذا 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ان فبرهن 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐 𝒙) :الحل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sec2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 = 2 tan 𝑥 (1 + tan2 𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2𝑦 (1 + y2 𝑥) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
- 10. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 3 : كانت اذا 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ان فبرهن 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0 . :الحل 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥 𝑦́ ́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑦́ ́ ́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝑦(4) = 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
- 11. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د [3-2] المعدالت المرتبطة Independent Equations 𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔́(𝑡) 𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 ́(𝑡) 1 . ارسم مخططا للمسألة وحدد المتغيرات والثوابت وضع لها الرموز وحدد العالقة الرئيسية في حل السؤال . 2 . حاول إيجاد عالقة أخرى بين المتغيرات لكي تقلل من عدد المتغيرات . 3 . نشتق الطرفين بالنسبة للمتغير t الزمن 4 . عوض معطيات السؤال من المتغيرات بعد االشتقاق . : مثال ضلعها طول مربعة قاعدته مستطيلة سطوح متوازي شكل على بالماء مملوء خزان 2m يتسرب بمعدل الماء منه 0.4 𝒎𝟑 /𝒉 زمن اي عند الخزان في الماء انخفاض تغير معدل جد . t . 𝑽 = 𝑨 𝒉 = 𝟐𝟐 . 𝒉 = 𝟒𝒉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ −0.4 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 متغير تابع متغير مستقل لحل أي سؤال يتعلق بالمعدالت المرتبطة المعدل الزمني لتغير y المعدل الزمني لتغير x (مرب القاعدة مساحة = المستطيلة السطوح متوازي مساحة )عة × الضلع طول مربع = االرتفاع × االرتفاع او نقصان او تسرب سالبة اشارة نضع ذوبان
- 12. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = −0.1 𝑚/ℎ تمرين 5 : ضلع طول يزداد , الشكل مربعة قاعدته تبقى بحيث تتغير ابعاده مستطيلة سطوح متوازي ا بمعدل لقاعدة 0.3 cm/s بمعدل يتناقص وارتفاعه 0.5cm/s طول يكون عندما الحجم تغير معدل جد , القاعدة ضلع 4cm االرتفاع و 3 cm . Sol/ : ان نفرض , لحظة اية في المربعة القاعدة ضلع طول = x = الضلع طول تغير معدل وبالتالي 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 0.3 cm/s القاعدة مساحة A = 𝒙𝟐 = االرتفاع h معدل وبالتالي تناقص = االرتفاع 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 0.5 cm/s - المستطيلة السطوح متوازي حجم 𝑽 = 𝑨 . 𝒉 𝑉 = 𝑥2 . ℎ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 + 2𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3 /𝑠 :مثال صف مساحتها المعدن من مستطيلة يحة 96 𝒄𝒎𝟐 بمعدل طولها يتمدد . 2 cm/s تبقى بحيث عرضها يكون عندما وذلك عرضها في النقصان معدل جد , ثابتة مساحتها 8 cm . = المستطيل طول نفرض X = وعرضه Y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ? 𝐴 = 𝑥 𝑦 96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 = 96 8 = 12 X y مجهول العرض تغير معدل الطول = المستطيل مساحة × العرض على نحصل وباتعويض الحجم تناقص معدل
- 13. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (96) = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 8(2) ⟹ −16 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 16 12 = − 4 3 𝒄𝒎/𝒔 :مثال حرفه طول صلد مكعب 8cm بالذوبان الجليد بدأ فاذا ,مكعبا يبقى شكله بحيث الجليد من بطبقة مغطى بمعدل 6 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 بسمك النقصان معدل فجد السمك هذا فيها يكون التي الحظة في الجليد 1 cm . الحل / = لحظة اية في الجليد سمك ان نفرض x ايجاد المطلوب , = الجليد سمك في النقصان معدل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 عند x=1 بالجليد المغطى المكعب حجم = الجليد حجم - االاصلي المكعب حجم 𝑉 = (8 + 2𝑥)3 − 83 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 3(8 + 2𝑥)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 0 −6 = 3(8 + 2(1))2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −6 = 3(10)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 300 (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 600 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −6 600 = −1 100 = −0.01 𝑐𝑚/𝑠 :مثال طوله سلم 10m , رأسي حائط على العلوي وطرفه افقيه ارض على االسفل طرفه يستند انزلق فاذا بمعدل الحائط غن مبتعدا االسفل الطرف 2m/s بعد على االسفل الطرف يكون عندما 8m جد . الحائط عن 1 العلوي الطرف انزالق معدل ) 2 . واالرض السلم بين الزاوية تغير سرعة ) 8 cm 8+2x cm حرفه طول مكعب = المكعب حجم . حرفه طول بالجليد المغطى المكعب 8+2x
- 14. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د Sol/ = لحظة اية في الحائط عن االسفل الطرف بعد ان نفرض x اذ . الطرف ابتعاد معدل ن = الحائط عن االسفل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = لحظة اية في االرض عن العلوي الطرف بعد ان نفرض y = العلوي الطرف انزالق معدل اذن . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 مطلوب ... ان نفرض = واالرض السلم بين الزاوية قياس 𝜽 قطرية نصف زاوية ونجد فيثاغورس قاعدة نطبق لذا مثلث على نحصل الرسم من y ن ثم المجهول ونجد المعاليم ونعوض شتق 𝑥2 + 𝑦2 = 102 ⟹ 82 + 𝑦2 = 100 𝑦2 = 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (10) 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2(8)(2) + 2(6) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 12 = −8 3 𝑚/𝑠 معدل انز الق الطرف العلوي −8 3 𝑚/𝑠 . الزاويه تغير معدل اليجاد االن 𝒅𝜽 𝒅𝒕 قانون نستخدم 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = المقابل الوتر sin 𝜽 = 𝑦 10 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (sin 𝜽) = 1 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ cos 𝜽 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 𝑥 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 8 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ⟹ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ( 10 8 ) = −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴ الزاوية تغير معدل وبالتعويض عن 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝟏𝟎
