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UNIVERIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
“Campos Magnéticos”
PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 09
TITULO:
“Campo Magnético”
1. RESUMEN
El experimento, orientado a la determinación del campo magnético de la tierra,
consta de la aplicación del método de las bobinas de Helmholtz, y el análisis del
campo magnético resultante producido por las mencionadas bobinas y el campo
magnético de la tierra, de donde se puede determinar como calcular el valor del
último. Tras el análisis de los resultados mediante los métodos gráfico y estadístico
se determinaron los valores de 23 µT y 30µT respectivamente; además se determinó
su error respecto de tablas, los cuales fueron: -17% y 7%, en el mismo orden,
concluyendo que el método aplicado presenta una gran confiabilidad, incluso en
medio poco controlados..
OBJETIVOS:
 Estudiar, experimentalmente, el campo magnético.
 Determinar el valor de campo magnético en el laboratorio.
 Evaluar la componente horizontal del campo magnético terrestre.
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MATERIALES Y EQUIPOS
TABLA 01
MATERIALES
2 bobinas Helmholtz.
INSTRUMENTOS
Amperímetro.
PRECISIÓN
0.01mA
1 reostato.
Transportador.
1º
1 aguja imantada.
Cinta métrica.
1mm
2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA:
Campo Magnético:
El campo magnético es una región del espacio en la cual una carga
eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad
, sufre los
efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la
velocidad como al campo. Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con
la siguiente igualdad.
Donde:
F: Fuerza
v: es la velocidad.
B: campo magnético, también llamado inducción magnética y densidad
de flujo eléctrico.
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(Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el
producto vectorial es un producto vectorial que tiene como resultante un
vector perpendicular tanto a v como a B). El módulo de la fuerza resultante
será
El nombre de campo magnético o intensidad del campo magnético se
aplica a dos magnitudes:
 La excitación magnética o campo H es la primera de ellas, desde el
punto de vista histórico, y se representa con H.
 La inducción magnética o campo B, que en la actualidad se
considera el auténtico campo magnético, y se representa con B.
Desde un punto de vista físico, ambos son equivalentes en el vacío,
salvo en una constante de proporcionalidad que depende del sistema de
unidades.
Fuentes del campo magnético:
Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de
ellas es una corriente eléctrica de conducción, que da lugar a un
campo magnético estático. Por otro lado una corriente de
desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo,
incluso aunque aquella sea estacionaria.
La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica
está dada por la ley de Ampére. El caso más general, que incluye a la
corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampère-Maxwell.
Campo magnético producido por una carga puntual:
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El campo magnético generado por una única carga en
movimiento (no por una corriente eléctrica) se calcula a partir de la
siguiente expresión:
Donde:
Esta última expresión define un campo vectorial solenoidal, para
distribuciones de cargas en movimiento la expresión es diferente,
pero puede probarse que el campo magnético sigue siendo un campo
solenoidal.
Propiedades del campo magnético:
La inexistencia de cargas magnéticas lleva a que el campo
magnético es un campo solenoidal lo que lleva a que localmente
puede ser derivado de un potencial vector
, es decir:
A su vez este potencial vector puede ser relacionado con el
vector densidad de corriente mediante la relación:
Unidades:
Artículos
principales:
Tesla
(unidad),
Gauss
(unidad
electromagnética) y Oersted (unidad).
La unidad de B en el SI es el tesla, que equivale a wéber por
metro cuadrado (Wb/m²) o a voltio segundo por metro cuadrado (V
s/m²); en unidades básicas es kg s−2 A−1. Su unidad en sistema de
Gauss es el gauss (G); en unidades básicas es cm−1/2 g1/2 s−1.
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La unidad de H en el SI es el amperio por metro (A/m) (a veces
llamado ampervuelta por metro). Su unidad en el sistema de Gauss
es el oérsted (Oe), que es dimensionalmente igual al Gauss.
