Este documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con la teoría de la relatividad especial. Los ejercicios tratan sobre cómo se dilata el tiempo y se contraen las distancias desde diferentes puntos de vista en movimiento relativo, y cómo esto afecta a relojes, satélites y partículas subatómicas. Se proporcionan las soluciones a cada uno de los ejercicios planteados.

1.
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino
de
la
Piedad,
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HOJA
10
(A)
–
TEORÍA
DE
LA
RELATIVIDAD
ESPECIAL
TIPO
54
LIBRO
PÁGINA
268:
ejercicios
38
y
40.
10.(A).1. Compara
las
dos
expresiones
siguientes:
“El
tiempo
medido
desde
un
observador
en
movimiento
se
dilata”,
“Los
relojes
en
un
cuerpo
en
movimiento
se
atrasan”.
10.(A).2. La
Tierra
gira
alrededor
del
Sol,
una
estrella
perteneciente
a
la
galaxia
Vía
Láctea.
Nuestro
Sistema
Solar
se
encuentra
lejos
del
centro
de
la
galaxia,
a
unos
30000
años
luz
de
distancia.
Imagina
que
una
nave
espacial
que
viaja
a
una
velocidad
que
es
el
80%
de
la
velocidad
de
la
luz
decide
ir
desde
la
Tierra
hasta
el
centro
de
la
galaxia.
a) ¿Cuánto
tiempo
tardaría
desde
el
punto
de
vista
de
alguien
que
se
ha
quedado
en
la
Tierra?
b) ¿Cuánto
tiempo
tardaría
desde
el
punto
de
vista
de
la
nave?
Sol:
a)
𝐭 = 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬;
b)
𝐭 𝟎 = 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬
10.(A).3. En
un
laboratorio
se
han
ajustado
dos
relojes
idénticos
para
que
suene
un
“tic”
cada
segundo.
Uno
de
los
relojes
se
mueve
con
una
velocidad
0,6c
y
el
otro
se
encuentra
estacionario.
¿Cuál
es
el
tiempo
que
transcurre
entre
dos
“tic”
del
reloj
móvil
cuando
el
intervalo
es
medido
por
el
reloj
estacionario?
Sol:
∆ 𝒕 = 𝟏!
𝟐𝟓 𝒔
10.(A).4. Un
satélite
se
encuentra
situado
en
una
órbita
geoestacionaria
a
una
altura
de
36
000
km
sobre
la
superficie
de
la
Tierra
y,
por
tanto,
da
una
vuelta
a
esta
cada
24
h.
a) ¿Cuánto
tardará
el
reloj
del
satélite
en
retrasarse
1
s
respecto
de
los
relojes
terrestres?
b) Indica
alguna
situación
en
la
que
es
necesario
tener
en
cuenta
este
tipo
de
retrasos.
Pista:
∆ 𝑡 = 𝑡 − 𝑡′
Sol:
𝟔 𝟎𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔
10.(A).5. Una
nave
espacial
abandona
la
Tierra
a
la
velocidad
de
0,98c.
Determina
el
tiempo
que
necesita
el
minutero
de
un
reloj
de
la
nave
en
efectuar
una
revolución
completa
si
la
medición
la
realiza
un
observador
situado
en
la
Tierra
Sol:
𝟑 𝟎𝟏!
𝟓 𝒔
10.(A).6. Dos
hermanos
gemelos
tienen
20
años.
A
sale
con
un
cohete
hacia
una
estrella
a
una
velocidad
constante
de
𝑣 =
!
!
𝑐
y
el
hermano
B
se
queda
en
la
Tierra.
Cuando
el
hermano
A
llega
a
la
estrella,
su
reloj
indica
que
el
viaje
a
durado
30
años.
¿Cuántos
años
tienen
en
ese
momento
ambos
hermanos?
Sol:
𝑨: 𝟓𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔, 𝑩: 𝟖𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔.
10.(A).7. Si
la
vida
media
de
los
piones
(partículas
subatómicas)
en
reposo
es
de
2!
6 · 10!!
𝑠.
¿A
qué
velocidad
deben
viajar
los
piones
para
que
su
vida
media,
medida
en
el
laboratorio,
sea
de
4!
2 · 10!!
𝑠?
Sol:
𝒗 ≈ 𝟎!
𝟕𝟗𝒄

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10.(A).8. Dos
gemelos
tienen
20
años.
Uno
va
y
vuelve
a
una
estrella
situada
a
𝟐!
