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Teoria dos Jogos
                            f




Alvaro Augusto de Almeida       Pag. 1   16/08/12
Tudo está em Jogo!
• A Teoria dos Jogos é um ramo da
  Matemática Aplicada que usa modelos
  para estudar as interações entre agentes
  (jogadores) em estruturas formais de
  incentivo (jogos).



 Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 2   16/08/12
Os Jogos
• Os jogos em questão podem ser de várias
  formas:
  – Relações interpessoais.
  – Relações econômicas.
  – Estratégias militares, de caça e de
    negociação.
  – Comportamento animal (etologia).

  Alvaro Augusto de Almeida       Pag. 3   16/08/12
Jogos Mais Interessantes
• No contexto da Teoria dos Jogos, os jogos
  mais interessantes são aqueles que induzem a
  raciocínios do tipo: “o que será que ele está
  pensando sobre o que eu estou pensando que ele
  está pensando?”




  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 4      16/08/12
Jogos de Soma Zero
• John von Neumann e
  Oskar Morgenstern,
  1944.
• Jogos de “Soma
  Zero”: o ganho de
  um jogador é igual à
  perda do outro.
• Ex.: xadrez, pôquer.
  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 5   16/08/12
Jogos de Soma Não Zero
• John Nash, 1950.
• Jogos de “Soma Não
  Zero”: os ganhos dos
  jogadores são não
  nulos.
• Equilíbrio de Nash.



  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 6   16/08/12
Dilema do Prisioneiro
                                • Protótipo para jogos
                                  de soma não zero.
                                • Cada jogador tenta
                                  maximizar os seus
                                  resultados, sem
                                  conhecimento das
                                  escolhas do outro
                                  jogador.


Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 7               16/08/12
Estrutura do Dilema do Prisioneiro
• Dois ladrões cometem um crime em conjunto e são capturados.
• A polícia interroga cada um deles separadamente e oferece as
  seguintes opções:
   – Se ficarem calados (cooperação), ambos são condenados a
     um ano de cadeia;
   – Se ambos confessarem (falta de cooperação), ambos são
     condenados a dois anos;
   – Se apenas um confessar (traição), aquele que confessou
     ganha liberdade (“delação premiada”), e o outro é
     condenado a cinco anos .

  Alvaro Augusto de Almeida     Pag. 8                  16/08/12
Matriz de Pay-Offs
                                                Valério
                                      Confessa               Não confessa
                                    (não coopera)              (coopera)
                  (não coopera)




                                     2 anos                    5 anos
                    Confessa




                                     2 anos                  Liberdade
        Delúbio
                  Não confessa
                    (coopera)




                                    Liberdade                   1 ano
                                     5 anos                     1 ano



Alvaro Augusto de Almeida                           Pag. 9                  16/08/12
A Melhor Estratégia para Ambos
                                              Valério
                                    Confessa                Não confessa
                                  (não coopera)               (coopera)
                  (não coopera)




                                   2 anos                     5 anos
                    Confessa




                                   2 anos                   Liberdade
        Delúbio
                  Não confessa
                    (coopera)




                                  Liberdade                   1 ano
                                   5 anos                     1 ano



Alvaro Augusto de Almeida                         Pag. 10                  16/08/12
A Melhor Estratégia?
• A Estratégia anterior depende de absoluta
  confiança entre os dois ladrões. Mas, se eles
  são ladrões...
• Assim, rapidamente Valério perceberá que
  pode trair Delúbio e sair em liberdade.




  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 11      16/08/12
A Melhor Estratégia para Valério
                                              Valério
                                    Confessa                Não confessa
                                  (não coopera)               (coopera)
                  (não coopera)




                                   2 anos                     5 anos
                    Confessa




                                   2 anos                   Liberdade
        Delúbio
                  Não confessa
                    (coopera)




                                  Liberdade                   1 ano
                                   5 anos                     1 ano



Alvaro Augusto de Almeida                         Pag. 12                  16/08/12
Problemas
• O problema é que Valério não sabe o que
  Delúbio fará.
• Ocorre que Delúbio também chegou à
  conclusão que é melhor trair Valério e sair em
  liberdade...