- 15. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :تمرين فاذا رأسي حائط على االعلى وطرفه افقيه ارض على االسفل طرفه يستند سلم الطرف انزلق بمعدل الحائط عن مبتعدا االسفل 2m/s بين الزاوية قياس يكون عندما العلوي الطرف انزالق معدل فجد واالرض السلم 𝜋 3 . Sol/ : ان نفرض , لحظة اية في الحائط عن السفلي الطرف بعد x االرض عن العلوي الطرف بعد y االسفل الطرف انزالق معدل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝒎/𝒔 العلوي الطرف انزالق معدل ايجاد المطلوب 𝒅𝒚 𝒅𝒕 =? tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ tan 𝜋 3 = 𝑦 𝑥 ⟹ √3 = 𝑦 𝑥 … . (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠2 ⟹ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 2 √3 𝑚/𝑠 قانون من 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = المقابل المجاور على نحصل على نحصل فيثاغورس قانون من قيمة نعوض 𝒙 𝒚 ( عالقة من 1 )
- 16. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 2 : طواله عمود 7.2 m طوله رجل يتحرك , مصباح نهايته في 1.8 m بسرعة العمود عن مبتعدا 30 m/min . الرجل ظل طول تغير معدل جد , Sol/ :ان نفرض , لحظة اية في = العمود عن الرجل بعد x ابتعاد معدل وبالتالي عن الرجل = العمود 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 m/min = الرجل ظل طول y = الرجل ظل طول تغير وبالتالي 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ؟ = ل بالنسبة نشتقها معادلة على محصل المثلثين تشابه من t ثم . المجهول ونجد نعوض .8 1.8 7.2 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ⟹ 1 4 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 30 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛 قيمة وبتعويض 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 نحصل معدل الرجل ظل طول تغير
- 17. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال يساوي ارتفاعه لالسفل ورأسه افقية قاعدته مخروطي مرشح 24cm قاعدته قطر وطول 16cm بمعدل سائل فيه يصب 𝟓 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 بينما بمعدل السائل منه يتسرب 𝟏 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 السائل عمق تغير معدل جد . السائل عمق فيها يكون التي اللحظة في 12 cm . : ان نفرض لحظة اية في = المخروط قطر نصف r = ارتفاعه و h = السائل حجم v(t) المخرو حجم = ط 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 = القطر 16 ⟸ القطر نصف r = 8 قانون من 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = المقابل المجاور نحصل العالقة في نطبقها عالقة على . االولى tan 𝜃 = 𝑟 ℎ = 8 24 ⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 = 8 24 ℎ = 1 3 ℎ 𝑣 = 1 3 𝜋𝑟2 ℎ = 1 3 𝜋( 1 3 ℎ)2 ℎ = 1 3 ( 1 9 ) 𝜋ℎ3 = 1 27 𝜋ℎ3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 3( 1 27 )𝜋ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 معدل تغير حجم السائل في المخروط = معدل الصب - معدل التسرب . 4 = 1 9 𝜋(12)2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 4 = 144 9 𝜋 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 4 16𝜋 = 1 4𝜋 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 تغير معدل السائل عمق 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑 /𝒔
- 18. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال لتكن M المكافئ القطع منحني على متحركة نقطة 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 النقطة عن ابتعادها معدل يكون بحيث ( 0 , 7 يساوي ) 0.2 unit/s للنقطة السيني االحداثي لتغير الزمني المعدل جد . M يكون عندما x=4 . Sol/ النقطة احداثيات ان نفرض M هي x, y . نفرض ( النقطة بين البعد ان 0 , 7 و ) M هو s هو النقطة ابتعاد معدل 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔 السيني االحداثي تغير معدل ايجاد المطلوب 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2 − 10𝑥 + 49) 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 2 (𝑥2 − 10𝑥 + 49)− 1 2 (2𝑥 − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0.2 = 1 2 (42 − 10(4) + 49)− 1 2 (2(4) − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = 1 2 (25)− 1 2 (−2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = −(52)− 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ [0.2 = − 1 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] × −5 ∴ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠 نعوض 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 نعوض 𝒙 = 𝟒 , 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 السيني االحداثي تغير معدل
- 19. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 3 : لتكن M المكافىء القطع على تتحرك نقطة 𝒚 = 𝒙𝟐 النقطة احداثي جد , M المعدل يكون عندما النقطة عن البتعادها الزمني (𝟎, 𝟑 𝟐 ) للنقطة الصادي االحداثي لتغير الزمني المعدل ثلثي يساوي M . Sol/ النقط احداثيات ان نفرض ة M هي x, y . النقطة بين البعد ان نفرض (𝟎, 𝟑 𝟐 ) و M هو s هو النقطة ابتعاد معدل 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =? للنقطة الصادي االحداثي تغير معدل M = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 احداثي ايجاد المطلوب M عندما 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3 2 )2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 = √𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (2𝑦 − 2) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 (𝑦 − 1) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 = 3(𝑦 − 1) 4𝑦2 − 8𝑦 + 9 = 9𝑦2 − 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2 − 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0 5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 Or 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2 ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2) وبتعويض 𝒚 = 𝒙𝟐 وبتعويض 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Y=0 النقطة تتحرك لن الحالة هذه في النه يهمل M عن مبنعده القطع على االخرى النقطة نحصل الطرفين وبتربيع