𝟒 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒌𝒎,
con
una
velocidad
de
𝟎!
𝟗𝒄.
Calcula
el
tiempo
que
transcurre
para
cada
gemelo.
Para
el
gemelo
que
se
encuentra
en
la
Tierra:
𝒕 =
𝑒
𝑣
=
2 · 2!4 · 10!" 𝑚
0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 1′7 · 10!
𝑠 ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖 𝒉
Para
el
gemelo
que
viaja
en
la
nave:
𝒕!
= 𝑡 · 1 −
𝑣!
𝑐!
= 1!
7 · 10!
𝑠 · 1 − 0′9! = 7!
75 · 10!
𝑠 ≈ 𝟐𝟏!
𝟓𝟑 𝒉
TIPO
55
LIBRO
PÁGINA
268:
ejercicio
25.
10.(A).9. Un
rectángulo,
cuyos
lados
miden
en
reposo
0!
5 𝑚
y
0!
75 𝑚,
se
mueve
con
velocidad
𝑣 =
!
!
𝑐,
paralelamente
al
lado
mayor.
c) ¿Cuál
será
su
superficie
para
un
observador
en
reposo?
d) ¿Cuál
ha
de
ser
su
velocidad
para
que
a
dicho
observador
en
reposo
le
parezca
un
cuadrado?
Sol:
a)
𝑨 = 𝟎!
𝟑𝟐𝟓 𝒎 𝟐
;
b)
𝒗 ≈ 𝟎!
𝟕𝟓𝒄
10.(A).10. Una
lámina
de
forma
rectangular
en
el
sistema
S’,
ligado
al
rectángulo,
tiene
longitudes
propias
x’
=
4
m
y
y’
=
2
m.
El
sistema
S’
se
mueve
con
respecto
al
sistema
S
con
una
velocidad
constante
𝑣 =
!!
!
𝚤.
Halla
las
dimensiones
de
la
lámina
respecto
al
sistema
inercial
S.
Sol:
𝒙 = 𝟐 𝒎, 𝒚 = 𝟐 𝒎
10.(A).11. Sobre
el
mapa,
la
distancia
Madrid
–
Sevilla
es
de
470
km,
que
son
recorridos
por
el
AVE
a
una
velocidad
media
de
300
km/h.
Utilizando
la
corrección
relativista,
determina
la
distancia
Madrid
–
Sevilla
percibida
por
un
pasajero
de
dicho
tren.
10.(A).12. En
el
sistema
S’
de
referencia
se
encuentra
una
barra
inmóvil
de
longitud
L’=
5
m
de
longitud
orientada
un
ángulo
𝛼′ = 37°
respecto
al
eje
X’.
Encuentra
su
longitud
L
y
el
ángulo
𝛼
correspondiente
al
sistema
S
de
referencia.
S
se
mueve
con
respecto
a
S’
con
velocidad
constante
𝑣 =
!!
!
𝚤.
Sol:
𝑳 = 𝟑 𝟐 𝒎, 𝜶 = 𝟒𝟓°
10.(A).13. Se
determina,
por
métodos
ópticos,
la
longitud
de
una
nave
espacial
que
pasa
por
las
proximidades
de
la
Tierra,
resultando
ser
de
100
m.
En
contacto
radiofónico
los
astronautas
que
viajan
en
la
nave
comunican
que
la
longitud
de
su
nave
es
de
120
m.
¿Qué
explicación
tienes
para
este
hecho?
¿A
qué
velocidad
viaja
la
nave
con
respecto
a
la
Tierra?
Sol:
𝒗 ≈ 𝟎!
𝟓𝟓𝒄

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10.(A).14. Dos
gemelos
tienen
20
años.
Uno
va
y
vuelve
a
una
estrella
situada
a
𝟐!
𝟒 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒌𝒎,
con
una
velocidad
de
𝟎!
𝟗𝒄.
Calcula
el
tiempo
que
transcurre
para
cada
gemelo
mediante
la
contracción
relativista
de
la
longitud.
Para
el
gemelo
que
se
encuentra
en
la
Tierra:
𝑙 = 2!
4 · 10!"
𝑚.
El
gemelo
que
se
viaja
en
la
nave,
debido
a
que
lo
hace
a
una
velocidad
próxima
a
la
de
la
luz,
la
longitud
que
mide
entre
la
Tierra
y
la
estrella
se
contrae:
𝑙!
= 𝑙 1 −
𝑣
𝑐
!
→ 𝑙!
