Dispositivos Opto-electrónicos
José Ramom Flores d’as Seixas
ii
c José Ramom Flores d’as Seixas, 2009
ISBN: xxxxxx-xxxxx
Editado em Santiago de Compostela, em Novembro de 2009.
Impres...
iii
Limiar
Os opto-electrónicos som dispositivos de base electrónica que emitem, modulam ou detec-
tam radiaçom óptica, i....
iv
Conteúdo
Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Radiometria e fotome...
vi CONTEÚDO
2.1.3 Geraçom, recombinaçom e injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3.1 Geraçom e recombinaçom em ...
CONTEÚDO vii
3 Díodos emissores de luz 97
3.1 Electroluminescência por injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
viii CONTEÚDO
4.2.3.1 Bombeamento óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.3.2 Bombeamento eléctrico . . . . ....
CONTEÚDO ix
5.3.2.1 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3.3 Resposta temporal . . . . . . . ....
x CONTEÚDO
6.1.2.1 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.1.3 Funcionamento . . . . . . . . . ...
Capítulo 1
Alguns conceitos básicos de
radiometria e fotometria
Neste tema vam-se introduzir umha série de conceitos radio...
2 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
As unidades nas que se mede a energia radiante espectral som de energia partido
por...
1.1. DEFINIÇÕES RADIOMÉTRICAS 3
onde dPe é um elemento diferencial de fluxo e dso é um elemento diferencial de área
da supe...
4 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
ds
dso
Elemento de
Elemento de fluxo
φ
θ
ângulo sólido
Figura 1.1: Radiância
superf...
1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 5
Tabela 1.1: Valores representativos de quantidades radiométricas (Valores orientativos).
Q...
6 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
Tabela 1.2: Divisom em subintervalos do espectro óptico
Ultravioleta 10 - 380 nm
UV...
1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Longura de onda em nanómetros
...
8 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
• ILUMINÂNCIA, Iv, é o equivalente fotométrico da irradiância, estando definida por:...
1.4. EFICÁCIA LUMINOSA DA RADIAÇOM 9
Tabela 1.3: Valores representativos de quantidades fotométricas (Valores orientativos...
10 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
θ 0
nA = A Cos θθ 0A = A Cosθ
θA = Cte
0.5
θ θ
0.5
0.5
θ
Aθ
0A
Aθ
0A
θ½
θ½
Aθ
0A
L...
1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 11
para medir esta característica emprega-se o ângulo metade, θ1
2
, qu...
12 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
θ
θd
dΩ
r
A0
Aθ
Figura 1.5: Padrom de radiaçom
Ω
θ
Figura 1.6: Ângulo sólido corre...
1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 13
Bandeja
do papel
Fotodiodo
LED
30 mm
x
θ
4 mm
Figura 1.7: Esquema du...
14 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
Fonte
x
θ
d
D
Detector
Figura 1.8: Fonte e detector enfrentados.
1.5.2 A funçom de...
1.6. CORRENTES DE FOTÕES 15
Tenha-se em conta que no caso da figura
θ = arctan
D/2
d
⇒
sinθ = D/
√
4d +D2
cosθ = 2d/
√
4d +...
16 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
e portanto
Nν
ph =
Eν
hν
.
Analogamente se Nλ
ph é o número de fotões no intervalo...
1.6. CORRENTES DE FOTÕES 17
• IRRADIÂNCIA FOTÓNICA, Iph, é a densidade superficial de fluxo fotónico:
Iph =
dφph
dso
.
Evide...
18 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
A radiância fotónica tem dimensões de [L−2T−1] medindo-se em q/sm2sr, enquanto
Lν
...
1.6. CORRENTES DE FOTÕES 19
Evidentemente neste caso o fluxo radiante e o fluxo fotónico também som funções do tempo:
φph(t)...
20 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
Impactos
fotónicos
Impactos
fotónicos
t
t
t
t
e
e
I (t)
I (t)
Figura 1.9: Aleatori...
1.6. CORRENTES DE FOTÕES 21
n = 11n = 7n = 9n = 8
T T T T
Figura 1.10: Incidência de fotões com fluxo radiante constante.
q...
22 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
 ¡ ¢¡¢ £¤
¥¦§¡§¨¡¨ ©   ¡¡ !¡! #$ %'¡'(¡( )01¡12¡2 345¡56 78 9@A¡AB¡B CDE¡EF¡F GH I...
1.6. CORRENTES DE FOTÕES 23
Como já dixemos a aleatoriedade fotónica constitui umha fonte de ruído fundamental,
que deve t...
