Dispositivos optoelectronicos

Dispositivos Opto-electrónicos
José Ramom Flores d’as Seixas

ii
c José Ramom Flores d’as Seixas, 2009
ISBN: xxxxxx-xxxxx
Editado em Santiago de Compostela, em Novembro de 2009.
Impressom: Unidixital

iii
Limiar
Os opto-electrónicos som dispositivos de base electrónica que emitem, modulam ou detec-
tam radiaçom óptica, i.e. radiaçom electromagnética ultravioleta, visível ou infravermelha.
A maior parte de este tipo de dispositivos estám baseados em semicondutores inorgânicos,
se bem é possível que num futuro os semicondutores orgânicos passem a desempenhar um
papel mais importante.
Este livro xurdiu como texto-base para umha matéria do último ano da licenciatura
de Físicas, sendo o seu objectivo servir de introduçom aos dispositivos opto-electrónicos
de semicondutor inorgânico. O ponto de vista é logicamente mais físico que engenheril,
assumindo-se que o leitor tem alguns conhecimentos de física quântica, estado sólido, elec-
trónica e óptica integrada.
Procurou-se mostrar um panorama actualizado tanto no tipo de dispositivos estudados
como nas suas características. Mas o leitor deve ser ciente de que o mundo da opto-
electrónica, pesquisa e indústria, avança a tal velocidade, que qualquer texto vai ficar um
tanto desactualizado no mesmo momento da sua publicaçom.
A obra divide-se em 6 capítulos. No primeiro introduzem-se umha serie de conceitos de
radiometria e fotometria necessários para a caracterizaçom do comportamento dos disposi-
tivos opto-electrónicos. O segundo está dedicado ao estudo dos semicondutores: caracte-
rísticas gerais, famílias de materiais e propriedades ópticas. Nos capítulos 3 e 4 estudam-se
as fontes de radiaçom opto-electrónicas: os díodos emissores de luz e os díodos laser. O
capítulo quinto está dedicado aos detectores; foto-condutores, foto-díodos (entre os quais
as células foto-voltaicas, foto-transístores, e matrizes formadoras de imagem. Por último
no capítulo sexto estudam-se os moduladores de semicondutor. A final de cada capítulo
inclui-se a bibliografia correspondente ao mesmo. E trás ela um conjunto de exercícios que
permitiram ao leitor afiançar os conhecimentos adquiridos. A dificuldade dos exercícios
varia, mas em todos os casos usam-se dados realistas, tirados nas mais das vezes de folhas
de dados dos fabricantes, ou de medidas experimentais publicadas em jornais científicos.

Conteúdo
Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Radiometria e fotometria 1
1.1 Definições radiométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O espectro óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Definições fotométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Eficácia luminosa da radiaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Perfis de radiaçom comuns na Opto-electrónica . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Cálculo do fluxo a partir da intensidade . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 A funçom de transferência óptica, OTF. . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Correntes de fotões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Variaçom temporal do feixe de fotões . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Estatística fotónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2.1 Luz coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2.2 Classificaçom da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2.3 Luz super-poissoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Princípios físicos 29
2.1 Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1.1 Electrões e lacunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1.2 Relações energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1.3 Massa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1.4 Semicondutores directos e indirectos . . . . . . . . . . . 34
2.1.1.5 Semicondutores dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Concentrações de electrões e de lacunas . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2.1 Densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2.2 Probabilidade de ocupaçom . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2.3 Concentrações de portadores em equilíbrio térmico . . . 42
2.1.2.4 Semicondutor nom degenerado . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.2.5 Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio. . . . . 47
v

vi CONTEÚDO
2.1.3 Geraçom, recombinaçom e injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3.1 Geraçom e recombinaçom em equilíbrio térmico . . . . . 49
2.1.3.2 Injecçom de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3.3 Eficiência quântica interna . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.4 Junções p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.1 Homo-junçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.2 Díodo p-i-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.4.3 Hetero-junções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.5 Estruturas quânticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.5.1 Poços quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.5.2 Poços quânticos múltiplos e super-redes . . . . . . . . . 63
2.1.5.3 Fios quânticos e pontos quânticos . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Materiais empregados em opto-electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1 Tipos de semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1.1 Semicondutores elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1.2 Compostos dos grupos III-V . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1.3 Outros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.2 Substratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.3 Materiais mais usados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.3.1 O sistema AlxGa1−xAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.3.2 O sistema GaAsxP1−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.3.3 O sistema GaxIn1−xAsyP1−y . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.3.4 O sistema AlxGayIn1−x−yAs/InP . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.3.5 O sistema AlxGayIn1−x−yP/GaAs . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.3.6 Os nitretos do grupo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 Interacções de fotões com electrões e lacunas. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.1 Emissom e absorçom banda a banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1.1 Longura de onda da banda proibida. . . . . . . . . . . . 79
2.3.1.2 Absorçom e emissom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1.3 Condições para a absorçom e a emissom. . . . . . . . . . 80
2.3.2 Razões de absorçom e emissom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.2.1 Probabilidades de ocupaçom . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.2.2 Densidade de probabilidade de emissom espontânea . . . 85
2.3.2.3 Densidade de probabilidade de absorçom e de emissom
estimulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3.2.4 Razões globais de emissom e de absorçom . . . . . . . . 88
2.3.2.5 Densidade espectral da razom de emissom espontânea em
equilíbrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3.2.6 Coeficiente de ganância em quase-equilíbrio . . . . . . . 90
2.3.2.7 Coeficiente de absorçom em equilíbrio térmico . . . . . . 91
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

CONTEÚDO vii
3 Díodos emissores de luz 97
3.1 Electroluminescência por injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Electroluminescência em equilíbrio térmico . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Electroluminescência em presença de injecçom de portadores . . . 98
3.1.3 Densidade espectral da electroluminescência . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Características dum LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.1 Fluxo fotónico interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.2 Fluxo fotónico externo e eficiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.3 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.3.1 Responsividade luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Modulaçom dum LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.1 Modulaçom analógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Modulaçom digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Estruturas e materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4.1 Homo-junções epitaxiais (GaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.2 Homo-junçom por difusom (GaAsxP1−x) . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.3 Hetero-junções simples (AlGaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.4 Hetero-estruturas duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.5 Poços quânticos (Nitretos do grupo III). . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.6 Estruturas com eficiências altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.6.1 Geometrias adaptadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.6.2 Filmes delgados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.6.3 Cavidades ressoantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5 Aplicações dos LEDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.5.1 Lâmpadas indicadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.5.2 Indicadores luminosos numéricos e alfa-numéricos . . . . . . . . . 125
3.5.3 Acopladores ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.4 Comunicações ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.5 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5.6 Iluminaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Díodos laser 133
4.1 Que é um laser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.1 Cavidade ressoante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.2 Princípio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.3 Características do feixe laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.3.1 Modo gaussiano fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Amplificadores ópticos de semicondutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.1 Ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.2 Aproximaçom do coeficiente de ganância pico . . . . . . . . . . . 141
4.2.3 Bombeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

viii CONTEÚDO
4.2.3.1 Bombeamento óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.3.2 Bombeamento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3 Cavidade ressoante dum díodo laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3.1 Factor de confinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.2 Condiçom de oscilaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Fluxo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.5 Amplificadores ópticos independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6 Modulaçom temporal dum díodo laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.1 Modulaçom analógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.1.1 Estado estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.1.2 Pequeno sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.2 Modulaçom digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.7 Distribuiçom espectral e espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7.1 Distribuiçom espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7.2 Distribuiçom espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.7.3 Padrom de radiaçom de campo lonjano . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.8 Materiais e estruturas típicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8.1 Laseres mono-modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.9 Laseres de poço quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.9.1 Densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.9.2 Coeficiente de ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.9.3 Relaçom entre o coeficiente de ganância e a densidade de corrente . 168
4.9.4 Laseres de poços quânticos múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.9.5 Laseres tensionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.10 Matrizes de díodos laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.10.1 Barras de díodos laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.10.2 Laseres de emissom transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5 Foto-detectores 181
5.1 Introduçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.1 Efeito fotoeléctrico externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.2 Efeito foto-eléctrico interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.2 Propriedades dos foto-detectores de semicondutor . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.1 Eficiência quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.2 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2.3 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2.3.1 Tempo de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2.3.2 Constante de tempo do circuito . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3 Foto-condutores ou foto-resistências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.3.1 Tempo de trânsito do par e ganância. . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3.2 Foto-condutores extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

CONTEÚDO ix
5.3.2.1 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4 Foto-díodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.1 Polarizaçom dum foto-díodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.3 Estruturas mais complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.4.3.1 O foto-díodo p-i-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.4.3.2 Foto-díodos de hetero-estrutura . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4.3.3 Foto-díodos Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.4 Células fotovoltaicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.4.1 Estruturas das células fotovoltaicas . . . . . . . . . . . . 212
5.4.5 Foto-díodos de avalancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.5.1 Princípios de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.5.2 Ganância e responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4.5.3 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.6 O foto-transístor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5 Ruído em foto-detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.1 Ruído foto-electrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.5.2 Ruído de ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.5.2.1 Factor de excesso de ruído dum foto-díodo de avalancha . 232
5.5.3 Ruído do circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.4 Razom sinal-ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.4.1 Dependência da razom sinal-ruído do fluxo fotónico . . . 237
5.5.4.2 Relaçom entre a razom sinal-ruído e a ganância num foto-
díodo de avalancha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6 Sensores de imagem digitais: CCD e CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6.1 Sensores CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.6.1.1 O condensador MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.6.1.2 Transferência de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.6.1.3 Arquitectura da Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.6.1.4 Registo progressivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.6.1.5 Matrizes com retardo e integraçom . . . . . . . . . . . . 246
5.6.2 Sensores CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.6.2.1 Pixel activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.6.3 CCD versus CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6.4 Sensores em cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6 Moduladores ópticos de semicondutor 259
6.1 Moduladores absortivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.1.1 Efeito Franz-Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.1.2 Efeito Startk em confinamento quântico . . . . . . . . . . . . . . . 262

x CONTEÚDO
6.1.2.1 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.1.3 Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.1.3.1 Características positivas dos moduladores QCSE . . . . . 266
6.2 Moduladores refractivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.2.1 Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2.2 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
A Sensibilidade espectral do olho humano 271
B Grandezas de interese 277

Capítulo 1
Alguns conceitos básicos de
radiometria e fotometria
Neste tema vam-se introduzir umha série de conceitos radiométricos e fotométricos, relacio-
nando-os com a terminologia óptica. A radiometria é a ciência que se ocupa da descriçom e
medida da radiaçom, e a sua interacçom com a matéria. Tanto da radiaçom electromagnética
como doutros tipos de radiaçom: a radiaçom nuclear ou fluxos de partículas carregadas,
ainda que normalmente se refira à radiaçom electromagnética. Por sua vez, a fotometria
é a ciência que se ocupa do estudo da detecçom da radiaçom electromagnética polo olho
humano.
1.1 Definições radiométricas
Damos de seguido as definições de conceitos básicos de radiometria, com as suas unidades
e o conceito equivalente, se existir, na terminologia óptica.
• ENERGIA RADIANTE, Ee, é a quantidade de energia que incide em, atravessa ou
emerge de, umha superfície de área dada e num período de tempo determinado. Em
principio incluem-se todas as longuras de onda que contem a radiaçom, e se nalgum
caso só se considera um intervalo limitado do espectro, este intervalo deve indicar-se
explicitamente. As unidades nas que se mede a energia radiante som logicamente de
energia, e nomeadamente o Joule. Em óptica este conceito recebe o nome de energia
óptica, e obviamente também se mede em Joules.
• ENERGIA RADIANTE ESPECTRAL, Eλ, é a energia radiante correspondente ao inter-
valo diferencial de energia [λ, λ+dλ]:
Eλ =
dEe
dλ λ
=⇒ Ee =
∞
0
Eλ dλ
1

2 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
As unidades nas que se mede a energia radiante espectral som de energia partido
por longura de onda, usualmente Joules/nm. Em vez da longura de onda pode-se
considerar a freqüência, com o qual:
Eν =
dEe
dν
que virá medida neste caso em Joules/Hz. Dada a relaçom entre a longura de onda e
a freqüência, λν = c, nom resulta difícil calcular a relaçom entre ambas grandezas1:
λEλ = νEν
e comprovar que as unidades som coerentes.
• FLUXO RADIANTE, Pe, é a razom temporal de fluxo da energia radiante, i.e. a quan-
tidade de energia radiante que flui ao través dumha superfície ou regiom do espaço
por unidade de tempo:
Pe =
dEe
dt
Mede-se em unidades de energia por unidade de tempo, nomeadamente Joule/seg =
Watt. Em óptica este conceito recebe o nome de potência óptica, e logicamente
também se mede em Watts.
• FLUXO RADIANTE ESPECTRAL, Pλ, é o fluxo radiante por unidade de longura de
onda a umha determinada longura de onda:
Pλ =
dPe
dλ
=
dEλ
dt
sendo as unidades em que se mede de potência por longura de onda, usualmente
Watt/nm. Também neste caso podemos considerar a freqüência obtendo Pν = (dPe/dν),
νPν = λPλ sendo as unidades Watt/Hz.
• IRRADIÂNCIA, Ie, é a densidade superficial de fluxo radiante, i.e. a quantidade de
fluxo radiante que incide em, atravessa ou emerge de, um ponto dumha superfície
determinada:
Ie =
dPe
dso
1Num intervalo de longuras de onda (λ1,λ2), com λ1 < λ2, ao que lhe corresponde o intervalo de freqüências
(ν2 = c/λ2 , ν1 = c/λ1), com ν1 > ν2, a energia radiante é:
Ee =
λ2
λ1
Eλ(λ)dλ =
ν1
ν2
Eν(ν)dν
A partir da igualdade λν = c, fazemos o cambio de variável λ = c/ν, ⇒ dλ = −(c/ν2)dν, com o qual:
λ2
λ1
Eλ(λ)dλ =
ν2
ν1
Eλ(ν)(−
c
ν2
)dν =
ν1
ν2
Eλ(ν)
c
ν2
dν =
ν1
ν2
Eν(ν)dν
Portanto Eν = Eλ
c
ν2 = Eλ
λ
ν ⇒ νEν = λEλ. Q.E.D.