= 𝑙 · 1 −
0!9 𝑐
𝑐
!
= 𝑙 · 0!19
𝑙!
= 1!
046 · 10!"
𝑚
Como
suponemos
que
la
nave
describe
un
movimiento
rectilíneo
uniforme,
podemos
calcular
el
tiempo
que
mide
el
gemelo
que
permanece
en
la
Tierra
y
el
que
mide
el
gemelo
viajero:
Gemelo
–
Tierra:
𝒕 =
𝑒
𝑣
=
2 · 2!4 · 10!" 𝑚
0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 1′7 · 10!
𝑠 ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖 𝒉
Gemelo
–
Nave:
𝒕 =
𝑒
𝑣
=
2 · 1!046 · 10!" 𝑚
0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 7′75 · 10!
𝑠 ≈ 𝟐𝟏′𝟓𝟑 𝒉
10.(A).15. Una
barra
se
mueve
con
velocidad
constante
v
a
lo
largo
del
eje
de
abscisas
respecto
de
un
sistema
inercial
S.
Un
observador
situado
en
el
sistema
S
encuentra
que
la
longitud
de
la
barra
es
1%
menor
que
su
longitud
propia.
Calcula
el
módulo
de
v.
La
longitud
propia
de
la
barra
𝐿!,
es
lo
que
mediría
un
observador
situado
en
un
sistema
inercial
𝑆′
respecto
del
cual
la
barra
se
encuentre
en
reposo.
Entre
ambas
medidas
existe
la
relación:
𝐿 = 𝐿! 1 −
𝑣
𝑐
!
El
valor
de
𝐿
que
mide
el
observador
situado
en
𝑆
es
un
1%
menor
que
𝐿!:
𝐿 = 0!
99 · 𝐿!
0!
99 · 𝐿! = 𝐿! 1 −
𝑣
𝑐
!
→ 0′99!
= 1 −
𝑣!
𝑐!
→
𝑣!
𝑐!
= 1 − 0′99!
𝑣!
= 𝑐!
· 1 − 0′99!
→ 𝑣 = 𝑐 · 1 − 0′99!
𝒗 = 𝟎!
𝟏𝟒𝒄

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TIPO
56
LIBRO
PÁGINAS
266
y
268:
ejercicios
1,
34,
35
y
36.
10.(A).16. Una
partícula
cuya
masa
en
reposo
es
𝑚! = 15 𝑔
se
mueve
con
una
velocidad
𝑣 =
!!
!
respecto
a
un
sistema
de
referencia
S.
Halla
la
masa
relativista
respecto
a
dicho
sistema.
Sol:
𝒎 = 𝟑𝟎 𝒈
10.(A).17. Una
partícula
en
reposo
tiene
una
masa
𝑚! = 1 𝑘𝑔.
Si
la
partícula
se
mueve
con
velocidad
constante
𝑣 =
!!
!
respecto
a
un
sistema
de
referencia
S.
¿Cuál
es
su
energía
cinética
respecto
al
observador
S?
Sol:
𝑬 𝑪 = 𝟗 · 𝟏𝟎 𝟏𝟔
𝑱
10.(A).18. ¿Qué
trabajo
es
necesario
realizar
para
aumentar
la
velocidad
de
una
partícula
de
masa
en
reposo
𝑚! = 1 𝑔
desde
𝑣! = 0!
6 𝑐
hasta
𝑣! = 0!
8 𝑐?
Sol:
𝟑 𝟕𝟖 · 𝟏𝟎 𝟏𝟏
𝑱
10.(A).19. ¿A
qué
velocidad
la
masa
de
un
cuerpo
será
el
doble
de
la
que
tiene
en
reposo?
Sol:
𝒗 ≈ 𝟎!
𝟖𝟔𝟔𝒄
10.(A).20. La
energía
del
Sol
llega
a
la
Tierra
con
una
potencia
de
1!
4 𝑘𝑊/𝑚!
.
Considerando
que
la
Tierra
está
a
1!
5 · 10!!
𝑚
del
Sol,
calcula
la
cantidad
de
masa
que
pierde
diariamente
el
Sol
para
poder
aportar
la
energía
que
emite.
𝑀!"# = 2 · 10!"
𝑘𝑔
Sol:
𝒎 = 𝟑!
𝟖 · 𝟏𝟎 𝟏𝟒
𝒌𝒈
10.(A).21. La
energía
en
reposo
de
un
electrón
es
0,511
MeV.