24 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
Poissoniana
Sub−poissoniana
Super−poissoniana
n = 80
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06...
BIBLIOGRAFIA 25
Bibliografia
[1] McCluney W.R., Introduction to Radiometry and Photometry, ed. Artech House, Bos-
ton 1994....
26 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
4. A distribuiçom espectral da radiaçom solar extraterrestre é semelhante à do cor...
BIBLIOGRAFIA 27
8. Considere-se a lâmpada do problema 3 iluminando um quarto cúbico de 9 m3. As-
sumindo que a lâmpada é u...
28 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
Capítulo 2
Princípios físicos dos dispositivos
opto-electrónicos
Neste capítulo estudam-se os princípios básicos de funcio...
30 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
3s
3p
2p
2s
1s
isolado
Metal IsolanteSemi-
condutor
Átomo
Nível do vácuo
Figura 2.1: Agr...
2.1. SEMICONDUTORES 31
Banda de
conduçom
Banda de
valência
Lacuna
banda proibida
Largura da
Energiadoelectrom
Electrom liv...
32 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
[111] [100]
[111] [100]
k
GaAs
Si
k
E
E
Figura 2.3: Energia versus número de onda em Si ...
2.1. SEMICONDUTORES 33
π/a a2π/
6Γ
8Γ
7Γ
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0
K
Energiadoelectrom,E(eV)
L4 L5
L
6L
6
X6
X7
X6
Mínimo later...
34 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
Tabela 2.1: Massas efectivas médias de electrões e lacunas em Si e GaAs. (T = 4K)
mc mp
...
2.1. SEMICONDUTORES 35
Electrom
livre
Si Si
Si
Si
Si
Si
P
(a) Tipo-n
Lacuna
Si Si
Si
Si
Si
Si
Al
(b) Tipo-p
Figura 2.5: Se...
36 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
D+Dx
Ax A− A−equivale
IonizadaNeutra
Banda de conduçom
Banda de valência
Figura 2.6: Rep...
2.1. SEMICONDUTORES 37
E
E
E
E
c
c
superior
v
Figura 2.7: Representaçom do potencial correspondente à rede dum semiconduto...
38 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
π
w
kx
kx
ky ky
kz kz
π
π
d
l
Figura 2.8: Artifício usado para contar o número de estado...
2.1. SEMICONDUTORES 39
k
k
k+dk
k
z
y
k x
Figura 2.9: Octante positivo dumha esfera de raio k.
governada pola eq.(2.1), as...
40 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
Ev
Ec
Ev
Ec
Eg
v
ρ (E)
c
ρ (E)
k
E E
Densidade de estados
Figura 2.10: Densidade de esta...
2.1. SEMICONDUTORES 41
Ev
Ec
Ef Eg
Ev
Ec
Ef
Ev
Ec
Ef
0 0’5 1
f(E)
f(E)
1−f(E)
0 0’5 1
f(E)
E E
T = 0 KT  0 K
Figura 2.11: ...
42 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
Portanto Ef é a linha divisória entre os estados ocupados e os valeiros a T = 0K. Dado q...
2.1. SEMICONDUTORES 43
Usando a notaçom: x = (E −Ec)/kBT e ηc = (Ef −Ec)/kBT obtemos:
n = 4π
2mckBT
h2
3/2 ∞
0
√
xdx
1+exe...
44 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
Ev
Ec
Ef
Ev
Ec
Ef
n(E)
p(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figura 2.12: Concentraçom de po...
2.1. SEMICONDUTORES 45
ED
Ef
0 1 f(E)
E
Ev
Ec
Nível doador
p(E)
n(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figura 2.13: Concentraço...
46 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
EA
Ev
Ec
Ef
E
p(E)
n(E)
0 1 f(E)
E
Nível aceitador
Concentraçom
de portadores
Figura 2.1...
2.1. SEMICONDUTORES 47
Tabela 2.3: Concentraçom intrínsecas, T = 300 K.
ni (cm−3)
Si 1 181010
GaAs 2 25106
tipo-n dopado m...
48 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS
Ev
Ec
Ef
Efc
Efv
Ev
Ec
0 1 f(E) 0 1 f(E)
E E
n(E)
p(E)
E
Concentraçom
de portadores
Figu...
2.1. SEMICONDUTORES 49
Ec
Ev
RecombinaçomGeraçom
Centro local de
recombinaçom
Figura 2.16: Geraçom e recombinaçom de porta...