- 20. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 4 : للدائرة تنتمي التي النقطة جد 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 المعدل يكون عندها والتي لتغير الزمني x لتغير الزمني المعدل يساوي y لـ بالنسبة t . Sol/ لتغير الزمني المعدل x = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 لتغير الزمني والمعدل y = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 لدينا 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ⟹ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏) (𝟐 − 𝒚)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎 𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔 االصلية المعادلة في وبالتعويض
- 21. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د المتوسطة والقيمة رول مبرهنتا قيمة نجد وكيف ؟ رول مبرهنة شروط تحقق الدالة ان نبرهن كيف c ؟ الممكنة - الدالة ان لنثبت f : التالية للشروط تحقيقها نختبر ان يجب رول مبرهنة تحقق 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [a,b] 2 ) الفترة على لالشتقاق قابلة الدالة (a,b) 3 ) f(a) = f(b) قيمة ايجاد يمكن الشروط لهذه الدالة تحقيق من التأكد بعد c كل مكان نضع ثم الدالة باشتقاق x بـ c بالصفر ونساويها قيمة اليجاد c . :مثال قيمة جد ثم التالية الدوال من لكل متحققة رول مبرهنة ان بين c الممكنة a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝟎, 𝟒] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝟎, 𝟒) كثير النها . الحدود ة 3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
- 22. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟑 = −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓 𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 = 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f ايجاد اليمكن لذا رول مبرهنة تحقق ال c . c) 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] −𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏) Sol/ اليمين جهة من الغاية نجد ان يجب لذا جهتين من الدالة ان بما 𝑳𝟏 ا جهة من والغاية ليسار 𝑳𝟐 ثم ان من نتحقق 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . ال ام 𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)+ 𝒙𝟐 + 𝟏 = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟐 𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)− −𝟏 = −𝟏 ∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 ∴ الدالة f الفترة على مستمرة غير [−𝟒, 𝟐] . رول مبرهنة تحقق وال d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝒂, 𝒃] النها ثابتة دالة . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝒂, 𝒃) . 3) 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌
- 23. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) ∴ الدالة f وقيمة رول مبرهنة تحقق c الفترة في قيمة اية تكون ان يمكن (𝒂, 𝒃) . تمرين 1 : اوجد قيمة c :ياتي مما كل في رول مبرهنة تعينها التي a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟑, 𝟑] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟑, 𝟑) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 − 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] الن 0 للفترة ينتمي ال [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) الن 0 للفترة ينتمي ال ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) . 3) 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
- 24. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝒇(𝟐) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 + (−𝟐) 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐 ) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟏 ∈ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 −𝟏 ∉ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏 c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑)𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏) (𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏) تمرين 6 : مب تحقق االتية الدوال من دالة كل ان بين رول رهنة قيمة جد ثم , المعطاة الفترة على c . a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2 Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟑] . الحدود كثيرة النها تهمل
- 25. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟑) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒 = (−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒 = (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√ 𝟏 𝟑 = ± 𝟏 √𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟏) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟒] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f لالشت قابلة الفترة على قاق (−𝟏, 𝟒) . الحدود كثيرة النها على بالقسمة 4 للطرفين التكعيبي الجذر اخذ ثم
- 26. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = 𝟑 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟒) d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝟎, 𝟐𝝅] 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝟎, 𝟐𝝅) 3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 = −𝟏 𝟐 تهمل Cos هي االسناد زاوية وبالتالي والثالث الثاني الربعين في سالب 𝝅 𝟑