Si
el
electrón
se
mueve
con
una
velocidad:
v
=
0,8c,
siendo
c
la
velocidad
de
la
luz
en
el
vacío:
a) ¿Cuál
es
la
masa
relativista
del
electrón
para
esta
velocidad?
b) ¿Cuál
es
la
energía
relativista
total?
Sol:
𝒂) 𝒎 = 𝟏!
𝟓 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎
𝒌𝒈; 𝒃) 𝑬 = 𝟎!
𝟖𝟓𝟐 𝑴𝒆𝑽
10.(A).22. ¿Cuál
es
la
energía
en
reposo,
expresada
en
J
y
en
MeV,
de
un
neutrón?
¿Qué
energía
cinética
poseerá
cuando
se
mueva
a
0!
5𝑐?
Datos:
𝑚! = 1!
675 · 10!!"
𝑘𝑔, 𝑐 = 3 · 10!
𝑚/𝑠
Sol:
𝑬 𝟎 = 𝟗𝟒𝟏 𝑴𝒆𝑽; 𝑬 𝒄 = 𝟏𝟒!
𝟓𝟔𝑴𝒆𝑽
10.(A).23. Un
electrón
tiene
una
energía
en
reposo
de
0!
51𝑀𝑒𝑉.
Si
el
electrón
se
mueve
con
una
velocidad
de
0!
8𝑐.
Se
pide
determinar
su
masa
relativista,
su
cantidad
de
movimiento
y
su
energía
total.
Sol:
a)
𝒎 = 𝟏!
𝟓𝟏𝟑 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎
𝒌𝒈;
b)
𝒑 = 𝟑!
𝟔𝟑𝟏 · 𝟏𝟎!𝟐𝟐
𝒌𝒈 · 𝒎/𝒔;
c)
𝑬 = 𝟎!
𝟖𝟓 𝑴𝒆𝑽

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10.(A).24. ¿Cuál
debería
ser
la
velocidad
de
una
nave
espacial
con
respecto
a
la
Tierra,
para
que
un
observador
situado
en
la
Tierra
mida
que
su
longitud
es
la
mitad
de
lo
que
mide
un
observador
situado
en
la
nave
espacial?
¿Cuál
sería
la
energía
cinética
de
la
nave
espacial,
si
su
masa
en
reposo
es
de
5000
kg?
La
longitud
de
la
nave
vista
por
el
observador
dentro
de
la
misma:
𝑙′.
Longitud
de
la
nave
vista
por
un
observador
en
la
Tierra:
𝑙.
Nos
dicen
que
𝑙!
= 2 · 𝑙.
Aplicando
la
fórmula
de
contracción
relativista
de
la
longitud
y
comparándola
con
la
relación
dada
entre
las
longitudes
podemos
calcular
el
factor
de
Lorentz:
𝑙!
= 𝛾 · 𝑙 ⟶ 𝜸 = 𝟐
Una
vez
que
conocemos
el
valor
del
factor
de
Lorentz
podemos
calcular
la
velocidad
de
la
nave
respecto
a
la
Tierra:
𝛾 =
1
1 −
𝑣!
𝑐!
⟶ 1 −
𝑣!
𝑐!
=
1
𝛾!
⟶
𝑣!
𝑐!
= 1 −
1
𝛾!
𝑣!
= 𝑐!
1 −
1
𝛾!
⟶ 𝒗 = 𝒄 𝟏 −
𝟏
𝜸 𝟐
Sustituimos
los
datos
y
calculamos
v:
𝒗 = 3 · 10!
𝑚/𝑠 1 −
1
4
≈ 𝟐′𝟓𝟗𝟖 · 𝟏𝟎 𝟖
𝒎/𝒔 ≈ 𝟎′𝟖𝟕 · 𝒄
Calculamos
ahora
la
energía
cinética
de
la
nave,
teniendo
en
cuenta
los
efectos
relativistas
sobre
la
masa:
𝐸! = ∆𝑚 · 𝑐!
= 𝑚 − 𝑚! · 𝑐!
=
𝑚!
1 −
𝑣!
𝑐!
− 𝑚! 𝑐!
=
1
1 −
𝑣!
𝑐!
− 1 𝑚! 𝑐!
𝐸! = 𝛾 − 1 𝑚! 𝑐!
= 2 − 1 · 5000 𝑘𝑔 · 3 · 10!
𝑚/𝑠 !
𝑬 𝑪 = 𝟒!
𝟓 · 𝟏𝟎 𝟐𝟎
𝑱