Dispositivos optoelectronicos
Dispositivos optoelectronicos
Dispositivos optoelectronicos
Dispositivos optoelectronicos
Dispositivos optoelectronicos
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Dispositivos optoelectronicos
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  1. 1. Dispositivos Opto-electrónicos José Ramom Flores d’as Seixas
  2. 2. ii c José Ramom Flores d’as Seixas, 2009 ISBN: xxxxxx-xxxxx Editado em Santiago de Compostela, em Novembro de 2009. Impressom: Unidixital
  3. 3. iii Limiar Os opto-electrónicos som dispositivos de base electrónica que emitem, modulam ou detec- tam radiaçom óptica, i.e. radiaçom electromagnética ultravioleta, visível ou infravermelha. A maior parte de este tipo de dispositivos estám baseados em semicondutores inorgânicos, se bem é possível que num futuro os semicondutores orgânicos passem a desempenhar um papel mais importante. Este livro xurdiu como texto-base para umha matéria do último ano da licenciatura de Físicas, sendo o seu objectivo servir de introduçom aos dispositivos opto-electrónicos de semicondutor inorgânico. O ponto de vista é logicamente mais físico que engenheril, assumindo-se que o leitor tem alguns conhecimentos de física quântica, estado sólido, elec- trónica e óptica integrada. Procurou-se mostrar um panorama actualizado tanto no tipo de dispositivos estudados como nas suas características. Mas o leitor deve ser ciente de que o mundo da opto- electrónica, pesquisa e indústria, avança a tal velocidade, que qualquer texto vai ficar um tanto desactualizado no mesmo momento da sua publicaçom. A obra divide-se em 6 capítulos. No primeiro introduzem-se umha serie de conceitos de radiometria e fotometria necessários para a caracterizaçom do comportamento dos disposi- tivos opto-electrónicos. O segundo está dedicado ao estudo dos semicondutores: caracte- rísticas gerais, famílias de materiais e propriedades ópticas. Nos capítulos 3 e 4 estudam-se as fontes de radiaçom opto-electrónicas: os díodos emissores de luz e os díodos laser. O capítulo quinto está dedicado aos detectores; foto-condutores, foto-díodos (entre os quais as células foto-voltaicas, foto-transístores, e matrizes formadoras de imagem. Por último no capítulo sexto estudam-se os moduladores de semicondutor. A final de cada capítulo inclui-se a bibliografia correspondente ao mesmo. E trás ela um conjunto de exercícios que permitiram ao leitor afiançar os conhecimentos adquiridos. A dificuldade dos exercícios varia, mas em todos os casos usam-se dados realistas, tirados nas mais das vezes de folhas de dados dos fabricantes, ou de medidas experimentais publicadas em jornais científicos.
  4. 4. iv
  5. 5. Conteúdo Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 Radiometria e fotometria 1 1.1 Definições radiométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 O espectro óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Definições fotométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Eficácia luminosa da radiaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Perfis de radiaçom comuns na Opto-electrónica . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Cálculo do fluxo a partir da intensidade . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 A funçom de transferência óptica, OTF. . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Correntes de fotões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 Variaçom temporal do feixe de fotões . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Estatística fotónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2.1 Luz coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.2.2 Classificaçom da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.2.3 Luz super-poissoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Princípios físicos 29 2.1 Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1.1 Electrões e lacunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1.2 Relações energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1.3 Massa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1.4 Semicondutores directos e indirectos . . . . . . . . . . . 34 2.1.1.5 Semicondutores dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Concentrações de electrões e de lacunas . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2.1 Densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2.2 Probabilidade de ocupaçom . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2.3 Concentrações de portadores em equilíbrio térmico . . . 42 2.1.2.4 Semicondutor nom degenerado . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2.5 Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio. . . . . 47 v