1.1. DEFINIÇÕES RADIOMÉTRICAS 3
onde dPe é um elemento diferencial de fluxo e dso é um elemento diferencial de área
da superfície. A irradiância que emerge dumha superfície pode ser chamada “exitân-
cia”, Me, tendo as mesmas unidades, reservando-se entom o termo irradiância para o
fluxo incidente. Em todo caso é perfeitamente correcto usar irradiância em todas as
situações. O termo óptico equivalente é intensidade óptica, que nom deve ser confun-
dida com o conceito radiométrico intensidade radiante, que veremos posteriormente.
Tanto para a irradiância, como para a exitância e para a intensidade óptica usam-se
unidades de potência entre área: Watt/m2 ou Watt/cm2. A irradiância é umha fun-
çom da posiçom (x,y) na superfície na que está definida, polo que costuma escrever-se
Ie(x,y).
• IRRADIÂNCIA ESPECTRAL, Iλ, é a irradiância por unidade de longura de onda ou de
freqüência:
Iλ =
dIe
dλ
=
dPλ
dso
, Iν =
dIe
dν
, λIλ = νIν
medindo-se bem em Watt/m2nm bem em Watt/m2Hz.
• INTENSIDADE RADIANTE, Ae, é a densidade angular de fluxo radiante, i.e. o fluxo
radiante por unidade de ângulo sólido que incide em, atravessa ou emerge de, um
ponto no espaço e que se propaga numha determinada direcçom:
Ae =
dPe
dω
medindo-se em Watt/sr. Este conceito é de utilidade para fontes pontuais, ou fontes
muito pequenas comparada com a distância do observador ou do detector à fonte, mas
nom é apropriado normalmente para fontes extensas. Ao ser a intensidade radiante
umha funçom da direcçom, costuma-se escrever Ae(θ,φ) para indicar a sua depen-
dência das coordenadas esféricas (θ,φ) que especificam umha direcçom no espaço.
• INTENSIDADE RADIANTE ESPECTRAL, Aλ ou Aν, é o fluxo radiante por unidade de
ângulo sólido e por unidade de longura de onda, ou de freqüência:
Aλ =
dAe
dλ
, Aν =
dAe
dν
, λAλ = νAν
medindo-se bem em Watt/srnm, bem em Watt/srHz.
• RADIÂNCIA, Le, é a densidade angular e superficial de fluxo radiante, i.e. o fluxo
radiante por unidade de área projectada e por unidade de ângulo sólido que incide,
atravessa ou emerge numha direcçom determinada dum ponto específico dumha su-
perfície dada:
L =
d2P
dωds
=
d2P
dωdso cosθ
onde ds = dso cosθ é a área projectada; a área da projecçom da área elementar dso,
na superfície que contém o ponto no qual se define a radiância, sobre um plano per-
pendicular à direcçom de propagaçom. Sendo θ o ângulo que formam a normal à

ds
dso
Elemento de
Elemento de fluxo
φ
θ
ângulo sólido
Figura 1.1: Radiância
superfície que contém o ponto no qual se define a radiância e a direcçom de propaga-
çom. Veja-se a figura 1.1. As unidades nas que se mede a radiância som Watt/m2sr
ou similares.
• RADIÂNCIA ESPECTRAL, Lλ, é a densidade espectral de radiância
Lλ =
dLe
dλ
=
d3Pe
dωdso cosθdλ
, Lν =
dLe
dν
, λLλ = νLν
medindo-se bem em Watt/m2srnm, bem em Watt/m2srHz.
Na tabela 1.1 podemos ver uns exemplos de valores radiométricos associados à diversas
fontes luminosas.
1.2 O espectro óptico
A óptica estuda a parte do espectro electromagnético com longuras de onda entre 1 mm e
10 nm. Este intervalo abrange nom só a luz, mas também o infravermelho e o ultravioleta.
Como se pode ver na figura 1.2, o espectro visível é continuo, e se bem som evidentes
distintas cores nele, nom há limites claros. Mesmo os valores que se utilizam tradicional-
mente como limites do visível, 380 e 770 nm, nom se correspondem com os conhecimentos
actuais sobre a sensibilidade do olho humano, senom com dados obtidos anteriormente. As-
sim hoje em dia considera-se que o olho humano é sensível a radiações entre os 360 aos 830

1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 5
Tabela 1.1: Valores representativos de quantidades radiométricas (Valores orientativos).
Quantidade Valor
Fluxo radiante total produzido por umha lâmpada incandescente
de tungsténio de 100 W
~ 80 W
Fluxo radiante dumha lâmpada fluorescente de 40 W ~ 38 W
Fluxo radiante dum ponteiro laser 0’5 - 5 mW
Intensidade radiante em eixo dos LEDs vermelhos usados em ins-
trumentaçom electrónica.
1 - 15 mW/sr
Irradiância do Sol na órbita media da Terra 1367 W/m2
Irradiância do Sol na superfície terrestre 600-900 W/m2
Radiância do Sol na sua superfície 2’3 107W/m2sr
nm, mas entre os 360 e os 380, e os 770 e os 830 a sensibilidade é muito baixa. Contodo é
usual fazer umha divisom em distintos subintervalos, i.e. em distintas cores espectrais. Esta
divisom permite dar umha ideia intuitiva do que se está a falar, mas é arbitrária, tanto polo
número de subintervalos colhidos como polos limites dos mesmo, e polo momento nom se
chegou a um consenso universal. O mesmo acontece no ultravioleta e no infravermelho.
Na tabela 1.2 recolhe-se umha divisom do espectro óptico, nom é a única possível, mas
é bastante comum, e as outras existentes nom diferem muito desta. Assim antigamente era
comum incluir nas cores espectrais o anil, 420 - 450 nm, entanto hoje em dia é relativamente
usual incluir o ciano, 485 - 500 nm. Da mesma maneira há também quem divida em quatro
o infravermelho.
1.3 Definições fotométricas.
É possível considerar a fotometria como umha parte da radiometria, onde as grandezas radi-
antes vistas no apartado anterior som adaptadas tendo em conta o funcionamento do sistema
visual humano. Os nossos olhos tenhem distintas sensibilidade para as diferentes longuras
de onda. Na figura 1.3 podemos ver a sensibilidade espectral fotópica2 do olho padrom,
2a correspondente a visom diurna.
Figura 1.2: Espectro visível

Tabela 1.2: Divisom em subintervalos do espectro óptico
Ultravioleta 10 - 380 nm
UV - C 10 - 280 nm
UV - B 280 - 315 nm
UV - A 315 - 380 nm
Visível 380 - 770 nm
Violeta 380 - 440 nm
Azul 440 - 491 nm
Verde 491 - 565 nm
Amarelo 565 - 585 nm
Laranja 585 - 625 nm
Vermelho 625 - 770 nm
Infravermelho 0’77 µm - 1 mm
Próximo 0’78 - 1’4 µm
Médio 1’4 - 3 µm
Lonjano 3 - 1000 µm
V(λ). Evidentemente cada pessoa vai ter umha sensibilidade diferente, mas raramente sig-
nificativamente diferente da reflectida nessa gráfica. Por baixo dos 360 nm e por cima dos
830 nm o olho humano nom detecta em absoluto a radiaçom electromagnética. E dentro
deste intervalo a resposta é muito desigual, tal como se mostra na figura, tendo um má-
ximo nos 555 nm, que corresponde ao verde, e diminuindo tanto cara o violeta como cara o
vermelho .
As funções sensibilidade espectral fotópica e escotópica tabulam-se no apêndice A.
Por outro lado, e para o cálculo das grandezas fotométricas3 pode-se utilizar a seguinte
aproximaçom da sensibilidade espectral fotópica:
V(λ) ≈ exp −
λ−555
60
2
No apartado anterior definimos umha série de grandezas radiométricas, a partir delas
definem-se as grandezas fotométricas correspondentes do jeito seguinte.
• FLUXO LUMINOSO, Pv. É o equivalente fotométrico do fluxo radiante. Integrando
o fluxo radiante espectral para todas as possíveis longuras de onda, obtém-se o fluxo
radiante
Pe =
∞
0
Pλ(λ)dλ
3Nom é recomendável usar esta aproximaçom para obter a sensibilidade para umha determinada longura de
onda. Nesse caso use-se a tabela do apêndice A.

1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Longura de onda em nanómetros
Sensibilidadeespectralfotópica,V()λ
Figura 1.3: Sensibilidade espectral fotópica do olho padrom.
Se ao integrar temos em conta a sensibilidade espectral do olho obteremos o fluxo
luminoso
Pv = 683
770
380
Pλ(λ)V(λ)dλ.
Utiliza-se o subíndice v (de visível ou visual) nas grandezas fotométricas para as di-
ferençar das radiométricas, as que se lhes engade o subíndice e (de energia). Em caso
de que nom haja ambigüidade pode-se omitir o subíndice. Os limites de integraçom
deixam fora de consideraçom as radiações entre 360 e 380 nm e entre 770 e 830 nm,
porém como se vê na figura 1.3 nessas regiões a sensibilidade do olho é praticamente
nula4. O factor multiplicativo 683 engadiu-se para fazer quadrar as unidades fotomé-
tricas e radiométricas anteriores a esta definiçom; as unidades radiométricas, como
já vimos podem derivar-se todas do metro o quilograma e o segundo, entanto que as
unidades fotométricas incluem ademais a candela5, que é umha das unidades funda-
mentais do Sistema Internacional, e específica da fotometria. A dimensom do fluxo
luminoso é [J], medindo-se em lumens, sendo um lúmen (o equivalente a um watt de
luz) igual a 1 candela x 1 esferorradiano. (1 lm = 1 cd x 1 sr).
4A razom para esta discrepância vem de que no momento de definir as unidades fotométricas considerava-se
que os limites da sensibilidade do olho eram justamente 380 e 770 nm.
5CANDELA é a intensidade luminosa, numha direcçom dada, dumha fonte que emite radiaçom monocro-
mática de freqüência 5 4 · 1014Hz (~555 nm), e que tem unha intensidade radiante nessa direcçom de
1
683
W
sr
. Antigamente definia-se como a intensidade luminosa, na direcçom perpendicular, dumha superfície plana de
área 5
3 mm2 parte dum radiador perfeito (corpo negro) à temperatura de solidificaçom da platina a 1 atm de
pressom (101325 Pascais).

