II. Programação Linear (PL) <ul><li>Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT). </li></ul><ul><ul><li>Definição e apresen...
Problema de Transporte. Exemplo Protótipo <ul><li>Um dos principais produtos da firma Lactosal é  o leite . Os pacotes de ...
Problema de Transporte. Exemplo Protótipo <ul><li>Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-a...
Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo.  <ul><ul><ul><ul><li>Minimizar   z =  x 11   +  2  x 12   +  3  x...
Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. <ul><li>A matriz das restrições do problema de transpor...
Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo. Fábricas Armazéns 1 2 3 1 2 3 4 c 11 x 11 c 34 x 34
Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas   m origens 4 armazén...
Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT x ij  cargas a distribuir  da  fábrica  i   para o armazém  j   x ij   ...
Problema de Transporte. Caso Equilibrado. Oferta total = Procura total Um problema de transporte está  equilibrado  se  a ...
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Problema de Transporte. Formulação como problema de PL. Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura
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Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte. Este problema reformulado como problem...
Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total Origem fictícia Destino Origem 1  2  …  n  Oferta 1 2 . . . ...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de agua. <ul><li>Uma empresa administra a distri...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Os dados dos custos e requerimentos par...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. <ul><li>Este problema pode ser reformul...
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Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.  Como a oferta total é inferior à procu...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Para  satisfazer as necessidades mínimas de água...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Cidade 2 :   procura = necessidade  Esta cidade ...
Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T. O rio fictício está penalizado para a cidade 2 A cid...
Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1). <ul><ul><li>Se um problema de transporte  está equilibrado , i.e., a...
Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2). <ul><ul><li>A base correspondente a qualquer SBA do problema de tran...
Base e Solução Básica Admissível para o PT. Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6,  qualquer base  B   tem ...
Uma Solução básica Admissível para o PT. X B x 11   x 12     x 22   x 23 x 33 x 34   6  7   8 6 10 7   = Uma SBA do proble...
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Problema de Transporte

  1. 1. II. Programação Linear (PL) <ul><li>Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT). </li></ul><ul><ul><li>Definição e apresentação sobre forma de rede. </li></ul></ul><ul><ul><li>Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. Exemplos </li></ul></ul><ul><ul><li>Propriedades fundamentais. </li></ul></ul>
  2. 2. Problema de Transporte. Exemplo Protótipo <ul><li>Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite . Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns </li></ul><ul><li>Conhecendo os custos de transporte , a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: </li></ul><ul><li>OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE. </li></ul>
  3. 3. Problema de Transporte. Exemplo Protótipo <ul><li>Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes : </li></ul>24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de camião Armazéns 10 1 2 2 0 3 7 4 4 4 4 4 1 1 7 3 2 2 6 2 3 3 Procura 8 2 6 1 Oferta Fábricas
  4. 4. Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. <ul><ul><ul><ul><li>Minimizar z = x 11 + 2 x 12 + 3 x 13 + 4 x 14 + 4 x 21 + 3 x 22 + 2 x 23 + 4 x 24 + 2 x 32 + 2 x 33 + x 34 </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 6 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 8 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 10 </li></ul><ul><li>x 11 + x 21 + x 31 = 4 x 12 + x 22 + x 32 = 7 x 13 + x 23 + x 33 = 6 x 14 + x 24 + x 34 = 7 </li></ul><ul><li>x ij  0 ( i =1,2,3; j =1,2,3,4 ) </li></ul>
  5. 5. Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. <ul><li>A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura: </li></ul>x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 A=
  6. 6. Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo. Fábricas Armazéns 1 2 3 1 2 3 4 c 11 x 11 c 34 x 34
  7. 7. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas m origens 4 armazéns n destinos Produção da fábrica i a i oferta da origem i Procura no armazém j b j procura no destino j Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j c ij custo por unidade transportada da origem i para o destino j
  8. 8. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT x ij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j x ij unidades a distribuirda origem i para o destino j Determinar o plano óptimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objectivo a minimização do custo total Determinar o plano óptimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objectivo a minimização do custo total
  9. 9. Problema de Transporte. Caso Equilibrado. Oferta total = Procura total Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado .
  10. 10. Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo Oferta total = Procura total Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado. Destino Origem 1 2 3 4 Oferta 1 2 3 6 8 10 Procura 4 7 6 7 24 =24 1 2 4 4 3 4 x 11 x 12 x 14 x 21 x 22 x 24 3 x 13 2 x 23 0 2 1 x 31 x 32 x 34 2 x 33
  11. 11. Problema de Transporte. Formulação como problema de PL. Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura
  12. 12. Problema de transporte sob a forma de rede. Origens Destinos c 11 x 11 c ij x ij c mn x mn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nodos e arcos. Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. a 1 a i a m b 1 b j b n 1 i m . . . . . . 1 j n . . . . . .
  13. 13. Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições. O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições : A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1) e zeros (0) . Cada variável x ij tem como coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j restrições dos destinos restrições das origens x 11 x 12 ... x 1n x 21 x 22 ... x 2n … x m1 x m2 ... x mn A= . . . . . .