- 27. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒄 = 𝝅 − 𝝅 𝟑 = 𝟐𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 + 𝝅 𝟑 = 𝟒𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) المتوسطة القيمة مبرهنة مبرهنة شروط تحقق الدالة ان نبرهن كيف قيمة نجد وكيف ؟ المتوسطة القيمة c ؟ الممكنة - الدالة ان لنثبت f : التالية للشروط تحقيقها نختبر ان يجب المتوسطة القيمة مبرهنة تحقق 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [a,b] 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (a,b) نجد اعاله الشرطين تحقق بعد قيمة c : 3 ) المم ميل ايجاد االولى المشتقة ويساوي اس للدالة f عند c : 𝒇 ́ (𝒄) 4 ) الوتر ميل ايجاد 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 5 ) )الوتر ميل = المماس (ميل القاعدة نطبق 𝒇 ́ (𝒄) = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 حيث المتوسطة القيمة مبرهنة من خاصة حالة هي رول مبرهنة ان ** 𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂) ان اي 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎 وبالتالي 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 . :مثال قيمة اوجد ثم المتوسطة القيمة مبرهنة شروط تحقق االتية الدوال ان برهن c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−1,7] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,7) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑) 4 ) الوتر ميل
- 28. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏) 𝟕 − (−𝟏) = ((𝟕)𝟐 − 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐 − 𝟔(−𝟏) + 𝟒) 𝟖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟖 = 𝟎 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕) b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎] Sol/ 1 ) :االستمرارية اختبار ∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂) ان اي f عند مستمرة a ان وبما a الفترة في نقطة اية هي [−𝟒, 𝟎] اذن f الفترة على مستمرة [−𝟒, 𝟎] . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟒, 𝟎) . 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒙 𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 4 ) الوتر ميل 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒) 𝟎 − (−𝟒) = (√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔) 𝟒 = 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟏 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 𝟒𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 ⟹ 𝟓𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓 الوتر ميل = المماس ميل ان بما ال ميل ان بما الوتر ميل = مماس الطرفين بتربيع
- 29. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د √𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎) −√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 . :تمرين على التالية للدوال المتوسطة القيمة مبرهنة تطبيق امكانية اختبر السبب ذكر مع المعطاة الفترات قيمة اوجد ثم c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−1,2] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,2) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 4 ) الوتر ميل 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐 = 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏 −𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐) 𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓] Sol/ 1 ) الدالة h الفترة على مستمرة [−1,5] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة h الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,5) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒉 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐) الوتر ميل = المماس ميل ان بما
- 30. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 4 ) الوتر ميل 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) 𝟓 − (−𝟏) = (𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐 − 𝟒(−𝟏) + 𝟓) 𝟔 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟎 ∴ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓) c) 𝒈(𝒙) = 𝟒 𝒙+𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة مجال : االستمرارية g هو R/{x=-2} ان وبما -2 الفترة خارج [−𝟏, 𝟐] اذن الدالة g الفترة على مستمرة [−1,2] . 2 ) ا لدالة g الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,2) . 3 ) المماس ميل 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 4 ) الوتر ميل 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = ( 𝟒 𝟐 + 𝟐 ) − ( 𝟒 −𝟏 + 𝟐 ) 𝟑 = 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 ∴ 𝒈 ́ (𝒄) = −𝟏 ⟹ −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = −𝟏 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐 + 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐) Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒 ⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐) الوتر ميل = المماس ميل ان بما الوتر ميل = المماس ميل ان بما
- 31. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕] Sol/ 1 ) :االستمرارية اختبار الدالة B هو للدالة مجال اوسع الن مستمرة R . 2 ) : االشتقاق قابلية 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟑 𝑩 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏)− 𝟏 𝟑 هو المشتقة مجال R/{-1} لكن -1 للفترة ينتمي (-2,7) الدالة اذن B . لالشتقاق قابلة غير
- 32. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ** مالحظة :- سوف نقوم باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة في حل مسائل . التقريب :مثال جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة تقريبا مناسبا للعدد √𝟐𝟔 Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0 ان نفرض a = 25 للعدد كامل مربع اقرب b=26 ℎ = 26 − 25 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5 الدالة
