Unidad ii complejos y logaritmos

16
Msc. Alberto Pazmiño O.
87
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Concepto de número imaginario.Como en el conjunto de los números reales, por ejemplo la ecuación 12
x ,
no tiene solución, es necesarioampliarlo; ya que, 1 no es real.
Se acostumbra poner i = 1 , i se llama unidad imaginaria.
A las raíces de los x se los llama números imaginarios; en general:
xx-quetienese ix
el conjunto de todos los números imaginarios denotaremos con la letra Y, por lo tanto:
hiihY ,1/
Potencies de i.
Sea: h un número imaginario, Zn +
, se define como:
h" =hn-1
h; h°= 1 siendo h = 0
Aquí cumplen las propiedades algebraicas:
nmmn
nmnm
hh
hhh
Concepto de numero complejo:
Un numero complejo es un numero de la forma a + bi, con 1, ieba
Se llama conjunto de los números complejos y se denota por C, ala siguiente expresión:
1;,/ ibabiaC
Los números complejos dela forma(0,b)son llamadosimaginarios puros.
Vamos a demostrarla propiedaddelamultiplicación porun escalar
baba ,,
Paraeso escribimos el número realaen la forma(a,0)yaplicamos la definición demultiplicación
(a,b)=( ,0)( ,b)=( a-0b, b+0a)=( a, b).
Denotaremoselnúmerocomplejo(0,1) conlaletra iylollamaremosunidadimaginaria.Esfácil demostrar que i2
=-1
i2
=(0,1)2
=(0,1)(0,1)=(0(0)-1(1),0(1)+1(0))=(-1,0)=-1
Formabinómicadeunnúmero complejo
Sea z=(a,b)un número complejo.Entoncespodemos escribirlo en la forma:
z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1)
Perocomo(1,0)=1y(0,1)=i,entonces(a,b)=a+bi.Enestecasoa+bisellamaformabinómicao
binomiadel número complejo.
Representación grafica

17
El numero complejo Z = a+bi, se dice que esta expresado en formarectangular,
Si:
a se llama parte entera de Z y se denota por a= Re(Z)
bse llama parte imaginaria de Z y se denota por b= lm(Z)
El conjunto de los números de la forma Z = a + 0i es isomorfo a R; por eso se dice que C
Z = a +bise lo puede representar en R2
mediante el siguiente modelo geométrico, esto es representamos el
vector Z =(a, b) así:
y
b Z(a,b)
0 a x
Definición 1. Sean Z = a + biy W =c + di, se dice que Z = W, a =cyb= d.
Se acepta porque en R la relación de igualdad existe y es de equivalencia.
Ejemplos:
Verificar si los siguientes números complejos son iguales.
1. x-2+4yi = 3 + 12i
Entonces; x-2 y 3, partes reales
4yi y 12i partes imaginarias
x-2 = 3,
x = 5
Definición 2. Sean Z = a + bipor lo tanto tenemos que:
 Se llama complejo nulo o cero al complejo z = 0+ 0i
 Se llama opuesto de z al complejo -z = -a-bi
 Se llama conjugado de z y se denota z al complejo z = a –bi
 Se llama módulode z y se denota z al número real no negativo
22
baz
Operaciones en C
Con los números complejos se pueden efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencia,
cuando el numero está en la forma z = a+bi, o w = c + di
Sumay multiplicacióndenúmeroscomplejosenlaformabinómica

18
x :C+C / (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, puesto quea,b,c,d son todosnúmeros reales.
x :CxC / (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)iporquei2
=-1.
Resta o sustracción:
-: CxC / (a+bi)- (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Cociente o División
222
./:
z
ibcadbdac
dc
ibcadbdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia
CxC
Potenciación:
x :Cn
/ (a+bi)n
=(a+bi) (a+bi) (a+bi)….. (a+bi)n-1
ACTIVIDAD
Efectué las siguientes operaciones indicadas.
1. Dados los números complejos z=(3,2)yw=(-1,-4), halle:
Hallar:
a) wzywzwzwz /.;;
b) 3z -2w
c) z2
d) z3
2. Muestre que(0,0)es elelemento neutro para lasumade númeroscomplejos.
3. Muestre que(1,0)esel elemento neutroparalamultiplicación denúmeros complejos.
4. Calcule:
a) (a)i3, (b)i4, (c)i5
5. Calcule:
(a)i4n, (b)i4n+1, (c)i4n+2,
6. Verifiquequeuvyuvson conjugados.
7. Resuelva la ecuación cuadráticax2 +3x+3=0
8. Resuelva la ecuación cuadrática2x2 +4x+5=0.
Sistema de coordenadas polares
Sea P(a , b) el punto de R2
asociado al complejo z = a + bi; esto es:

19
y
b P(a,b)
r
0 a x
 Se llama modulode z y se denota z al número real no negativo
22
bazr
Sea el ángulo formado por el semieje positivo 0x y el vector OP elArgumentode z.
Definición 1.Se llaman coordenadas polares de z a la pareja (r, ).
Al valor de entre 0 y 2 se llama valor principal.
Delgrafico anterior, sabemos por trigonometría que:
a = rcos ; b = r sen ;
Luego, se tiene
Z= rCos + irSen = r (Cos +iSen )
Definición 2. Se llama forma trigonométrica o polar del número complejo z a lasiguiente:
z= r (Cos + iSen ) (forma sencilla)
z = r(cos( + 2k )+ iSen( +2k )) (forma más general)
ACTIVIDAD
1. Expresar en forma polar los siguientes números complejos:
a) 3,1 iz
b) iw 3
2.Efectuar en forma analítica, polar y grafica la operación: (2+6i)+ (5 + 3i)
Potenciación
Para calcular la n-esima potencia de un número complejo es preciso aplicar reiteradas veces la regla de la
multiplicación.
[{Cos + i sen }n
= rn
(Cosn + i Senn ),

20
Conocida como la fórmula de DeMoivre.
Es decir la relación también es válida para exponentes enteros negativos. Laregla de potenciación de un
número complejo es la siguiente:
“Para elevar a la potencia n un numero complejo dado en su formatrigonométrica se ha de elevar
a la mencionada potencia el modulo de talnúmero, mientras que el argumento se ha de multiplicar por el valor
n.”
Ejemplo:
1. Elevar a la potencia 8 el número complejo iz 3 .
El módulo de z es igual a 2 y su argumento principal
6
El módulo de z8
es 28
y el argumento vale
3
4
6
88
Por consiguiente:
3
4
3
4
23 88
iSenCosiz
Radicación
El numero z se llama raíz de orden n del numero complejo w si zn
= w.
A la raíz n-esima se le designa por n
w
Si w = 0, entonces cualquiera que sea n, la ecuación zn
= w tiene una sola solución z= 0
Si 0w , entonces 0z , consecuentemente tanto w como z se pueden representar en la forma
trigonométrica.
iSenCossw
iSenCosrz
La ecuación zn
= w toma la forma
iSenCossniSennCosrwz n
Como dos números complejos son iguales si y solo si son iguales sus módulos y sus argumentos difieren en un
número múltiplo de 2n, podemos escribir
knsrn
2,
O también: Zksiendo
2
,
n
k
sr n
De este modo, el resultado de la radicaci6n se escribe de la siguiente manera:

21
n
k
iSen
n
k
Cossz n 22
Donde n
s es el valor aritmético de la raíz.
Si en esta expresión damos al número k los valores de 0, 1,..., n -1, obtenemos la siguiente n valores de la raíz:
n
n
iSen
n
n
CossSi
n
iSen
n
CossSi
n
iSen
n
CossSi
n
iSen
n
CossSi
n
n
n
n
1212
Z1-nk
.......................................................................................
44
Z2k
22
Z1k
Z0k
n
2
1
0
Es fácil comprobar que zn=z0; es decir, hay exactamente n raíces de orden n de w.
Todas las raíces de orden n del numero w tienen igual modulo n
s perodistintos argumentos, que difieren en un
sumando múltiplo de
n
2
. De aquí que los números complejos que son las raíces de orden n del numero
complejo w corresponden a los puntos del plano complejo situados en los vértices del polígono regular inscrito
en la circunferencia de radio n
s , con centro en el origen de coordenadas.
y
z2
z1 x
z3
ACTIVIDAD