  6. 6. vi CONTEÚDO 2.1.3 Geraçom, recombinaçom e injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.3.1 Geraçom e recombinaçom em equilíbrio térmico . . . . . 49 2.1.3.2 Injecçom de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.3.3 Eficiência quântica interna . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.4 Junções p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.4.1 Homo-junçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.4.2 Díodo p-i-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1.4.3 Hetero-junções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.5 Estruturas quânticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.5.1 Poços quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.5.2 Poços quânticos múltiplos e super-redes . . . . . . . . . 63 2.1.5.3 Fios quânticos e pontos quânticos . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Materiais empregados em opto-electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1 Tipos de semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1.1 Semicondutores elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1.2 Compostos dos grupos III-V . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1.3 Outros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2 Substratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.3 Materiais mais usados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.3.1 O sistema AlxGa1−xAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.3.2 O sistema GaAsxP1−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.3.3 O sistema GaxIn1−xAsyP1−y . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2.3.4 O sistema AlxGayIn1−x−yAs/InP . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.3.5 O sistema AlxGayIn1−x−yP/GaAs . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.3.6 Os nitretos do grupo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3 Interacções de fotões com electrões e lacunas. . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3.1 Emissom e absorçom banda a banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.1.1 Longura de onda da banda proibida. . . . . . . . . . . . 79 2.3.1.2 Absorçom e emissom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.1.3 Condições para a absorçom e a emissom. . . . . . . . . . 80 2.3.2 Razões de absorçom e emissom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.2.1 Probabilidades de ocupaçom . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.2.2 Densidade de probabilidade de emissom espontânea . . . 85 2.3.2.3 Densidade de probabilidade de absorçom e de emissom estimulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3.2.4 Razões globais de emissom e de absorçom . . . . . . . . 88 2.3.2.5 Densidade espectral da razom de emissom espontânea em equilíbrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.3.2.6 Coeficiente de ganância em quase-equilíbrio . . . . . . . 90 2.3.2.7 Coeficiente de absorçom em equilíbrio térmico . . . . . . 91 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
  7. 7. CONTEÚDO vii 3 Díodos emissores de luz 97 3.1 Electroluminescência por injecçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.1 Electroluminescência em equilíbrio térmico . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.2 Electroluminescência em presença de injecçom de portadores . . . 98 3.1.3 Densidade espectral da electroluminescência . . . . . . . . . . . . 99 3.2 Características dum LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.1 Fluxo fotónico interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.2 Fluxo fotónico externo e eficiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.3 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2.3.1 Responsividade luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3 Modulaçom dum LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.1 Modulaçom analógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.2 Modulaçom digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4 Estruturas e materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.4.1 Homo-junções epitaxiais (GaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4.2 Homo-junçom por difusom (GaAsxP1−x) . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.3 Hetero-junções simples (AlGaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.4 Hetero-estruturas duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4.5 Poços quânticos (Nitretos do grupo III). . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4.6 Estruturas com eficiências altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.6.1 Geometrias adaptadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.6.2 Filmes delgados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.4.6.3 Cavidades ressoantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.5 Aplicações dos LEDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.5.1 Lâmpadas indicadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.5.2 Indicadores luminosos numéricos e alfa-numéricos . . . . . . . . . 125 3.5.3 Acopladores ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5.4 Comunicações ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5.5 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5.6 Iluminaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4 Díodos laser 133 4.1 Que é um laser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.1 Cavidade ressoante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.2 Princípio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1.3 Características do feixe laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.1.3.1 Modo gaussiano fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 Amplificadores ópticos de semicondutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2.1 Ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2.2 Aproximaçom do coeficiente de ganância pico . . . . . . . . . . . 141 4.2.3 Bombeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