- 33. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝑥 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(25) = 1 2√25 = 1 2(5) = 0.1 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓 ́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1 :مثال كان اذا 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 تقريبية بصورة فجد 𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏) Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 ان نفرض a = 1 اقرب سهلة قيمة للعدد b=1.001 ℎ = 1.001 − 1 = 0.001 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)2 + 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 6(1) + 4 = 13 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓 ́(1) = 13 + 0.001(13) = 13.013 الدالة
- 34. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال المتوسط القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام على عشرية مراتب لثالث ومقربا تقريبية وبصورة جد , ة : ياتي مما لكل االقل a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑 𝟓 + (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒 + 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 5 + 𝑥4 + 3 = 𝑥 3 5 + 𝑥4 + 3 ان نفرض a = 1 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.98 ℎ = 0.98 − 1 = −0.02 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13 5 + 14 + 3 = 5 𝑓 ́(𝑥) = 3 5 𝑥− 2 5 + 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3 5 (1)− 2 5 + 4(1)3 = 3 5 + 4 = 23 5 = 4.6 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓 ́(1) = 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908 ∴ √(0.98)3 5 + (0.98)4 + 3 ≅ 4.908 b) √𝟕. 𝟖 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ان نفرض a = 8 للعدد سهلة قيمة اقرب b=7.8 الدالة الدالة
- 35. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ℎ = 7.8 − 8 = −0.2 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖 𝟑 = 2 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 1 3 (23)− 2 3 = 1 12 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓 ́(8) = 2 − 0.2 ( 1 12 ) = 2 − 0.0166 = 1.9834 ∴ √𝟕. 𝟖 𝟑 ≅ 1.9834 c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟒 ان نفرض a = 16 اقرب العدد من كامل مربع b=17 ℎ = 17 − 16 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟐𝟒 ) 𝟏 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔 الدالة
- 36. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 4 𝑥− 3 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(16) = 1 2 (𝟒𝟐 )− 1 2 + 1 4 (𝟐𝟒 )− 3 4 = 1 2 ( 1 4 ) + 1 4 ( 1 8 ) = 1 8 + 1 32 = 5 32 = 0.156 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓 ́(16) = 6 + 1(0.156) = 6.156 ∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 ≅ 6.156 d) √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ان نفرض a = 0.125 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.120 ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟑 = 0.5 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.125) = 1 3 (0.53)− 2 3 = 1 3 ( 1 0.25 ) = 4 3 الدالة
- 37. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓 ́(0.125) = 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335 ∴ √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 ≅ 0.493335 :تمرين : المتوسطة القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام يلي مما لكل تقريبا جد a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 64 اقرب العدد من كامل مربع b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 2 (𝟖𝟐 )− 1 2 + 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 2 ( 1 8 ) + 1 3 ( 1 16 ) = 1 16 + 1 48 = 4 48 = 1 12 = 0.083 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) الدالة
- 38. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د = 12 − 1(0.083) = 11.917 ∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 ≅ 11.917 b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥4 ان نفرض a = 1 للعدد سهلة قيمة اقرب b=1.04 ℎ = 1.04 − 1 = 0.04 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)4 = 1 + 3 = 4 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 12(1)3 = 15 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓 ́(1) = 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6 ∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 ≅ 4.6 c) 𝟏 √𝟗 𝟑 Sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟏 √𝒙 𝟑 = 𝒙− 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 8 اقرب سهلة قيمة العدد من b=9 الدالة الدالة
- 39. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ℎ = 9 − 8 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑 )− 𝟏 𝟑 = 1 2 𝑓 ́(𝑥) = − 1 3 𝑥− 4 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = − 1 3 (𝟐𝟑 )− 4 3 = − 1 3 ( 1 16 ) = − 1 48 ≅ −0.02 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓 ́(8) = 0.5 + 1(−0.02) = 0.48 ∴ 𝟏 √𝟗 𝟑 ≅ 0.48 d) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 Sol/ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ان نفرض a = 100 سهلة قيمة اقرب للعدد b=101 ℎ = 101 − 100 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(100) = 1 100 = 0.01 الدالة
- 40. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = −1 𝑥2 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(100) = −1 (100)2 = −0.0001 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓 ́(100) = 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099 ∴ 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗 e) √ 𝟏 𝟐 = √𝟎. 𝟓𝟎 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥 1 2 ان نفرض a = 0.49 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.50 ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝒙 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.49) = 1 2√𝟎. 𝟒𝟗 = 1 2(0.7) = 10 14 ≅ 0.728 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓 ́(0.49) = 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728 الدالة