22
a. Hallar los valores de 3
27z
b. Hallar los valores de 3
125z
c. Hallar los valores de 4
16z
d. Hallar los valores de 3
8z
CAPITULO II
FUNCIONES
¿Qué es una función?
Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.
FUNCION LOGARITMICA Y EXPONENCIAL
FUNCION EXPONENCIAL. Las funciones exponenciales se presentan en campos muy diversos como
biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
Si b > 0, entonces a cada número real x corresponde un número real único
x
b . Esto lleva a la siguiente
definición.
DEFINICIÓN. Si b > 0 y 1b , entonces la función exponencial de base b es la función f definida por:
El dominio de f es el conjunto de números reales y el contra dominio es el conjunto de números positivos.
PRIMER CASO: La función toma la forma de: y=ax
. Si número real positivo a> 1, entonces a = 2, x
y 2
La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones.
x
byxf )(

23
Crece Decrece
x
y
2
1
En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x
SEGUNDO CASO: Si b < 1, y= bx
Un ejemplo será entonces si b = 1/2, la función toma la forma de:
x
y
2
1
La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones.
Observación: La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x.
 A cada valor de x corresponde un solo valor de y, y viceversa.
 Si a >1 la función exponencial es creciente.
x x
y 2
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
0,5 1,4
x
y
2
1
x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 ½
2 1/4
3 1/8

24
 Si a <1 la función exponencial es decreciente.
Las asíntotas
En la gráfica de la función f(x)=k/x se puede observar como las ramas de la hipérbola se aproximan a los ejes de
coordenadas, son las asíntotas.
Cuando la gráfica de una función se acerca cada vez más a una recta, confundiéndose con ella, se dice que la recta
es una asíntota.
Aunque estas rectas pueden llevar cualquier dirección en el plano aquí nos limitaremos a las:
Asíntotas verticales. La recta x=a es una asíntota vertical de la función si se verifica que cuando el valor x tiende
al valor a, el valor de f(x) tiende a valores cada vez más grandes, f(x)→+∞,ó más pequeños, f(x)→-∞.
Asíntotas horizontales. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función si se verifica que cuando x→+∞ ó
x→-∞, el valor
Asíntota vertical x=1
x→1+ (por la derecha) f(x)→+∞
x→1- (por la izquierda) f(x)→- ∞
o Asíntota horizontal y=1
x→+∞ f(x)→2
x→-∞ f(x)→ 2
LOGARITMO : Se llama logaritmo de un número real, positivo, N en base a a otro número x real, positivo y
diferente de 1, al número xque es el exponente al que hay que elevar la base apara obtener el número dado N
“El logaritmo del número N, en base a igual a x”,se expresa mediante la siguiente simbología:
 La función logarítmica es función inversa de la función exponencial.
número
xNLoga
base exponente
Nax

25
Ejemplos:
 Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales.
a) 52432433 3
5
Log
b)
3
1
27273327 3
3
1
3
Log
 Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial.
a) 8238 3
2Log
b) 21663216 3
6Log
 Halle el logaritmo que se indica
3
1010
1000101000)
3
10
x
xLoga
x
x
4
3
34
22
8168)
34
16
x
x
xLogb
x
x
Propiedades:
La observación de los gráficos anteriores, sugiere las siguientes propiedades.
1. la función es positiva para todos los valores de X >1 y negativa para todos los valores de X comprendidos
entre 0 y 1.
2. La función es creciente, esto es, a medida que crece un número crece su logaritmo.
3. A cada número corresponde un solo logaritmo.
4. El logaritmo de 0 (cero) no está definido : log b 0 =
5. Si un número aumenta, también aumenta su logaritmo; si el número tiende al su logaritmo también.
6. El logaritmo de la base es siempre 1 (uno);
logb b = 1  b 1
=b.
7. El logaritmo de 1 es 0 ; o sea :
logb 1 = 0  b 0
=1.
Propiedades Fundamentales o teoremas.
Las propiedades fundamentales de los logaritmos son las siguientes:

26
53223
532532 2323
LogLogLog
LogLogLogxxLog
12
3
1
36
3
1
1236
3
1
1236
3
1
12361236
22
22
2
3
1
2
3
2
LogLog
LogLog
xLog
xLogxLog
1. log a M.N = log a M + log a N
Teorema1.- “El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los logaritmos de sus
factores en esa misma base”
Demostración: Sea: loga M = m y log a N = n
a m
= M y a n
= N
am
. an
= M.N
am + n
= MN
loga MN = m + n
Análogamente se puede demostrar las siguientes propiedades.
2. log a M/N = log a M - log a N
3.log a M k
= k. log a M
4. log a
n
M = log a M 1 / n
= (1/n) log a M
Ejemplos:
Aplicar las propiedades de los logaritmos a los siguientes ejemplos
.
 811811 LogLogxLog
 1793
17
93
LogLogLog


Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Se llaman ecuaciones exponenciales, aquellas que contienen la incógnita o las incógnitas en algún exponente.

