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O terceiro conjunto de poliedros é o seguinte:           Poliedros que não se caracterizam nem como prismas nem como pirâm...
ATIVIDADE 4 – OS SÓLIDOS E SUAS PLANIFICAÇÕESResolva as questões a seguir.1. Observe as planificações abaixo. Quais delas ...
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vértices1. A origem do nome polígono – poli: muitos; gono: ângulo. Assim, polígono   significa uma figura plana de muitos ...
De acordo com as definições acima, alguns fatos podem ser estabelecidos:  ● Todo retângulo é paralelogramo.  ● Todo losang...
4         A SIMETRIA DAS FORMAS GEOMÉTRICASATIVIDADE 1 – DESCOBRINDO A SIMETRIALeia e faça o que se pede.                 ...
2. As figuras seguintes representam as faces de um dado.          Figura 1      Figura 2      Figura 3        Figura 4    ...
Faça os exercícios a seguir.1. Verifique se as figuras abaixo estão refletidas. Use papel transparente para verificar suas...
Figura 1                  Figura 2         Figura 3          Figura 4   Figura 5RotaçãoFaça as seguintes tarefas:1. Copie ...
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  1. 1. EXPLORANDO O ESPAÇO EAS FIGURAS GEOMÉTRICAS Oficina 3
  2. 2. Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da SilvaVice-Presidente da RepúblicaJosé Alencar Gomes da SilvaSecretaria-Geral da Presidência da RepúblicaLuiz Soares DulciMinistério do Desenvolvimento Social e Combate à FomePatrus AnaniasMinistério da EducaçãoFernando HaddadMinistério do Trabalho e EmpregoCarlos LupiSecretaria-Geral da Presidência da RepúblicaMinistro de Estado Chefe Luiz Soares DulciSecretaria-ExecutivaSecretário-Executivo Antonio Roberto LambertucciSecretaria Nacional de JuventudeSecretário Luiz Roberto de Souza CuryCoordenação Nacional do Programa Nacionalde Inclusão de Jovens – ProJovem UrbanoCoordenadora Nacional Maria José Vieira Féres
  3. 3. Presidência da República Secretaria-Geral Secretaria Nacional de Juventude Coordenação Nacional do ProJovem UrbanoEXPLORANDO O ESPAÇO EAS FIGURAS GEOMÉTRICAS Programa Nacional de Inclusão de Jovens Brasília, DF 2008
  4. 4. Copyright © 2008Permitida a reprodução sem fins lucrativos, parcial ou total, por qualquer meio, se citada a fontee o sítio da Internet onde pode ser encontrado o original (www.projovemurbano.gov.br).Coleção ProJovem UrbanoElaboração e OrganizaçãoEquipe TécnicaCoordenação Nacional do ProJovem Urbano – Assessoria PedagógicaCláudia Veloso Torres GuimarãesLuana Pimenta de AndradaLeila Taeko Jin BrandãoJazon MacêdoOrganizaçãoCláudia Veloso Torres GuimarãesEleuza Maria Rodrigues BarbozaFabiana Carneiro Martins CoelhoMaria Umbelina Caiafa SalgadoLuana Pimenta de AndradaLeila Taeko Jin BrandãoAutores – MatemáticaMaria das Graças Gomes BarbosaWanda Maria de Castro AlvesRevisãoLeandro Bertoletti JardimProjeto Gráfico e Editoração EletrônicaLuiza Sarrapio
  5. 5. Oficina 3 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS1 LOCALIZANDO-SE E MOVIMENTANDO-SE NO ESPAÇOATIVIDADE 1 – REVENDO A ADIÇÃOFaça os exercícios a seguir.1. Uma professora dividiu a sala de aula em linhas e colunas e identificou cada carteira por um par formado por dois números, onde o primeiro número identificava a coluna e o segundo número identificava a linha em que cada carteira se encontrava. Assim, a carteira onde Lúcia estava foi identificada pelo par (2,3), pois sua carteira estava no cruzamento da coluna 2 com a linha 3. Observe a ilustração e faça o que se pede. 5 Vítor Alberto Mateus Junia Rute 4 Ari Lara Nair Marcelo Rosa 3 Lucas Lúcia Célia Ênio Taís 2 Fábio Bruna Fabiana Júlia Tiago 1 Ana Luís Oto Mara Marli 1 2 3 4 5a) Represente, utilizando pares de números, a localização das carteiras dos seguintes alunos: Ana, Lara, Bruna, Fabiana, Mateus e Rute. _____________________________________________________b) Que alunos estão nas carteiras identificadas pelos pares: (4,2); (1,3); (4,4); (3,1), (5,2)? __________ _______________________________________________________________________________________c) Na segunda-feira, a professora resolveu fazer uma brincadeira. Pediu que todos os alunos mudas- sem de lugar. Os novos lugares seriam agora identificados assim: o primeiro número do par iden- tificaria a linha e o segundo número identificaria a coluna onde o aluno deveria se sentar. Pense e responda: Que alunos não vão trocar de lugar? _____________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 1 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  6. 