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  1. 1. CAPITULO 3 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Notas de Aula: Prof. Gilfran Milfont Torção As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4ª edição-2006 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004 -MECÂNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Momento Torçor em Eixos Circulares • O sistema da figura é composto de um gerador e uma turbina, interligados por um eixo. • A turbina exerce um torque T no eixo. • O eixo transmite o torque para o gerador e o gerador cria um torque igual e contrário T’, chamado Momento Torçor. • Efeitos da torção : - Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções tranversais do eixo; - Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra. 1-2 1
  2. 2. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Torque Interno • A resultante das tensões de cisalhamento, geram um torque interno igual e oposto ao torque externo aplicado, T    dF     dA • Embora a resultante do torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecida, a distribuição das tensões ainda não o é. • A determinação da distribuição das tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada, deve-se considerar as deformações do eixo para a sua solução. • Diferentemente da distribuição das tensões normais devido à cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido ao torque não pode ser considerada uniforme. 1-3 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Componentes das Tensões de Cisalhamento • O torque aplicado na barra circular produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo axial. • As condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm o eixo da barra. • A existência destas tensões pode ser demonstrada, considerando que a barra é feita de tiras axiais, conforme figura ao lado. 1-4 2
  3. 3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Cisalhamento na Torção • Considere um elemento no interior de uma seção de um eixo, submetido a um torque T. • Desde que a extremidade do elemento permanece plana, a deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção. Lg   f ou g  • Temos então: f g máx  c e L • Logo: g   c f L g máx Pela lei de Hooke para o cisalhamento:   g G   f L 1-5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Cisalhamento na Torção – cont. Logo, se:   0   0   c     máx Encontramos então, a seguinte relação: Onde : J    2 dA   máx       máx  c c • Como a soma dos momentos internos causados pela tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque externo, T    dA   máx 2    dA  máx J c c • Ficamos então com:  máx  Tc J e   T J 1-6 3
  4. 4. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Momento Polar de Inércia a) Eixos Circulares Cheios: J    2 dA A   2  dA  2 d c J    2 .2 d  0 c 4 2 ou J  1  c4 2 J D 4 32 b) Eixos Circulares Vazados:  4 4 J  1  c2  c1 2  4 4 J  1  c2  c1 2   ou J  32 ( De4  Di4 ) 1-7 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Deformação do Eixo – Ângulo de Torção • Quando submetido a torção, o eixo circular permanece com a sua seção tranversal plana e sem distorção. • A seção transversal de barras não circulares submetidas a torção são distorcidas, devidas a falta de axisimetria. • Verifica-se que o ângulo de torção no eixo, é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento do eixo. f T fL 1-8 4