• ILUMINÂNCIA, Iv, é o equivalente fotométrico da irradiância, estando definida por:
Iv = 683
770
380
Iλ(λ)V(λ)dλ
Esta grandeza expressa o fluxo luminoso por unidade de superfície que incide em,
atravessa o emerge de, umha superfície, medindo-se em luxes, com 1 lux = 1 lm/m2.
A maioria dos fotómetros medem iluminância dando as medidas em luxes.
• INTENSIDADE LUMINOSA, Av, é o equivalente fotométrico da intensidade radiante,
estando definida por:
Av = 683
770
380
Aλ(λ)V(λ)dλ
Esta grandeza expressa o fluxo luminoso que emana dum ponto por unidade de ângulo
sólido numha direcçom dada, sendo a sua dimensom [J], e medindo-se em candelas,
com 1 candela = 1 lm/sr. Ainda que como já dixemos antes é a candela e nom o lúmen
a unidade fundamental do Sistema Internacional.
• LUMINÂNCIA, Lv, é o equivalente fotométrico da radiância, vendo definida por:
Lv = 683
770
380
Lλ(λ)V(λ)dλ
A luminância é a quantidade de fluxo que passa ao través dum ponto numha deter-
minada superfície e numha determinada direcçom, por unidade de área projectada no
ponto da superfície e por unidade de ângulo sólido na direcçom dada. As dimensões
da luminância som [L−2J] medindo-se em cd/m2 ou em lm/m2sr.
Na tabela 1.3 podemos ver uns exemplos de valores fotométricos associados à diversas
fontes luminosas.
1.4 Eficácia luminosa da radiaçom
A eficácia luminosa da radiaçom, Kr, é umha medida da efectividade dum feixe de radiaçom
estimulando a percepçom de luz no olho humano. Se Qv é algumha das quatro grandezas
fotométricas definidas anteriormente, e Qe é a grandeza radiométrica correspondente, entom
a eficácia luminosa de radiaçom é:
Kr =
Qv
Qe
com unidades de lm/Watt. Assim por exemplo considerando o fluxo luminoso e o fluxo
radiante:
Kr =
Pv
Pe
= 683
770
380 Pλ(λ)V(λ)dλ
∞
0 Pλ(λ)dλ
(lm/Watt).
Na tabela 1.4 podemos ver a eficácia luminosa de radiaçom de diversas fontes luminosas .
Evidentemente para radiações monocromáticas a eficácia luminosa de radiaçom é simples-
mente:
Kλ = 683V(λ) lm/Watt.

1.4. EFICÁCIA LUMINOSA DA RADIAÇOM 9
Tabela 1.3: Valores representativos de quantidades fotométricas (Valores orientativos)
Quantidade Valor
Fluxo luminoso total produzido por umha lâmpada incandescente
de tungsténio de 100 W
1250 - 1600 lm
Fluxo luminoso dumha lâmpada fluorescente de 40 W 3.000 lm
Fluxo luminoso dum ponteiro laser vermelho 0’05 - 0’5 lm
Fluxo luminoso dum ponteiro laser verde 0’3 - 3 lm
Iluminância dum projector de cinema sobre umha tela 102 lx
Iluminância do Sol na superfície da Terra, com céu despejado. 105 lx
Intensidade luminosa em eixo dos LEDs vermelhos usados em
instrumentaçom electrónica.
0’2 - 2 cd
Luminância da chama dumha vela 104cd/m2
Luminância do céu despejado 8103cd/m2
Luminância do céu coberto 2103cd/m2
Luminância dum tubo fluorescente de 40 W 104cd/m2
Luminância dum monitor LCD 200 - 300 cd/m2
Luminância dumha TV LCD 500 cd/m2
Tabela 1.4: Eficácia luminosa de radiaçom de algumhas fontes de luz (Valores orientativos)
Fonte Eficácia luminosa
Luz monocromática de 555 nm 683 lm/W
Luz do Sol directa, no meio-dia 90 - 120 lm/W
Luz do Sol directa, no sol-por 50 - 90 lm/W
Luz do céu coberto 103 - 115 lm/W
Lâmpadas incandescentes de tungsténio 9 - 20 lm/W
Lâmpadas halógenas 17 - 22 lm/W
Lâmpadas fluorescentes 40 - 80 lm/W
Led vermelho 80 - 140 lm/W
Led verde 500 - 600 lm/W
Led azul 65 - 80 lm/W
Díodo laser de infravermelho 0 lm/W

θ 0
nA = A Cos θθ 0A = A Cosθ
θA = Cte
0.5
θ θ
0.5
0.5
θ
Aθ
0A
Aθ
0A
θ½
θ½
Aθ
0A
Lâmina
−90º 90º −90º 90º
Led
Lâmpada
b) Fonte lambertiana
difusora
c) Fonte labertiana geral
a) Fonte pontual
incandescente
Figura 1.4: Perfis de radiaçom típicos
1.5 Perfis de radiaçom comuns na Opto-electrónica
Na figura 1.4 podemos ver três perfis de radiaçom avondo comuns, que tenhem a vantagem
de estarem descritos matematicamente por umha fórmula singela.
• FONTE PONTUAL. É um tipo de fonte mui comum. Assim as fontes que constam dum
filamento pequeno dentro dumha coberta transparente podem-se considerar a muitos
efeitos fontes pontuais. A fonte pontual radia com a mesma intensidade, radiante ou
luminosa, em todas as direcções:
Aθ = A0 = cte
sendo Aθ a intensidade na direcçom definida polo ângulo θ, e A0 a intensidade na
direcçom do eixo de simetria.
• FONTE LAMBERTIANA. O segundo tipo de fonte que aparece na figura1.4 recebe o
nome de fonte lambertiana, em honor de Johann Lambert6. Neste caso o perfil de
radiaçom é co-senoidal:
Aθ = A0 cosθ.
Este tipo de perfil gera-se quando a luz, procedente dumha fonte pontual, passa por
umha lâmina difusora, ou bem se reflecte numha superfície rugosa. Comparando este
tipo de fonte com a anterior, vemos que o espalhamento da radiaçom é menor, já
que toda a energia é radiada para ângulos entre 0 e 90 graus. A direccionalidade (ou
estreiteza) dum padrom de radiaçom é umha característica chave do dito padrom. E
6Matemático e cartógrafo Alsaciano conhecido principalmente por ser o inventor da projecçom cónica con-
formal que se usa em cartografia

1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 11
para medir esta característica emprega-se o ângulo metade, θ1
2
, que nom é mais que
o ângulo para o qual a intensidade é o 50% da máxima, usualmente correspondente
à intensidade no eixo de simetria. Evidentemente quanto menor seja o ângulo me-
tade mais estreito e direccional será o padrom de radiaçom. No caso dumha fonte
lambertiana o ângulo metade é:
A0
2
= A0 cosθ1
2
⇒ θ1
2
= arccos
1
2
= 60o
• FONTE LAMBERTIANA GERAL Som fontes cujo padrom de radiaçom vem dado por:
Aθ = A0 cosm
θ
sendo m um número real, representado na figura 1.4(c). Os LEDs som os exemplos
mais conhecidos deste tipo de fontes. Neste caso o ângulo metade é:
θ1
2
= arccos
1
2
1/m
⇒ m =
ln2
ln cosθ1/2
1.5.1 Cálculo do fluxo a partir da intensidade
A medida do fluxo nom é usualmente umha tarefa doada. Porém a medida da intensidade
é muito mais singela. Por isto resulta usual que nas folhas de dados da maioria da fontes
opto-electrónicas apareçam recolhidas especificações de intensidade, e nom de fluxo. Agora
bem, normalmente obter o fluxo emitido por umha fonte a partir do seu perfil de intensidade
nom resulta complicado, sobre todo quando o padrom de radiaçom tem simetria rotacional.
Para isto nom temos mais que integrar a intensidade.
Dada a simetria do perfil de radiaçom, veja-se a figura 1.5, podemos considerar elemen-
tos de ângulo sólido anulares. (Ou seja o ângulo sólido que encerra o anel sombreado da
figura). O ângulo sólido correspondente a um cone de semiângulo θ, veja-se a figura1.6 é
igual a:
Ω = 2π(1−cosθ)
e portanto
dΩ = 2π sinθdθ.
Em cada elemento anular de ângulo sólido o fluxo elementar é:
dP = Aθ dΩ = 2πAθ sinθdθ,
de jeito que o fluxo total para um ângulo θ será:
Pθ =
θ
0
2πAθ sinθdθ = 2π
θ
0
Aθ sinθdθ.
Assim para umha fonte lambertiana geral o fluxo vem dado portanto por:
Pθ = 2πA0
θ
0
cosm
θ sinθdθ =
2πA0
m+1
(1−cosm+1
θ),

θ
θd
dΩ
r
A0
Aθ
Figura 1.5: Padrom de radiaçom
Ω
θ
Figura 1.6: Ângulo sólido correspondente a um cone de semiângulo θ.

1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 13
Bandeja
do papel
Fotodiodo
LED
30 mm
x
θ
4 mm
Figura 1.7: Esquema dum detector de papel dumha impressora
e para obter os fluxos dumha fonte lambertiana e o dumha fonte pontual, nom há mais que
substituir os valores correspondentes m = 1 e m = 0.
O fluxo total emitido pola fonte acha-se substituindo θ polo ângulo máximo, que em
geral é 90o, e portanto:
P90 =
2πA0
m+1
,
excepto para fonte pontual, na qual o ângulo máximo é 180o, de maneira que neste caso
P180 = 4πA0.
Exemplo 1.1 Detector de papel numha impressora
Na figura1.7 tem-se um esquema dum detector de papel numha impressora, que consta es-
sencialmente dum LED de infravermelho e dum foto-díodo. Se o LED tem um perfil de inten-
sidade Aθ = A0 cos5 θ, e umha intensidade radiante máxima A0 = 1 5mW/sr, qual é o fluxo
total emitido polo LED, e qual é o fluxo que atinge o foto-díodo?
O fluxo emitido por um LED é Pθ = 2πA0
m+1 (1 − cosm+1 θ). O fluxo total é o correspondente a
θ = 90, e para m = 5 e A0 = 1 5mW/sr
Ptotal =
2π1 510−3
6
= 1 5710−3
W .
O fluxo que atinge o foto-díodo corresponde-se, a vista da figura 1.7, com o ângulo
θ = arctan
4/2
30
= arctan(
1
15
) = 3o
48 51”,
com o qual o fluxo que se passa polo buraco da cinta e chega ao foto-díodo é:
Pθ =
2π1 5710−3
6
1−cos7
(3 81) = 3 4810−6
W = 3 48µW .

Fonte
x
θ
d
D
Detector
Figura 1.8: Fonte e detector enfrentados.
1.5.2 A funçom de transferência óptica, OTF.
Umha das principais questões que devem ser tidas em conta no desenho dum sistema opto-
electrónico é o controlo do fluxo, i.e. como dirigi-lo da fonte ao detector do jeito mais
eficiente. Na maioria dos casos deseja-se que ao detector chegue a maior parte do fluxo
possível. A funçom de transferência óptica, OTF, expressa a eficiência de acoplamento,
definindo-se como o cociente do fluxo que atinge a regiom sensível do detector entre o
fluxo total emitido pola fonte:
OTF =
Pd
Pf
sendo Pd o fluxo que chega ao detector em Watt ou lm, e Pf o fluxo total emitido pola fonte
em Watt ou lm.
A OTF é portanto umha grandeza adimensional que pode tomar valores entre 0 e 1. O
zero significa que ao detector nom chega nada do fluxo emitido pola fonte, enquanto que o
um corresponde-se ao caso em que todo o fluxo emitido atinge o detector.
Exemplo 1.2 Fonte lambertiana geral.
Quando a fonte e o receptor estám enfrentados, tal e com se vê na figura 1.8, pode-se calcular
facilmente a OTF.
• Fonte lambertiana
OTF =
πA0 sin2
θ
πA0
= sin2
θ
A miúdo emprega-se a abertura numérica do receptor, NA = sinθ, com o qual OTF =
NA2.
• Fonte lambertiana geral. Neste caso:
OTF =
2πA0
n+1
1−cosn+1
θ
2πA0
n+1
= 1−cosn+1
θ