Ley De Biot-Savart:
La ley de Biot-Savart indica el campo
magnético creado por corrientes eléctricas
estacionarias.
En el caso de las corrientes que circulan por
circuitos filiformes (o cerrados), la contribución
de un elemento infinitesimal de longitud
del circuito recorrido por una
corriente crea una contribución elemental de campo magnético,
punto situado en la posición que apunta el vector
respecto de
, en el
a una distancia r
, quien apunta en dirección a la corriente I:
Donde:
μo: Permeabilidad magnética del vacío

u r : Es un vector unitario.
Determinación Experimental del Campo Magnético Terrestre:
Empleado el método de las bobinas de Heltmholtz, generamos un campo
magnético mediante ellas, de manera que podemos evaluar las variaciones
angulares en la posición de una aguja imantada, empleando un
transportador; así, mediante variaciones en la intensidad de corriente que
fluye a través de las bobinas podemos establecer diferentes situaciones y
diferentes variaciones angulares.
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Basándonos en la ley de Biot – Savat, para determinar el campo B en un
punto del eje de la espira de radio R, a una distancia x de su centro, tenemos:
B=
µ o IR 2
… (1)
2( R 2 + x 2 ) 3 / 2
El campo total Bh en el punto medio entre bobinas, debido a la corriente I
en el par de bobinas idénticas, cada una con un conjunto de N espiras con
ejes común es:
Bh =
µ o NIR 2
…(2)
( R 2 + ( d / 2) 2 ) 3 / 2
Donde:
d: distancia entre bobinas.
Para determinar la relación entre el campo resultante y el campo
terrestres es necesario ubicar el eje común de manera perpendicular a la
dirección sur – norte (la dirección del campo magnético terrestre), el campo
B formará un ángulo θ con el campo de la tierra (B t). De esto podemos
determinar que:
tan θ =
Bh
µ o NR 2
=
I …(3)
Bt Bt ( R 2 + (d / 2) 2 ) 3 / 2
De esta ecuación podemos determinar que, al graficar Tanθ vs.
Intensidad de corrientes que genera una recta L, tendremos la siguiente
relación:
b=
µ o NR 2
… (α)
Bt ( R 2 + (d / 2) 2 ) 3 / 2
Donde:
b: tangente de la recta L.
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3. DATOS EXPERIMENTALES
El procedimiento general está basado en la toma de datos de
intensidad de corriente del flujo de electricidad de que alimenta un par de
bobinas de Helmholtz conectadas en serie, con el fin de determinar la
relación entre dicha intensidad y las variaciones angulares de la posición de
una aguja imantada, que originalmente se hallaba en paralelo y en medio de
las bobinas, producida por el campo magnético generado por el flujo de
electricidad en las bobinas.
Se tomaron lo datos de intensidad de corriente, en los cuales se
alteraba el valor de la misma mediante un reostato.
1. Las mediciones de intensidad se tomaron en variaciones de la misma de
aproximadamente 6mA cada vez.
2. Cada variación de intensidad arrojaba una variación angular diferente,
las cuales se midieron con ayudad de in transportador.
3. El total de experiencias ascendió a ocho.
Finalmente, los resultados obtenidos para las ocho experiencias
diferentes en cada circuito fueron:
TABLA 02
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
Ángulo
(º)
48
52
64
66
72
75
77
I
(mA)
16
22
30
34
40
48
54
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8
80
60
Considerando los datos siguientes:
TABLA 03
N
R
µo
d
480
0,13
4πx10-7
0,15
vueltas
m
m
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4. PROCESAMIENTO DE DATOS
Durante los cálculos requeriremos del método de regresión lineal simple
por método de mínimos cuadrados, del método gráfico de cálculo de error y
del método de cálculo de errores de mediciones indirectas, cuyas ecuaciones
se detallan a continuación:
MINIMOS CUADRADOS:
Sea la ecuación lineal de estructura:
y = A + Bx
Los valores de A y B serán:
A=
∑x ∑ y −∑x ∑x
2
i
i
i
D
i
yi
B=
N ∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i
D
Donde:
D = N ∑ x i2 − (∑ x i ) 2
y
N: número de experiencias.
