1. МУИС ФТ-ийн лаборант М.Алтансүх 2021
Тэгшитгэл бодох

2. Ажиллах орчин: Mathematica програмыг Start цэснээс дуудан
ачаалж болно:
Start -> Wolfram Mathematica -> Wolfram Mathematica 10
Програм ачаалагдсаны дараа дэлгэцэнд програмын үндсэн цонх
гарч ирнэ. Үндсэн цонхон дотор шинэ ажлын файл автоматаар
үүссэн байна. Ажлын файлыг notebook гэж нэрийднэ.
Алын хуудас
Хэрэгслийн
самбар

3. Хэрэв ажлын хуудсан
дээр бичигдсэн аль нэг
дотоод функцын талаар
шуурхай мэдээлэл
авахыг хүсвэл тэр
функцыг сонгоод гарын
F1 товчийг дарах
хэрэгтэй:

4. Тэгшитгэлийг аналитикаар бодохдоо Solve[ ] функцыг
ашигладаг.
Ж.нь 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 гэсэн кв тэгшитгэлийг бодуулая.
Тэгшитгэлийн тэнцэтгэлийн тэмдгийг == тэмдэгт ашигладаг.
Түүнчлэн Solve[ ] функц нь тэгшитгэлийн бүх боломжит
шийдийг вектор хэлбэрээр гаргасан байна. Энэ вектороос
жишээ нь зөвхөн 1-р шийдийг ялгаж авъя гэвэл:

5. Гаргасан шийдийг бид буцааж тэгшитгэлд нь орлуулаад
шалгаж бас болно:
Ж.нь 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 гэсэн кв тэгшитгэлийг бодуулая.
Энд байгаа /. гэсэн тэмдгийг орлуулах оператор гэдэг.
Орлуулах оператор нь шийдийг тэгшитгэлд орлуулж байгаа.
Харин орлуулсан шийдүүд тэгшитгэлийн тэнцэтгэлийг
биелүүлж байгаа эсэхийг Simplify[ ] функц шалгаж, True
эсвэл False гэсэн хариуг гаргаж байгаа юм.

6. Систем тэгшитгэл хэрхэн бодохыг авч үзье.
Ж.нь
3𝑥2
− 2𝑦2
= 1
𝑥2 + 4𝑦2 = 3
гэсэн системийг бодуулая.
Тэгшитгэлүүдэд кв эрэмбийн гишүүд байсан учраас 4 шийд
гарч ирсэн байна.
Solve[ ] функц нь ерөнхийдөө 4-өөс ихгүй эрэмбийн
алгебрын тэгшитгэл бодоход зориулагдсан байна.

7. 4-өөс их эрэмбийн алгебрын тэгшитгэлийг тоон аргаар
бодуулж болно. Үүний тулд NSolve[ ] гэсэн функцыг
ашиглана.
Ж.нь 𝑥5 + 2𝑥 + 1 = 0 гэсэн тэгшитгэлийг бодуулая.
Энэ тэгшитгэлийн шийд нь комплекс тоонууд юм байна.

8. Функцын максимум, минимум утгыг хайж болдог байна.
Минимумыг FindMinimum[ ], максимумыг FindMaximum[ ]
функцээр гүйцэтгэнэ.
Ж.нь 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∗ cos 𝑥 гэсэн функцын минимум болон
максимумыг олъё.

9. Дифференциал тэгшитгэлийг аналитик болон тоон аргаар
бодож чадна.
Аналитик бодох
Шугаман дифференциал тэгшитгэл, мөн цөөн тооны шугаман
бус дифференциал тэгшитгэл аналитик шийдтэй байдаг.
Mathematica програм аналитик шийдийг DSolve[ ] функцээр
олно.
Ж.нь 𝑦′ 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑎 sin(𝑥) гэсэн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийг аналитик бодуулая.
Энд буй C[1] бол интегралын тогтмолууд бөгөөд утга нь
мэдэгдэхгүй байна.

10. Интегралын тогтмолуудыг тодорхойлохын тулд
дифференциал тэгшитгэлээ нэмэлт нөхцлүүдтэйгээр бодох
хэрэгтэй. Ө.х. захын нөхцлүүд тооцно. Ингэхдээ хэдэн
интегралын тогтмол тодорхойлох шаардлагатай.
Ж.нь өмнөх тэгшитгэлийг y[0]=0 гэсэн захын нөхцлүүдтэйгээр
бодвол C[1] тодорхойлогдоно:
Шийдийг харахад C[1] =
1
2
𝑎 байна.

11. Тоон аргаар бодох
𝑦′
𝑥 = 𝑦 𝑥 cos(𝑥 + 𝑦 𝑥 , 𝑦 0 = 1, 𝑥[0, 30] гэсэн
дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэл бол
шугаман бус дифференциал тэгшитгэл юм. Учир нь
тэгшитгэлийн үл мэдэгдэгч y(x) нь cos функцын аргументад
орсон байна. Ийм тэгшитгэлийг тоон аргаар бодуулахдаа
NDSolve[ ] функцыг ашиглана.

12. Тоон аргаар бодох
𝑦′
𝑥 = 𝑦 𝑥 cos(𝑥 + 𝑦 𝑥 , 𝑦 0 = 1, 𝑥[0, 30] гэсэн
дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэл бол
шугаман бус дифференциал тэгшитгэл юм. Учир нь
тэгшитгэлийн үл мэдэгдэгч y(x) нь cos функцын аргументад
орсон байна. Ийм тэгшитгэлийг тоон аргаар бодуулахдаа
NDSolve[ ] функцыг ашиглана.

13. 1. Б.Алтанхүү, 2008 Mathematica програмтай анхлан танилцах
2. https://www.wolfram.com/language/fast-introduction-for-math-
students/en/entering-input/
3. https://reference.wolfram.com/language/ref/Plot.html
4. http://www.bu.edu/tech/research/training/tutorials/list/
5. Mathematica for Windows 10 Help.

14. Анхаарал тавьсанд
баярлалаа