  Alvaro Augusto de Almeida       Pag. 13   16/08/12
A Melhor Estratégia para Delúbio
                                              Valério
                                    Confessa                Não confessa
                                  (não coopera)               (coopera)
                  (não coopera)




                                   2 anos                     5 anos
                    Confessa




                                   2 anos                   Liberdade
        Delúbio
                  Não confessa
                    (coopera)




                                  Liberdade                   1 ano
                                   5 anos                     1 ano



Alvaro Augusto de Almeida                         Pag. 14                  16/08/12
A Melhor Estratégia com Restrições
• Como Valério não sabe o que Delúbio fará, e
  vice-versa, a informação é restrita.
• A “melhor” solução, que levará ao equilíbrio
  de Nash, ocorre quando ambos os jogadores
  tentam maximizar seus resultados, traindo o
  companheiro.



  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 15    16/08/12
O Equilíbrio de Nash
                                              Valério
                                    Confessa                Não confessa
                                  (não coopera)               (coopera)
                  (não coopera)




                                   2 anos                     5 anos
                    Confessa




                                   2 anos                   Liberdade
        Delúbio
                  Não confessa
                    (coopera)




                                  Liberdade                   1 ano
                                   5 anos                     1 ano



Alvaro Augusto de Almeida                         Pag. 16                  16/08/12
Dilema do Prisioneiro com Repetição
• As coisas mudam quando o jogo é repetido,
  como acontece na vida real.
• Quando os jogadores voltarem a se encontrar,
  saberão que não podem confiar um no outro.
• Qual a melhor estratégia, então?




  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 17   16/08/12
Os Torneios de Axelrod
• Robert Axelrod é professor
  de Ciência Política na
  Universidade de Michigan.
• Em 1984, ele organizou um
  torneio cibernético onde os
  parcipantes deveriam
  apresentar estratégias para o
  Dilema do Prisioneiro
  Iterado.

  Alvaro Augusto de Almeida       Pag. 18   16/08/12
Tit for Tat
• A estratégia vencedora foi a Tit for Tat, nome
  que deriva da expressão Tip for Tap, que
  significa “retaliação equivalente”.
• Tit for Tat inicia cooperando, e depois imita a
  atuação do adversário:
  – Se o adversário cooperou, Tit for Tat coopera;
  – Se o adversário traiu, Tit for Tat trai.


  Alvaro Augusto de Almeida        Pag. 19      16/08/12
Características de Tit for Tat
• Tit for Tat é transparente: após algumas
  jogadas, qualquer adversário percebe qual é a
  estratégia;
• Tit for Tat não guarda rancor;
• Tit for Tat é rápida na retaliação;
• Tit for Tat implica no estabelecimento de uma
  reputação.

  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 20     16/08/12
O Papel da “Banca”
• Todo jogo de soma não zero pode ser
  transformado em um jogo de soma zero,
  bastando adicionar-se um jogador extra, que
  assume o ganho ou prejuizo: a “banca”.
• No caso do Dilema do Prisioneiro, por
  exemplo, os prisioneiros perdem, mas alguém
  ganha. Quem?


  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 21   16/08/12
Jogos com Mútiplos Participantes
• Quando mais de um
  participante faz parte
  do jogo, o Dilema do
  Prisioneiro evolui
  para a Tragédia dos
  Comums.



  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 22   16/08/12
A Tragédia dos Comuns
• Na Inglaterra medieval, não havia propriedade
  privada, no sentido atual deste termo.
• Havia somente as propriedades dos reis e nobres,
  onde a caça e o pasto eram proibidos, e os terrenos
  baldios (“commons”), de uso comum.
• A Tragédia dos Comuns surge quando os
  camponeses, que levavam as vaquinhas para pastar,
  tentavam maximizar os resultados individuais, em
  detrimento do bem comum.

  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 23           16/08/12
Exemplos de Tragédia dos Comuns
• Jantar ou almoço comunitário, com
  equipartição das despesas (rateio).
• Crescimento populacional descontrolado.
• Consumo de combustível fóssil.
• Pesca em águas internacionais.
• Envio de e-mails não solicitados (spam).
• Conta de Resultados a Compensar (CRC).

  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 24   16/08/12
Solução para a Tragédia dos Comuns
• Quando for possível,
  privatize o pasto.
• Quando não for
  possível, cobre
  multas.
• Quando nada disso
  der certo, chore!


