1.
DefiniciónDefinición
Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en
un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploEjemplo
Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3
,
por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4
)( xxF = 34
4xx
dx
d
=

2.
Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:
Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una
primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploEjemplo
Sabemos que la función F(x)=x4
es una primitiva de f(x)=4x3
así
que las siguientes funciones:
G1(x)=x4
+5 G2(x)=x4
-123
también son primitivas de f(x).
( ) ( ) CxFxG +=
R∈
∈∀
C
Ix
( ) CxxG 4
+= Es la familia de primitivas de f(x)

3.
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónDefinición
El proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina
integración, así que tenemos:
lo que significa que:
( )∫ dxxf
( ) ( ) CxFdxxf +=∫
( )[ ] ( ) ( )xfxFCxF
dx
d
==+ '
R∈C

4.
Partes de la Integración:Partes de la Integración:
( ) ( )∫ += CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración

5.
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
∫ += Cxdx
x
ln
1
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf
∫ −≠+
+
=
+
1
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
( ) ( )∫ ∫= dxxfkdxxkf
∫ += Cedxe xx
∫ += C
a
a
dxa
x
x
ln
∫ +−= Cxsenxdx cos ∫ += Csenxxdxcos

6.
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
∫ += Cxxdx tansec2
∫ +−= Cxxdx cotcsc2
∫ += Cxxdxx sectansec ∫ +−= Cxxdxx csccotcsc
∫ +=
+
−
Cxdx
x
1
2
tan
1
1
∫ +=
+
−
Cxsendx
x
1
2
1
1

7.
Ejemplo:Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
∫ dx
x3
1
∫ dxx
∫ senxdx2 ( )∫ + dxx 2
( )∫ +− dxxxx 24
53

8.
Solución:Solución:
∫∫ +−=+
−
==
−
−
C
2x
1
dx
x
1
23
C
x
dxx
2
2
3
Cx
3
2
dxx 3
+=+=+== ∫∫ CxC
x
dxx 2
32
3
2/1
3
2
2
3
( ) C2cosx2senxdx +−=+−== ∫∫ Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.

9.
Solución:Solución:
( ) C2x
2
x
dx2x
2
++=+=+ ∫∫∫ dxdxx 2
( ) ∫ ∫∫∫ +−=+− xdxdxxdxx 24
53dxx5x3x 24
Cx
2
1
x
3
5
x
5
3 235
++−=++





−





= C
xxx
23
5
5
3
235
4.
5.

10.
Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
( )∫ − dxxx 24
sec210
( )∫ − dxxx 63
∫ 





+− dx
x
xx 2
3 3
62

11.
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
( )∫ ++ dxxx 122/3
( )∫ + dxxsenx cos32
∫
++
dx
x
xx 12

12.
Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senx
x
1
csc =
x
x
cos
1
sec =
x
senx
x
cos
tan = xsenxx coscot =
x
x
tan
1
cot = 1cos22
=+ xxsen
xx 22
sec1tan =+ xx 22
csc1cot =+

13.
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden
las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
∫ +−= Cxxdx coslntan ∫ +−= Csenxxdx lncot
∫ ++= Cxxxdx tanseclnsec ∫ ++−= Cxxxdx cotcsclncsc

14.
Ejemplo:Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:Solución:
( )∫ + dyy 1tan2
( ) Ctany +==+ ∫∫ ydydyy 22
sec1tan

15.
Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a)
b)
c)
( )∫ + dxxsenx cos32
( )∫ − dxxx cotcsc1
( )∫ − dxsenxx2
sec

16.
Entre ambas ramas existe una relación descubierta
independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se
denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que
la diferenciación e integración son operaciones mutuamente
inversas.

