SUMARIZAÇÃO ESTATÍSTICA (2D) 
PARTE 2: VARIÁVEIS NOMINAIS 
Alexandre Duarte - http://alexandre.ci.ufpb.br/ensino/iad
AGENDA 
• Tabelas de Contingência 
• Probabilidade Condicional 
• Índice de Quetelet 
• Coeficiente Chi-Quadrado
TABELA DE CONTINGÊNCIA 
Região Mulheres Homens Total 
Centro-Oeste 1029 2300 3329 
Nordeste 1819 3960 5779 
Norte 1377 305...
VARIÁVEIS NOMINAIS 
Região Sexo 
Estado Nível de Instrução 
Cargo Estado Civil 
Partido Raça
TABELA DE CONTINGÊNCIA: 
CO-OCORRÊNCIAS 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 6 29 26 58 0 119 
...
TABELA DE CONTINGÊNCIA: 
CO-OCORRÊNCIAS 
Frequências marginais: 
soma das linhas = Frequência por Região (Re) 
soma das co...
CONTINGÊNCIA RELATIVA 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 ...
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 6/3329 29/5779 26/4433 58/9542 0...
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 0.002 0.005 0.006 0.006 0.000 11...
CUIDADO! 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 0.002 0.005 0.006 0.006 0.000 119 
Branca 0.549 0...
ÍNDICE DE QUETELET 
• Em casos como este, a probabilidade condicional 
pode não ser a melhor forma de analisar os dados 
•...
ÍNDICE DE QUETELET 
• Permite medir a alteração na frequência relativa 
de Ra a partir da média de Re 
• q(Ra/Re) = [p(Ra/...
ÍNDICE DE QUETELET 
Raça CO NE NO SE SU P 
Branca 0.549 0.427 0.319 0.627 0.876 0.549 
Indígena 0.005 0.004 0.007 0.001 0....
ÍNDICE DE QUETELET 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul P(Re) 
Amarela -60% 10% 29% 33% -100% 0.005 
Branca 0%...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 6 29 26 58 0 119 
Branca 1828 246...
CONTINGÊNCIA RELATIVA 
Dividindo tudo por N 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 0.000 0.001 0....
CONTINGÊNCIA RELATIVA 
Raça Centro- 
Oeste 
Nordeste Norte Sudeste Sul Total 
Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 ...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
• Duas variáveis são independente se e somente se, 
para qualquer k e l : 
• p(Hk ∩ Gl) = p(Hk)p...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
Raça CO NE NO SE S Total 
Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 
Branca 0.070 0.095 0.054 ...
p(Região ∩ Raça) 
Raça CO NE NO SE S 
Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 
Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 
Indígen...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
• O coeficiente Chi-Quadrado de Pearson mede a 
diferença entre o valor medido e o valor esperad...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
• Por que X2? 
• Pearson: Na hipótese das variáveis serem 
independentes na população e de que a...
COEFICIENTE CHI-QUADRADO 
• Aplicando ao nosso caso, temos K=5 e L=5, portanto f = 16. 
• Com f = 16, na hipótese de indep...
Raça CO NE NO SE S 
Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 
Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 
Indígena 0.001 0.001 0.00...