27
.....8906,0
63
120
12063
12061206 33
x
Log
Log
x
LogxLog
LogLog xx
3
22
82
92
08292
07222
7242
3
2
x
soluciónnotiene
x
x
x
xx
xx
xx
Son ecuaciones exponenciales:
750255
42
203
1 xx
xyx
x
Según como representan las ecuaciones exponenciales, éstas generalmente se resuelven aplicando las propiedades
de los logaritmos.
 Por lo tanto una ecuación se llama Logarítmica, cuando contiene el logaritmo de la incógnita.
 Por lo tanto al resolver ecuaciones exponenciales, podemos aplicar los siguientes pasos según sea el
caso.
1ro. Igualando ambos miembros a una misma base.a x
= k  a =k =# (+s) y a 1
2do. Formando y resolviendo como trinomios. 02
cbxax
3ro. Mediante la aplicación de logaritmos, dándonos ecuaciones logarítmicas
Loga
Logk
x
LogkxLoga
: LogkLogakaSi xx
Ejemplos:
Resolver las ecuaciones siguientes.
.

6
22642 6
x
xx


ACTIVIDAD

28
A. Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales.
1. a) ;3225
b) ;
25
1
5 2
c) ;9
3
1
2
d) ;3662
1
2. a) ;27814
3
b) ;
16
1
64 3
2
c) ;1
3
1
0
d) ;
125
1
625 4
3
B. Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial.
1. a) ;410000log10 b) ;
3
1
2log8 c) 29log
3
1
2. a) ;
5
1
2log32 b) 664log
2
1 c)
4
3
8
1
log16
C. Obtenga el valor del logaritmo...
1. a)
2
1
log8 b) 81log3 c) 1log2
2. a) 10000log10 b)
81
1
log3 c)
32
1
log
4
1
3. a) 2log32 b) 7log7 c)
2
1
log8
D. Resuelva la ecuación en términos de x o de b
1. a)
2
3
log2 x b)
2
7
log
4
1 x c) 4log
3
1 x
2. a)
3
2
log3 x b)
2
5
log
9
1 x c) 2144logb
3. a)
3
1
6logb b)
4
1
3logb c) 201,0logb
4. a )
3
2
4
1
logb b) 327logb c)
2
3
001,0logb
E. Simplifique la expresión
1. a) 5loglog 56 b) 81loglog 92 c) 32loglog 25
2. a) 81loglog 32 b) 256loglog 22 c) bbb loglog
F. Aplicar las reglas de los logaritmos en los siguientes ejercicios:
1. log (11 x 3) = log 11 + log 3 7. log (7 x 15 x 19)= log7 + log 15 + log 19

29
3. log 5 300 / (7 x 61)= 8. log (415 x 313) / (29 x 17)=
4. log 5
7843x = 9. log ))()(( cPbPaPP =
5. log ab3
c2
/ 22
ba = 10. log
3 2
222
)()(
)(
baba
baba =
6. log 5 3 23
cba = 11.log
cd
caba
2
33/2
.2.)/( =
G. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios mediante un solo logaritmo
1. log 2 + log 6 = log 2 x 6=
2. log A – log B – log C =
3. log O – (¼) log a + 2 log S =
4. log 7 + log 12 – log 16 =
5. 5 log 6 - 4 log 2 + 3 log 6 – 2 log 8 =
6. m log Q + n log R – r log S =
7. a log b – c log d + e log f =
H. Dados el valor de los logaritmos; Hallar el logaritmo deseado.
1. Sea log 3 = 0.4771213 y log 2 = 0.30103 . deducir el log de 75
2. Sea el log de 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de 25.1
3. Conociendo el log 5 = 0.69897, hallar el logaritmo de 250
4. sabiendo que log 3 = 0.4771213 y log 4 = 0.60206 ; hallar el logaritmo de 48