6. d) Copie o desenho da sala de aula e coloque em cada carteira os nomes dos alunos, de acordo com a mudança realizada pela professora.2. No quadriculado a seguir, cada figura tem um “endereço”: o endereço da figura ♠, por exemplo, é o par (9,8) por estar no cruzamento da reta vertical que passa por 9 com a reta horizontal que passa por 8. Observe o quadriculado e faça o que se pede. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a) Escreva na forma de um par, formado por números, os endereços das seguintes figuras: ♦; ♠; ♥ e ♣. _____________________________________________________________________________________b) Desenhe um quadriculado igual ao anterior e desenhe nele as seguintes figuras de acordo com os seus endereços. (5, 1) (1, 6) (4, 5) (6, 4)c) Inverta a ordem dos números nos pares do exercício da letra b, escreva-os e desenhe as figuras no mesmo quadriculado anterior de acordo com seus novos endereços. As figuras foram representa- das no mesmo lugar ou em lugares diferentes? ____________________________________________ Agora responda: Mudar a ordem dos números nos pares muda a posição das figuras? _________ Para localizar pontos em uma reta, precisamos apenas de um número. Mas quando queremoslocalizar pontos em um plano, precisamos de dois números, isto é de duas informações. Para issousamos duas retas numeradas de mesma origem, perpendiculares, chamadas de eixos coordena-dos. Um plano com dois eixos coordenados chama-se plano cartesiano, porque foi inventado porum matemático francês chamado René Descartes (1596-1650). No quadriculado a seguir estão duas retas perpendiculares ox e oy. Observe que P está no cruza-mento da reta vertical que passa pelo ponto 2, situado na reta OX, com a reta horizontal que passapelo ponto 5, situado na reta OY. Dizemos que os números 2 e 5 são as coordenadas do ponto P eescrevemos P = (2,5). Podemos dizer que, nesse caso o endereço de P é o par ordenado (2,5). 2 OFICINA 3
  7. 7. 10 9 R 8 T M 7 6 P(2,5) N 5 4 3 Q(5,2) S 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A reta horizontal é chamada de eixo x ou eixo horizontal ou eixo das abscissas. A reta vertical é chamada de eixo y ou eixo vertical ou eixo das ordenadas. Os dois eixos, juntos, são chamados de eixos coordenados, e um plano, com dois eixos desenha-dos, chama-se plano cartesiano. Para não confundir os endereços e trocar o ponto P pelo ponto Q tem-se que: 1° elemento do par 2° elemento do par Nome: 1ª coordenada ou abscissa. (2,5) Nome: 2ª coordenada ou ordenada. É medido no eixo horizontal e dá a É medido no eixo vertical e dá a distância de P ao eixo vertical. distância de P ao eixo horizontal.Observe novamente o plano cartesiano e responda às perguntas seguintes.Compare as coordenadas e a localização dos pontos e P e Q.a) O que você observa? _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________b) Qual é a abscissa do ponto M? ___________________________________________________________c) Qual é a ordenada do ponto N? __________________________________________________________d) Qual é a abscissa do ponto T? ___________________________________________________________e) Qual é a ordenada do ponto R? ___________________________________________________________f) Quais são as coordenadas do ponto S? ____________________________________________________g) Dos pontos acima, qual deles tem a maior ordenada? E a menor? ____________________________h) Dos pontos acima, qual deles tem a maior abscissa? E a menor? ____________________________i) Qual é a ordenada de um ponto qualquer que está sobre o eixo horizontal? ____________________j) Qual é a abscissa de um ponto qualquer que está sobre o eixo vertical? _______________________ 3 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  8. 