1.6. CORRENTES DE FOTÕES 15
Tenha-se em conta que no caso da ﬁgura
θ = arctan
D/2
d
⇒
sinθ = D/
√
4d +D2
cosθ = 2d/
√
4d +D2
1.6 Correntes de fotões
Para estudarmos boa parte dos dispositivos que aparecem nos temas vindoiros cumpre con-
siderarmos a natureza quântica da radiaçom electromagnética. Isto é, que a dita radiaçom
pode ser considerada como composta por quantos de energia propagando-se com a mesma
velocidade e direcçom. Cada quanto de radiaçom, chamado fotom, tem associada umha
freqüência ν e umha energia eν
eν = hν
onde h = 6 6310−34J · s é a constante de Planck. Tendo em conta que c = λ · ν, podemos
escrever a energia do fotom em funçom da sua longura de onda
eλ =
hc
λ
.
Esta equaçom dá a energia dum fotom em Joules, mas em muitas ocasiões resulta mais
conveniente expressar a energia do fotom em electrom-volts. O denominador da expressom
anterior é igual a
h·c = 1 98762410−25
J ·m
e tendo em conta que 1eV = 1 6021910−19 J
h·c = 1 24eV ·µm.
Logo
eλ(eV) =
1 24
λ(µm)
.
A continuaçom vamos ver umha série de conceitos que caracterizam umha corrente de
fotões, e a relaçom destes cos conceitos radiométricos vistos na secçom 1.1.
• NÚMERO DE FOTÕES, Nph, é o número de fotões emitidos por umha fonte, ou que
incidem, atravessam ou emergem dumha superfície dada num intervalo de tempo
determinado. Incluindo-se todos os fotões de todas as longuras de onda contidas
no feixe de radiaçom. Se chamamos Nν
ph ao número de fotões no intervalo [ν, ν +
dν], entom a energia radiante espectral correspondente a esse intervalo será igual ao
número de fotões, Nν
ph, pola energia de cada fotom, hν:
Eν = Nν
ph eν = Nν
ph hν

e portanto
Nν
ph =
Eν
hν
.
Analogamente se Nλ
ph é o número de fotões no intervalo [λ, λ+dλ], entom:
Eλ = Nλ
ph
hc
λ
⇒ Nλ
ph =
λEλ
hc
O número de fotões é portanto
Nph = Nλ
ph dλ =
λEλ
hc
dλ
ou considerando as freqüências:
Nph = Nν
p dν =
Eν
hν
dν.
O número de fotões Nph, é umha grandeza adimensional, medindo-se na pseudo-
unidade q (≡ no de fotões), enquanto Nν
ph tem por dimensões o [T], medindo-se
em q/Hz, e Nλ
ph tem por dimensões [L−1], medindo-se em q/nm. Numha radiaçom
quase-monocromática de freqüência central ν o número de fotões vem dado por
Nph =
E
hν
=
λE
hc
.
• FLUXO FOTÓNICO, φph, é o número de fotões que fluem ao través dumha superfície
ou regiom do espaço por unidade de tempo
φph =
dNph
dt
.
Incluindo-se neste fluxo todos os fotões de todas as longuras de onda contidas no
feixe de radiaçom. Considerando unicamente o fluxo dos fotões de longuras de onda
no intervalo [λ, λ + dλ] temos o fluxo fotónico espectral, φλ
ph que está relacionado
directamente com o fluxo radiante espectral:
Pλ = φλ
ph
hc
λ
⇒ φλ
ph =
λPλ
hc
⇒ φph =
λPλ
hc
dλ.
Analogamente
Pν = φν
ph hν ⇒ φν
ph =
Pν
hν
⇒ φph =
Pν
hν
dν.
O fluxo fotónico tem dimensões de [T−1] medindo-se em q/s, enquanto φν
ph é adi-
mensional medindo-se em q/sHz, e φλ
ph tem dimensões de [L−1T−1] medindo-se em
q/snm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência central ν o fluxo fotó-
nico vem dado por:
φph =
P
hν
=
λP
hc
.

• IRRADIÂNCIA FOTÓNICA, Iph, é a densidade superficial de fluxo fotónico:
Iph =
dφph
dso
.
Evidentemente também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas
espectrais
Iλ
ph =
λIλ
hc
Iν
ph =
Iν
hν
Iph =
λIλ
hc
dλ =
Iν
hν
dν
A irradiância fotónica tem dimensões de [L−2T−1] medindo-se em q/sm2, enquanto
Iν
ph tem dimensões de [L−2] medindo-se em q/sm2Hz, e Iλ
p tem dimensões de [L−3T−1]
medindo-se em q/sm2nm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência cen-
tral ν a irradiância fotónica vem dada por:
Iph =
Ie
hν
=
λIe
hc
.
• INTENSIDADE FOTÓNICA, Aph, é densidade angular de fluxo fotónico:
Aph =
dφph
dω
.
Evidentemente também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas
espectrais
Aλ
ph =
λAλ
hc
Aν
ph =
Aν
hν
Aph =
λAλ
hc
dλ =
Aν
hν
dν
A intensidade fotónica tem dimensões de [T−1] medindo-se em q/ssr, enquanto Aν
p
é adimensional medindo-se em q/ssrHz, e Aλ
p tem dimensões de [L−1T−1] medindo-
se em q/ssrnm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência central ν a
intensidade fotónica vem dada por:
Aph =
Ae
hν
=
λAe
hc
.
• RADIÂNCIA FOTÓNICA, Lph, é densidade angular e superficial de fluxo fotónico:
Lph =
d2φp
dωds
.
Também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas espectrais
Lλ
ph =
λLλ
hc
Lν
ph =
Lν
hν
Lph =
λLλ
hc
dλ =
Lν
hν
dν

A radiância fotónica tem dimensões de [L−2T−1] medindo-se em q/sm2sr, enquanto
Lν
p tem dimensões de [L−2] medindo-se em q/sm2srHz, e Lλ
p tem dimensões de
[L−3T−1] medindo-se em q/sm2srnm. Numha radiaçom quase-monocromática e
freqüência central ν a radiância fotónica vem dada por:
Lph =
Le
hν
=
λLe
hc
.
Exemplo 1.3 Fotões por segundo num lúmen.
Quantos fotões por segundo tem 1 lm de radiaçom monocromática com longura de onda:
1. λ = 465 nm (Azul)
2. λ = 545 nm (Verde)
3. λ = 610 nm (Vermelho)
φph =
Pe λ
hc
=
Pv
Kλ
λ
hc
=
Pv
hc
λ
Kλ
Pv = 1lm
hc = 1 24eV ·µm
⇒
Pv
hc
=
1lm
1 24eV ·µm
= 0 806lm/eV ·µm
1W = 6 241451018 eV
s
⇒
Pv
hc
= 0 806
lm
eV µm
·6 241018 eV
W s
= 5 031018 lm
W µms
1.
λ = 465nm = 0 465µm
Kλ = 683·0 0739 = 50 47lm/W
⇒
λ
Kλ
= 9 2110−3 µmW
lm
φph = 5 031018 lm
W µms
·9 2110−3 W µm
lm
= 4 631016 q
s
2.
λ = 545nm = 0 545µm
Kλ = 683·0 9083 = 620 37lm/W
⇒
λ
Kλ
= 8 7910−4 µmW
lm
φph = 5 031018 lm
W µms
·8 7910−4 µmW
lm
= 4 421015 q
s
3.
λ = 610nm = 0 61µm
Kλ = 683·0 503 = 343 55lm/W
⇒
λ
Kλ
= 1 7810−3 µmW
lm
φph = 5 031018 lm
W µms
·1 7810−3 µmW
lm
= 8 951015 q
s
1.6.1 Variaçom temporal do feixe de fotões
Se a irradiância é umha funçom do tempo, a irradiância fotónica também será umha funçom
temporal, e assim considerando umha radiaçom quase-monocromática
Iph(−→r ,t) =
Ie(−→r ,t)
hν
.

Evidentemente neste caso o fluxo radiante e o fluxo fotónico também som funções do tempo:
φph(t) =
Σ
Iph(−→r ,t)dΣ =
P(t)
hν
onde Σ é a superfície onde incide, que atravessa, ou donde emerge a radiaçom. O número de
fotões registrados num intervalo temporal, entre t = 0 e t = T, também varia com o tempo,
i.e. considerando distintos intervalos da mesma duraçom,
Nph =
T
0
φph(t)dt =
E
hν
onde
E =
T
0
Pe(t)dt =
T
0 Σ
Ie(−→r ,t)dΣdt
é a energia radiante.
1.6.2 Estatística fotónica
Viu-se anteriormente como as grandezas radiantes e as fotónicas estám relacionadas. Agora
bem, as relações vistas som válidas quando o número de fotões é relativamente alto, e para
o promedio, mas nom para os fotões individuais.
Consideremos por exemplo um feixe monocromático com umha longura de onda λ0 =
1 24µm e um fluxo radiante constante de 0’16 µW . Este feixe consta por termo médio de
100 fotões por nanosegundo, e portanto de 0’1 fotom por picosegundo. Mas os fotões nom
som divisíveis, de maneira que se considerarmos 10 intervalos contíguos de 1 picosegundo,
podemos esperar que num deles haja um fotom, e nos outros 9 nom. Assim, o facto de os
fotões serem quantos discretos de energia dá lugar a flutuações estatísticas em intervalos
temporais curtos, induzindo umha certa dissonância na relaçom entre grandezas radiantes e
fotónicas. Mas este nom é o fenómeno mais rechamante.
Como o feixe considerado tem um fluxo radiante constante, poderíamos esperar que os
fotões viajassem equiespaciados, ou seja, dividindo o eixo temporal em intervalos de 10 ps,
que em cada um desses intervalos houvesse um fotom. E mais, que ao subdividir cada um
desse intervalos em 10 subintervalos de 1 ps, o fotom correspondente a cada intervalo de
10 ps, estivesse sempre no mesmo subintervalo, por exemplo sempre nos segundos subin-
tervalos, ou sempre nos quintos subintervalos. Porém na realidade os fotões nom viajam
equiespaciados, existindo sempre um certo degrau de aleatoriedade. Assim no exemplo
anterior, considerando intervalos de 10 ps, nalguns deles viajará um fotom, noutros nom
viajará nengum fotom, e noutros viajaram dous ou mais fotões.
Na figura 1.9 representa-se a irradiância que incide num detector, e os impactos fotóni-
cos que dam lugar a esta irradiância. Ainda que a irradiância seja constante, os fotões nom
incidem no detector a intervalos estritamente regulares, sendo a irradiância medida umha
funçom da média dos fotões detectados. Se a irradiância varia com o tempo, a densidade
dos tempos de detecçom dos fotões segue aproximadamente a funçom Ie(t), mas os instan-
tes exactos dos impactos apresenta umha certa aleatoriedade. Quando a potência é elevada

Impactos
fotónicos
Impactos
fotónicos
t
t
t
t
e
e
I (t)
I (t)
Figura 1.9: Aleatoriedade do fluxo fotónico que incide no detector.
o número meio de fotões é alto, e quando a potência é pequena os fotões chegam mais es-
paçados, mas nom há umha relaçom determinista directa entre o fluxo radiante e o número
de fotões que incidem num intervalo de tempo pequeno.
A aleatoriedade do fluxo fotónico é umha fonte importante de ruído, que cobra mais
importância quanto menor seja o número de fotões implicados, e que depende da natureza
da fonte de luz.
1.6.2.1 Luz coerente
Quando a luz é coerente, e o fluxo constante, a probabilidade de num determinado subinter-
valo viajar um fotom é independente da presença de fotões nos subintervalos próximos. Ou
dito doutro jeito, a chegada de fotões a um detector pode considerar-se como ocorrências
independentes dumha seqüência de sucessos aleatórios. Tendo esta seqüência umha “ve-
locidade” igual ao fluxo fotónico, que é proporcional ao fluxo radiante ou potência óptica.
Se pola contra a luz é incoerente ou parcialmente coerente, a chegada de fotões nom pode
ser considerada como umha seqüência de sucessos aleatórios, i.e. a probabilidade de num
determinado subintervalo viajar um fotom depende da presença de fotões nos subintervalos
próximos.
Consideremos um fluxo radiante constante Pe. O fluxo fotónico correspondente, φph =
Pe/hν, é também constante, mas os tempos exactos de incidência dos fotões numha super-
fície dada som aleatórios. Na figura 1.10 representam-se as incidências dos fotões do dito
fluxo, e como podemos ver os tempos de incidências nom estám equi-espaçados, senom

n = 11n = 7n = 9n = 8
T T T T
Figura 1.10: Incidência de fotões com fluxo radiante constante.
que se distribuem aleatoriamente. O intervalo total esta dividido em subintervalos iguais de
largura T. Seja n o número de fotões que incide num desses subintervalos. Sabemos que o
valor médio de n é
n = Nph = φph T =
Pe T
hν
mas como vemos na figura em cada subintervalo podem incidir um número diferente de
fotões. Queremos calcular agora a probabilidade de que o número de incidências seja um
n determinado, por exemplo que n = 8 ou que n = 11. Para isto dividimos cada intervalo
T num grande número de subintervalos M com umha largura pequena o bastante para que
em cada um desses subintervalos haja umha probabilidade p = n
M de que incida um fotom,
e umha probabilidade 1 − p de que nom incida nengum fotom. A probabilidade de que
incidam n fotões no intervalo T é portanto igual a probabilidade de de termos n subintervalos
contendo 1 fotom e M − n subintervalos contendo 0 fotões, em qualquer ordem possível.
Esta probabilidade é igual a distribuiçom binomial7:
p(n) = Cn
M pn
(1− p)M−n
=
M!
n!(M −n)!
n
M
n
1−
n
M
M−n
.
Como
lim
M→∞
M!
(M −n)!Mn
= 1
e
lim
M→∞
1−
n
M
M−n
= e−n
entom
p(n) =
nn e−n
n!
.
Esta equaçom é conhecida por distribuiçom de Poisson, e dá-nos a probabilidade de que
num intervalo de largura T incidam n fotões. Na figura 1.11 mostra-se a distribuiçom de
Poisson para vários valores do valor médio n. (Note-se que a distribuiçom é discreta, e as
linhas ponteadas pintam-se só para fazer mais clara a gráfica).
Umha sucessom de sucessos caracteriza-se usualmente por dous parâmetros, o seu valor
médio
n =
∞
∑
n=0
n p(n)
7O produto da combinaçom de ordem n de M elementos vezes a probabilidade de incidir um fotom elevado
a n, e a probabilidade de non incidir um fotom elevado a M −n.