30
5. dado log 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de 10.
I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 1
4x
= 2
5x
2. xx 65
33
2
3. 2x
= 64
4. 10893 1 xx
5. 32042 13 xx
6. 32042 13 xx
7. log 6 (x 2
+ 2x + 15) - log 6 (x + 2) = 1
8. 7503333 4321 xxxx
9. xxxx 12762
7.95.3
10. log 4 8+ log 4 (x + 5) =2
11. (2 log x)log 100
+ log 2 log x
– 4.29273297 = 0
12. 12.1log7log14log xx
Inecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Inecuaciones Exponenciales
Sepresentanúnicamentelasformas:
Nf(x) >Ng(x)
N
f(x)
<N
g(x)
Tantoenf(x)comog(x);x∈R; ademásN∈R
Si:Nf(x) >Ng(x)f(x)>g(x);siempre queN>1(elsentidono cambia)
Ejemplos:

31
0
2
63
2
2
22
22
84
2
63
2
2
32
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Resolver las siguientes inecuaciones
1.
Resolviendo;lasoluciónserá
x∈(−∞,−2)U(6,+∞)
Inecuaciones Logarítmicas
Debemosrecordarpreviamentequesi:
x
b bNxNlog
Ademásdelassiguientespropiedadesdellogaritmo:
a. log a M.N = log a M + log a N
Teorema1.- El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los
logaritmos de sus factores en esa misma base
Demostración: Sea log a M = m y log a N = n
a m
= M y a n
= N
a m
. a n
= M.N
a m + n
= MN
log a MN = m + n
b. log a M/N = log a M - log a N
c. log a M k
= k. log a M
d. log a
n
M = log a M 1 / n
= (1/n) log a M
Tenerencuentaque:
1) Loslogaritmossóloseextraenanúmerosreales.
2) Labasedeunlogaritmonopuedesermenorquecero(tampococero)
Sepresentanentoncesdoscasos:
ICASO:Labasebesmayorque1.
a) Losnúmerosmayoresque1tienenlogaritmopositivo

32
4,2,3x
4x;33,2
4x0;3-x
0
3
4
0
3
168
0
3
12444
0
3
342
04
3
2
3,2
4
3
2
03,2
8
3
2
0
3
2
*
*......
3
2
3
2
log
3
2
3log2log2
2
2
2
2
2
2
3
222
2
8
88
xxx
x
x
x
xx
x
xxx
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
En
x
x
xx
b) Losnúmerosfraccionarios (entre0y1)tienenlogaritmonegativo
Porello;dadosx,y∈R
N
b
N
b
bb
bxNxbx
bxNxbxsi
luego
yxyxbsi
log1;0
log1;0:
:
loglog01:
IICASO: Labasebes0<b<1
a) Losnúmerosmayoresque1tienenlogaritmonegativo
b) Losnúmerosfraccionarios (entre 0y1)tienenlogaritmopositivo.
Porello;dadosx,y∈R
N
b
N
b
bb
bxNxbx
bxNxbxsi
luego
yxyxbsi
log10;0
0log10;0:
:
loglog01:
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones
1.
Funciones: Inyectiva, Biyectiva y Sobreyectiva

33
Definiciones formales
Inyectiva
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo:f(x) = x2
del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2
no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos)
porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: Inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera
biyectiva.
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")
Una función f (de un conjunto Aa otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A
que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos
es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por
ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.
Biyectiva
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple
que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2
del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y
sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo
f(2)=4 y
f(-2)=4

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FUNCION CUADRATICA
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2
+ bx + c
Dondea, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva
llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:
f(x) = x2
f(x) = -x2
Obtención del vértice de una parábola

36
El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las
abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.
Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del
vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.
Intersección de la parábola con los ejes
Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de
corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver
estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado: ax2
+ bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones
distintas:
i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX
en dos puntos.
ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en
un punto (que será el vértice).
iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX.
Resumen
Toda función cuadrática f(x) = ax2
+ bx + c, representa una parábola tal que:
 Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2
.
 Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
 Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
 Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
 Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
 Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2
+ bx + c=0, pudiendo ocurrir que
lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
 La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

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