  5. 5. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Ângulo de Torção • Sabemos que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento estão relacionadas por: cf g máx  L • Pela lei de Hooke para o cisalhamento: g máx   máx G  Tc JG • Igualando as equações e resolvendo para o ângulo de torção, encontramos: f TL JG • Se o torque, a seção, o material ou o comprimento variam ao longo do eixo: f  i Ti Li J i Gi 1-9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.1 O eixo BC é ôco com diâmetro interno de 90mm e diâmetro externo de 120mm. Os eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine: (a) as tensões de cisalhamento minima e máxima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão admissível ao cisalhamento para o material do eixo é de 65 MPa. 1 - 10 5
  6. 6. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.1 SOLUÇÃO: • Corte o eixo através de AB e BC e aplique as equações de equilíbrio para encontrar os torques internos:  M x  0  6 kN  m   TAB  M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC TAB  6 kN  m  TCD TBC  20 kN  m 1 - 11 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.1 • Para o eixo BC, temos: J  2 • Para os eixos AB e BC, temos: c24  c14    0.0604  0.0454  2  max   13.92 10 6 m 4  max   2  Tc Tc  J  c4 2 TBC c2 20 kN  m 0.060 m   J 13.92 10 6 m 4 65MPa  6 kN  m  c3 2 3 c  38.9 10 m d  2c  77.8 mm  86.2 MPa  min c1   max c2  min 86.2 MPa  min  64.7 MPa  45 mm 60 mm  max  86.2 MPa  min  64.7 MPa 1 - 12 6
  7. 7. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.2 Que valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular da figura, de modo a produzir um ângulo de torção de 20? Adotar G=80 GPa. SOLUÇÃO: LOGO: TL GJ T   GJ L 2   34,9 10 3 rad 180  J  32 80 109 1,02110 6  34,9 10 3 1,5 T  1,9 KN .m T ( De4  Di4 )  1,02110 6 m 4 1 - 13 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.3 Calcular, para o eixo da figura, o valor do ângulo de torção que provoca uma tensão de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo. Adotar G=80 GPa. SOLUÇÃO: A distribuição das tensões no eixo se dá como abaixo: LOGO: g min   min  G L  g min  ri 70 106  875 10 6 rad 9 80 10 1500mm   875 10 6 rad 20mm   65,6 10 3 rad  3,760 1 - 14 7
  8. 8. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.4 Dois eixos sólidos de aço são conectados por engrenagens. Sabendo que o material dos eixos tem G = 77,2 GPa e tensão admissível ao cisalhamento de 55 MPa, determine: 900mm 25mm (a) o torque máximo T0 que pode ser aplicado em A, 19mm (b) o correspondente ângulo de torção em A. 650mm 62mm 22mm 1 - 15 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.4 SOLUÇÃO: • Aplique a equação de equilíbrio da estática para as engrenagens, encontrando a relação entre TCD e T0 62mm 22mm  M B  0  F  22mm  T0  M C  0  F 62mm  TCD TCD  2.82 T 0 • Aplique a analise cinemática para as engrenagens, encontrando a relação entre as suas rotações 22mm 62mm rBf B  rCfC f B  rC fC  rB 62mm. 22mm. fC f B  2.82 fC 1 - 16 8
  9. 9. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.4 • Encontre T0 permitido em função • Encontre o correspondente ângulo de torção de cada eixo e escolha o menor: para cada eixo e a rotação da extremidade A 9,5mm 0,65m 12,5mm f A / B  TAB L  0,9m J ABG  max  TAB x c J AB 59,84 N.m0,6m 0,0095m4 77,2 109 Pa  2   0.394 rad  2.26o T 0,0095  55MPa   0 =>T0  74,07N.m  0,0095 4 2 2,82 59,84  fC / D  TCD L  J CDG  max  TCD c J CD 2.8 T 0,0125  =>T 0  59,84N.m 55Mpa   0 0,0125  4 2 T0  59,84 N.m  0,9 m  0,0125 4  109Pa 77,2 2   0.513 rad  2,94o .   f B 2,82fC 2,82 2,94o  8,28o f A  f B  f A / B  8,28o  2,26o . f A  10,54o 1 - 17 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo • Elementos com faces perpendiculares e paralelas ao eixo axial, estão submetidas a cisalhamento puro. Tensões normais e tensões de cisalhamento são encontradas para outras orientações. • Considere um elemento a 45o do eixo axial, F  2 máx A0  cos 45   máx A0 2  45  o F  máx A0 2    máx A A0 2 • Elemento a está sob cisalhamento puro. • Elemento c está submetido a tração em duas de suas faces e a compressão nas outras duas. 1 - 18 9