¡ ¢¡¢ £¤
¥¦§¡§¨¡¨ © ¡¡ !¡! #$ %'¡'(¡( )01¡12¡2 345¡56 78 9@A¡AB¡B CDE¡EF¡F GH IP QR ST
n = 1
UVWX
Y¡YY¡Y`¡``¡` aabbc¡cd ef
ghipq¡qr¡rstuvw¡wx y€ ‚‚ƒ¡ƒ„¡„…¡…†¡†
‡‡ˆˆ
‰¡‰‰¡‰¡¡ ‘’“¡“”¡” ••––—¡—˜ ™d efg¡gg¡gh¡hh¡h ii
jjk¡kl¡l mn oopp
qqrr
st
n = 5
n = 15
n
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 5 10 15 20 25 30
p(n)
Figura 1.11: Distribuiçom de Poisson para 3 valores de n.
e a variância
σ2
n =
∞
∑
n=0
(n−n)2
p(n).
Calculemos primeiramente o valor médio
n =
∞
∑
n=0
n p(n) =
∞
∑
n=0
n
nn e−n
n!
= e−n
∞
∑
n=0
n
nn
n!
,
e tendo em conta que ∑∞
n=0 nxn
n! = xex
n = e−n
·n·en
= n.
Ou seja, obtemos que o valor médio da distribuiçom de Poisson é n, e portanto os nossos
cálculos som coerentes.
Calculemos agora a variância
σ2
n =
∞
∑
n=0
(n−n)2 nne−n
n!
= e−n
∞
∑
n=0
(n−n)2 nn
n!
= e−n
∞
∑
n=0
(n2
+n2
−2nn)
nn
n!
= e−n
∞
∑
n=0
n2 nn
n!
+n2
e−n
∞
∑
n=0
nn
n!
−2ne−n
∞
∑
n=0
n
nn
n!
.
Tendo em conta que
∞
∑
n=0
n2 xn
n!
= x(1+x)ex
,
∞
∑
n=0
n
xn
n!
= xex
,
∞
∑
n=0
xn
n!
= ex
,
entom
σ2
n = n(1+n)+n2
−2n2
= n.
Assim se por exemplo n = 100 o desvio padrom será σn = 10, i.e. um ﬂuxo de 100 fotões
vem acompanhada por umha inexactitude de ±10 fotões.

Como já dixemos a aleatoriedade fotónica constitui umha fonte de ruído fundamental,
que deve ter-se em conta à hora de transmitir informaçom usando radiaçom electromagné-
tica. Umha medida muito utilizada para medir a bondade dum sistema de comunicações é a
razom sinal-ruído (SNR). Se representamos a média do sinal por n e o seu ruído polo desvio
padrom σn, a razom sinal-ruído dum feixe fotónico é:
SNR =
media2
vari áncia
=
n2
σ2
n
.
E caso de podermos aplicar a distribuiçom de Poisson:
SNR =
n2
n
= n.
Cumpre salientar que neste caso a razom sinal-ruído aumenta sem limite ao medrar o nú-
mero de fotões.
1.6.2.2 Classificaçom da luz
Do ponto de vista clássico um feixe coerente com fluxo radiante constante é o tipo de luz
mais estável em que podemos pensar. Serve portanto como umha referência para classificar
a luz em funçom da sua aleatoriedade fotónica. E assim umha dada radiaçom electromag-
nética vai ter umha estatística fotónica dalgum dos seguintes 3 tipos:
• super-poissoniana, σ2
n n,
• poissoniana, σ2
n = n, ou
• sub-poissoniana, σ2
n n.
A figura 1.12 mostra as distribuições de probabilidade de estatísticas super-poissoniana,
poissoniana e sub-poissoniana, para um valor médio n igual a 80.
Um feixe laser monomodo, de potência constante e estabilizada, apresenta umha es-
tatística praticamente poissoniana. As fontes térmicas e de descarga mostram estatística
super-poissoniana, se bem em muitos casos nom dista muito da estatística poissoniana. Para
obter luz com estatística sub-poissoniana cumpre utilizar montagens bastante sofisticadas,
nas que a emissom dos fotões da fonte, usualmente um Led ou um díodo laser, é controlada
com bastante precisom.
1.6.2.3 Luz super-poissoniana
As fontes tradicionais; incandescentes, fluorescentes e de descarga, emitem luz super-poisso-
niana, e portanto as razões sinal-ruído que se obtém som piores que para a luz coerente.
Assim em geral o desvio padrom vem pode expressar-se como:
σn =
√
n+σt ,

Poissoniana
Sub−poissoniana
Super−poissoniana
n = 80
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
20 40 60 80 100 120 140
p(n)
n
0
Figura 1.12: Comparativa de possíveis estatísticas fotónicas da luz.
onde σt é o ruído a maiores devido a natureza estocástica da fonte. Este factor pode tomar
valores muito diferentes, dependendo da fonte de luz, o seu grau de coerência, o grau de
polarizaçom, etc.
Um caso extremo e interessante é o corpo negro, cuja radiaçom é totalmente incoerente,
é que serve de protótipo de fonte térmica. Neste caso para o cálculo da variância cumpre
utilizar a estatísticas de Bose-Einstein, obtendo-se que a dita variância é igual a8:
σ2
n = n·
ehν/kBT
ehν/kBT −1
ou seja o produto da variância do caso coerente por um quociente conhecido como factor
de Boson, que pode tomar valores muito diferentes. O caso extremo dá-se quando a energia
dos fotões é igual à energia térmica, kBT, entom quociente tende a inﬁnito, mas usualmente
trabalha-se em condições muito diferentes. Assim para freqüências ópticas, e temperatu-
ras típicas o factor de Boson toma valores próximos a unidade, por exemplo considerando
que a temperatura do corpo negro é de 5300 K, temperatura da superfície do Sol, aos ex-
tremos do visível (360, 860) nm, correspondem-lhe factores de Boson de 1.0006 e 1.046
respectivamente.
Cumpre sinalar as fontes parcialmente coerentes, podem ser mais ruidosas que o corpo
negro, e sempre vam ser mais ruidosas que as fontes totalmente coerentes.
A razom sinal ruído dum corpo negro será logicamente:
SNR = n·
ehν/kBT −1
ehν/kBT
.
8Veja-se por exemplo a secçom 1-6 da referência[4].

BIBLIOGRAFIA 25
Bibliografia
[1] McCluney W.R., Introduction to Radiometry and Photometry, ed. Artech House, Bos-
ton 1994.
[2] E.F. Schubert, Light-emitting diodes, cap 11, Cambridge University Press, 2003.
[3] B.E.A. Saleh and M.C. Teich , Fundamentals of photonics, ed. Wisley, New York 1991.
[4] Dereniak, E.L. and Crowe D.G., Optical Radiation Detectors, ed. John Wiley Sons,
1984.
[5] Uiga, E., Optoelectronics, ed. Prentice Hall, 1995.
[6] Gross H., Handbook of Optical Systems, Volume 1, cap. 6 e 7, ed. Wiley-VCH, 2005.
[7] Fox M., Quantum Optics. An introduction, Oxford University Press, 2006.
Problemas
1. O fluxo radiante espectral emitido polo corpo negro a temperatura T, vem descrito
por:
Pλ = P0 ·W(λ,T) con W(λ,T) = λ−5
· exp
hc
λkB T
−1
−1
sendo P0 um parâmetro que nom depende nem da temperatura nem da longura de
onda, h a constante de Planck, c a velocidade da luz no vácuo e kB a constante de
Boltzmann. De maneira que hc/kB = 1 438775827107 nm K.
2. Represente-se graficamente Pλ/P0 para T = 2000, 3500 e 5000 K.
(a) Calcule-se a eficácia luminosa de radiaçom como umha funçom da temperatura.
Represente-se a dita eficiência no intervalo [1000, 15.000].
(b) Para umha temperatura dada, T, calcule-se a longura de onda para a qual a
funçom W(λ,T) tem o seu máximo.
3. Da expressom que aparece no problema anterior derive-se o fluxo radiante espectral,
a respeito da freqüência, que emite o corpo negro á temperatura T.

4. A distribuiçom espectral da radiaçom solar extraterrestre é semelhante à do corpo
negro a 5800 K. Para esta radiaçom calcule-se:
(a) a eficácia luminosa, e
(b) quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen.
5. Seja umha lâmpada incandescente de tungsténio com as seguintes características:
Pv = 1.270 lm Potência (eléctrica consumida) = 100 W
Voltagem alimentaçom = 220 V Distribuiçom espectral semelhante à do corpo negro a 2820 K
(a) Calcule-se a eficácia luminosa.
(b) Calcule-se a eficiência radiante percentual, i.e. Pe
Pelectrica
·100.
(c) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen.
(d) Quantos fotões por segundo emite a fonte.
6. Seja umha lâmpada halogénea com as seguintes características:
Pv = 2.070 lm Potência (eléctrica consumida) = 100 W
Voltagem alimentaçom = 220 V Distribuiçom espectral semelhante á do corpo negro a 3130 K
(a) Calcule-se a eficácia luminosa.
(b) Calcule-se a eficiência radiante percentual, i.e.
Pe
Pelectrica
·100.
(c) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen.
(d) Quantos fotões por segundo emite a fonte.
7. Mede-se a distribuiçom espectral dumha lâmpada flash obtendo-se um fluxo espectral
que ajustamos à seguinte funçom:
Pλ = P0 ·exp 30 1548−0 9688
√
λ−
2318470
λ2
onde a longura de onda mede-se em nanómetros.
(a) Represente-se o fluxo espectral normalizado à unidade.
(b) Corresponde-se este fluxo espectral com o do corpo negro?, a que temperatura?.
(c) Calcule-se a eficácia luminosa.
(d) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen?.

BIBLIOGRAFIA 27
8. Considere-se a lâmpada do problema 3 iluminando um quarto cúbico de 9 m3. As-
sumindo que a lâmpada é umha fonte pontual, que ﬁca a 1
2 m do teito e no meio do
quarto, e que este está valeiro. Calcule-se:
(a) a intensidade luminosa,
(b) a iluminância numha parede (ignorando a luz reﬂectida noutras paredes).
9. Represente-se o factor de Boson no espectro visível para o corpo negro às seguintes
temperaturas:
(a) T = 2000 K
(b) T = 4000 K
(c) T = 6000 K
Dica
•
∞
0
xν−1
eµx −1
dx =
1
µν
Γ(ν)ζ(ν)

Capítulo 2
Princípios físicos dos dispositivos
opto-electrónicos
Neste capítulo estudam-se os princípios básicos de funcionamento dos dispositivos opto-
electrónicos, que na sua imensa maioria estám fabricados com semicondutores. Assim
a primeira secçom está dedicada apresentar os semicondutores, introduzindo um modelo
simples que explica as suas características gerais e permite entender as estruturas que se
elaboram hoje em dia com semicondutores. Numha segunda secçom estudam-se os mate-
riais específicos utilizados na elaboraçom dos dispositivos opto-electrónicos de semicondu-
tores, as suas características e propriedades. E na terceira secçom apresenta-se um modelo
simples das interacções entre a radiaçom electromagnética e os semicondutores.
2.1 Semicondutores
2.1.1 Conceitos básicos
Um semicondutor é um sólido cristalino ou amorfo cuja condutividade eléctrica é intermé-
dia entre a dum metal e a dum isolante, podendo ser variada significativamente modificando
a temperatura ou a concentraçom de impurezas do material, ou por efeito da luz.
Em opto-electrónica a maioria dos materiais usados som semicondutores compostos, i.e.
formados por mais dum elemento, e cristalinos. Os mais comuns e úteis som os materiais
tipo III-V que como o seu nome indica estám compostos por elementos do Grupo III (Al,
Ga e In) e do Grupo V (N, P, As e Sb) como por exemplo o arsenieto de gálio (GaAs). Algo
menos usados som os semicondutores elementares, Si e Ge, que se utilizam principalmente
na elaboraçom de foto-detectores. Há também semicondutores do tipo II-VI, ex. telureto
de cádmio (CdTe) e do tipo IV-VI, ex telureto de chumbo (PbTe), mas em ambos casos
com um uso bastante reduzido. Por último existe um composto binário do tipo IV-IV, o
SiC (carboneto de silício), que se usa tanto na detecçom como na emissom de radiações de
longura de onda curta (azul - ultravioleta).
Um material semicondutor nom pode ser visto como um conjunto de átomos indivi-
duais, cada um cos seus níveis de energia próprios e independentes, posto que as suas in-
29