- 41. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ √ 𝟏 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖 :مثال حرفه طول مكعب 9.98 cm القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام تقريبية بصورة حجمه جد . المتوسطة Sol/ 𝑉(𝑥) = 𝑥3 ان نفرض a = 10 للعدد سهلة قيمة اقرب b=9.98 ℎ = 9.98 − 10 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3 = 1000 𝑉 ́ (𝑥) = 3𝑥2 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (10) = 3(10)2 = 300 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10) = 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3 :مثال ل تكن 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 تغيرت فاذا x من 8 الى 8.06 ؟ للدالة التقريبي التغير مقدار فما , Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2 3 = (𝑥) 2 3 𝑓 ́(𝑥) = 2 3 𝑥− 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 2 3 (23)− 1 3 = 1 3 = ℎ . 𝑓 ́(𝑎) = ℎ . 𝑓 ́(8) = 0.06 ( 1 3 ) = 0.02 الدالة تقريبية بصورة الحجم الدالة 𝒂 = 𝟖 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔 𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔 التقريبي التغير
- 42. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال ي ضلعه طول مكعب طالء راد 10 cm الطالء سمك كان فاذا 0.15cm بصورة الطالء حجم اوجد . تقربية / Sol طالء بدون المكعب ضلع طول 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 المطلي المكعب ضلع طول 𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝑽 ́ (𝒂) = 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑 تمرين 3 : قطرها نصف كرة 6 cm سمكه بطالء طليت 0.1 cm . تقريبية بصورة الطالء حجم جد Sol/ القطر نصف طالء بدون 𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎 الكر قطر نصف ة المطلي ة 𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 الطالء سمك الحجم التقريبي للطالء الدالة الطالء سمك الدالة
- 43. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑽 ́ (𝒓) = 𝟒 𝟑 (𝟑)𝝅𝒓𝟐 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑 تمرين 4 : حجمها كرة 𝟖𝟒 𝛑 القيمة مبرهنة باستخدام تقريبية بصورة قطرها نصف جد , . المتوسطة Sol/ 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒𝝅 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒 ( 𝟑 𝟒 ) = 𝒓𝟑 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑 𝟑 𝑟(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 64 اقرب العدد من سهلة قيمة b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟒 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 3 ( 1 16 ) = 1 48 ≅ 0.021 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) = 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚 الحجم التقريبي للطالء الدالة المتوسط القيمة مبرهنة نتيجة نستخدم الجذر لهذا تقريب واليجاد ة
- 44. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 5 : يساوي ارتفاعه قائم دائري مخروط يساوي ارتفاعه كان فاذا قاعدته قطر طول 2.98 cm حجمه فجد . المتوسطة القيمة مبرهنة باستخدام تقريبية بصورة Sol/ = المخروط قطر نصف ان نفرض r = وارتفاعه x 𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑥 2 𝑉 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟑 𝝅( 𝑥 2 ) 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ∴ 𝑉(𝑥) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ان نفرض a = 3 للعدد سهلة قيمة اقرب b=2.98 ℎ = 2.98 − 3 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(3) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅(3) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝝅 = 𝟗 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉 ́ (𝑥) = 𝟑 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟐 = 𝟏 𝟒 𝝅𝑥𝟐 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (3) = 𝟑𝟐 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3) = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3 الدالة تقريبية بصورة الحجم
- 45. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د للدالة االولى المشتقة باستخدام للدالة والتناقص التزايد اختبار : مالحظات قيم نجد ثم بالصفر ونساويها الدالة نشتق x ق نضع يم x االولى المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على )+++++( متزايدة تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة االولى المشتقة كانت اذا للدالة االولى المشتقة كانت اذا ( متناقصة تكون الدالة فان صفر من اصغر - - - - - ) :مثال وا التزايد مناطق جد لتناقص االتية الدوال من لكل a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐 = 𝟎 ⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
- 46. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐 = 𝟗 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {x: x < −1} و {x: x > 3} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {x: −1 < x < 3} b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑√𝒙 𝟑 ع معرفة غير المشتقة تكون هنا ندما x=0 غير قيمة وهذه صفر سيكون المقام الن .) حرج عدد ( معرفة ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {x: x < 0} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {x: x > 0} من اقل عدد -1 لتكن -2 بين عدد -1 و 3 وليكن 0 من اكبر عدد 3 وليكن 4
- 47. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د النهاية العظمى والنهاية الصغرى المحلية االتي نتبع والصغرى العظمى النهايات اليجاد :مالحظة : الدال نشتق قيم نجد ثم بالصفر ونساويها ة x قيم نضع x االولى المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على )+++++( متزايدة تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة االولى المشتقة كانت اذا ( متناقصة تكون الدالة فان صفر من اصغر للدالة االولى المشتقة كانت اذا - - - - - ) : والصغرى العظمى النهايات نحدد ( + + + ( ثم ) - - - ( , محلية عظمى نهاية ) - - - ( ثم ) + + + محلية صغرى نهاية ) قيم نعوض x . النهايات احداثيات اليجاد االصلية الدالة في