Desviación estándar:
∑x
∆A = τ Y
D
2
i
∆B =τ Y
N
D
Donde:
τY =
∑ δy
2
i
N −2
δyi = yi − ( A + Bxi )
CALCULO DE ERROR:
Error Relativo: Er = ∆X / EAbs
Error Porcentual: E% = Erx100
Error Gráfico:
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Zi = Yi – Y(Xi)
∑Z
Z=
N
2
i
∆B =
2Z
XF −X0
Cálculo De Errores En Mediciones Indirectas:
Sea z una función de n variables:
z = f ( x1 , x 2 ,..., x n )
La incertidumbre de z se determina diferenciando cada medida
directa, es decir:
dz =
dz
dz
dz
dx1 +
dx 2 + ... +
dx n
dx1
dx 2
dx n
Como la precisión de los instrumentos es finita consideramos a dz
como una integral finita:
∆z =
dz
dz
dz
∆x1 +
∆x 2 + ... +
∆ n
x
dx1
dx 2
dx n
I. CÁLCULO POR MÉTODO GRÁFICO:
De la gráfica de dispersión lineal, podemos trazar una línea de tendencia
y determinar su pendiente gráficamente.
GRÁFICA 01
Tangente Vs. Intensidad
Tangente del ángulo de
variación
6,00
5,00
4,00
y2
3,00
2,00
y1
1,00
x2
0,00
x1
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700
Intensidad (A)
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Sea θ el ángulo formado por la recta y el semieje positivo de las abscisas,
la endiente de la recta estará dada por:
tan θ =
y2 − y1
x2 − x1
Sean: x1 = 0.021, y1 = 1.2; y x2 = 0.045, y2 = 3.6, entonces:
tan θ = 100
Para x = 0; y = -0.9, entonces:
y =100 x − 0.9
Considerando la ecuación (α), podremos determinar el valor del campo
magnético terrestre, el cual será:
Bt = 23.11µT
II. CÁLCULO POR MÉTODO ESTADÍSTICO:
Considerando las unidades realizamos los cálculos para generar la
siguiente tabla:
TABLA 04
Exp.
Ángulo
(º)
Ángulo
(rad)
1
2
3
4
5
6
7
8
48
52
64
66
72
75
77
80
0,84
0,91
1,12
1,15
1,26
1,31
1,34
1,40
I
Tangente
(mA
del ángulo
)
1,11
16
1,28
22
2,05
30
2,25
34
3,08
40
3,73
48
4,33
54
5,67
60
I
(A)
0,0160
0,0220
0,0300
0,0340
0,0400
0,0480
0,0540
0,0600
Cálculos De La Regresión Lineal:
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Realizando la gráfica de dispersión lineal de la tangente en función de la
intensidad de corriente:
GRÁFICA 02
Tangente Vs. Intensidad
Tangente del ángulo de
variación
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700
Intensidad (A)
De la gráfica 01 podemos determinar que la estructura de la ecuación que
define la línea de tendencia para ambos casos será de la forma:
Y = A + BX
Realizando los cálculos necesarios y considerando las ecuaciones del
método de mínimos cuadrados, obtendremos los siguientes resultados:
TABLA 05
Exp
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ=
Σ 2=
Tangente
1,11
1,28
2,05
2,25
3,08
3,73
4,33
5,67
23,50
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I
0,0160
0,0220
0,0300
0,0340
0,0400
0,0480
0,0540
0,0600
0,3040
0,0924
I2
0,0003
0,0005
0,0009
0,0012
0,0016
0,0023
0,0029
0,0036
0,0132
I.Tan
0,02
0,03
0,06
0,08
0,12
0,18
0,23
0,34
1,06
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Así mismo, por el método de mínimos cuadrados obtendremos la
siguiente ecuación:
y =100.51x −0.88
De estos resultados, podemos realizar la gráfica de la línea de tendencia:
GRÁFICA 03
Tangente Vs. Intensidad
y = 100,51x - 0,882
Tangente del ángulo de
variación
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700