  8. 8. viii CONTEÚDO 4.2.3.1 Bombeamento óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.2.3.2 Bombeamento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3 Cavidade ressoante dum díodo laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3.1 Factor de confinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.3.2 Condiçom de oscilaçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.4 Fluxo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.5 Amplificadores ópticos independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6 Modulaçom temporal dum díodo laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.1 Modulaçom analógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.6.1.1 Estado estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.6.1.2 Pequeno sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.2 Modulaçom digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.7 Distribuiçom espectral e espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.7.1 Distribuiçom espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.7.2 Distribuiçom espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.7.3 Padrom de radiaçom de campo lonjano . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8 Materiais e estruturas típicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.8.1 Laseres mono-modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.9 Laseres de poço quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.9.1 Densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.9.2 Coeficiente de ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.9.3 Relaçom entre o coeficiente de ganância e a densidade de corrente . 168 4.9.4 Laseres de poços quânticos múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.9.5 Laseres tensionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.10 Matrizes de díodos laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.10.1 Barras de díodos laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.10.2 Laseres de emissom transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5 Foto-detectores 181 5.1 Introduçom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.1 Efeito fotoeléctrico externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.2 Efeito foto-eléctrico interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2 Propriedades dos foto-detectores de semicondutor . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2.1 Eficiência quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2.2 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.2.3 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.2.3.1 Tempo de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.2.3.2 Constante de tempo do circuito . . . . . . . . . . . . . . 190 5.3 Foto-condutores ou foto-resistências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3.1 Tempo de trânsito do par e ganância. . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.2 Foto-condutores extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
  9. 9. CONTEÚDO ix 5.3.2.1 Responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.3.3 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4 Foto-díodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.4.1 Polarizaçom dum foto-díodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.4.2 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.4.3 Estruturas mais complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.4.3.1 O foto-díodo p-i-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.4.3.2 Foto-díodos de hetero-estrutura . . . . . . . . . . . . . . 207 5.4.3.3 Foto-díodos Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.4.4 Células fotovoltaicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.4.4.1 Estruturas das células fotovoltaicas . . . . . . . . . . . . 212 5.4.5 Foto-díodos de avalancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.4.5.1 Princípios de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.4.5.2 Ganância e responsividade . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.4.5.3 Resposta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 5.4.6 O foto-transístor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.5 Ruído em foto-detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.5.1 Ruído foto-electrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.5.2 Ruído de ganância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.5.2.1 Factor de excesso de ruído dum foto-díodo de avalancha . 232 5.5.3 Ruído do circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.5.4 Razom sinal-ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 5.5.4.1 Dependência da razom sinal-ruído do fluxo fotónico . . . 237 5.5.4.2 Relaçom entre a razom sinal-ruído e a ganância num foto- díodo de avalancha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.6 Sensores de imagem digitais: CCD e CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.6.1 Sensores CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.6.1.1 O condensador MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.6.1.2 Transferência de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 5.6.1.3 Arquitectura da Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.6.1.4 Registo progressivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.6.1.5 Matrizes com retardo e integraçom . . . . . . . . . . . . 246 5.6.2 Sensores CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5.6.2.1 Pixel activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5.6.3 CCD versus CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.6.4 Sensores em cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6 Moduladores ópticos de semicondutor 259 6.1 Moduladores absortivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.1.1 Efeito Franz-Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.1.2 Efeito Startk em confinamento quântico . . . . . . . . . . . . . . . 262