- 48. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال االتية الدوال من لكل والصغرى العظمى النهايات نقط وجدت ان جد : a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 < 𝟐} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 > 𝟐} والنقطة (2,1) . محلية صغرى نهاية نقطة هي من اقل عدد 2 لتكن 0 من اكبر عدد 2 وليكن 3
- 49. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −) 𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 > 𝟐} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < 𝟐} والنقطة (2,1) . محلية عظمى نهاية نقطة هي من اقل عدد 2 لتكن 0 من اكبر عدد 2 وليكن 3
- 50. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟑(𝟎) 𝟐 − 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f مت تكون الفترة في ناقصة {𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < 𝟐} و {𝐱: 𝒙 > 𝟒} النقطة (2,20) محلية عظمى نهاية نقطة هي النقطة (4,16) صغرى نهاية نقطة هي محلية من اقل عدد 2 لتكن 0 عددبين 2 و 4 ول يكن 3 من اكبر عدد 4 وليكن 5 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟗(𝟐)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟐) = 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑 − 𝟗(𝟒)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟒) = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
- 51. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د االنقالب ونقط المنحنيات وتحدب تقعر االن ونقط والتحدب التقعر مناطق اليجاد :مالحظة االتي نتبع قالب : قيم نجد ثم بالصفر الثانية المشتقة ونساوي للدالة والثانية االولى المشتقة نجد x قيم نضع x الثانية المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على المشتقة كانت اذا الثانية تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة مقعرة )+++++( كان اذا المشتقة ت الثانية تكون الدالة فان صفر من اصغر للدالة محدبة ( - - - - - ) قيم نعوض x . امكن ان االنقالب نقط اليجاد االصلية الدالة في :مثال : الدالتين من كل وتحدب تقعر ادرس a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹 ∴ ا لدالة f في مقعرة تكون R .
- 52. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f تكون محدبة الفترة في {𝐱: 𝐱 < 𝟎} والدالة f تكون مقعرة الفترة في {𝐱: 𝒙 > 𝟎} النقطة (0,0) نقطة هي انقالب من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 0 وليكن 1 𝒙 = 𝟎, 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 = 𝟎
- 53. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال للمنحني االنقالب نقطة جد 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 2 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 1 2 } والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝒙 > 1 2 } النقطة ( 1 2 , 11 8 ) انقالب نقطة هي من اقل عدد 1 2 وليكن 0 من اكبر عدد 1 2 وليكن 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟐( 𝟏 𝟐 ) + 𝟏 = 𝟐 𝟖 − 𝟑 𝟒 − 𝟔 + 𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟖
- 54. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال للدوال امكن ان االنقالب ونقط والتحدب التقعر مناطق جد : التالية a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 = 𝟏𝟐 ⟹ (+ ) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 0} و {𝐱: 𝐱 > 𝟐} والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐} النقط (0, 0) و (2,16) نقط هي انقالب من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 2 وليكن 3 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) 𝟑 − (𝟎)𝟒 = 𝟎 𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 بين عدد 2 و 0 وليكن 1
- 55. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟎)غير معرفة 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐 (−𝟏) 𝟑 = −𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐 (𝟏) 𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 0} والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝐱 > 𝟎} الن انقالب نقطة توجد ال هو الدالة مجال R/{0} . من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 0 وليكن 1
- 56. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 (÷ −12) (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 بالجذر ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐 = −𝟒𝟖 ⟹ (− ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < −2} و {𝐱: 𝐱 > −𝟐} انقالب نقطة توجد وال d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) < 𝟎 ⟹ من اقل عدد −2 وليكن -3 من اكبر عدد -2 وليكن 0 في محدبة الدالة R انقالب نقطة توجد وال
- 57. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 6 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹ اختبار المشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى المحلية قيم بتعويض وذلك الثانية المشتقة باستخدام للدالة والصغرى العظمى النهايات ايجاد يمكن x المشتقة من االولى كان فاذا الثانية المشتقة في : ت . عظمى نهاية للدالة فان صفر من اقل النقطة تلك عند الثانية المشتقة . صغرى نهاية للدالة فان صفر من اكبر النقطة تلك عند الثانية المشتقة = الثانية المشتقة كانت اذا 0 المشتقة وتستخدم الطريقة هذه استخدام يصح فال معرفة غير انها او . االولى :مثال اختبا باستخدام : االتية للدوال المحلية النهايات جد , امكن ان الثانية المشتقة ر a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل النقطة x=1 . 𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2) الدالة في مقعرة R انقالب نقطة توجد وال نقطة محلية عظمى نهاية