  10. 10. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Falhas Sob Torção • Materiais dúcteis geralmente falham por cisalhamento. Materiais frágeis são mais suceptiveis a falhas por tensão normal. • Quando submetidos a torção, os materiais dúcteis rompem no plano onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima, isto é, o plano perpendicular ao eixo axial. • Quando submetidos a torção, os materiais frágeis ropem em um plano que forma 45o com eixo axial, isto é, o plano onde ocorre a tensão normal máxima. 1 - 19 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Eixos Estaticamente Indeterminados • São aqueles, onde o número de incógnitas a encontrar é maior que o número de equações da estática aplicáveis. • Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar os torque reativos em A e B. • Da análise do diagrama de corpo livre do eixo: TA  TB  T • Dividindo o eixo em duas partes, as quais precisam ter compatibilidade de deformações, f  f1  f2  TA L1 TB L2  0 J1G J 2G LJ TB  1 2 TA L2 J1 • Substituindo na equação de equilíbrio, LJ T A  1 2 TA  T L2 J1 TA  L2 J1 T L2 J1  L1 J 2 e TB  L1 J 2 T L2 J1  L1 J 2 1 - 20 10
  11. 11. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Projeto de Eixos de Transmissão • O projeto de eixos de • A seção do eixo é encontrada, transmissão (árvores) baseia-se igualando-se a tensão máxima à tensão na Potência transmitida e na admissível do material, Velocidade de rotação do eixo  máx  Tc J J  3 • O projetista precisa selecionar o material e calcular adequadamente a seção do eixo, sem que exceda a tensão admisível do material e o ângulo de torção máximo permitido para a aplicação. • O torque aplicado é uma função da potência e da velocidade de rotação, P  T  2fT T  P   c  2 c   T  máx  Eixo cheio   4 4 J T  c2  c1   máx c2 2c2  Eixo ôco  • O ângulo de torção deve ser verificado pela expressão: f  P 2f TL JG 1 - 21 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Concentração de Tensões • A equação da tensão de cisalhamento, Tc  máx  J supõe a seção circular uniforme, sem descontinuidades. • A utilização de acoplamentos, engrenagens, polias, etc., acopladas através de chavetas, ou no caso de descontinuidades na seção, causam concentrações de tensão. • Nestes casos, deve-se multiplicar a tensão pelo fator de concentração de tensões: Tc  máx  K J • Para eixos com rasgo para chavetas: K=1,25 1 - 22 11
  12. 12. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Deformações Plásticas Em Eixos  max  • Na região elástica do material: Tc J • Se a tensão de escoamento é atingida ou se o material tem uma cuva tensão-deformação não linear (material frágil), a expressão anterior não pode ser usada. g  c g máx • A deformação de cisalhamento γ varia linearmente com a distância ρ ao centro da seção, independente das propriedades do material. Podemos então, continuar utilizando a relação: • A integral do momento causado pela distribuição interna das tensões de cisalhamento é igual ao torque externo aplicado, T   dF .    .dA. A A c c 0 0 T    2 d   2   2 d 1 - 23 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Eixos de Material Elastoplástico • O máximo torque elástico é: TY  Y  Material Elastoplástico J  Y  1 c3 Y 2 c Lg Y fY  f e Lg Y c • A medida que o torque aumenta, uma região plástica   Y ) (   Y ) se desenvolve no eixo, com ( Y T  2 c 3 Y 3 3  1  1 Y 4  c3   f3 T  4 TY 1  1 Y 3 4  f3  3     4 TY 1  1 Y 3 4   c3           • Se Y  0, o torque atinge o seu valor máximo, TP  4 TY  torque plástico 3 1 - 24 12
