1. Distribuciones de probabilidad
Alejandra Ríos Zamora
2°D
Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

2. Distribución Distribución Distribución
Bernoulli Binomial Poisson
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento si éste se
llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se
realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la
prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de
acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenómenos naturales
Distribución Distribución Distribución T
Normal Gamma de student

3. Un ensayo bernoulli es un Para cualquier ensayo de
bernoulli se define a la variable
experimento que tiene dos aleatoria x así: si el
resultados experimento propicio “éxito” ,
entonces x = 1. De lo contrario,
x = 0. De ahí que x sea una
variable aleatoria discreta, con
Al primero función de masa de
Y al otro probabilidad p(x)
se e llama
“fracaso”
“éxito”
La Por
probabilidad consecuencia, P(0) =P(X = 0) = 1-P
la probabilidad
de “éxito” se de “fracaso” es
P(1) =P(X = 1) =P
denota por P 1-P
Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
Media = P
Varianza = P(1-P)

4.  Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en
“cara”. Sea X = 1, si la moneda cae en “cara” y X = 0, si cae en “cruz”. ¿Cuál es la
distribución de X ?
 Probabilidad de que caiga “cara” = .5 ó 50%
Eventos Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.5 ó 50%
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.5 ó 50%
La probabilidad de éxito, P(X = 1),
es igual a 0.5 . Por lo tanto,
X~ Bernoulli (0.5)
Media: =P 0.5
Varianza: = P(1-P) 0.25

5.  En un restaurante de comida rápida, 25% de las ordenes para beber es una bebida
pequeña, 35% una mediana y 40% una grande.
 Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0 en
cualquier otro caso.
 Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso.
 Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y Z = 0 en cualquier otro caso.
Eventos Si la bebida es pequeña Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.25 Media: =P 0.25
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75 Varianza: = P(1-P) 0.1875
Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad
Y=1 P(1) =P(Y = 1) =P 0.35 Media: =P 0.35
Y=0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65 Varianza: = P(1-P) 0.2275
Eventos Si la bebida es pequeña o Probabilidad
mediana
Z=1 P(1) =P(Z = 1) =P 0.60 Media: =P 0.60
Z=0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40 Varianza: = P(1-P) 0.24

6.  Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no
defectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En la práctica, es posible
extraer varios componentes de una gran población y contar el número de
elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de bernoulli
independientes y contar el número de éxitos. El número de éxitos es una
variable aleatoria, que tiene una distribución binomial.
 Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de bernoulli, cada uno
con la misma probabilidad de éxito p. además, suponga que los ensayos
son independientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influyen en
los resultados de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X
igual al número de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución
binomial con parámetros n y p. la notación es X~Bin(n,p). X es una
variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1……n.

7. Entonces X tiene
Cada ensayo la distribución
Se realiza un total X es el numero
Los ensayos son tiene la misma binomial con
de n ensayos de de éxitos en los
independientes probabilidad de parámetros n y p,
bernoulli y si: n ensayos
éxito p que se denota
como X~Bin(n,p)
Si X ~Bin (n,p), la función de masa de probabilidad de X es:
P(X) = P(X = x) =

8. Se lanza al aire 8 veces un dado. Determine la probabilidad de que no salga
mas de dos números seis.
Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una
probabilidad de éxito de 1/6.
Sea X el número de seises en los 8 lanzamientos. Entonces X~ Bin (8 1/6).
Se necesita determinar a P(X=0), P(X=1) y P(X=2)
P(X=0)
0.2326
P(X=1) 0.3721
0.2605
P(X=2)

9.  Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande, en la
cual 10% de los elementos esta defectuosa
 Sea X~ Bin(5, 0.1). Determine
X Valores de la formula Sustituir formula Resultado
0 n=5 p=0.1X=0 (5!/0!(5-0)!)(0.10)(1-0.1) 5-0 0.59049
1 n=5 p=0.1X=1 (5!/1!(5-1)!)(0.11)(1-0.1) 5-1 0.32805
2 n=5 p=0.1X=2 (5!/2!(5-2)!)(0.12)(1-0.1) 5-2 0.0729
3 n=5 p=0.1X=3 (5!/3!(5-3)!)(0.13)(1-0.1) 5-3 0.0081
4 n=5 p=0.1X=4 (5!/4!(5-4)!)(0.14)(1-0.1) 5-4 0.00045
5 n=5 p=0.1X=5 (5!/5!(5-5)!)(0.15)(1-0.1) 5-5 0.00001