30 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
3s
3p
2p
2s
1s
isolado
Metal IsolanteSemi-
condutor
Átomo
Nível do vácuo
Figura 2.1: Agrupamento em bandas dos níveis energéticos
teracções som demasiado fortes para serem ignoradas. E assim os electrões de valência
nom estám vencelhados a átomos individuais, senom que pertencem ao sistema de átomos
global.
A soluçom da equaçom de Schrödinger para a energia do electrom, no potencial pe-
riódico criado polo conjunto de átomos numha rede cristalina, consiste num conjunto de
níveis energéticos discretos, que se agrupam em bandas energéticas. Cada banda contém
um grande número de níveis energéticos, discretos mas muito próximos, de jeito que po-
dem ser considerados como um continuum. Em ausência de excitações térmicas (a T =
0 K), nos semicondutores estas bandas estám bem completamente ocupadas por electrões,
bem completamente valeiras. A banda ocupada mais alta -de maiores energias-, é nome-
ada banda de valência, e a banda valeira seguinte recebe o nome de banda de conduçom.
Ambas bandas estám separadas por unha banda (de energia) proibida de largura Eg (veja-se
a ﬁgura 2.1), chamada largura da banda proibida, que joga um importante papel na deter-
minaçom das propriedades eléctricas e magnéticas do material. Os materiais com umha
banda de conduçom valeira e umha largura da banda proibida grande som isoladores eléc-
tricos; enquanto aqueles com umha largura pequena ou inexistente som condutores. Os
semicondutores som logicamente materiais com largura da banda proibida intermédia. Tra-
dicionalmente considerava-se que os valores fronteira que deﬁniam estes três grupos eram
0’1 e 3 eV, de maneira que um material com Eg 3 eV seria um isolante, um material com
Eg ∈ (0 1, 3) eV seria um semicondutor e um material com Eg 0 1 eV seria um metal. Mas
estes valores estám a ser revisados na actualidade, pois para conseguir fontes que emitam
no azul e no violeta precisam-se materiais com largura de banda maiores de 3 eV. E assim
materiais que tradicionalmente seriam considerados isolantes, estám a ser tratados hoje em
dia como semicondutores.

2.1. SEMICONDUTORES 31
Banda de
conduçom
Banda de
valência
Lacuna
banda proibida
Largura da
Energiadoelectrom
Electrom livre
Figura 2.2: Electrões de conduçom e lacunas.
2.1.1.1 Electrões e lacunas
De acordo com o princípio de exclusom de Pauli um mesmo estado quântico nom pode estar
ocupado por dous electrões distintos, ocupando-se primeiramente os níveis energéticos me-
nores. Num semicondutor elementar, tal como o Si e o Ge, há quatro electrões de valência
por átomo; de jeito que a banda de valência tem um número de estados quânticos tal que em
ausência de excitaçom térmica a dita banda de valência está completamente cheia, entanto
a banda de conduçom fica completamente valeira. Portanto o material nom pode conduzir
electricidade.
Porem ao incrementar-se a temperatura alguns electrões som excitados termicamente,
atingindo a banda de conduçom, valeira de electrões e cheia de estados nom ocupados
(veja-se a figura 2.2). Nela os electrões podem actuar como portadores móveis; deixando-
se levar na rede cristalina polos efeitos dum campo eléctrico, e contribuindo deste jeito a
corrente eléctrica. Mais ainda, o afastamento dum electrom da banda de valência fornece
um estado quântico valeiro, permitindo aos electrões que permanecem na banda de valência
trocar os seus respectivos lugares baixo a influência dum campo eléctrico. O movimento
dos electrões na banda de valência pode ser visto como o movimento no sentido contrario,
da lacuna1 deixada polo electrom que saltou à banda de conduçom. A lacuna se comporta
portanto, como se tiver umha carga positiva +e. Assim a excitaçom de um electrom dá lu-
gar entom á criaçom de um electrom ceive na banda de conduçom e unha lacuna na banda
de valência. Os dous portadores de carga nom estám vencelhados a nengum átomo em
particular, deixando-se levar livremente por qualquer campo eléctrico aplicado ao material,
e contribuindo assim a corrente eléctrica. O material comporta-se como um semicondu-
1Lacuna: espaço valeiro no interior dum corpo. Letra que falta num texto impresso.

[111] [100]
[111] [100]
k
GaAs
Si
k
E
E
Figura 2.3: Energia versus número de onda em Si e GaAs
tor, cuja condutividade se incrementa rapidamente com a temperatura, ao se incrementar o
número de portadores de carga gerados termicamente.
2.1.1.2 Relações energia-momento
A energia E e o momento p de um electrom no espaço livre estám relacionados pola equa-
çom:
E = p2
/2m0 = 2
k2
/2m0 ,
onde p é o módulo do momento, k é o número de onda, i.e. o modulo do vector de onda
k = p/ associado com a funçom de onda do electrom, e m0 é a massa do electrom (9.1 x
10−31 kg). I.e., a relaçom E −k é umha parábola.
O movimento de electrões na banda de conduçom, e lacunas na banda de valência, dum
semicondutor estám sujeitos a dinâmicas diferentes, estando governados pola equaçom de
Schrödinger e a rede periódica do material. Na ﬁgura 2.3 ilustram-se as relações E − k
para o Si e o GaAs. A energia E é umha funçom periódica das componentes (k1, k2, k3) do

π/a a2π/
6Γ
8Γ
7Γ
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0
K
Energiadoelectrom,E(eV)
L4 L5
L
6L
6
X6
X7
X6
Mínimo lateral
Mínimo central
Mínimo lateral
Banda Split Off
Banda de lacunas pesadas
Banda de lacunas leves
Banda de conduçom
[111] [100]
GaAs
Figura 2.4: Energia versus número de onda para semicondutores binários III-V
vector k, com periodicidades ((π/a1, π/a2, π/a3), onde a1, a2, e a3 som as constantes de
rede do cristal. Na dita figura vem-se as secções transversais desta relaçom ao longo de duas
diferentes direcções de k. Podendo-se observar como a energia dum electrom na banda de
conduçom depende nom só da grandeza do seu momento, mais também da direcçom na que
está a se deslocar no cristal.
A figura que acabamos de ver simplifica notavelmente a situaçom real e ilustra mais bem
umha aproximaçom, aproximaçom que imos empregar durante este curso porque facilita os
cálculos e permite obter uns resultados razoáveis. Na figura 2.4 vê-se umha representaçom
mais realista da relaçom energia-momento para o GaAs. Tanto para a banda de valência
como para a banda de conduçom existem três pólas. Na banda de conduçom umha destas
três pólas atopa-se claramente por baixo das outras duas, polo menos no seu mínimo. Vai ser
este mínimo o que determine a largura da banda proibida, e dado que usualmente a regiom
de interesse está nas vizinhanças desse mínimo, usualmente só é considerada essa póla. Na
banda de valência a situaçom é diferente, pois duas das pólas convergem para k=0 (polo que
se di que estám degeneradas -igual valor de energia para distintos estados do electrom-), a
terceira póla fica por baixo das outras duas e usualmente tampouco é considerada.

Tabela 2.1: Massas efectivas médias de electrões e lacunas em Si e GaAs. (T = 4K)
mc mp
v ml
v
Si 1’062 m0 0’537 m0 0’153 m0
GaAs 0’067 m0 0’51 m0 0’082 m0
2.1.1.3 Massa efectiva
Nas vizinhanças do mínimo da banda de conduçom, a relaçom E-k pode representar-se
aproximadamente por unha parábola
E = Ec +
2k2
2mc
(2.1)
onde Ec é a energia mínima da banda de conduçom e mc é umha constante que representa
a massa efectiva do electrom na banda de conduçom (veja-se a figura 2.3). De um jeito
semelhante nas proximidades do máximo da banda de valência, e para cada umha das duas
pólas que nele convergem tem-se que
Ep
= Ev −
2k2
2mp
v
e El
= Ev −
2k2
2ml
v
(2.2)
onde Ev = Ec −Eg é a energia máxima da banda de valência, mp
v é a massa efectiva dumha
lacuna da póla superior da banda de valência e ml
v é a massa efectiva dumha lacuna da póla
inferior da dita banda. Os superíndices p e l significam respectivamente pesado e leve,
denominando-se lacunas pesadas aquelas pertencentes à póla superior e leves à inferior.
Evidentemente ml
v mp
v . Os valores das massas efectivas dependem também da orienta-
çom do cristal, sobre todo na banda de conduçom, onde se diferenciam a massa efectiva
transversal mt e a massa efectiva longitudinal ml. Porém nós nom imos considerar esta
diferença, trabalhando com massas efectivas médias, o qual resulta numha aproximaçom
muito usada e que normalmente avonda para explicar os comportamentos dos dispositivos
a estudar. Na tabela 2.1 incluem-se as massas efectivas medias para Si e GaAs.
2.1.1.4 Semicondutores directos e indirectos
Os semicondutores para os quais o máximo na banda de valência tem o mesmo momento
que o mínimo na banda de conduçom (o mesmo k) som chamados materiais com banda
proibida directa ou materiais directos, enquanto que os semicondutores para os que nom se
cumpre o anterior recebem o nome de materiais com banda proibida indirecta, ou materiais
indirectos. A diferença é importante; já que umha transiçom entre o cimo da banda de
valência e o fundo da banda de conduçom, num semicondutor com banda proibida indirecta,
requer um cambio substancial no momento do electrom. Na figura 2.3 evidencia-se que o Si
é um semicondutor com banda proibida indirecta, entanto o GaAs é um material com banda

Electrom
livre
Si Si
Si
Si
Si
Si
P
(a) Tipo-n
Lacuna
Si Si
Si
Si
Si
Si
Al
(b) Tipo-p
Figura 2.5: Semicondutores dopados.
proibida directa. Verá-se em apartados vindoiros que os semicondutores com banda proibida
directa, coma o GaAs, som emissores fotónicos eficazes, entanto que os semicondutores
com banda proibida indirecta, coma o Si, nom podem ser usados eficientemente coma fontes
de luz.
2.1.1.5 Semicondutores dopados
As propriedades eléctricas e ópticas dum semicondutor podem ser modificadas substancial-
mente engadindo pequenas quantidades de impurezas especialmente escolhidas, ou dopan-
tes, que alteram as concentrações de portadores de carga móbil em varias ordens de magni-
tude. Se substituirmos umha pequena proporçom dos átomos normais da rede com átomos
com excesso de electrões de valência (chamados doadores), dá-se lugar a umha predomi-
nância de electrões móveis, já que há um aumento dos ditos electrões e umha diminuiçom
de lacunas, daquela o semicondutor di-se de tipo n. Assim usam-se átomos do grupo V (ex.
P ou As) para substituir átomos da rede dum material semicondutor elementar (do grupo
IV), tal e como se vê na figura 2.5a, e átomos do grupo VI (ex. Se ou Te) para substituir
átomos do grupo V dum semicondutor binário de tipo III-V, e obter semicondutores tipo-n.
Igualmente fabricam-se materiais semicondutores do tipo-p, nos que predominam as lacu-
nas, usando como dopantes átomos com falta de electrões de valência, chamados receptores
ou aceitadores. Para elo substituem-se átomos da rede dum semicondutor elementar por
átomos do grupo III (ex. B ou Al), tal e como se vê na figura 2.5b, ou átomos do grupo III
dum semicondutor binário do tipo III-V por átomos do grupo II (ex. Zn ou Cd).
Na figura 2.6 mostram-se os efeitos dos dopantes no diagrama de bandas. Um átomo
aceitador dá lugar a um nível energético próximo à banda de valência, mas dentro da banda
de energias proibidas. De maneira que é requerida muito pouca energia para um electrom
da banda de valência poder se passar a ocupar esse nível energético, deixando trás de si um
oco, i.e. umha lacuna. Por outro lado um átomo doador dá lugar a um nível energético
próximo da banda de conduçom, de maneira que o electrom do átomo doador que ocupa