- 58. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟖𝒙 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 + 8 = 0 ⟹ 𝒙𝟑 = −8 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐𝟒 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟐) = −𝟐𝟒 (−𝟐)𝟒 = −𝟐𝟒 𝟏𝟔 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل x=-2 . 𝒇(−𝟐) = −𝟐 − 𝟒 (−𝟐)𝟐 = −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل x=-1 . 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏)𝟐 − 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓 نقطة محلية عظمى نهاية
- 59. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ (−1,5) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية صغرى نهاية توجد َااذ , صفر من اكبر x=3 . 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕 ⟹ (3,27) d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f = َااذ , صفر االول المشتقة الختبار ونعود هنا تصح ال الطريقة هذه . ى 𝒇 ́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) نقطة محلية عظمى نهاية نقطة محلية صغرى نهاية من اقل عدد -1 وليكن -2 من اكبر عدد -1 وليكن 0
- 60. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏) 𝟒 = 𝟒 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 > −𝟏} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < −𝟏} والنقطة (-1,4) نه نقطة هي . محلية عظمى اية :مثال لتكن 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 قيمة فجد a عن انقالب نقطة تمتلك الدالة ان علما , x=1 . محلية عظمى نهاية تمتلك ال الدالة ان بين ثم , sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟏𝟑 = 0 𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 = −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑 = − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝑥 = −√ 𝟏 𝟐 𝟑 الدالة الن f نقطة تمتلك عند انقالب x=1 2013 - 1
- 61. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (−√ 𝟏 𝟐 𝟑 ) = 𝟐 − 𝟐 (− √ 𝟏 𝟐 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎 ∴ الدالة f ت عند محلية صغرى نهاية متلك 𝑥 = −√ 1 2 3 . محلية عظمى نهاية تملك وال تمرين 6 : لتكن 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 , . محلية عظمى نهاية تمتلك ال الدالة ان بين sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 + 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 = −𝒂 𝟐 ⟹ 𝑥 = √ −𝒂 𝟐 3 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (√ −𝒂 𝟐 3 ) = 𝟐 − 𝟐𝒂 (√ −𝒂 𝟐 3 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟐𝒂 −𝒂 𝟐 = 2 + 4 = 6 > 0 من اكبر الثانية المشتقة ان بما 0 للدالة فان عظمى نهاية لها وليس محلية صغرى نهاية نساوي النهايات وجود لنختبر المشتقة قيمة ونجد بالصفر االولى x
- 62. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د : مثال الثابتين قيمتي عين a , b الدالة لمنحني يكون لكي 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 عند عظمى نهاية x=-1 عند محلية صغرى ونهاية x=2 . االنقالب نقطة جد ثم sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 ́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏) 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐) 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏) −𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐) −𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 = −9 6 = −3 2 𝟑 − 𝟐 ( −3 2 ) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 الدالة الن f نهاية تمتلك عند عظمى x=-1 الدالة الن f تمت نهاية لك عند صغرى x=2 قيمة وبتعويض a في معادلة 1 ... نحصل 2013 – 3 , 2012-1 قيمتي وبتعويض b,a االصلية المعادلة في ... نحصل وبالمشتقة
- 63. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 1 2 } والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝒙 > 1 2 } النقطة ( 1 2 , − 𝟏𝟑 𝟒 ) انقالب نقطة هي :مثال منحني كان اذا الدالة 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 مقعر ة الفترة في {𝐱: 𝐱 < 𝟏} في ومحدبة {𝐱: 𝐱. 𝟏} المستقيم ويمس 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 النقطة عن (3,1) الحقيقية االعداد قيم فجد . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟔( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟖 − 𝟑 = − 𝟏𝟑 𝟒 من اقل عدد 1 2 وليكن 0 من اكبر عدد 1 2 وليكن 1 الدالة ان بما f الفترة في مقعرة {x: x < 1} في ومحدبة {x: x. 1} عن انقالب نقطة تمتلك فانها x=1 2014-1
- 64. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟗 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟗 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 −𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑 + 𝒃(𝟑)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑) −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂 ⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑 𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏 تمرين 7 : كان اذا المستقيم 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 يمس الدالة منحني 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 عن د النقطة (2,-1) عند محلية نهاية للمنحني وكان 𝒙 = 𝟏 𝟐 الحقيقية االعداد قيم فجد . a,b,c . نوع وما .النهاية sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 االولى المشتقه = المماس ميل منحني يمس المستقيم ان بما الدالة f النقطة عند (3,1) المنحني ميل = المستقيم ميل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ( من بالتعويض 1 ف ) ( ي 2 ) قيمتي بتعويض a,b ( في 3 )
- 65. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 ⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐) 𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒃 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄 −𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ( من بالتعويض 1 ( في ) 2 ) النقطة (2,-1) الدالة لمنحني تنتمي قيمتي نعوض a , b من اكبر للدالة الثانية المشتقة ان بما 0 اذا محلية صغرى نهاية للدالة 𝒙 = 𝟏 𝟐 منحني يمس المستقيم ان بما الدالة f النقطة عند (3,1) المستقيم ميل المنحني ميل = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) محلية نهاية تملك الدالة عند 𝒙 = 𝟏 𝟐