  10. 10. x CONTEÚDO 6.1.2.1 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.1.3 Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6.1.3.1 Características positivas dos moduladores QCSE . . . . . 266 6.2 Moduladores refractivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6.2.1 Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 6.2.2 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 A Sensibilidade espectral do olho humano 271 B Grandezas de interese 277
  11. 11. Capítulo 1 Alguns conceitos básicos de radiometria e fotometria Neste tema vam-se introduzir umha série de conceitos radiométricos e fotométricos, relacio- nando-os com a terminologia óptica. A radiometria é a ciência que se ocupa da descriçom e medida da radiaçom, e a sua interacçom com a matéria. Tanto da radiaçom electromagnética como doutros tipos de radiaçom: a radiaçom nuclear ou fluxos de partículas carregadas, ainda que normalmente se refira à radiaçom electromagnética. Por sua vez, a fotometria é a ciência que se ocupa do estudo da detecçom da radiaçom electromagnética polo olho humano. 1.1 Definições radiométricas Damos de seguido as definições de conceitos básicos de radiometria, com as suas unidades e o conceito equivalente, se existir, na terminologia óptica. • ENERGIA RADIANTE, Ee, é a quantidade de energia que incide em, atravessa ou emerge de, umha superfície de área dada e num período de tempo determinado. Em principio incluem-se todas as longuras de onda que contem a radiaçom, e se nalgum caso só se considera um intervalo limitado do espectro, este intervalo deve indicar-se explicitamente. As unidades nas que se mede a energia radiante som logicamente de energia, e nomeadamente o Joule. Em óptica este conceito recebe o nome de energia óptica, e obviamente também se mede em Joules. • ENERGIA RADIANTE ESPECTRAL, Eλ, é a energia radiante correspondente ao inter- valo diferencial de energia [λ, λ+dλ]: Eλ = dEe dλ λ =⇒ Ee = ∞ 0 Eλ dλ 1
  12. 12. 2 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA As unidades nas que se mede a energia radiante espectral som de energia partido por longura de onda, usualmente Joules/nm. Em vez da longura de onda pode-se considerar a freqüência, com o qual: Eν = dEe dν que virá medida neste caso em Joules/Hz. Dada a relaçom entre a longura de onda e a freqüência, λν = c, nom resulta difícil calcular a relaçom entre ambas grandezas1: λEλ = νEν e comprovar que as unidades som coerentes. • FLUXO RADIANTE, Pe, é a razom temporal de fluxo da energia radiante, i.e. a quan- tidade de energia radiante que flui ao través dumha superfície ou regiom do espaço por unidade de tempo: Pe = dEe dt Mede-se em unidades de energia por unidade de tempo, nomeadamente Joule/seg = Watt. Em óptica este conceito recebe o nome de potência óptica, e logicamente também se mede em Watts. • FLUXO RADIANTE ESPECTRAL, Pλ, é o fluxo radiante por unidade de longura de onda a umha determinada longura de onda: Pλ = dPe dλ = dEλ dt sendo as unidades em que se mede de potência por longura de onda, usualmente Watt/nm. Também neste caso podemos considerar a freqüência obtendo Pν = (dPe/dν), νPν = λPλ sendo as unidades Watt/Hz. • IRRADIÂNCIA, Ie, é a densidade superficial de fluxo radiante, i.e. a quantidade de fluxo radiante que incide em, atravessa ou emerge de, um ponto dumha superfície determinada: Ie = dPe dso 1Num intervalo de longuras de onda (λ1,λ2), com λ1 < λ2, ao que lhe corresponde o intervalo de freqüências (ν2 = c/λ2 , ν1 = c/λ1), com ν1 > ν2, a energia radiante é: Ee = λ2 λ1 Eλ(λ)dλ = ν1 ν2 Eν(ν)dν A partir da igualdade λν = c, fazemos o cambio de variável λ = c/ν, ⇒ dλ = −(c/ν2)dν, com o qual: λ2 λ1 Eλ(λ)dλ = ν2 ν1 Eλ(ν)(− c ν2 )dν = ν1 ν2 Eλ(ν) c ν2 dν = ν1 ν2 Eν(ν)dν Portanto Eν = Eλ c ν2 = Eλ λ ν ⇒ νEν = λEλ. Q.E.D.
  13. 13. 1.1. DEFINIÇÕES RADIOMÉTRICAS 3 onde dPe é um elemento diferencial de fluxo e dso é um elemento diferencial de área da superfície. A irradiância que emerge dumha superfície pode ser chamada “exitân- cia”, Me, tendo as mesmas unidades, reservando-se entom o termo irradiância para o fluxo incidente. Em todo caso é perfeitamente correcto usar irradiância em todas as situações. O termo óptico equivalente é intensidade óptica, que nom deve ser confun- dida com o conceito radiométrico intensidade radiante, que veremos posteriormente. Tanto para a irradiância, como para a exitância e para a intensidade óptica usam-se unidades de potência entre área: Watt/m2 ou Watt/cm2. A irradiância é umha fun- çom da posiçom (x,y) na superfície na que está definida, polo que costuma escrever-se Ie(x,y). • IRRADIÂNCIA ESPECTRAL, Iλ, é a irradiância por unidade de longura de onda ou de freqüência: Iλ = dIe dλ = dPλ dso , Iν = dIe dν , λIλ = νIν medindo-se bem em Watt/m2nm bem em Watt/m2Hz. • INTENSIDADE RADIANTE, Ae, é a densidade angular de fluxo radiante, i.e. o fluxo radiante por unidade de ângulo sólido que incide em, atravessa ou emerge de, um ponto no espaço e que se propaga numha determinada direcçom: Ae = dPe dω medindo-se em Watt/sr. Este conceito é de utilidade para fontes pontuais, ou fontes muito pequenas comparada com a distância do observador ou do detector à fonte, mas nom é apropriado normalmente para fontes extensas. Ao ser a intensidade radiante umha funçom da direcçom, costuma-se escrever Ae(θ,φ) para indicar a sua depen- dência das coordenadas esféricas (θ,φ) que especificam umha direcçom no espaço. • INTENSIDADE RADIANTE ESPECTRAL, Aλ ou Aν, é o fluxo radiante por unidade de ângulo sólido e por unidade de longura de onda, ou de freqüência: Aλ = dAe dλ , Aν = dAe dν , λAλ = νAν medindo-se bem em Watt/srnm, bem em Watt/srHz. • RADIÂNCIA, Le, é a densidade angular e superficial de fluxo radiante, i.e. o fluxo radiante por unidade de área projectada e por unidade de ângulo sólido que incide, atravessa ou emerge numha direcçom determinada dum ponto específico dumha su- perfície dada: L = d2P dωds = d2P dωdso cosθ onde ds = dso cosθ é a área projectada; a área da projecçom da área elementar dso, na superfície que contém o ponto no qual se define a radiância, sobre um plano per- pendicular à direcçom de propagaçom. Sendo θ o ângulo que formam a normal à
