1. Método de Cramer
Ejercicios resueltos
Usando el método de Cramer resolver:
2 x y 3z 53
x 2 y 2z 6
5 x 3 y z 16
1 Del sistema de ecuaciones, se obtiene la matriz ampliada así como la matriz de
coeficientes
2 1 3 53 2 1 3
E 1 2 2 6 A 1 2 2
5 3 1 16 5 3 1
(Matriz ampliada) (Matriz de coeficientes)
2 Se calcula el determinante de la matriz A. Para hallar el valor del determinante, a este
último se lo escalona por filas (se puede utilizar otro método para determinar el valor del
determinante).
2 1 3 2 1 3 1 3 5
A 3 2 2 F2 F2 – F1 1 3 5 F1 F2 (–1) 2 1 3
5 3 1 5 3 1 5 3 1
1 3 5 1 3 5
= F2 F2 – 2 F1 ( 1) 0 7 13 = F F – 12 F (–1) 0 7 13
3 3 2
F3 F3 – 5 F1 7
0 12 26 26
0 0
7
26
= (–1) 1 7 ( ) 26 0 el sistema es de Cramer
7
3 Se prosigue a calcular el valor de las incógnitas. Los determinantes se pueden calcular
igual que en el paso 2

2. 5 1 3 2 5 3
6 2 2 3 6 2
16 3 1 36 18 5 16 1 65 5
x y
26 26 13 26 26 2
2 1 5
3 2 6
5 3 16 41
z
26 26
4 El conjunto solución es:
18 5 41
C.S . , ,
13 2 26
Determinar el valor de λ para que el sistema:
x y z
2x y z 0
2
x 2y z
i. Tenga solución única. iii.
Hallarla iv. No tenga solución
ii. Tenga más de una solución.
Hallarlas
1. Del sistema de ecuaciones, se obtiene la matriz ampliada así como la matriz de
coeficientes
1 1 1 1 1 1
P 2 1 1 0 B 2 1 1
2
1 2 1 2
(Matriz ampliada) (Matriz de coeficientes)
2. Se calcula el determinante de la matriz B. Para hallar el valor del determinante, a este
último se lo escalona por filas (se puede utilizar otro método para determinar el valor
del determinante).

3. 1 1 1 F2 F2 2 F1 1 1 1 1
1 1 1
B 2 1 1 0 3 3 F3 F3 F
3 2 0 3 3
F3 F3 F1
1 2 0 1 1 0 0
1 3 0 el sistema es de Cramer
2
3. Se prosigue a calcular el valor de las incógnitas. Los determinantes se pueden calcular
igual que en el paso 2
1 1
0 1 1
2 2
2 2 2
x
3 6 3 6 3 2 3
1 1
2 0 1
2 2
1 4
y ; 2
3 6 3 6
1 1
2 1 0
2 2 2
1 2 3
z ; 2
3 6 3 6 2
Entonces
2 2
4
I. ! solución  2 C.S . , ,
3 3 6 2
4. Ahora bien, veamos qué sucede con el sistema cuando 2 , para ello se reemplaza
el valor de en la matriz ampliada, y luego se escalona por filas
1 1 1 2 1 1 1 2
P 2 1 1 0 F2 F2 2 F1 0 3 3 4
F3 F3 F1
1 2 2 6 0 3 3 8

4. 1 1 1 2
F3 F3 F2 0 3 3 4
0 0 0 4
Entonces
II. tal que el sistema tenga soluciones
III. solución si, 2
Ejercicios Propuestos
1 Determinar los valores de m para que el siguiente sistema:
(2m 2) x (m 1) y (m 3) z 2m 2
(m 1) y (m 1) z 0
mx y z m 1
a) Tenga solución única. Hallarla
b) Tenga más de una solución. Hallarlas
c) No tenga solución
2 Determinar los valores de a para que el siguiente sistema:
(2a 2) x (a 1) y (a 3) z 2
(a 1) y (a 1) z 0
2x y z 1
d) Tenga solución única. Hallarla
e) Tenga más de una solución. Hallarlas
f) No tenga solución