  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 25   16/08/12
O Dilema do Lobo
• Variação interessante da Tragédia dos Comuns.
• Várias pessoas são convidadas a ficar 15 minutos dentro de
  uma cabine individual, dentro da qual há um botão que
  aciona uma campainha.
• Se ninguém apertar o botão, cada participante ganha R$
  1.000.
• Se alguém apertar o botão, aquele que apertou ganha R$ 100,
  e os outros não ganham nada.
• Qual o resultado do experimento?

  Alvaro Augusto de Almeida    Pag. 26                16/08/12
O Dilema do Lobo de Verdade
                            • Lobos caçam em grupos,
                              usando uma estratégia
                              coletiva e dividindo a caça
                              de acordo com uma
                              hierarquia rígida.
                            • De vez em quando, um lobo
                              acaba pensando ser o único
                              responsável pela caça e tenta
                              apropriar-se integralmente
                              dela.


Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 27                16/08/12
Solução para o Dilema do Lobo
             • Puna o lobo
             • Expulse-o da matilha!




Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 28    16/08/12
O Leilão da Nota de US$ 1,00
• O leilão da nota de US$ 1,00 foi
  proposto por Martin Schubik, que
  usou estudantes universitários
  como cobaia.
• Leilão clássico:
   – Uma nota de US$ 1,00 é posta
     em leilão.
   – Qual será o lance máximo
     ofertado por ela?


   Alvaro Augusto de Almeida         Pag. 29   16/08/12
Leilão Modificado
• A nota de US$ 1,00 é posta em leilão.
• O maior lance paga e leva a nota, mas...
• O segundo maior lance paga, mas não leva.
• Coalisões são proibidas.
• Qual o resultado?




  Alvaro Augusto de Almeida   Pag. 30   16/08/12
Sunk Costs
• Quando não há mais esperanças de ter lucro,
  as pessoas tentam minimizar o prejuízo.
• Os custos incorridos nessa situação são
  denominados Sunk Costs (Custos Afundados).
• Quando ainda há esperanças de recuperar os
  custos, os economistas falam em Stranded
  Costs (Custos Encalhados).


  Alvaro Augusto de Almeida        Pag. 31   16/08/12
Conclusões

“É melhor ser um chacal vivo do que um leão
 morto, mas é ainda melhor ser um leão vivo!”

                         Robert Heinlein




 Alvaro Augusto de Almeida        Pag. 32   16/08/12
FIM!