  14. 14. 4 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA ds dso Elemento de Elemento de fluxo φ θ ângulo sólido Figura 1.1: Radiância superfície que contém o ponto no qual se define a radiância e a direcçom de propaga- çom. Veja-se a figura 1.1. As unidades nas que se mede a radiância som Watt/m2sr ou similares. • RADIÂNCIA ESPECTRAL, Lλ, é a densidade espectral de radiância Lλ = dLe dλ = d3Pe dωdso cosθdλ , Lν = dLe dν , λLλ = νLν medindo-se bem em Watt/m2srnm, bem em Watt/m2srHz. Na tabela 1.1 podemos ver uns exemplos de valores radiométricos associados à diversas fontes luminosas. 1.2 O espectro óptico A óptica estuda a parte do espectro electromagnético com longuras de onda entre 1 mm e 10 nm. Este intervalo abrange nom só a luz, mas também o infravermelho e o ultravioleta. Como se pode ver na figura 1.2, o espectro visível é continuo, e se bem som evidentes distintas cores nele, nom há limites claros. Mesmo os valores que se utilizam tradicional- mente como limites do visível, 380 e 770 nm, nom se correspondem com os conhecimentos actuais sobre a sensibilidade do olho humano, senom com dados obtidos anteriormente. As- sim hoje em dia considera-se que o olho humano é sensível a radiações entre os 360 aos 830
  15. 15. 1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 5 Tabela 1.1: Valores representativos de quantidades radiométricas (Valores orientativos). Quantidade Valor Fluxo radiante total produzido por umha lâmpada incandescente de tungsténio de 100 W ~ 80 W Fluxo radiante dumha lâmpada fluorescente de 40 W ~ 38 W Fluxo radiante dum ponteiro laser 0’5 - 5 mW Intensidade radiante em eixo dos LEDs vermelhos usados em ins- trumentaçom electrónica. 1 - 15 mW/sr Irradiância do Sol na órbita media da Terra 1367 W/m2 Irradiância do Sol na superfície terrestre 600-900 W/m2 Radiância do Sol na sua superfície 2’3 107W/m2sr nm, mas entre os 360 e os 380, e os 770 e os 830 a sensibilidade é muito baixa. Contodo é usual fazer umha divisom em distintos subintervalos, i.e. em distintas cores espectrais. Esta divisom permite dar umha ideia intuitiva do que se está a falar, mas é arbitrária, tanto polo número de subintervalos colhidos como polos limites dos mesmo, e polo momento nom se chegou a um consenso universal. O mesmo acontece no ultravioleta e no infravermelho. Na tabela 1.2 recolhe-se umha divisom do espectro óptico, nom é a única possível, mas é bastante comum, e as outras existentes nom diferem muito desta. Assim antigamente era comum incluir nas cores espectrais o anil, 420 - 450 nm, entanto hoje em dia é relativamente usual incluir o ciano, 485 - 500 nm. Da mesma maneira há também quem divida em quatro o infravermelho. 1.3 Definições fotométricas. É possível considerar a fotometria como umha parte da radiometria, onde as grandezas radi- antes vistas no apartado anterior som adaptadas tendo em conta o funcionamento do sistema visual humano. Os nossos olhos tenhem distintas sensibilidade para as diferentes longuras de onda. Na figura 1.3 podemos ver a sensibilidade espectral fotópica2 do olho padrom, 2a correspondente a visom diurna. Figura 1.2: Espectro visível
  16. 16. 6 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA Tabela 1.2: Divisom em subintervalos do espectro óptico Ultravioleta 10 - 380 nm UV - C 10 - 280 nm UV - B 280 - 315 nm UV - A 315 - 380 nm Visível 380 - 770 nm Violeta 380 - 440 nm Azul 440 - 491 nm Verde 491 - 565 nm Amarelo 565 - 585 nm Laranja 585 - 625 nm Vermelho 625 - 770 nm Infravermelho 0’77 µm - 1 mm Próximo 0’78 - 1’4 µm Médio 1’4 - 3 µm Lonjano 3 - 1000 µm V(λ). Evidentemente cada pessoa vai ter umha sensibilidade diferente, mas raramente sig- nificativamente diferente da reflectida nessa gráfica. Por baixo dos 360 nm e por cima dos 830 nm o olho humano nom detecta em absoluto a radiaçom electromagnética. E dentro deste intervalo a resposta é muito desigual, tal como se mostra na figura, tendo um má- ximo nos 555 nm, que corresponde ao verde, e diminuindo tanto cara o violeta como cara o vermelho . As funções sensibilidade espectral fotópica e escotópica tabulam-se no apêndice A. Por outro lado, e para o cálculo das grandezas fotométricas3 pode-se utilizar a seguinte aproximaçom da sensibilidade espectral fotópica: V(λ) ≈ exp − λ−555 60 2 No apartado anterior definimos umha série de grandezas radiométricas, a partir delas definem-se as grandezas fotométricas correspondentes do jeito seguinte. • FLUXO LUMINOSO, Pv. É o equivalente fotométrico do fluxo radiante. Integrando o fluxo radiante espectral para todas as possíveis longuras de onda, obtém-se o fluxo radiante Pe = ∞ 0 Pλ(λ)dλ 3Nom é recomendável usar esta aproximaçom para obter a sensibilidade para umha determinada longura de onda. Nesse caso use-se a tabela do apêndice A.
