PA e PG

31.357 visualizações

Publicada em

2 comentários
8 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
31.357
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
35
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
520
Comentários
2
Gostaram
8
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

PA e PG

  1. 1. DEFINIÇÃO: PA é toda sequência de números re- 07) Escreva uma PA de três termos de modo que a ais na qual cada termo, a partir do segundo, é igual soma dos termos seja -3 e o produto deles seja 8. ao anterior somado a uma constante denominada razão r. 08) (FGV SP) Em um triângulo, os três ângulos es- Ex.: PA (2, 7, 12, 17, ...) tão em PA e o maior ângulo é o dobro do menor. Calcule o menor ângulo desse triângulo. CLASSIFICAÇÃO: r > 0 → crescente Ex.: (1, 5, 9, 13, ...) 09) Interpole quatro meios aritméticos entre os r = 0 → constante Ex.: (-2, -2, -2, ...) números 11 e 26. r < 0 → decrescente Ex.: (10, 7, 4, 1, ...) 10) Insira doze meios aritméticos entre 60 e -5. TERMO GERAL DE UMA PA: an = a1 + (n – 1). r onde: 11) Determine a soma dos dez primeiros termos da an: termo geral a1: primeiro termo PA (1, 4, 7, ...). n: nº de termos r: razão 12) Qual é a soma dos trinta primeiros números REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS ímpares? TERMOS DE UMA PA: Três termos: (x – r, x, x + r) 13) Determine a soma dos vinte primeiros termos Quatro termos: (x – r, x, x + r, x + 2r) da PA (-15, -11, -7, ...). PROPRIEDADE DE UMA PA: A soma de dois ter- 14) (Gama Filho RJ) A soma dos seis termos de mos equidistantes dos extremos de uma PA finita é uma progressão aritmética de razão r é igual a igual a soma dos extremos. 150. Se o último termo dessa progressão é 45, a Ex.: PA (1, 4, 7, 10) 1 + 10 = 4 + 7 razão r vale: SOMA DOS TERMOS DE UMA PA: a) 9 b) 8 c) 7 (a1 + a n ).n d) 6 e) 5 Sn = 2 onde Sn é a soma dos termos EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO: 01) Verifique quais sequências formam uma PA, determinando a razão e classificando: a) (3, 7, 11, 15, ...) b) (5, 1, -3, -7, ...) c) (-2, 4, -8, ...) d) ( 10, 10, 10, ...) 02) Determine o 10º termo da PA (1, 6, 11, ...). 03) Qual é o primeiro termo de uma PA em que a16 = 53 e r = 4 ? 04) Determine o número de termos da PA (-6, -9, -12, ..., -66). 05) Determine o valor de x de modo que os termos x + 3, 4x – 2 e x – 1, nessa ordem, formam uma PA. 06) Quantos são os múltiplos de 3 compreendidos entre 5 e 40 ?
  2. 2. DEFINIÇÃO: Podemos definir progressão geomé- Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an trica, ou simplesmente PG, como uma sucessão de Simplificando convenientemente, chegaremos à números reais obtida, com exceção do primeiro, seguinte fórmula da soma: multiplicando o número anterior por uma quantida- de fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo en- Se substituirmos an = a1. qn-1 , obteremos uma no- tre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na va a- presentação sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. para a fórmula da soma, ou seja: CÁLCULOS DO TERMO GERAL: Numa progres- são geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte ma- neira: Pode ser usada tanto uma como a outra, conforme a1 a2 a3 ... a20 ... an ... conveniência. a1 a1 . q a1 . q2 ... a1 . q19 ... a1 . qn-1 ... Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do Temos: termo geral, também chamado enésimo termo, pa- ra qualquer progressão geométrica. Observe que neste caso a1 = 1. n-1 an = a1 . q SOMA DOS TERMOS DE UMA PG DECRES- CENTE E ILIMITADA Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 3, então: Considere uma PG ilimitada (infinitos termos) e de- crescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fór- an = 2 . (3)n-1 mula anterior, encontraremos: Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, a1 Sn = substituindo-o na fórmula, obtemos: 1 q Exemplo: a5 = 2 . (3)5-1 = 2 . (3)4 = 162 Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100. A semelhança entre as progressões aritméticas e O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x as geométricas é aparentemente grande. Porém, e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progres- sões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas pro- Dessa equação nós encontramos como resposta gressões geométricas os termos são gerados pela x = 50. multiplicação, também repetida, por um mesmo número. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG: Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:
  3. 3. 01 Sobre a progressão aritmética dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: (7, 16, 25, 34, ...) é correto afirmar que: a) 12 b) 24 c) 52 a) o número 9.000 é um dos seus termos d) 63 e) 126 b) o número 7.000 é um dos seus termos c) seu décimo termo é 89 07 Uma progressão aritmética tem seis termos. A d) a soma dos quatro primeiros termos é maior que soma dos cinco primeiros termos é igual a –5 e a 100 soma dos cinco últimos termos é igual a 10. A ra- e) a sua razão é um numero primo zão dessa progressão aritmética é: 02 Se numa progressão aritmética de termo geral a) 1 b) –2 c) 3 an tem-se a1 + a4 = 13 e a3 – a1 = 6, então, a soma d) 0 e) -5 dos dez primeiros termos dessa P.A. é: 08 Uma sequência é tal que a1 = 8 e an = an-1 + 12 a) 130 b) 95 c) 65 (n > 2). A soma dos vinte primeiros termos dessa d) 155 e) 195 sequência é: 03 Numa cerimônia de formatura de uma faculda- a) 228 b) 4.720 c) 3.260 de, os formandos foram dispostos em 20 filas, de d) 2.360 e) 2.440 modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda fila, 5 na ter- 09 Uma progressão aritmética possui 513 termos, ceira, e assim por diante, constituindo uma pro- todos impares. O seu primeiro termo, e a razão, gressão aritmética. O número de formandos na ce- são as raízes da equação x2 – 15x + 44 = 0. Para rimônia é: quantos termos dessa sequência o algarismo das unidades é 9? a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 106 04 Numa sequência infinita de círculos, cada cír- culo, a partir do segundo, tem raio igual à metade 10 Uma alga cresce de modo que a cada dia ela do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo cobre uma superfície de área igual ao dobro da á- tem raio 4, então, a soma das áreas de todos os rea coberta no dia anterior. Se essa alga cobre a círculos é: superfície de um lago em 100 dias, assinale a al- ternativa correspondente ao número de dias ne- a) 12π b) 15π / 4 c) 64π / 3 cessários para que duas algas da mesma espécie d) 32π e) 32π / 3 da anterior cubram a superfície do mesmo lago. 05 O valor de mercado de um produto é alterado a) 50 dias b) 25 dias c) 98 dias a cada mês, com um acréscimo de 20% em rela- d) 99 dias e) 43 dias ção ao mês imediatamente anterior. A sequência de valores desse produto, a cada mês, forma uma 11 Numa progressão geométrica, a diferença en- progressão: tre o 2º e o 1º termos é 9, e a diferença entre o 5º e o 4º termos é 576. O 1º termo da progressão é: a) aritmética de razão 1,2 b) geométrica de razão 0,2 a) 3 b) 4 c) 6 c) geométrica de razão 20 d) 8 e) 9 d) geométrica de razão 1,2 e) aritmética de razão 0,2 12 Os frutos de uma árvore, atacados por uma moléstia, foram apodrecendo dia após dia, segun- 06 No dia 1º de dezembro, uma pessoa enviou, do os termos de uma progressão geométrica de pela internet, uma mensagem para x pessoas. No primeiro termo 1 e razão 3, isto é, no primeiro dia dia 2, cada uma das x pessoas que receberam a apodreceu 1 fruto, no segundo dia 3 outros, no ter- mensagem no dia 1º enviou a mesma mensagem ceiro dia 9 outros, e assim sucessivamente. Se no para duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa sétimo dia, apodreceram os últimos frutos, o núme- que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou ro de frutas atacadas pela moléstia foi: a mesma mensagem para outras duas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1º até o final do a) 363 b) 364 c) 729 d) 1092 e) 1093

×