10. La distribución de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una
manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando
n es grande y p es pequeño. Esto se muestra con un ejemplo:
Una masa contiene 10 000 átomos de una sustancia radiactiva. La probabilidad de
que cierto átomo decaiga en un periodo de un minuto es 0.0002. Sea X el número de
átomos que decae en un minuto. Se puede considerar a cada átomo como un ensayo
de bernoulli, en lo que el éxito ocurre si el átomo decae. Por tanto, X es el numero de
éxitos en 10 000 ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de
éxito de 0.0002, de tal forma que la distribución de X es Bin (10 000, 0.0002). La
media de X es µx =(10 000)(0.0002) = 2.
Otra masa contiene 5 000 átomos y cada uno de estos tiene probabilidad de 0.0004
de decaer en un intervalo de un minuto. Se Y el numero de átomos de esta masa
que decae en un minuto.
Por lo tanto Y ~ Bin(5 000, 0.0004) y µy = (5 000)(0.0004)=2.

11. En cada uno de estos casos, el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p
son diferentes, pero el número promedio de éxitos, que es igual al producto np, es el
mismo. Ahora suponga que se quiere calcular la probabilidad de que solo tres
átomos decaigan en un minuto para cada uno de estas masas. Mediante la función
de masa de probabilidad binomial, se calcula de la siguiente manera:

12. Estas probabilidades son casi iguales entre sí. Aunque a partir de la fórmula de la
función de masa de probabilidad binomial esto no es obvio, cuando n es grande y p
es pequeño la función de masa depende por completo de la media np, y muy pocos
de los valores específicos de n y p. por consiguiente, se puede aproximar la función
de masa binomial con una cantidad que dependa solo del producto np.
Específicamente, si n es grande y p es pequeña, y λ =np, se puede demostrar
mediante métodos avanzados que para toda las X.

13. Esto conduce a la definición de una nueva función de probabilidad, denominada
función de masa de probabilidad de poisson, que se define mediante
Siempre y cuando X
sea un numero entero
y no negativo

14.  Si X ~Poisson (3), calcule: P(X = 2), P(X = 10), P(X = 0), P(X = -1) y P(X = O.5)
λ
X debe
X no ser un
debe ser numero
negativo entero

15.  Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto
proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el
número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tiene
estos defectos determine P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5)
λ =np =(10 0008)(0.03%)
λ=3
P(X = x) Sustitución de la Resultado
formula
P(X = 1) e-3 (31/1!) 0.149361205
P(X = 2) e-3 (32/2!) 0.224041807
P(X = 3) e-3 (33/3!) o.224041807
P(X = 4) e-3 (34/4!) 0.168031355
P(X = 5) e-3 (35/5!) 0.100818813

16.  Si X ~Poisson (6), calcule: P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) y P(X = 4)
λ
P(X = x) Sustitución de la Resultado
formula
P(X = 0) e-6 (60/0!) 0.002478752
P(X = 1) e-6 (61/1!) 0.014872513
P(X = 2) e-6 (62/2!) 0.044617539
P(X = 3) e-6 (63/3!) 0.089235078
P(X = 4) e-6 (64/4!) 0.133852617

17.  Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su
gráfica es la campana de Gauss:
 El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
 Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
 La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
 Distribución normal estándar
 N (0, 1)
 La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene
por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
 La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la
figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

18.  Tipificación de la variable
 Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue
una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
 La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable
tipificada.
 Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).
 Φ (k) = P (z ≤ k)

19.  Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas
a) 1 – 0.1977 = 0.8023
b) 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
c) 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
d) 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

20. Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con
media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra?
c) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90
a) Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
b) la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
c) z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 está en el percentil 91
d) z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

21. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con
media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga
resistencia mayor a 12 Gpa?
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4
a) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =
0.0764
b) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
c) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

22. 4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo,
cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración
optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL,
el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día.
a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye
normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en qué
proporción de días se suspenderá el proceso?
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se
distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de
0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción
perdida?
RESULTADOS
a) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
b) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

23. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de
12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En qué valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En qué valor debe fijarse la
media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?
RESULTADOS
a) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
b)Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
c)– 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

24.  La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está
interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de
Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta
obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
 Gamma(a,p).

 Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de
la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
 Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”.
Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad,
mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica
“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

25. .
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
a : Escala 60000 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
p : Forma 20000 Varianza 0,0556
Punto X Moda 0,1667
10000
La probabilidad de que transcurra menos de una hora
hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

26.  Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor
que 0,1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de,
aproximadamente, 10 años

30. •Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio
de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta
persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae
entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta
afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25
focos cuya duración fue?:

31. Aquí se encuentran las muestras que se tomaron para resolver el problema.

32. Solución:
Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo
siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con
los datos con los que contamos.
Tendremos que sustituir los datos
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Procedimiento: se demostrara la forma en que se sustituirán los datos.
 VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.07 25
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90% = 10%
 S=12.07


33.  En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de
probabilidad que surge del problema de estimar la media de
una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
 Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de
las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de
confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se
desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de
los datos de una muestra.
 La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
Donde
Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable
aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con
parámetro de no-centralidad

34. Supongamos que X1,..., Xn son variables
aleatorias independientes distribuidas normalmente,
con media μ y varianza σ2. Sea
La media muestral. Entonces sigue Sin embargo, dado que la
una distribución normal de media 0 y desviación estándar no siempre
varianza 1. es conocida de
antemano, Gosset estudió un
cociente relacionado,

35. 1. Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar 𝜇 𝑇
4
𝜇𝑡 = =8
0.5
b) Determinar 𝜎 𝑇
4 2
𝜎𝑇 = =4
0.5
c) Determinar P(T≤ 1)
4−1 0.5 1 𝑗
P(T< 1) = 1 − 𝑗 =0 𝑒 − 0.5 1
𝑗!
(0.5)(1) 0 (0.5)(1) 1 (0.5)(1) 2 0.5 1 3
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)
0! 1! 2! 3!
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T≥ 4)
4−1 0.5 3 𝑗
P(T< 1) = 1 − 𝑗 =0 𝑒 − 0.5 3
𝑗!
(0.5)(3) 0 (0.5)(3) 1 (0.5)(3) 2 0.5 3 3
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
0! 1! 2! 3!
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344

36. 1. Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar 𝜇 𝑇
1 2
𝜇 𝑇 = 2! = = 0.6667
3 3
b) Determinar 𝜎 𝑇
12 1
𝜎𝑇 = ( ) 4! − (2!)2 = ( ) 24 − 4 = 1.4907
3 9
c) Determinar P(T> 5)
0.5 −150.5
P (T>5) =1-P(T≤1) = 1 – e- (3)(1) = 1 − 𝑒 = 0.0208

37. 1. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure
Observation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con
la distribución de Weibull con parámetros 𝛼 = 2.25 𝑦 𝛽 = 4.474𝑋10−4
a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas
0.0004474 1000 2.25
𝑃 𝑇 > 1000 = 1 − 𝑃 𝑡 ≤ 1000 = 1 − 1 − 𝑒 − = 0.8490
b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas
0.0004474 2000 2.25
P(T<2000)= P(T≤ 2000) = 1 − 𝑒 ) = 0.5410
c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en
T=2000 horas?
h(t) =𝛼𝛽 𝛼 𝑡 𝛼−1 = 2.25 0.00044742.25 20002.25−1 = 8.761𝑋10−4

38. 1. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema
computacional tiene una distribución de Weibull con 𝛼 = 1.5 𝑦 𝛽 = 0.0001
a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000
horas?
(0.0001)(10 000) 1.5 (0.0001)(10 000) 1.5
P(T>10 000 ) =1 –(1-𝑒 − )= 𝑒 − =0.3679
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000
horas?
0.0001 5000 1.5
P(t<5000) =P(T≤ 5000) = 1 − 𝑒 = 0.2978

39. 5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno
de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones
de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una
distribución Weibull con 𝛼 = 2 𝑦 𝛽 = 0.2
a) Determine P(𝑋1 > 5)
0.2 5 2
P(𝑋1 > 5) = 1 − 𝑝 𝑋1 ≤ 5 = 1 − (1 − 𝑒 − = 𝑒 −1 = 0.1353
b) Determine P(T≤5)
P(T≤ 5) = 1 − 𝑃(𝑇 > 5) = 1 − 𝑒 −2 =0.8647
c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus
parametros?
Si, T~ Weibull (2, 0.08) = 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 (2, 0.2828)