Intensidad (A)
Además podemos determinar las variaciones en estos resultados, a partir
de los siguientes datos y las ecuaciones antes planteadas:
TABLA 06
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ=
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δyi
0,38
-0,05
-0,08
-0,29
-0,06
-0,21
-0,21
0,52
0,00
δyi2
0,15
0,00
0,01
0,08
0,00
0,04
0,05
0,27
0,61
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De esto determinamos los siguientes errores:
TABLA 07
∆A=
∆B=
erA=
e%A=
erB=
e%B=
0,27
6,76
-0,31
-31,14%
0,07
6,72%
De lo expuesto en el marco teórico y la ecuación (α) podemos calcular el
valor del campo magnético de la tierra (Bt), el cual será:
Bt = 3 x10 −5 T = 30 µ
T
CÁLCULOS DEL ERROR GRÁFICO:
Considerando
las
fórmulas
para
el
cálculo
de
error
gráfico,
determinamos los siguientes valores:
TABLA 08
Z=
∆B=
0.28
12.53
CÁLCULOS DEL ERROR DE MEDICIÓN INDIRECTA:
Considerando que el campo magnético fue determinado por la siguiente
fórmula:
Bt =
[
µ o NR 2
B R 2 + (d / 2) 2
]
3/ 2
…(α)
Donde:
R: Radio de la bobina.
Bt: Campo magnético de la tierra.
B: Pendiente de la recta tangente vs.
µo: Permeabilidad magnética.
intensidad.
N: Número de vueltas de la bobina.
d: Distancia entre las bobinas.
Entonces el error por medición indirecta será:
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∆Bt = 1.55 x10 −6
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5. RESULTADOS:
Para los diferentes métodos, obtuvimos los siguientes resultados:
Método
Gráfico
Estadístic
o
Además,
podemos
Ecuación
y=100x-0.9
Bt (µT)
23.11
y=100.51x-0.88
30.00
determinar
los
errores
absolutos,
relativos
y
porcentuales:
A
B
∆
0.27
6.76
er
-0.31
0.07
e%
-31%
7%
En comparación con el valor de tablas de 28µT, podemos determinar los
siguientes errores relativos y porcentuales:
Método
Gráfico
Estadístico
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Error relativo
er = -0.17
er = 0.07
Error Porcentual
e% = -17%
e% = 7%
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CONCLUSIONES:
 El método de la bobinas de Helmholtz permite evaluar con moderada
precisión los campos magnéticos. Sus deficiencias en cuanto a exactitud
se deben, principalmente, al manejo de instrumentos y la precisión de los
mismos, además de las condiciones del medio, las cuales no fueron
completamente controladas en este caso, existiendo fallas en el
suministro eléctrico y presencia de variables extrañas como viento, las
cuales alteraban las lecturas.
 Se logró determinar que existe relación del campo que actúa sobre una
aguja imantada tanto con el campo magnético terrestre como con el
generado por las bobinas de Helmholtz.
 Se pudieron determinar valores para el campo magnético de la tierra
según dos métodos, el método gráfico y el estadístico, que arrojaron los
valores de 23µT y
30µT, respectivamente, esta última con un error
relativo de 0.07.
6. REFERENCIAS:
 Córdova Zamora, Manuel; Estadística Descriptiva e Inferencial 5º
edición; Editorial Moshera; 2003 Lima - Perú; 495 pág.
 Sears, Francis W./ Zemansky, Mark W. / Young, Hugh D. /Freedman,
Roger A.; Física Universitaria; Mc Graw Hill;2004.
 http://es.wikipedia.org
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