17.
Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en
[a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
( )∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()(
( ) ( )[ ]∫ −==
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()(

18.
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
( ) ( )dxxfkdxxkf
b
a
b
a
∫∫ =
( ) ( )( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
∫∫∫ ±=±

19.
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b],
si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
∫∫∫ +=
( ) 0=∫ dxxf
a
a

20.
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral
definida de b a a de f, es decir:
( ) ( )dxxfdxxf
a
b
b
a
∫∫ −=

21.
EjemploEjemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
dxx∫
4
1
3
dx
xx
∫
−
1
0
3
2.

22.
Solución:Solución:
2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos
[1, 4] es el área de la región sombreada:
14=
4
1
2/34
1
21
2/3
33 





== ∫∫
x
dxx /
dxx3
4
1
( ) ( ) 2/32/3
1242 −=

23.
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
dxx∫
1
0
2
( )dxx∫−
−
0
1
2

24.
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x∫ 





−
2
1
2
1
3
( )dxx∫−
−
1
1
3
2
dx
x
x
∫
−
4
1
2

25.
Método de SustituciónMétodo de Sustitución
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función
continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una
primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la
diferenciación.
( )( ) ( ) ( )( ) CxgFdxxgxgf +=∫ '
( ) ( ) CuFduuf +=∫

26.
Ejemplo:Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:Solución:
dxxx∫ + 13 32
duuduudxxx ∫∫∫ ==+ 2/132
13
dxxdu
xu
2
3
3
1
=∴
+= CuC
u
+=+= 2/3
2/3
3
2
2
3
( ) ( ) C1x
3
2 33
++=++= cx
2/33
1
3
2

27.
Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
( ) dxxx∫ +
42
12
( ) dxxx∫ +
22
1
dxx)5cos(5∫

28.
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por
sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en
seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
( )
4
0
2/34
0
4
0
2/3
12
2
1
212
2
1
12 




 +
=





+=+ ∫∫
x
dxxdxx
( ) ( ) ( ) ( )
3
26
=−=−=





+= 127
3
1
1
3
1
9
3
1
12
3
1 2/32/3
4
0
2/3
x

29.
El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian
los límites de integración cuando se cambie la variable, como
se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es
sobre el rango de u=g(x) entonces
( )( ) ( ) ( )duufdxxgxgf
bg
ag
b
a
∫∫ =
)(
)(
'

30.
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dxx∫ +
4
0
12
dxdu 2= dudx
2
1
=∴
( ) ( ) 110200 =+=⇒= ux
( ) ( ) 914244 =+=⇒= ux

31.
Por lo tanto:
duu∫∫ =+
9
1
dx12x
4
0
[ ]9
1
2/3
9
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
3
1
3
2
2
1
3
22
1
2
1
uu
u
duu =





=










== ∫
( ) 3
26
=−= 2/32/3
19
3
1

32.
Ejemplo:Ejemplo:
Evaluar la siguiente integral ( ) dxxx∫ +
1
0
32
1
xdxdu
xu
2
12
=
+= xdxdu =∴
2
1 ( ) 11000 2
=+=⇒= ux
( ) 21111 2
=+=⇒= ux
duuduu ∫∫ =
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
( ) 8
15
=−= 44
12
8
1
[ ]2
1
4
2
1
4
8
1
42
1
u
u
=





=

33.
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x
x
∫ −
5
1 12
dx
x
x
e
∫1
ln
dxx∫ −
7
3
3

34.
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
dx
x
xx
∫
++ 732
( ) dxxx∫−
+
1
1
32
1
dxxx∫ −− 2
92

35.
Índice
1 Área del recinto donde interviene una función
1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]
1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]
1.3 La función toma valores positivos y negativos en [a, b]
2 Área del recinto donde intervienen dos funciones
2.1 Las dos funciones no se cortan en [a, b]
2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]

36.
1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]
[ ]b,aen0)x(f ≥
Área del recinto = ∫
b
a
dx)x(f
1 Área del recinto donde interviene
una función
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos
recta verticales x =a y x = b.

37.
y=x2
y=x4
-2x3
+2
Área =
2
4
2
4
2
3
2
u
3
56
3
8
3
64
3
x
dxx =−=





=∫
Área = ∫− −
=





+−=+−
2
1
2
2
1
45
34
u
10
51
x2
2
x
5
x
dx)2x2x(
Ejemplos
1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2
, el eje OX, la
recta x = 2 y la recta x = 4.
2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y =
x4
– 2x3
+ 2 entre x = -1 y x = 2.

