1. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Mod´elisation de strat´egies en finance de
march´e
S´eance 11 : Approche moyenne-variance de Markowitz
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
´Ecole de gestion
Universit´e de Sherbrooke
Le 29 mars 2017
2. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de mati`ere
Mod`ele de Markowitz
Fronti`ere efficiente de Markowitz
Portefeuille optimal
Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
3. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de mati`ere
Mod`ele de Markowitz
Fronti`ere efficiente de Markowitz
Portefeuille optimal
Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
4. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuille : le rendement et la variance
Rπ
t2,t1
=
N
i=1
ωi R
(i)
t2,t1
, R
(i)
t2,t1
=
P
(i)
t2
P
(i)
t1
− 1, ωi ≡
V
(i)
t1
V π
t1
µπ =
N
i=1
ωi ER
(i)
t2,t1
, σ2
π =
N
i=1
N
j=1
ωi ωj cov R
(i)
t2,t1
, R
(j)
t2,t1
µπ = ωT
1×N
· µ
N×1
, σ2
π = ωT
1×N
· Σ
N×N
· ω
N×1
, ωT
1×N
· 1
N×1
= 1
Pour deux actifs :
µπ = ωT
µ = ω1µR1 + ω2µR2 , ωT
1 = ω1 + ω2 = 1
σ2
π = ωT
Σω = ω2
1σ2
R1
+ ω2
2σ2
R2
+ 2ω1ω2σR1R2
5. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : deux actifs
0.0135 0.014 0.0145 0.015
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
x 10
−4
RB
CN
σπ
µπ
6. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : diversification
0 0.005 0.01 0.015
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN
7. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
4
5
6
7
x 10
−4
RB
IO
CN
σπ
µπ
8. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : deux actifs, vente `a d´ecouvert permise
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
5
6
7
8
9
x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN
9. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs, vente `a d´ecouvert permise
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
RB
IO
CN
10. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Ensemble de portefeuilles en Matlab
mu = nanmean(r, 1)’;
sigma = nancov(r);
g = -1:0.05:2;
%g = 0:0.05:1;
[w1 w2] = meshgrid( g, g );
w = [ w1(:) w2(:) ]’;
w(3, :) = 1 - sum( w, 1 );
%w = w( :, w(3,:) >= 0 );
mu_p = w’ * mu;
sigma_p = zeros( size(mu_p) );
for i = 1:length(sigma_p)
sigma_p(i) = sqrt( w(:,i)’ * sigma * w(:,i) );
end
11. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de mati`ere
Mod`ele de Markowitz
Fronti`ere efficiente de Markowitz
Portefeuille optimal
Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
12. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
Le probl`eme d’optimisation :
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
µ = µπ, ωT
1 = 1
Le Lagrangien :
L = ωT
Σω − λ1 ωT
µ − µπ − λ2 ωT
1 − 1 → min
ω,λ1,λ2
Le gradient :
∂L
∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N
Le syst`eme d’´equations pour ω, λ1, λ2 :
2Σω − λ1µ − λ21 = 0
ωTµ = µπ
ωT1 = 1
13. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique (1)
ω∗
=
1
2
Σ−1
(λ1µ + λ21)
ω∗T
µ =
1
2
λ1µT
+ λ21T
Σ−1
µ = Aλ1 + Bλ2
ω∗T
1 =
1
2
λ1µT
+ λ21T
Σ−1
1 = Bλ1 + Cλ2
A =
1
2
µT
Σ−1
µ, B =
1
2
µT
Σ−1
1, C =
1
2
1T
Σ−1
1
Aλ1 + Bλ2 = µπ
Bλ1 + Cλ2 = 1
14. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique (2)
Aλ1 + Bλ2 = µπ
Bλ1 + Cλ2 = 1
λ1 =
Cµπ − B
AC − B2
, λ2 =
A − Bµπ
AC − B2
ω∗
=
(Cµπ − B) Σ−1µ + (A − Bµπ) Σ−11
2 (AC − B2)
σ2
π =
(Cµπ − B)2
2 (AC − B2)
+
1
2C
15. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : la fronti`ere efficiente
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
16. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−5 0 5 10
x 10
−4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
µπ
ω∗
RB
IO
CN
17. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Minimum global de la variance
ωmgv = Σ−1
1 2C, µmgv = B/ C, σ2
mgv = 1 /2C
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
18. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique en Matlab
s_inv = inv( sigma );
un = ones( size( mu ) );
A = mu’ * s_inv * mu / 2;
B = mu’ * s_inv * un / 2;
C = un’ * s_inv * un / 2;
W = ( s_inv * mu * ( C * mu_p - B ) + ...