8. 2 ESTUDANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS As formas estudadas pela Geometria são chamadas de figuras geométricas. A Geometria é impor-tante para ver e entender o mundo que nos cerca e está presente na natureza e nas artes.ATIVIDADE 1 – CLASSIFICANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOSRelacione os dois conjuntos de sólidos apresentados, escrevendo os nomes dos objetos cujas for-mas se parecem com:a) Um cubo. b) Um paralelepípedo. c) Uma esfera.d) Um cilindro. e) Uma pirâmide. f) Um cone. Observe os conjuntos de sólidos a seguir.A. Conjunto dos sólidos que rolam em alguma posição. Nesse conjunto estão presentes os sólidos que con- têm pelo menos uma superfície não plana. Esse conjunto será chamado de Corpos Redondos.B. Conjuntos dos sólidos que não rolam em nenhuma posição. Nesse conjunto estão os sólidos que contêm apenas partes planas, o que significa que as regiões de apoio desses sólidos sobre um plano são sempre superfí- cies planas. Esse conjunto será chamado de Poliedros.C. Conjuntos dos sólidos que não rolam, mas contêm partes não planas. Esses sólidos não são poliedros nem corpos redondos.ATIVIDADE 2 – ESTUDANDO OS POLIEDROS face triangular A parte plana de um poliedro é chamada de FACE. Daí a origem do nome poliedro: poli: muitas e face edros: faces, assim poliedro significa um sólido retangular de muitas faces. 4 OFICINA 3
  9. 9. vértice Além das faces, um poliedro tem também vértices e arestas. aresta PRISMAS – Poliedros cujas arestas laterais são todas paralelas e de mesmo comprimento, cujas faces laterais são todas em forma de paralelogramos e que possuem duas bases congruentes e paralelas que podem ter formas variadas.Observe os prismas abaixo e responda.De acordo com a região poligonal das bases, que nome especial recebe cada prisma? Uma classificação para os prismas pode ser visualizada no diagrama a seguir. poliedros prismas retos paralelepípedos cubos O segundo conjunto de poliedros será formado pelas pirâmides. PIRÂMIDES – Poliedros cujas arestas laterais são concorrentes em um único ponto chamado vértice que possuem apenas uma base e cujas faces laterais são regiões triangulares. Vamos estudar as pirâmides retas, ou seja, as pirâmides nas quais as arestas laterais são todas con-gruentes. De acordo com a região poligonal das bases, a pirâmide também recebe nomes especiais: 5 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  10. 10. O terceiro conjunto de poliedros é o seguinte: Poliedros que não se caracterizam nem como prismas nem como pirâmides, sendo definidos apenas pelo número de faces que possuem.ATIVIDADE 3 – ESTUDANDO OS CORPOS REDONDOSObservando as características dos corpos redondos, como você os classificaria?1. Corpos redondos que não apresentam nenhuma superfície plana: ____________________________2. Corpos redondos cujas superfícies são formadas por duas partes planas circulares, que são as bases, e uma parte curva arredondada que é a superfície lateral: _____________________________3. Corpos redondos cuja superfície é formada por uma parte plana, a região circular, que é a sua base, e uma parte curva “arredondada”, que é a sua superfície lateral: _____________________________ 6 OFICINA 3
  11. 11. ATIVIDADE 4 – OS SÓLIDOS E SUAS PLANIFICAÇÕESResolva as questões a seguir.1. Observe as planificações abaixo. Quais delas podem ser a planificação de um cubo?Verifique suas respostas, reproduzindo numa folha os desenhos acima, em tamanho maior, e mon-tando os cubos com cada um deles, caso seja possível. _____________________________________2. Observando os dados e sabendo que a soma dos pontos de duas de suas faces opostas é igual a 7, copie as duas planificações em seu caderno e complete-as com o número de pontos que está faltando em cada uma delas. 7 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  12. 12. 