D+Dx
Ax A− A−equivale
IonizadaNeutra
Banda de conduçom
Banda de valência
Figura 2.6: Representaçom em diagrama de bandas das impurezas.
esse nível pode se passar facilmente à banda de conduçom.
Os semicondutores nom dopados recebem o nome de materiais intrínsecos, enquanto
que aos dopados se lhes chama materiais extrínsecos. Num material intrínseco as concentra-
ções de electrões e de lacunas som iguais, n = p = ni, incrementando-se com a temperatura
dum jeito exponencial. A concentraçom de electrões móveis num semicondutor tipo n (cha-
mados portadores majoritários) é muito maior que a concentraçom de lacunas (chamados
portadores minoritários), i.e. n p, ocorrendo o contrario num semicondutor tipo p, onde
os portadores majoritários som as lacunas e p n. A temperatura ambiente, os semicon-
dutores dopados tenhem umha concentraçom de portadores majoritários aproximadamente
igual à concentraçom de impurezas.
2.1.2 Concentrações de electrões e de lacunas
Para determinarmos as concentrações de portadores (electrões e lacunas) cumpre conhecer-
mos a densidade de níveis energéticos permitidos (densidade de estados), e a probabilidade
de cada um desses estados estar ocupado.
2.1.2.1 Densidade de estados
O estado quântico dum electrom num material semicondutor vem caracterizado pola sua
energia E, o seu vector de onda
−→
k -o módulo do qual está relacionado com E pola equaçom
(2.1) ou a (2.2), e o seu spin. Estando descrito por umha funçom de onda que satisfai certas
condições fronteira.
Um electrom perto do fundo da banda de conduçom pode descrever-se aproximada-
mente como umha partícula de massa mc confinada numha caixa cúbica (de dimensões d)
com paredes reflectoras perfeitas, i.e., um poço de potencial tridimensional infinito e cúbico
(veja-se a figura 2.7). A equaçom de Schrödinger toma entom a forma:
∇2
Ψ+k2
Ψ = 0 0 x l, 0 y w, 0 z d

E
E
E
E
c
c
superior
v
Figura 2.7: Representaçom do potencial correspondente à rede dum semicondutor.
sendo l, w e d as dimensões do cristal. Usando a técnica de separaçom de variáveis chega-se
à soluçom:
Ψ(x,y,z) = A sinkxx sinkyy sinkzz
com kx = qxπ/l, ky = qyπ/w, kz = qzπ/d, tais que k2
x +k2
y +k2
z = k2, e qx, qy, qz = 1, 2, 3...
Cada combinaçom de qs (tal que k π/a, sendo a a constante da rede) define um estado
permitido, e a partir das equações anteriores podemos calcular a energia correspondente. Se
só estivermos interessados nos estados correspondentes a uns poucos qx, qy, qz poderíamos
contá-los directamente, mas estamos interessados na densidade de estados em funçom da
energia em todo o intervalo de energias permitidas. Como as dimensões do cristal som rela-
tivamente grandes, os incrementos de ks ao variar as qs vam ser mui pequenos, de jeito que
pode haver facilmente sobre 1020 estados permitidos nas proximidades de E = 0. Cumpre
portanto usarmos umha técnica para contar o número de estados mais sofisticada.
Para ajudar-nos a contar o número de estados permitidos usamos a rede da figura 2.8 .
Cada soluçom da equaçom de Schrödinger pode associar-se univocamente com um vector
do espaço das ks:
−→
k =
qxπ
l
−→ex +
qyπ
w
−→ey +
qzπ
d
−→ez
onde −→ex , −→ey , −→ez som os vectores unitários ao longo dos eixos de coordenadas do espaço das
ks. Cada vector aponta a um vértice distinto da rede tridimensional da figura 2.8, de jeito
que cada um dos vértices representa um estado permitido2, ou o que é o mesmo, haverá
2Os vértices que jazem nos planos kx = 0, ky = 0, kz = 0, nom se correspondem com estados permitidos, já
que todos eles dam lugar à soluçom trivial Ψ = 0.

π
w
kx
kx
ky ky
kz kz
π
π
d
l
Figura 2.8: Artifício usado para contar o número de estados permitidos.
tantos estados como celas da rede. Portanto o número de estados permitidos por unidade de
volume no espaço das ks será o igual ao número de celas que cabem na unidade de volume,
como o volume de cada cela é (π /l)(π /w)(π /d), o dito número será:
número de estados permitidos
unidade de volume do espaço das ks
=
l wd
π3
O número de estados com vectores de onda de módulo entre 0 e k calcula-se contando o
número de celas da rede que há no octante positivo dumha esfera de raio k, (veja-se a ﬁgura
2.9). O volume deste octante é:
1
8
4
3
πk3
=
π
6
k3
.
Devido a que o spin do electrom pode ter dous valores, cada ponto no espaço das ks corres-
ponde a dous estados. Há portanto aproximadamente 2(πk3/6)(lwd/π3) = (k3/3π2)(lwd)
estados num volume (lwd), e (k3/3π2) estados por unidade de volume. Do anterior segue-
se que o número de estados com número de onda entre k e k+dk, por unidade de volume,
é:
ρ(k)dk =
d
dk
k3
3π2
dk =
k2
π2
dk
e já que logo a densidade de estados em funçom de k, ou seja o número de estados por
unidade de volume com número de onda entre k e k +dk é:
ρ(k) =
k2
π2
Se representamos por ρc(E)dE o número de níveis energéticos, por unidade de volume,
da banda de conduçom entre E e E+dE, entom, dada a correspondência unívoca entre k e E,

k
k
k+dk
k
z
y
k x
Figura 2.9: Octante positivo dumha esfera de raio k.
governada pola eq.(2.1), as densidades energética e de número de estados estám relaciona-
das por:
ρc(E)dE = ρ(k)dk ⇒ ρc(E) = ρ(k)/
dE
dk
Tendo em conta a relaçom que liga a energia e o número de onda nas proximidades do
mínimo da banda de conduçom:
dE
dk
=
2k
mc
⇒ ρc(E) =
mck
π2 2
e dessa mesma relaçom sai que:
k =
√
2mc √
E −Ec
Portanto:
ρc(E) =
(2mc)3/2
2π2 3
√
E −Ec E ≥ Ec
De um jeito análogo obtém-se a densidade energética na banda de valência, mais neste
caso cumpre considerar as duas pólas existentes (as lacunas leves e as pesadas), e assim a
densidade de estados total da banda de valência e a soma das densidades correspondentes a
ambas pólas:
ρv(E) =
(2mp
v )3/2
2π2 3
Ev −E +
(2ml
v)3/2
2π2 3
Ev −E =
(2mv)3/2
2π2 3
Ev −E

Ev
Ec
Ev
Ec
Eg
v
ρ (E)
c
ρ (E)
k
E E
Densidade de estados
Figura 2.10: Densidade de estados
com
mv = (mp
v )3/2
+ ml
v
3/2 2/3
Como comentamos anteriormente pode simpliﬁcar-se o estudo do comportamento dos
semicondutores ignorando a diferença entre as lacunas pesadas e as leves, considerando que
a banda de conduçom só tem umha póla e usando para todas as lacunas a massa efectiva
média mv. Isto representa logicamente umha aproximaçom da realidade, mas na maioria
dos casos funciona bem. Na ﬁgura 2.10 ilustra-se a dependência da densidade de estados
com a energia; que é zero nos extremos das bandas, incrementando-se ao se afastar dos ditos
extremos a unha velocidade que depende das massas efectivas dos electrões e das lacunas.
Na tabela 2.2 vemos as massas efectivas medias para Si e AsGa a T = 4K e T = 300K.
Tabela 2.2: Massas efectivas de Si e de GaAs
Massa efectiva Si GaAs
mc/m0 T = 4 K 1’062 0’067
mc/m0 T = 300 K 1’182 0’0655
mv/m0 T = 4 K 0’590 0’532
mv/m0 T = 300 K 0’81 0’524

Ev
Ec
Ef Eg
Ev
Ec
Ef
Ev
Ec
Ef
0 0’5 1
f(E)
f(E)
1−f(E)
0 0’5 1
f(E)
E E
T = 0 KT 0 K
Figura 2.11: Distribuiçom de Fermi-Dirac
2.1.2.2 Probabilidade de ocupaçom
Em ausência de excitaçom térmica (a T = 0K), todos os electrões ocupam os níveis energé-
ticos mais baixos possíveis, cumprindo isso si, o principio de exclusom de Pauli. De jeito
que a banda de valência está completamente cheia, nom há lacunas, e a banda de conduçom
está completamente valeira, nom contém electrões. Quando a temperatura aumenta, alguns
electrões som excitados termicamente saltando da banda de valência à banda de conduçom,
deixando detrás sua estados valeiros na banda de valência, i.e. lacunas. As leis da mecânica
estatística ditam que baixo condições de equilíbrio térmico à temperatura T, a probabilidade
de um estado dado de energia E estar ocupado vem determinada pola funçom de Fermi:
f(E) =
1
Exp
(E −Ef )
kBT
+1
onde kB é a constante de Boltzmann, o produto kBT recebe o nome de energia térmica, e Ef
é umha constante conhecida como energia de Fermi ou nível de Fermi. A funçom anterior é
conhecida também com o nome de distribuiçom de Fermi-Dirac. O nível energético E está
ou bem ocupado, com probabilidade f(E), ou bem valeiro, com probabilidade 1− f(E). A
distribuiçom de Fermi-Dirac é umha funçom monotonamente decrescente de E, tal e como
se pode ver na ﬁgura 2.11.
Devido a que f(Ef ) = 1
2 qualquer que seja a temperatura T, o nível de Fermi é o nível
energético para o qual a probabilidade de ocupaçom seria 1
2 , se houver um estado permitido.
No zero absoluto, T = 0K,
f(E) =



0 para E Ef
1
2 para E = Ef
1 para E Ef

Portanto Ef é a linha divisória entre os estados ocupados e os valeiros a T = 0K. Dado que
f(E) é a probabilidade de um nível energético estar ocupado, 1 − f(E) é a probabilidade
de estar valeiro, i.e. de estar ocupado por umha lacuna quando E jaz na banda de valência.
Assim para um nível energético E:
• f(E) = probabilidade de ocupaçom por um electrom
• 1− f(E) = probabilidade de ocupaçom por umha lacuna (na banda de valência)
sendo estas duas funções simétricas a respeito do nível de Fermi.
Quando E −Ef kBT, pode-se aproximar a funçom de Fermi por:
f(E) ≈ Exp −
E −Ef
kBT
de jeito que a cauda correspondente às altas energias da funçom de Fermi na banda de
conduçom decresce exponencialmente ao se incrementar a energia3.
Analogamente se Ef −E kBT podemos aproximar
1− f(E) ≈ Exp −
Ef −E
kBT
ou seja, a probabilidade de ocupaçom por lacunas na banda de valência decresce exponen-
cialmente quando a energia ﬁca suﬁcientemente por baixo do nível de Fermi.
2.1.2.3 Concentrações de portadores em equilíbrio térmico
Sejam n(E)dE e p(E)dE, respectivamente, o número de electrões e lacunas por unidade de
volume com energias entre E e E+dE. As densidades n(E) e p(E) obtém-se multiplicando as
densidades de estados de energia E polas probabilidades de ocupaçom do nível por electrões
ou por lacunas:
n(E) = ρc(E) f(E), p(E) = ρv(E)[1− f(E)]
Podemos entom calcular as concentrações de portadores, sem mais que integrar as densida-
des anteriores:
n =
∞
Ec
n(E)dE =
∞
Ec
ρc(E) f(E)dE =
(2mc)3/2
2π2 3
∞
Ec
√
E −Ec dE
1+Exp (E −Ef )/kBT
=
(2mc)3/2
√
kBT
2π2(h/2π)3
∞
Ec
(E −Ec)/(kBT)dE
1+Exp{(E −Ec)/(kBT)} Exp −(Ef −Ec)/(kBT)
3Já que logo a funçom de Fermi é proporcional á distribuiçom de Boltzmann, que descreve a dependência
da fracçom dumha populaçom de átomos excitados a um nível energético dado, a respeito da energia, sendo tal
dependência exponencial.