s_inv * un * ( A - B * mu_p ) ) / 2 ...
/ ( A * C - B^2 );
sigma_p = sqrt( ( C * mu_p - B ) .^ 2 / 2 / C ...
/ ( A * C - B^2 ) + 1 / 2 / C);
19. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de mati`ere
Mod`ele de Markowitz
Fronti`ere efficiente de Markowitz
Portefeuille optimal
Portefeuille optimal avec l’actif sans risque
20. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs + actif sans risque
0 0.02 0.04 0.06 0.08
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10
−3
σπ
µπ
RB
IO
CN
Rf
21. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
Si un des actifs est sans risque, la matrice Σ−1 n’existe pas.
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
µ + ω0Rf = µπ, ωT
1 + ω0 = 1
L = ωT
Σω − λ1 ωT
µ + ω0Rf − µπ − λ2 ωT
1 + ω0 − 1
∂L
∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . . N
−λ1Rf − λ2 = 0
2Σω − λ1µ − λ21 = 0
ωTµ + ω0Rf = µπ
ωT1 + ω0 = 1
λ1Rf + λ2 = 0
22. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique
Aλ1 + Bλ2 + Rf ω0 = µπ
Bλ1 + Cλ2 + ω0 = 1
Rf λ1 + λ2 = 0
λ1 =
µπ − Rf
A
, λ2 = −Rf
µπ − Rf
A
ω∗
= (µπ − Rf )
1
2Σ−1 (µ − Rf 1)
A
, ω∗
0 = 1 − (µπ − Rf )
B
A
A =
1
2
(µ − Rf 1)T
Σ−1
(µ − Rf 1) , B =
1
2
1T
Σ−1
(µ − Rf 1)
σ2
π =
(µπ − Rf )2
2A
, σπ =
|µπ − Rf |
√
2A
23. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : la fronti`ere efficiente
0 0.02 0.04 0.06 0.08
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10
−3
σπ
µπ
RB
IO
CN
Rf
24. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−2 −1 0 1 2 3 4
x 10
−3
−5
0
5
µπ
ω∗
RB
IO
CN
Rf
25. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Position de la fronti`ere efficiente
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
26. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuille de march´e : ω∗
0 = 0
ωM =
1
2B
Σ−1
(µ − Rf 1) , µM = Rf +
A
B
, σ2
M =
A
2B 2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10
−4
σπ
µπ
27. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuilles efficients : la covariance
Covariance de deux portefeuilles sur la fronti`ere
efficiente
cov Rπ
, Rπ
= ωT
Σω =
1
2A
(µπ − Rf ) µπ − Rf
La formule de CAPM est vraie pour toutes les paires de
portefeuilles efficients, y compris celui de march´e
βπ,π =
cov Rπ, Rπ
σ2
π
=
(µπ − Rf ) (µπ − Rf ) /(2A )
(µπ − Rf )2
/(2A )
=
µπ − Rf
µπ − Rf
28. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Mod`ele de
Markowitz
Fronti`ere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Extensions possibles
Contraintes, par exemple
la vente `a d´ecouvert n’est pas permise,
limites sur l’exposition `a certaines classes d’actifs, . . .
Taux d’int´erˆet sans risque sont diff´erents pour le prˆet et
le d´epˆot
D’autres objectifs pour l’optimisation, par exemple,
CVaR
Pour plus de possibilit´es en Matlab, voir
http://www.mathworks.com/help/finance/asset-
allocation-and-portfolio-optimization.html