1. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
COORDENADAS POLARES
Prof : Denis alvino mato

2. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Habilidades
1.Representar puntos del plano en coordenadas
polares.
2.Deducir la relación entre el sistema cartesiano
y el sistema polar.
3.Reconocer y graficar ciertas curvas notables en
coordenadas polares.

3. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
3
0
y
x
(x, y)
Coordenadas Rectangulares
P
x
y

4. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
4
Polo Eje Polar
r
θ
P (r, θ)
Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P
0
Emplea distancias y
direcciones.
r es la distancia de O a P.
θ es el ángulo entre el eje
polar y el segmento OP.
θ es positivo si se mide en
dirección contraria a las
manecillas del reloj.
θ en radianes.

5. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Si r < 0, entonces P(r,θ) se define
como el punto que se encuentra a |r|
unidades del polo en la dirección
opuesta a la que da θ.
0
θ
P(-r,θ)
P(r,θ)

6. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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En un sistema de
coordenadas polares cada
punto tiene muchas
representaciones
3

.0
2
P(2, /3)
2nπ
3
π







 2nπ
3
π
;2
x
y
 31;P3
1
En el sistema coordenado
cartesiano, todo punto tiene
sólo una representación.
Es decir, el punto en
coordenadas polares (r; θ),
se representa también por
y)2;(  nθr
))12(;(  nθr

7. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano
De la grafica observe que:
9
y
x
q
r
P(x ; y)
P(r ; q)
x
y
qq senryrx cos
Estas ecuaciones permiten
hallar las coordenadas
cartesianas de un
punto cuando se conocen las
coordenadas polares.
Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y,
se usan las ecuaciones
x
y
yxr  θtan222
Si P es un punto cuyas
coordenadas polares son (r ; θ)
entonces, las coordenadas
rectangulares (x ; y) de P serán:

8. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Gráficas de Ecuaciones Polares
Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3
1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9
La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general
F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación
polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

9. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = /4
q  /4
tan q  tan/4
x
y = 1
x = y
q = 0
q = /4
q = /2
q = 3/4
q = 
q = 5/4
q = 3/2
q = 7/4
1 2 3 4 5
0
y
x
Ejemplo:

10. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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1. Resuelve: f(q) = 0.
2. Si existe al menos un valor para el ángulo
q, la gráfica sí pasa por el polo (0; q) si
no, la gráfica no pasa por el polo.
¿La gráfica pasa por el polo?
¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas
ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?
a) r = 2 senq
b) r = 2 + senq

11. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Simetría
1. Si una ecuación no cambia al
sustituir θ por –θ, la gráfica
es simétrica respecto al eje
polar
(r ; q)
(r ; -q)
o
q
q
2. Si una ecuación no cambia al
sustituir r por –r, la gráfica es
simétrica respecto al polo. o(-r ; q)
(r ; q)
3. Si una ecuación no cambia al
sustituir θ por Π – θ, la gráfica
es simétrica respecto a la recta
vertical q = Π/2 (eje y)
(r ; q) (r ; q)
  q
q

12. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Algunas curvas polares comunes
Círculos
Cardiodes
En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
)cos1( q ar )1( q senar
)cos1(2 qr
 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 

5
4
3
2
1
1
2
)sen1(2 qr

13. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648