3 ESTUDANDO AS FIGURAS PLANASClassifique as figuras a seguir.A. Conjunto das figuras planas limitadas por linhas fechadas curvas: ____________________________B. Conjunto das figuras planas limitadas por segmentos de retas: _______________________________O círculo e a circunferência Circunferência é a linha e círculo é a região limitada pela circunferência. No entanto, é comum seusar o termo círculo para indicar tanto a curva como também a região por ela limitada.Elementos de uma circunferência. O segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência é chamado de raio da circunfe-rência, o segmento que liga dois pontos da circunferência é uma corda e uma corda que passa pelocentro de uma circunferência é um diâmetro da circunferência. D C B O A Assim na figura acima se tem que CD é uma corda, OA e OB são raios e AB é um diâmetro dacircunferência. Conclusão: ● Todo diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio dessa mesma circunferência. ● Todo diâmetro de uma circunferência é uma corda dessa circunferência. ● Nem toda corda de uma circunferência é um diâmetro da mesma.Os polígonos Polígono é uma figura plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos enão colineares, portanto, trata-se apenas da fronteira não se incluindo seu interior. Mas assim comoo círculo, é comum estender o nome do polígono à região por ele limitada, ou seja, é comum chamaruma região triangular também de triângulo, uma região retangular de retângulo etc. Todo polígonotem vértices, lados e ângulos internos. De modo geral, quando falarmos em ângulos do polígono,estamos nos referindo aos seus ângulos internos. 8 OFICINA 3
  13. 13. vértices1. A origem do nome polígono – poli: muitos; gono: ângulo. Assim, polígono significa uma figura plana de muitos ângulos.2. Uso dos prefixos na nomeação dos polígonos: tri, tetra, penta etc., rela- ângulos cionando-os com outras palavras conhecidas que tenham esses prefixos, lados tais como: tricampeão, trinca de reis, tetracampeão etc.3. Definição de polígono regular: um polígono é regular se ele possui todos os lados e todos os ân- gulos de mesma medida.Os triângulosClassificação dos triângulos● Quanto à medida dos lados: Triângulo isósceles: triângulo que tem dois lados de mesma medida. Triângulo eqüilátero: triângulo que tem os três lados com medidas iguais. Triângulo escaleno: triângulo que tem os três lados com medidas diferentes. Triângulo eqüilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno● Quanto à medida dos ângulos: Triângulo retângulo: triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, de medida igual a 90o. Triângulo acutângulo: triângulo que possui os três ângulos agudos, ou seja, cujas medidas são menores que 90o Triângulo obtusângulo: triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, cuja medida é maior do que 90o. Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusânguloOs quadriláteros Há quadriláteros com dois pares de lados paralelos, os para- lelogramos, outros com apenas um par de lados paralelos, os trapézios e outros que não possuem lados paralelos, nomeados Trapézio Retângulo simplesmente quadriláteros. Comparando as medidas dos lados e dos ângulos dos para- lelogramos, podemos observar que alguns quadriláteros têm os Paralelogramo quatro ângulos retos e são nomeados retângulos; os quadriláteros losango que têm os quatro lados iguais são os losangos e os quadriláteros que têm os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos são os qua- drados. Quadrilátero Quadrado 9 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  14. 14. De acordo com as definições acima, alguns fatos podem ser estabelecidos: ● Todo retângulo é paralelogramo. ● Todo losango é paralelogramo. ● Todo quadrado é retângulo e também losango. Assim, uma classificação para os quadriláteros pode ser visualizada no diagrama a seguir. quadriláteros paralelogramos retângulos losângos quadradosResolva as questões seguintes.1. As placas de trânsito apresentam, em sua maioria, contornos na forma de figuras planas. Veja.a) Que figuras planas você consegue identificar nas placas? ____________________________________ _______________________________________________________________________________________b) Você