Situaciones que dan origen a funciones cuadráticas

Introducción
 Las funciones cuadráticas son utilizadas en
algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y
Economía. Son útiles para describir movimientos
con aceleración constante, trayectorias de
proyectiles, ganancias y costos de empresas, y
obtener así información sin necesidad de recurrir
a la experimentación.

Un poco de historia
 Siglos antes de resolver algebraicamente la ecuación de
segundo grado, se encontraron soluciones utilizando
un método geométrico, interpretando los términos
como áreas, y distinguiendo varios casos pues no se
conocían los números negativos (y menos aún las áreas
negativas). Se sabe que los matemáticos babilonios
alrededor del 400 a.C y los chinos en el 300 d.C usaban
este método para resolver ecuaciones de segundo
grado con raíces positivas. En torno al 300 d.C Euclides
creó un método geómetrico más general (abstracto).

Situaciones que dan origen a
funciones cuadráticas
 Un terreno rectangular se desea proteger con una
cerca. ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar
con 110 metros de malla?

Temperaturas
 Supongamos que la temperatura de un cierto día
de la ciudad de México luego de t horas pasada la
medianoche está dada por la función:
1 2 0
T(t) = t 4t 10 C
4
¿A qué hora la temperatura
fue máxima?

Proyectiles
 Se arroja un objeto verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 80m/seg. Su altura en función
del tiempo se puede aproximar por la fórmula:
f (t ) 4.9t 2 80t

Características de la función cuadrática
 Una función de la forma: f (x) = a x ² + b x + c
con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una
función cuadrática y su gráfico es una curva llamada
parábola.
 Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación
completa, si a la función le falta el término lineal o
independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Características de la función cuadrática
 En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
f(x)= ax2 + bx + c
Término Término
Término
Cuadrático Independiente
Lineal

Raíces de la función cuadrática
 Las raíces ( o ceros) de
la función cuadrática
son aquellos
valores de x para los
cuales la expresión
vale 0, es decir los
valores de x tales que y
= 0. Gráficamente
corresponden a las
abscisas de los puntos
donde la parábola
corta al eje x. Podemos
ver a continuación que
existen parábolas que
cortan al eje x en:

Simetría
 La parábola
presenta simetría
respecto a una
cierta recta
vertical. Es decir, si
conocemos dos
puntos del gráfico
(x1, p) y (x2, p), el
eje de simetría
pasará por el punto
medio entre estos.

Vértice
 El vértice de la parábola está ubicado sobre la
recta de simetría, de modo que su coordenada x se
calcula:
b
x
2a

Concavidad
 Otra característica es si la parábola es cóncava o
convexa:
Si a > 0 la parábola es Si a < 0 la parábola
cóncava o con ramas es convexa o con
hacia arriba. ramas hacia abajo.

Ahora ya conoces los elementos
que componen a la función
cuadrática y algunas de sus
aplicaciones.