Equações literais

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Equações literais

  1. 1. EquaçõEs litErais
  2. 2. Observa as equações seguintes: 3x + 7 y = 1 3x + 7 z = y 3x + 7 = 0As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não éuma equação literal.Então, qual será a definição de equação literal? Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é, pelo menos 2 incógnitas.
  3. 3. Exemplos de equações literais:•A equação y = 6 x + 2 que representa uma reta não vertical (função afim)•A equação y = 6x que representa uma reta que passa na origem do referencial (função linear). (equações do 1.º grau com duas incógnitas) Geogebra Quantas soluções têm? •As fórmulas: b×h ( B + b) × h A = l2 A= A= 2 2 que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e do trapézio. • A equação da relatividade E = mc2. •A fórmula do teorema de Pitágoras a = b + c 2 2 2
  4. 4. Como resolver equações literais? As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.Exemplo I:Observa a figura: Perímetro 12 cm y A figura sugere a seguinte equação, 2 x + 2 y = 12 xComo a equação tem duas variáveis x e y, podemos resolvê-la em ordem ax ou em ordem a y, isto é: Nota: Quando uma letra é 2 x + 2 y = 12 ⇔ a incógnita, as outras letras ⇔ 2 x = 12 − 2 y ⇔ funcionam como se fossem números. 12 − 2 y ⇔x= ⇔ 2 ⇔ x = 6− y Resolvida em ordem a x
  5. 5. Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isoladanum dos membros da equação, neste caso no 1.º membro. y 2 x + 2 y = 12 ⇔ Perímetro 12 cm ⇔ 2 y = 12 − 2 x ⇔ x 12 − 2 x ⇔y= ⇔ 2 Resolvida em ordem a y. ⇔ y = 6− x Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis? Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento? Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a x (é a incógnita, o valor desconhecido) Assim, é muito fácil dar a resposta. x = 6− y O comprimento é 4. x = 6−2 ⇔ x = 4
  6. 6. Mas, se a pergunta fosse: Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura? Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y. y = 6− x y = 6−3 ⇔ y = 3Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessaresolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber asua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.Conclusão:Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável)que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letrasfuncionam como números (valores dados).As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveisna resolução de equações literais.
  7. 7. Assim, a equação tem uma A=100 m2 l infinidade de soluções. cc = 100 → l = 1 c × l = 100 mas,c = 50 → l = 2 c × l = 100 mas, c = 25 → l = 4 c × l = 100 mas,c = 20 → l = 5 c × l = 100 mas, c = 12,5 → l = 8 c × l = 100 …
  8. 8. Equações do 1.º grau com duas incógnitas. ax+by=c; a, b e c As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de números. x+2y=9 S=(1,4) Uma solução S=(0, 9/2) Outra solução Quantas soluções têm? Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0, b=0 e c ). Cuidado: No contexto deRelacionar com as funções afins, reta, problemas nem sempretodos os pontos que estão sobre a todas as soluçõesreta são soluções da equação. servem. Dar ex.
  9. 9. Exemplo II A equação E=mc2 em que: E- energia m- quantidade de matéria c- velocidade da luzDescoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandesquantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bombaatómica é um dos frutos desta equação.Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c. EE = mc ⇔ 2 E = mc ⇔ c = ⇔ 2 2 m E mc 2 E⇔ 2 = 2 ⇔m= 2 E c c c ⇔c=± m Resolvida em ordem a m. Resolvida em ordem a c.
  10. 10. Exemplo IIIA fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.Resolve a equação em ordem a c.Neste caso, c é a incógnita.Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se. V c.l.h = ⇔ lh lh ⇔ c =V lh
  11. 11. Exemplo IVResolve a equação em ordem a h.Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossemnúmeros. A= ( B + b) × hA área de um trapézio é dada pela fórmula 2 B+b 2A A= × h ⇔ 2 A = ( B + b) h ⇔ h = 2 B+b Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo: Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm. 2 ×10 h= = 4 cm 4 +1
  12. 12. Exercícios: 5 y 2. Resolve em ordem a x, a equação ( y − 1) = + x 3 2 Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número. 5 y ( y − 1) = + x ⇔ 1.º Tiram-se os parênteses 3 2 2.º Tiram-se os denominadores 5 5 y ⇔ y− = + x ⇔ 3.º Isolam-se os termos com a incógnita 3 3 2 ( ×6 ) (pretendida) num dos membros ( ×2 ) ( ×2 ) ( ×3 ) 4.º Reduzem-se os termos semelhantes ⇔ 10 y − 10 = 3 y + 6 x ⇔ 5.º Determina-se o valor da incógnita, ⇔ 6 x = 7 y − 10 ⇔ quando são dados os valores das outras variáveis. 7 y − 10 ⇔x= A equação está resolvida em ordem a x. 6
  13. 13. 5 y2. Resolver a mesma equação em ordem a y. ( y − 1) = + x 3 2 5 y ( y − 1) = + x ⇔ 3 2 5 5 y ⇔ y− = + x ⇔ 3 3 2 ( ×6 ) ( ×2 ) ( ×2 ) ( ×3 ) ⇔ 10 y − 10 = 3 y + 6 x ⇔ ⇔ 10 y − 3 y = 10 + 6 x ⇔ ⇔ 7 y = 10 + 6 x ⇔ 10 + 6 x ⇔ y= 7
  14. 14. 3. C F − 32Em Física, a fórmula = estabelece a correspondência entre C (graus 5 9Celsius) e F (graus Fahrenheirt). A Isabel está doente. A sua temperatura é102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C. C 102,2 − 32 C 70,2 = ⇔ = ⇔ 9C = 351 ⇔ C = 39 5 9 5 9 ( ×9 ) ( ×5 )Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C. C F − 32 5 F − 160 = = 9C = 5 F − 160 ⇔ C = 5 9 9 Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas: 5 ×102,2 − 160C= = 39 R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC. 9
  15. 15. Tarefa 3 página137 139 exercício 9 10 e 11

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