Alvaro Augusto de Almeida    Pag. 33   16/08/12

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Teoria dos jogos

  • 1. Teoria dos Jogos f Alvaro Augusto de Almeida Pag. 1 16/08/12
  • 2. Tudo está em Jogo! • A Teoria dos Jogos é um ramo da Matemática Aplicada que usa modelos para estudar as interações entre agentes (jogadores) em estruturas formais de incentivo (jogos). Alvaro Augusto de Almeida Pag. 2 16/08/12
  • 3. Os Jogos • Os jogos em questão podem ser de várias formas: – Relações interpessoais. – Relações econômicas. – Estratégias militares, de caça e de negociação. – Comportamento animal (etologia). Alvaro Augusto de Almeida Pag. 3 16/08/12
  • 4. Jogos Mais Interessantes • No contexto da Teoria dos Jogos, os jogos mais interessantes são aqueles que induzem a raciocínios do tipo: “o que será que ele está pensando sobre o que eu estou pensando que ele está pensando?” Alvaro Augusto de Almeida Pag. 4 16/08/12
  • 5. Jogos de Soma Zero • John von Neumann e Oskar Morgenstern, 1944. • Jogos de “Soma Zero”: o ganho de um jogador é igual à perda do outro. • Ex.: xadrez, pôquer. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 5 16/08/12
  • 6. Jogos de Soma Não Zero • John Nash, 1950. • Jogos de “Soma Não Zero”: os ganhos dos jogadores são não nulos. • Equilíbrio de Nash. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 6 16/08/12
  • 7. Dilema do Prisioneiro • Protótipo para jogos de soma não zero. • Cada jogador tenta maximizar os seus resultados, sem conhecimento das escolhas do outro jogador. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 7 16/08/12
  • 8. Estrutura do Dilema do Prisioneiro • Dois ladrões cometem um crime em conjunto e são capturados. • A polícia interroga cada um deles separadamente e oferece as seguintes opções: – Se ficarem calados (cooperação), ambos são condenados a um ano de cadeia; – Se ambos confessarem (falta de cooperação), ambos são condenados a dois anos; – Se apenas um confessar (traição), aquele que confessou ganha liberdade (“delação premiada”), e o outro é condenado a cinco anos . Alvaro Augusto de Almeida Pag. 8 16/08/12
  • 9. Matriz de Pay-Offs Valério Confessa Não confessa (não coopera) (coopera) (não coopera) 2 anos 5 anos Confessa 2 anos Liberdade Delúbio Não confessa (coopera) Liberdade 1 ano 5 anos 1 ano Alvaro Augusto de Almeida Pag. 9 16/08/12
  • 10. A Melhor Estratégia para Ambos Valério Confessa Não confessa (não coopera) (coopera) (não coopera) 2 anos 5 anos Confessa 2 anos Liberdade Delúbio Não confessa (coopera) Liberdade 1 ano 5 anos 1 ano Alvaro Augusto de Almeida Pag. 10 16/08/12
  • 11. A Melhor Estratégia? • A Estratégia anterior depende de absoluta confiança entre os dois ladrões. Mas, se eles são ladrões... • Assim, rapidamente Valério perceberá que pode trair Delúbio e sair em liberdade. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 11 16/08/12
  • 12. A Melhor Estratégia para Valério Valério Confessa Não confessa (não coopera) (coopera) (não coopera) 2 anos 5 anos Confessa 2 anos Liberdade Delúbio Não confessa (coopera) Liberdade 1 ano 5 anos 1 ano Alvaro Augusto de Almeida Pag. 12 16/08/12
  • 13. Problemas • O problema é que Valério não sabe o que Delúbio fará. • Ocorre que Delúbio também chegou à conclusão que é melhor trair Valério e sair em liberdade... Alvaro Augusto de Almeida Pag. 13 16/08/12
  • 14. A Melhor Estratégia para Delúbio Valério Confessa Não confessa (não coopera) (coopera) (não coopera) 2 anos 5 anos Confessa 2 anos Liberdade Delúbio Não confessa (coopera) Liberdade 1 ano 5 anos 1 ano Alvaro Augusto de Almeida Pag. 14 16/08/12
  • 15. A Melhor Estratégia com Restrições • Como Valério não sabe o que Delúbio fará, e vice-versa, a informação é restrita. • A “melhor” solução, que levará ao equilíbrio de Nash, ocorre quando ambos os jogadores tentam maximizar seus resultados, traindo o companheiro. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 15 16/08/12
  • 16. O Equilíbrio de Nash Valério Confessa Não confessa (não coopera) (coopera) (não coopera) 2 anos 5 anos Confessa 2 anos Liberdade Delúbio Não confessa (coopera) Liberdade 1 ano 5 anos 1 ano Alvaro Augusto de Almeida Pag. 16 16/08/12
  • 17. Dilema do Prisioneiro com Repetição • As coisas mudam quando o jogo é repetido, como acontece na vida real. • Quando os jogadores voltarem a se encontrar, saberão que não podem confiar um no outro. • Qual a melhor estratégia, então? Alvaro Augusto de Almeida Pag. 17 16/08/12