38.
1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]
Área del recinto = - ∫
b
a
dx)x(f
Ejemplo:
Área =
2
2
2
2
2
3
2
u
3
16
3
8
3
8
3
x
dx)x( =+=








=−−
−−
∫
y = -x2
Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2
,
el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos
recta verticales x =a y x = b.

39.
1.3 La función toma valores positivos y1.3 La función toma valores positivos y
negativosnegativos
Área (R) = ∫∫∫∫ −+−
b
e
e
d
d
c
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

40.
Ejemplo:
1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el
intervalo [0 , 2π]
2
π
2
3π π2
y=cosx
Área (R) = 2
u4dxxcosdxxcosdxxcos 2
3
2
2
2
3
2
0 ∫ ∫∫
π
π
π
π
π
=+−

41.
Ejemplo:
2. Hallar el área limitada por la curva y = x3
– 6x2
+ 8x y el eje OX.
Área (R) = 24
2
232
0
23
u8dx)x8x6x(dx)x8x6x( =+−−+− ∫∫
y = x3
– 6x2
+
8x

42.
Ejemplo:
1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2
e y = 2x – 3
entre x = 2 y x = 4
Área (R) =
24
2
2
u
3
38
dx)]3x2(x[ =−−∫
y = x2
y = 2x – 3

43.
2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
Área (R) = ∫∫ −+−
b
c
c
a
dx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[

44.
Ejemplo:
1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2
exy =
y = x2
xy =
Área (R) =
2
1
0
3
2
3
1
0
21
0
2
1
u
3
1
3
x
x
3
2
dxxdxx =








−=− ∫∫

45.
Ejemplo:
2. Hallar el área del recinto limitado por la parábola y = x2
, la recta y = -x +
2 y el eje OX
Área (R) =
22
1
1
0
2
u
6
5
dx)2x(dxx =+−+ ∫∫
y = x2
y = - x + 2

46.
Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución
engendra un sólido de revolución.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno
de sus lados.

47.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

48.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método
de los discos, usar la fórmula siguiente:

49.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

50.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

51.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

52.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

53.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

54.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

55.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

56.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

57.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

58.
Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el
intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:
Longitud de arco
La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función
lineal.

59.
Longitudes de arco(EJEMPLO)

60.
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar,
la cual se muestra a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ −= ''
)(
)(
xgv
xfu
=
=
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
=
=
∫∫ −= vduuvudv

61.
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenx∫
xu =
dxdu =
dxxsendv )(=
xv cos−=
( ) ( ) dxxxxdxxxxdxxsenx ∫∫∫ +−=−−−= coscoscoscos
Csenxxcosx ++−=

62.
SoluciónSolución
Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces
du=cos(x)dx y v=x2
/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx∫
( ) dxxxsenx
x
dxxsenx ∫∫ −= cos
2
1
2
2
2
dxcosxx2
∫

63.
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es
obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x
∫
2
2
xu =
xdxdu 2=
dxedv x
=
x
ev =
dxxeexdxex xxx
∫∫ −= 222

64.
dxxex
∫
xu = dxdu = dxedv x
= x
ev =
Cexedxexedxxe xxxxx
+−=−= ∫∫ 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:
( )Cexeexdxxeexdxex xxxxxx
+−−=−= ∫∫ 22 222
1
xxx2
C2e2xeex ++−= CC 21 =

65.
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxx∫ln
dxsenxex
∫
dxxx∫ ln2
dxx∫
3
sec

66.
Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
[ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a vduuvudv

67.
EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex
∫
1
0
dxdu
xu
=
=
x
x
ev
dxedv
=
=
[ ] [ ] [ ]1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx
exedxexedxxe −=−= ∫∫
( ) ( ) 1=−−−= 10 ee

68.
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x
∫
2
dxxx∫ cos
dxxsen∫
−1
dxsen∫ θθθ cos
dxxx∫
2
0
2cos
π
dxx∫
4
1
ln
dxxx∫
−
1
0
1
tan