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Sumarização Estatística 2D: Variáveis Nominais

  1. 1. SUMARIZAÇÃO ESTATÍSTICA (2D) PARTE 2: VARIÁVEIS NOMINAIS Alexandre Duarte - http://alexandre.ci.ufpb.br/ensino/iad
  2. 2. AGENDA • Tabelas de Contingência • Probabilidade Condicional • Índice de Quetelet • Coeficiente Chi-Quadrado
  3. 3. TABELA DE CONTINGÊNCIA Região Mulheres Homens Total Centro-Oeste 1029 2300 3329 Nordeste 1819 3960 5779 Norte 1377 3056 4433 Sudeste 2935 6607 9542 Sul 940 2061 3001 Total 8100 17984 26084
  4. 4. VARIÁVEIS NOMINAIS Região Sexo Estado Nível de Instrução Cargo Estado Civil Partido Raça
  5. 5. TABELA DE CONTINGÊNCIA: CO-OCORRÊNCIAS Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 6 29 26 58 0 119 Branca 1828 2466 1416 5987 2630 14327 Indígena 15 21 30 14 4 84 Parda 1215 2662 2582 2481 198 9138 Preta 265 601 379 1002 169 2416 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084
  6. 6. TABELA DE CONTINGÊNCIA: CO-OCORRÊNCIAS Frequências marginais: soma das linhas = Frequência por Região (Re) soma das colunas = Frequência da Raça (Ra)
  7. 7. CONTINGÊNCIA RELATIVA Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 0.549 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.003 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 0.350 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 0.093 Total 0.128 0.222 0.170 0.366 0.115 1 Frequência relativa: proporção entre o número de entidades em uma célula e total de entidades
  8. 8. PROBABILIDADE CONDICIONAL Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 6/3329 29/5779 26/4433 58/9542 0/3001 119 Branca 1828/3329 2466/5779 1416/4433 5987/9542 2630/3001 14327 Indígena 15/3329 21/5779 30/4433 14/9542 4/3001 84 Parda 1215/3329 2662/5779 2582/4433 2481/9542 198/3001 9138 Preta 265/3329 601/5779 379/4433 1002/9542 169/3001 2416 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084 Probabilidade condicional p(Ra/Re): probabilidade do candidato ser da raça Ra dado que ele é da Região Re
  9. 9. PROBABILIDADE CONDICIONAL Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 0.002 0.005 0.006 0.006 0.000 119 Branca 0.549 0.427 0.319 0.627 0.876 14327 Indígena 0.005 0.004 0.007 0.001 0.001 84 Parda 0.365 0.461 0.582 0.260 0.066 9138 Preta 0.080 0.104 0.085 0.105 0.056 2416 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084 As células em destaque são indicativas, especialmente p(Branca/Sul)
  10. 10. CUIDADO! Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 0.002 0.005 0.006 0.006 0.000 119 Branca 0.549 0.427 0.319 0.627 0.876 14327 Indígena 0.005 0.004 0.007 0.001 0.001 84 Parda 0.365 0.461 0.582 0.260 0.066 9138 Preta 0.080 0.104 0.085 0.105 0.056 2416 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084 Porém, é preciso tomar cuidado com conclusões precipitadas! P(Branca) = 0.549!
  11. 11. ÍNDICE DE QUETELET • Em casos como este, a probabilidade condicional pode não ser a melhor forma de analisar os dados • Existe uma característica mais sensível: Índice de Quetelet!
  12. 12. ÍNDICE DE QUETELET • Permite medir a alteração na frequência relativa de Ra a partir da média de Re • q(Ra/Re) = [p(Ra/Re) - P(Ra)] / p(Ra)
  13. 13. ÍNDICE DE QUETELET Raça CO NE NO SE SU P Branca 0.549 0.427 0.319 0.627 0.876 0.549 Indígena 0.005 0.004 0.007 0.001 0.001 0.003 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084 • Condicional: p(Branca, CO) = 0.549 > p(Indígena, CO) = 0.005 • Quetelet: q(Branca, CO) = (0.549 - 0.549) / 0.549 = 0 < q(Indígena, CO) = (0.005 - 0.003) / 0.003 = 0.399
  14. 14. ÍNDICE DE QUETELET Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul P(Re) Amarela -60% 10% 29% 33% -100% 0.005 Branca 0% -22% -42% 14% 60% 0.549 Indígena 40% 13% 110% -54% -59% 0.003 Parda 4% 31% 66% -26% -81% 0.350 Preta -14% 12% -8% 13% -39% 0.093 Um candidato ser da raça Branca na região Sul é 60% mais provável do que ele ser da raça Branca se considerarmos todo o país.