  13. 13. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensões Residuais • Uma região plástica é desenvolvida em um eixo, quando submetido a um torque suficientemente grande. • Quando o torque é removido, a redução da tensão e da deformação se dá ao longo de uma linha reta, paralela a reta inicial do carregamento. • Na curva T-f , o eixo é descarregado ao longo de uma linha reta, ficando no final com um ângulo residual, surgindo no final as tensões residuais.. • As tensões residuais são encontradas pelo pricípio da superposição  m  Tc J    dA  0 1 - 25 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.08/3.09 Um eixo circular maciço é sumetido a um torque T=4,60 KN.m em cada uma de suas extremidades. Adotando o material do eixo como sendo elastoplástico, com Y  150 MPa e G=77GPa determine: (a) o raio do núcleo elástico, (b) O ângulo de torção. Após a remoção determine: do torque, (c) O ângulo de torção permanente, (d) A distribuição residuais. das tensões 1 - 26 13
  14. 14. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.08/3.09 SOLUÇÃO: • b) Resolva a Eq. (3.36) para o ângulo de torção: a) Resolva a Eq. (3.32) e encontre o raio do núcleo elástico  3 T  4 TY 1  1 Y 3  4 c3  J  1 c 4 2       1 2 Y c 1  3  T  4 3   TY    f   Y fY c fY  2510 m 3 TY  TY c J fY Y c   TY L 3.68 103 N 1.2 m   JG 614  10-9 m 4 77 10 Pa    fY  93.4 103 rad  614  109 m 4 Y   f  J  TY  Y c f 150106 Pa 614109 m4  3 25  10 93.4 103 rad  148.3 103 rad  8.50o 0.630 f  8.50o m  3.68 kN  m Y 4.6    4 3  c 3.68   1 3  0.630 Y  15.8 mm 1 - 27 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.08/3.09 • c) Utilize a Eq. (3.16) para o ângulo de torção no descarregamento. O ângulo de torção permanente é a diferença entre o âgulo no carregamento e o no descarregamento: • d) Utilize o método da superposição de efeitos para encontrar as tensões residuais   max    Tc 4.6 103 N  m 25 103 m  J 614 10-9 m 4   187.3 MPa f   TL JG   .6 103 N  m1.2 m  4  .14 109 m4 109 Pa  6 77  116.8 103 rad φp  f  f    148.3  103  116.8 103 rad  1.81o f p  1.81o 1 - 28 14
  15. 15. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Torção em Barras Não Circulares • As fórmulas anteriormente vistas, são válidas para eixos circulares. • Seções planas de barras não circulares não permanecem planas durante a torção e a distribuição da tensão e da deformação não é linear. • Para seções retangulares uniformes,  max  T c1ab2 f TL c2ab3G • Para altos valores de a/b, a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção podem ser calculados pelas eq. Anteriores, desde que a seção seja aberta. 1 - 29 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Eixos Vazados de Paredes Finas • Somando as forças na direção x em AB,  Fx  0   A t ADx   B t B Dx   At A  Bt B   t  q  fluxo de cisalhamento a tensão de cisalhamento varia inversamente com a espessura. • O torque e a tensão de cisalhamento são calculados conforme abaixo: dM 0  p dF  p t ds   q pds  2q dA T   dM 0   2q dA  2qA  T 2tA • O ângulo de torção é calculado por: f TL 4 A2G ds  t 1 - 30 15
  16. 16. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.10 100mm 4mm 60mm 4mm Um tubo de aluminio de seção retangular de 60 x 100mm, fabricado por extrusão, é submetido a um torque 3 KN.m. Determine a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes, com: (a) espessura uniforme de 4mm. 100mm (b) espessura de parede de 3mm em AB e AC e espessura de 5mm em CD e BD. 3mm 60mm 5mm 1 - 31 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 3.10 SOLUÇÃO: • Determine o fluxo de cisalhamento através das paredes do tubo: 96mm 56mm t=4mm t=4mm • A tensão de cisalhamento para cada espessura de paredes é o fluxo de cisalhamento pela espessura. a) Para espessura uniforme de paredes, q 279,02 KN / m   -3 t 4 10 m   69,8MPa b) Para espessura de paredes variável A  (96  56) 10 6  5,376 10 3 m 2 q T 3 103 KN   279,02 2 A 2  5,376 10 3 m  AB   AC  279,02 KN / m 3 103 m  AB   BC  93,0MPa  BD   CD  279,02 KN / m 5 103 m  BC   CD  55,8MPa 1 - 32 16

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