  • 18. Os Torneios de Axelrod • Robert Axelrod é professor de Ciência Política na Universidade de Michigan. • Em 1984, ele organizou um torneio cibernético onde os parcipantes deveriam apresentar estratégias para o Dilema do Prisioneiro Iterado. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 18 16/08/12
  • 19. Tit for Tat • A estratégia vencedora foi a Tit for Tat, nome que deriva da expressão Tip for Tap, que significa “retaliação equivalente”. • Tit for Tat inicia cooperando, e depois imita a atuação do adversário: – Se o adversário cooperou, Tit for Tat coopera; – Se o adversário traiu, Tit for Tat trai. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 19 16/08/12
  • 20. Características de Tit for Tat • Tit for Tat é transparente: após algumas jogadas, qualquer adversário percebe qual é a estratégia; • Tit for Tat não guarda rancor; • Tit for Tat é rápida na retaliação; • Tit for Tat implica no estabelecimento de uma reputação. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 20 16/08/12
  • 21. O Papel da “Banca” • Todo jogo de soma não zero pode ser transformado em um jogo de soma zero, bastando adicionar-se um jogador extra, que assume o ganho ou prejuizo: a “banca”. • No caso do Dilema do Prisioneiro, por exemplo, os prisioneiros perdem, mas alguém ganha. Quem? Alvaro Augusto de Almeida Pag. 21 16/08/12
  • 22. Jogos com Mútiplos Participantes • Quando mais de um participante faz parte do jogo, o Dilema do Prisioneiro evolui para a Tragédia dos Comums. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 22 16/08/12
  • 23. A Tragédia dos Comuns • Na Inglaterra medieval, não havia propriedade privada, no sentido atual deste termo. • Havia somente as propriedades dos reis e nobres, onde a caça e o pasto eram proibidos, e os terrenos baldios (“commons”), de uso comum. • A Tragédia dos Comuns surge quando os camponeses, que levavam as vaquinhas para pastar, tentavam maximizar os resultados individuais, em detrimento do bem comum. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 23 16/08/12
  • 24. Exemplos de Tragédia dos Comuns • Jantar ou almoço comunitário, com equipartição das despesas (rateio). • Crescimento populacional descontrolado. • Consumo de combustível fóssil. • Pesca em águas internacionais. • Envio de e-mails não solicitados (spam). • Conta de Resultados a Compensar (CRC). Alvaro Augusto de Almeida Pag. 24 16/08/12
  • 25. Solução para a Tragédia dos Comuns • Quando for possível, privatize o pasto. • Quando não for possível, cobre multas. • Quando nada disso der certo, chore! Alvaro Augusto de Almeida Pag. 25 16/08/12
  • 26. O Dilema do Lobo • Variação interessante da Tragédia dos Comuns. • Várias pessoas são convidadas a ficar 15 minutos dentro de uma cabine individual, dentro da qual há um botão que aciona uma campainha. • Se ninguém apertar o botão, cada participante ganha R$ 1.000. • Se alguém apertar o botão, aquele que apertou ganha R$ 100, e os outros não ganham nada. • Qual o resultado do experimento? Alvaro Augusto de Almeida Pag. 26 16/08/12
  • 27. O Dilema do Lobo de Verdade • Lobos caçam em grupos, usando uma estratégia coletiva e dividindo a caça de acordo com uma hierarquia rígida. • De vez em quando, um lobo acaba pensando ser o único responsável pela caça e tenta apropriar-se integralmente dela. Alvaro Augusto de Almeida Pag. 27 16/08/12
  • 28. Solução para o Dilema do Lobo • Puna o lobo • Expulse-o da matilha! Alvaro Augusto de Almeida Pag. 28 16/08/12
  • 29. O Leilão da Nota de US$ 1,00 • O leilão da nota de US$ 1,00 foi proposto por Martin Schubik, que usou estudantes universitários como cobaia. • Leilão clássico: – Uma nota de US$ 1,00 é posta em leilão. – Qual será o lance máximo ofertado por ela? Alvaro Augusto de Almeida Pag. 29 16/08/12
  • 30. Leilão Modificado • A nota de US$ 1,00 é posta em leilão. • O maior lance paga e leva a nota, mas... • O segundo maior lance paga, mas não leva. • Coalisões são proibidas. • Qual o resultado? Alvaro Augusto de Almeida Pag. 30 16/08/12
  • 31. Sunk Costs • Quando não há mais esperanças de ter lucro, as pessoas tentam minimizar o prejuízo. • Os custos incorridos nessa situação são denominados Sunk Costs (Custos Afundados). • Quando ainda há esperanças de recuperar os custos, os economistas falam em Stranded Costs (Custos Encalhados). Alvaro Augusto de Almeida Pag. 31 16/08/12
  • 32. Conclusões “É melhor ser um chacal vivo do que um leão morto, mas é ainda melhor ser um leão vivo!” Robert Heinlein Alvaro Augusto de Almeida Pag. 32 16/08/12
  • 33. FIM! Alvaro Augusto de Almeida Pag. 33 16/08/12