sabe o significado de cada uma dessas placas? ________________________________________ _______________________________________________________________________________________2. Identifique os polígonos que formam as faces de cada um dos sólidos. ________________________ _______________________________________________________________________________________3. Forme com as peças do TANGRAM:a) Um triângulo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças.b) Um retângulo usando: só duas peças, só quatro peças, só cinco peças.c) Um paralelogramo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças. 10 OFICINA 3
  15. 15. 4 A SIMETRIA DAS FORMAS GEOMÉTRICASATIVIDADE 1 – DESCOBRINDO A SIMETRIALeia e faça o que se pede. A Copie e recorte a figura ao lado. B Agora, dobre a figura fazendo os vér- tices A e B coincidirem, de modo que uma parte da figura coincida exatamen- te com a outra. A Depois, desdobre a figura e com uma régua trace a linha da dobra, como exemplificado ao lado. B A linha de dobra é um eixo de simetria da figura que a divide em duas partes que coincidem exatamente por suposição.Faça os exercícios a seguir.1. Complete as figuras de modo que a linha tracejada seja um eixo de simetria. 11 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  16. 16. 2. As figuras seguintes representam as faces de um dado. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Qual é o numero de eixos de simetria de cada figura? _______________________________________ _______________________________________________________________________________________3. As figuras F e F’ são simétricas em relação a uma reta. Descubra e trace essa reta, explicando o seu raciocínio.4. As figuras abaixo representam a bandeiras nacionais de alguns países. A B C D E Fa) Quais delas têm eixos de simetria? ________________________________________________________b) A que país pertence cada uma dessas bandeiras? ___________________________________________ _______________________________________________________________________________________Reflexão Uma figura é reflexão de outra se: ● A reta que une cada par de pontos correspondentes é perpendicular ao eixo de simetria. ● Dois pontos correspondentes estão a uma mesma distância do eixo de simetria, em lados opostos. 12 OFICINA 3
  17. 17. Faça os exercícios a seguir.1. Verifique se as figuras abaixo estão refletidas. Use papel transparente para verificar suas respos- tas. ___________________________________________________________________________________2. Desenhe a reflexão de cada figura abaixo.3. Considerando a reta r como eixo de reflexão, verifique qual das figuras abaixo é o reflexo do nome ISABEL. _______________________________________________________________________________a) ISABEL ISABEL b) ISABEL LEBASI c) ISABEL LEBASITranslação Observe a figura abaixo. Translação é uma transformação em que a figura se desloca paralelamente a uma reta, ou seja, todos os pontos da figura são deslocados de uma mesma distância numa mesma direção retilínea. ● A forma e o tamanho da figura original são mantidos após a translação; ● Uma translação fica determinada pela direção, sentido e distância do deslocamento.Faça os exercícios seguintes.1. Identifique, em cada par das figuras abaixo, a direção, o sentido e a distância de cada translação, utilizando uma seta. 2. Qual das figuras abaixo é uma translação da figura 1? _______________________________________ 13 EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS
  18. 18. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5RotaçãoFaça as seguintes tarefas:1. Copie a figura ao lado em um papel transparente.2. Sobreponha a figura copiada à figura original e efetue um giro de 90° em torno do ponto O. O que você observou? Uma rotação de centro O e ângulo α é uma transformação em que a imagem é obtida girando-se cada ponto da figura segundo um arco de circunferência de centro O, percorrendo um ângulo α no sentido horário ou anti-horário. 14 OFICINA 3

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