  15. 15. COEFICIENTE CHI-QUADRADO Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 6 29 26 58 0 119 Branca 1828 2466 1416 5987 2630 14327 Indígena 15 21 30 14 4 84 Parda 1215 2662 2582 2481 198 9138 Preta 265 601 379 1002 169 2416 Total 3329 5779 4433 9542 3001 26084 linha e coluna marginal
  16. 16. CONTINGÊNCIA RELATIVA Dividindo tudo por N Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 0.549 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.003 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 0.350 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 0.093 Total 0.128 0.222 0.170 0.366 0.115 1
  17. 17. CONTINGÊNCIA RELATIVA Raça Centro- Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Total Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 0.549 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.003 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 0.350 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 0.093 Total 0.128 0.222 0.170 0.366 0.115 1 Karl Pearson (1867-1936): Teste de independência entre duas variáveis
  18. 18. COEFICIENTE CHI-QUADRADO • Duas variáveis são independente se e somente se, para qualquer k e l : • p(Hk ∩ Gl) = p(Hk)p(Gl) • p(Hk): coluna marginal • p(Gl) linha marginal
  19. 19. COEFICIENTE CHI-QUADRADO Raça CO NE NO SE S Total Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 0.005 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 0.549 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.003 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 0.350 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 0.093 Total 0.128 0.222 0.170 0.366 0.115 1 • Vamos checar se p(S ∩ Branca) = P(s)P(Branca) 0.101 0.115 * 0.549 = 0.063 • A diferença 0.101 - 0.063 = 0.038, moderada, indica que ser da raça branca e da região sul do país ocorre mais frequentemente do que ocorreria se as variáveis fossem independentes: uma relação positiva
  20. 20. p(Região ∩ Raça) Raça CO NE NO SE S Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 p(Região)p(Raça) Raça CO NE NO SE S Amarela 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 Branca 0.070 0.122 0.093 0.201 0.063 Indígena 0.000 0.001 0.001 0.001 0.000 Parda 0.045 0.078 0.060 0.128 0.040 Preta 0.012 0.021 0.016 0.034 0.011 Correlação fraca: apenas 3 valores diferem em cerca de 0.04
  21. 21. COEFICIENTE CHI-QUADRADO • O coeficiente Chi-Quadrado de Pearson mede a diferença entre o valor medido e o valor esperado na hipótese de independência utilizando a seguinte expressão: X2 = (p(Hk∩Gl)− p(Hk)p(Gl))2 L Σ k=1 ;l=1 p(Hk)p(Gl) K Σ
  22. 22. COEFICIENTE CHI-QUADRADO • Por que X2? • Pearson: Na hipótese das variáveis serem independentes na população e de que a amostra tenha sido coletada de forma aleatória, a função de densidade de probabilidade NX2 tende a seguir uma distribuição χ2 com f=(K-1)(L-1) graus de liberdade
  23. 23. COEFICIENTE CHI-QUADRADO • Aplicando ao nosso caso, temos K=5 e L=5, portanto f = 16. • Com f = 16, na hipótese de independência das variáveis, há 1% de chance de o valor NX2 ser maior do que 32 • No nosso caso X2 = 0.122962 , N = 26084, portanto, NX2 = 3207.3 • Portanto, podemos rejeitar com 99% de confiança a hipótese da independência. • Se tivéssemos apenas 250 candidatos não seria possível rejeitar a hipótese da independência entre as variáveis
  24. 24. Raça CO NE NO SE S Amarela 0.000 0.001 0.001 0.002 0.000 Branca 0.070 0.095 0.054 0.230 0.101 Indígena 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 Parda 0.047 0.102 0.099 0.095 0.008 Preta 0.010 0.023 0.015 0.038 0.006 Raça CO NE NO SE S Amarela 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 Branca 0.070 0.122 0.093 0.201 0.063 Indígena 0.000 0.001 0.001 0.001 0.000 Parda 0.045 0.078 0.060 0.128 0.040 Preta 0.012 0.021 0.016 0.034 0.011 Não se recomenda utilizar o Chi-Quadrado como medida para a associação entre duas variáveis.

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