  14. 14. Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total Adicionar destino fictício Destino Origem 1 2 … n n+1 Oferta 1 2 . . . m a 1 a 2 . . . a m Procura b 1 b 2 … b n  a i -  b j c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … . . . . . . . . . 0 0 0 x 1 n+1 x 2 n+1 x m n+1
  15. 15. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. <ul><li>Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião. </li></ul><ul><li>Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano óptimo de produção dos motores para os próximos quatro meses. </li></ul>
  16. 16. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. <ul><li>Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: </li></ul>os custos em milhões de dólares 0.015 1.10 30 25 3 10 35 25 Produção máxima 1.13 1.11 1.08 Custo unitário de produção 20 15 10 Instalações programadas 0.015 4 0.015 2 1 Custo unitário de armazenamento Mês
  17. 17. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. <ul><li>Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: </li></ul><ul><ul><li>Origem i - produção de motores no mês i ( i =1,2,3,4) </li></ul></ul><ul><ul><li>Destino j - instalação de motores no mês j ( j= 1,2,3,4 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>x ij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>x ij = 0 , se i > j (primeiro produzir, depois instalar) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>c ij - custo por unidade de produção e armazenamento </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>c ij = M , se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande. </li></ul></ul></ul>
  18. 18. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de ofertas. <ul><li>As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i . Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês. </li></ul>Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade. Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício , em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês . x 11 + x 12 + x 13 + x 14  25 x 21 + x 22 + x 23 + x 24  35 x 31 + x 32 + x 33 + x 34  30 x 41 + x 42 + x 43 + x 44  10
  19. 19. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras. <ul><li>As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j . Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês. </li></ul>Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes a i >j devem ser nulas . Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande , tal como no método do “big M”. x 11 + x 21 + x 31 + x 32 = 10 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 15 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 25 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 20
  20. 20. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte. Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento. Por exemplo para a variável x 24 que representa o número de motores produzidos no mês 2 a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c 24 = 1.11 + 0.015+0.015 =1.140 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a : Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u.
  21. 21. Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total Origem fictícia Destino Origem 1 2 … n Oferta 1 2 . . . m m+1 a 1 a 2 . . . a m Procura b 1 b 2 … b n  b j -  a i c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … . . . . . . . . . 0 0 0 x m+1,1 x m+1,2 x m+1,n …
  22. 22. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de agua. <ul><li>Uma empresa administra a distribuição de água duma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades . </li></ul><ul><li>Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades , de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total. </li></ul>
  23. 23. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes: os custos por unidade de medida. <ul><li>A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas </li></ul><ul><li>O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível . Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande. </li></ul><ul><li>A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m. </li></ul>10 0 70 30 Necessidades mínimas  - 15 17 4 50 23 20 19 3 70 13 13 2 30 19 22 3 50 14 16 1 Procura 60 2 50 1 Fornece Cidade Rio
  24. 24. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. <ul><li>Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: </li></ul><ul><ul><li>Origem i – o rio i ( i =1,2,3) </li></ul></ul><ul><ul><li>Destino j – a cidade j ( j= 1,2,3,4 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>x ij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j </li></ul></ul><ul><ul><li>c ij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j </li></ul></ul>
  25. 25. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de ofertas. <ul><li>As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio. </li></ul>x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 50 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 60 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 50
  26. 26. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura. <ul><li>As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima). </li></ul>x 11 + x 21 + x 31  50 Cidade 1 : procura > necessidade x 11 + x 21 + x 31  30 limite inferior limite superior Cidade 2 : procura = necessidade x 12 + x 22 + x 32 = 70 x 13 + x 23 + x 33  30 Cidade 3 : procura > necessidade limite superior Cidade 4 : procura > necessidade x 14 + x 24 + x 34  10 limite inferior x 14 + x 24 + x 34  60 limite superior O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (30+ 70 =100)  160 - 100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 para além da necessidade mínima )
  27. 27. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte. Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades.
  28. 28. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício. Cidade 3 : Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada. Cidade 4 : procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.
  29. 29. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Cidade 2 : procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício . Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2. Cidade 1 : procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos : um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado ) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.
  30. 30. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T. O rio fictício está penalizado para a cidade 2 A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a cidade 1'. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte:
  31. 31. Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1). <ul><ul><li>Se um problema de transporte está equilibrado , i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis . </li></ul></ul><ul><ul><li>Se um problema de transporte não está equilibrado ,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado. </li></ul></ul><ul><ul><li>O problema de transporte tem sempre óptimo finito . </li></ul></ul><ul><ul><li>Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes , existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes. </li></ul></ul>
  32. 32. Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2). <ul><ul><li>A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros. Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1 , a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros , pois apenas exige adições e subtracções . </li></ul></ul>1 1 0 … 0 0 0 1 1 … 0 0 0 0 1 … 0 0 ... 0 0 0 … 1 1 0 0 0 … 0 1 B=
  33. 33. Base e Solução Básica Admissível para o PT. Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P 11 , P 12 , P 22 , P 23 , P 33 , P 34 e eliminando à restrição 4. Trocando as linhas obtém-se uma matriz B triangular P 11 P 12 P 13 P 14 P 21 P 22 P 23 P 24 P 31 P 32 P 33 P 34 (1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 (4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A= P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (5) 0 1 1 0 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (7) 0 0 0 0 0 1 B = P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 B =
  34. 34. Uma Solução básica Admissível para o PT. X B x 11 x 12 x 22 x 23 x 33 x 34 6 7 8 6 10 7 = Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata : P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 x 34 =7 x 33 + x 34 =10 x 23 + x 33 = 6 x 33 =3 x 23 =3 x 22 + x 23 = 8 x 22 =5 x 12 + x 22 = 7 x 12 =2 x 11 + x 12 = 6 x 11 =4

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