Usando a notaçom: x = (E −Ec)/kBT e ηc = (Ef −Ec)/kBT obtemos:
n = 4π
2mckBT
h2
3/2 ∞
0
√
xdx
1+exe−ηc
= Nc F1
2
(ηc)
onde
Nc = 2
2πmckBT
h2
3/2
é a densidade de estados efectiva para a banda de conduçom, e
F1
2
(η) =
2
√
π
∞
0
√
xdx
1+exe−η
é a integral de Fermi de ordem 1
2. Por outro lado o parâmetro η recebe o nome de nível de
Fermi reduzido.
Analogamente na banda de valência:
p = Nv F1
2
(ηv)
com Nv = 2 2πmvkBT
h2
3/2
e ηv =
Ev−Ef
kBT .
As densidades de estados reduzidas podem escrever-se como:
Nc = 2 51019
(mc/m0)3/2
(T/300)3/2
cm−3
Nv = 2 51019
(mv/m0)3/2
(T/300)3/2
cm−3
numha maneira que resulta muito conveniente para o seu cálculo.
Se bem é possível calcular a integral de Fermi para qualquer valor η por métodos nu-
méricos, usualmente resulta mais cómodo usar algumha aproximaçom analítica. A seguinte
é válida para qualquer valor de η:
F1
2
(η) =
1
e−η +C1
2
(η)
sendo
C1
2
(η) =
3 π/2
η+2 13+ |η−2 13|12/5
+9 6
5/12 3/2
Esta aproximaçom tem a vantagem de ser válida em todo o domínio de deﬁniçom, e ademais
ser bastante exacta. Outras duas aproximações, menos exactas mas mais singelas som:
F1
2
(η) ≈
eη para η −1
4
3
√
π
η3/2 para η 5

Ev
Ec
Ef
Ev
Ec
Ef
n(E)
p(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figura 2.12: Concentraçom de portadores num semicondutor intrínseco
As vezes resulta necessário calcular o nível de Fermi em funçom da concentraçom de
portadores, e nesse caso cumpre ter umha aproximaçom da funçom inversa. Sendo u = n
Nc
=
F1
2
(η) e v = 3
√
πu
4
2/3
, entom
η ≈
lnu
1−u2
+
v
1+(0 24+1 08v)−2
.
Num semicondutor intrínseco (sem impurezas) n = p a qualquer temperatura, já que a
excitaçom térmica da lugar a electrões de conduçom e lacunas a pares (par electrom-lacuna).
O nível de Fermi deverá situar-se portanto num nível energético tal que n = p. Se mv = mc,
as funções n(E) e p(E) som simétricas e portanto Ef deve ficar justo no meio da banda
proibida (veja-se a figura 2.12). De feito na maioria dos semicondutores intrínsecos o nível
de Fermi fica nas vizinhanças do centro da banda proibida.
Nos semicondutores extrínsecos a situaçom nom é tam simétrica. Na figura 2.13 pode-
mos ver o diagrama de bandas, a funçom de Fermi e as concentrações de portadores dum
semicondutor tipo-n típico. O nível da impureza doadora acha-se ligeiramente por baixo
do fundo da banda de conduçom, e portanto é mui doado que os electrões neste nível se-
jam excitados e saltem à banda de conduçom. Se por exemplo a energia de ionizaçom for
ED = 0 01eV, a temperatura ambiente (kBT = 0 026eV) a maioria dos electrões do doador
vam estar na banda de conduçom, o que implica que o nível de Fermi se situará por cima da
metade da banda proibida, havendo muitos mais electrões de conduçom que lacunas. Por
sua vez num semicondutor tipo-p o nível energético do aceitador fica um pouco por cima do
cimo da banda de valência, o nível de Fermi situa-se por baixo do meio da banda proibida,
e os portadores majoritários som as lacunas, tal e como se vê na figura 2.14.

ED
Ef
0 1 f(E)
E
Ev
Ec
Nível doador
p(E)
n(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figura 2.13: Concentraçom de portadores num semicondutor tipo-n
Ainda que num material dopado haja umha grande superioridade dum dos portadores
de carga, tal e como se vê nas ﬁguras 2.13 e 2.14, os materiais permanecem electricamente
neutros, já que as cargas dos portadores som neutralizadas cos iões aceitadores e doadores,
de jeito que:
n+N−
A = p+N+
D
onde N−
A é o número de átomos aceitadores ionizados, e N+
D é o número de átomos doadores
ionizados.
2.1.2.4 Semicondutor nom degenerado
Entende-se por semicondutor nom degenerado aquele no qual o seu nível de Fermi, em
equilíbrio térmico, ﬁca na zona central da banda de energia proibida, ou mais exactamente
quando dista dos bordos umha distância energética varias vezes superior à energia térmica,
kBT. Tenha-se em conta que a temperatura ambiente (T=300K) kBT = 0 026eV, enquanto
que por exemplo a largura da banda proibida do Si é Eg = 1’11 eV 40 kBT, e a largura da
banda proibida do GaAs é Eg = 1’42 eV 50 kBT.
Para um semicondutor nom degenerado as concentrações de portadores podem aproximar-
se por umha simples funçom exponencial. Assim vimos que n = Nc F1
2
(η), com η =
(Ef − Ec)/kBT. Neste caso Ef Ec e ademais (Ef − Ec) é varias vezes kBT, portanto
estamos na zona −∞ η −1 e neste caso F1
2
(η) ≈ eη. Já que logo
n ≈ Nc Exp −
Ec −Ef
kBT
com Nc = 2
2πmckBT
h2
3/2
.

EA
Ev
Ec
Ef
E
p(E)
n(E)
0 1 f(E)
E
Nível aceitador
Concentraçom
de portadores
Figura 2.14: Concentraçom de portadores num semicondutor tipo-p
Analogamente
p ≈ Nv Exp −
Ef −Ev
kBT
com Nv = 2
2πmvkBT
h2
3/2
.
Evidentemente entom o produto das concentrações de electrões e lacunas pode aproximar-
se também por umha funçom exponencial:
n p = Nc Nv Exp −
Ec −Ev
kBT
= Nc Nv Exp −
Eg
2kB T
Pode-se observar que este produto é independente da posiçom do nível de Fermi dentro da
banda proibida e do nível de dopagem do semicondutor, sempre e quando a aproximaçom
exponencial da funçom de Fermi seja válida. A constância do produto de concentrações é
conhecida como lei de acçom de massas.
Num semicondutor intrínseco n = p = ni, o que tendo em conta as equações anteriores
pode expressar-se como:
ni = Nc Nv Exp −
Eg
2kBT
onde vemos claramente expressado como a concentraçom de portadores num semicondutor
intrínseco aumenta exponencialmente com a temperatura T. O valor de ni depende também
da largura da banda proibida, e das massas efectivas. Na tabela 2.3 incluem-se a modo de
exemplo as concentrações intrínsecas do Si e do GaAs a temperatura ambiente.
A lei de acçom de massas resulta especialmente útil para o cálculo das concentrações
dos portadores minoritários num semicondutor dopado. Por exemplo, num semicondutor

Tabela 2.3: Concentraçom intrínsecas, T = 300 K.
ni (cm−3)
Si 1 181010
GaAs 2 25106
tipo-n dopado moderadamente a concentraçom de electrões n é essencialmente igual à con-
centraçom de doadores ND. Portanto a concentraçom de lacunas será, usando a lei de acçom
de massas, igual a p = n2
i /ND. O conhecimento das concentrações de electrões e lacunas
permite calcular a posiçom do nível de Fermi. E sempre que este fique no interior da banda
proibida e avondo afastado dos bordos (semicondutor nom degenerado), podem-se usar as
relações aproximadas exponenciais para o seu cálculo.
Semicondutores degenerados. Se o nível de Fermi fica dentro da banda de condu-
çom (ou de valência) e tal que Ef − Ec 5kBT, di-se que o semicondutor é degenerado.
Neste caso nom se pode utilizar a aproximaçom exponencial da funçom de Fermi, de jeito
que n p = n2
i . Baixo condições de dopagem mui forte o nível do doador (ou do receptor)
transforma-se numha banda (banda doadora ou receptora) que pode chegar a superpor-se
com a banda de conduçom (ou de valência), o que da lugar a umha diminuiçom da largura
de banda efectiva.
2.1.2.5 Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio.
As probabilidades de ocupaçom e as concentrações de portadores vistas anteriormente som
válidas unicamente em condições de equilíbrio térmico, mas perdem a sua validade quando
este equilíbrio se vê alterado. Porém há situações nas que os electrões da banda de condu-
çom estám em equilíbrio entre eles, mas nom existe equilíbrio entre os electrões da banda de
conduçom e as lacunas. Isto pode ocorrer por exemplo, quando umha corrente eléctrica ex-
terna, ou um fluxo fotónico, induz transições banda a banda a umha velocidade demasiado
grande como para que se poda acadar um equilíbrio inter-banda. Esta situaçom, que é co-
nhecida como quase-equilíbrio, dá-se quando os tempos de relaxaçom dentro de cada umha
das bandas é muito menor que o tempo de relaxaçom inter-banda. Usualmente os tempos de
relaxaçom intra-banda som menores de 1 ps, entanto os tempos de recombinaçom electrom-
lacuna andam polo nanosegundo.
Nestas circunstâncias resulta apropriado empregar umha funçom de Fermi diferente
para cada banda, com dous níveis de Fermi distintos, Efc e Efv, conhecidos como níveis
quase-Fermi (ou pseudo-Fermi). Quando Efc e Efv ficam na banda de conduçom e de
valência, respectivamente, e bem no interior, as concentrações tanto de lacunas como de
electrões podem ser mui elevadas, tal e como se ilustra na figura 2.15.
Exemplo 2.1 Determinaçom dos níveis quase-Fermi a partir das concentrações de electrões
e de lacunas.

Ev
Ec
Ef
Efc
Efv
Ev
Ec
0 1 f(E) 0 1 f(E)
E E
n(E)
p(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figura 2.15: Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio
1. Níveis quase-Fermi dum semicondutor a T = 0K em funçom das concentrações de
electrões de conduçom e lacunas n e p.
Na banda de conduçom para T = 0 K a funçom de Fermi torna-se:
f(E) =
1 E Efc
0 E Efc
Portanto a concentraçom de electrões será:
n =
∞
Ec
ρc(E) f(E)dE =
Efc
Ec
(2mc)3/2
2π2 3
√
E −Ec dE =
(2mc)3/2
2π2 3
2
3
(E −Ec)3/2
Efc
Ec
=
(2mc)3/2
2π2 3
2
3
(Efc −Ec)3/2
Logo
Efc = Ec +
2(3π2n)2/3
2mc
.
Analogamente na banda de valência
Efv = Ev −
2(3π2 p)2/3
2mv
.
2. As equações anteriores anteriores som aplicáveis a qualquer temperatura T sempre e
quando n e p sejam altas o bastante para que (Efc −Ec) kBT e (Ev −Efv) kBT,
ou seja que os níveis quase-Fermi ﬁquem bem no interior das bandas de conduçom e
de valência.
Se (Efc −Ec) kBT signiﬁca que estamos na zona 5 η ∞, sendo o nível de Fermi

Ec
Ev
RecombinaçomGeraçom
Centro local de
recombinaçom
Figura 2.16: Geraçom e recombinaçom de portadores num semicondutor.
reduzido η = (Efc −Ec)/kBT, e portanto
n ≈ 2 2πmckBT
h2
3/2
4
3
√
π
Efc−Ec
kBT
3/2
= 8π(2mc)3/2
3h3 (Efc −Ec)3/2
= (2mc)3/2
3π2 3 (Efc −Ec)3/2
de onde
Efc = Ec +
2(3π2n)2/3
2mc
Q.E.D.
2.1.3 Geraçom, recombinaçom e injecçom
2.1.3.1 Geraçom e recombinaçom em equilíbrio térmico
A excitaçom térmica de electrões desde a banda de valência à banda de conduçom da lugar à
geraçom de pares electrom-lacuna (Fig 2.16). Mas para o semicondutor se manter em equi-
líbrio térmico cumpre que este processo se veja acompanhado por um processo simultâneo
de desexcitaçom. Este processo, chamado recombinaçom electrom-lacuna, dá-se quando o
electrom decai desde a banda de conduçom enchendo umha lacuna na banda de valência
(Fig 2.16). A energia liberada polo electrom pode ser emitida em forma de fotom. Neste
caso o processo nomeia-se recombinaçom radiante. Também som possíveis recombinações
nom-radiantes, tais como a fonónica, na qual a energia liberada transfere-se a vibrações
da rede (criando-se um ou mais fonões), ou os processos Auger, nos quais participam três
portadores e a energia liberada transmite-se ao portador que ﬁca trás a recombinaçom.
Se no semicondutor existem defeitos cujos níveis energéticos ﬁcam na banda proibida,
junto com a recombinaçom entre bandas tem lugar recombinaçom por centros locais de re-
combinaçom. Um defeito da rede pode actuar como centro de recombinaçom se é capaz
de atrapar mais ou menos simultaneamente a um electrom de conduçom e a umha lacuna,
incrementando entom a sua probabilidade de recombinarem-se (Fig 2.16) Este tipo de re-
combinaçom pode ser radiante ou nom-radiante.

Dispositivos optoelectronicos

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (15)

Semelhante a Dispositivos optoelectronicos

Semelhante a Dispositivos optoelectronicos (20)

Último

Último (17)

Dispositivos optoelectronicos