  17. 17. 1.3. DEFINIÇÕES FOTOMÉTRICAS. 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 Longura de onda em nanómetros Sensibilidadeespectralfotópica,V()λ Figura 1.3: Sensibilidade espectral fotópica do olho padrom. Se ao integrar temos em conta a sensibilidade espectral do olho obteremos o fluxo luminoso Pv = 683 770 380 Pλ(λ)V(λ)dλ. Utiliza-se o subíndice v (de visível ou visual) nas grandezas fotométricas para as di- ferençar das radiométricas, as que se lhes engade o subíndice e (de energia). Em caso de que nom haja ambigüidade pode-se omitir o subíndice. Os limites de integraçom deixam fora de consideraçom as radiações entre 360 e 380 nm e entre 770 e 830 nm, porém como se vê na figura 1.3 nessas regiões a sensibilidade do olho é praticamente nula4. O factor multiplicativo 683 engadiu-se para fazer quadrar as unidades fotomé- tricas e radiométricas anteriores a esta definiçom; as unidades radiométricas, como já vimos podem derivar-se todas do metro o quilograma e o segundo, entanto que as unidades fotométricas incluem ademais a candela5, que é umha das unidades funda- mentais do Sistema Internacional, e específica da fotometria. A dimensom do fluxo luminoso é [J], medindo-se em lumens, sendo um lúmen (o equivalente a um watt de luz) igual a 1 candela x 1 esferorradiano. (1 lm = 1 cd x 1 sr). 4A razom para esta discrepância vem de que no momento de definir as unidades fotométricas considerava-se que os limites da sensibilidade do olho eram justamente 380 e 770 nm. 5CANDELA é a intensidade luminosa, numha direcçom dada, dumha fonte que emite radiaçom monocro- mática de freqüência 5 4 · 1014Hz (~555 nm), e que tem unha intensidade radiante nessa direcçom de 1 683 W sr . Antigamente definia-se como a intensidade luminosa, na direcçom perpendicular, dumha superfície plana de área 5 3 mm2 parte dum radiador perfeito (corpo negro) à temperatura de solidificaçom da platina a 1 atm de pressom (101325 Pascais).
  18. 18. 8 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA • ILUMINÂNCIA, Iv, é o equivalente fotométrico da irradiância, estando definida por: Iv = 683 770 380 Iλ(λ)V(λ)dλ Esta grandeza expressa o fluxo luminoso por unidade de superfície que incide em, atravessa o emerge de, umha superfície, medindo-se em luxes, com 1 lux = 1 lm/m2. A maioria dos fotómetros medem iluminância dando as medidas em luxes. • INTENSIDADE LUMINOSA, Av, é o equivalente fotométrico da intensidade radiante, estando definida por: Av = 683 770 380 Aλ(λ)V(λ)dλ Esta grandeza expressa o fluxo luminoso que emana dum ponto por unidade de ângulo sólido numha direcçom dada, sendo a sua dimensom [J], e medindo-se em candelas, com 1 candela = 1 lm/sr. Ainda que como já dixemos antes é a candela e nom o lúmen a unidade fundamental do Sistema Internacional. • LUMINÂNCIA, Lv, é o equivalente fotométrico da radiância, vendo definida por: Lv = 683 770 380 Lλ(λ)V(λ)dλ A luminância é a quantidade de fluxo que passa ao través dum ponto numha deter- minada superfície e numha determinada direcçom, por unidade de área projectada no ponto da superfície e por unidade de ângulo sólido na direcçom dada. As dimensões da luminância som [L−2J] medindo-se em cd/m2 ou em lm/m2sr. Na tabela 1.3 podemos ver uns exemplos de valores fotométricos associados à diversas fontes luminosas. 1.4 Eficácia luminosa da radiaçom A eficácia luminosa da radiaçom, Kr, é umha medida da efectividade dum feixe de radiaçom estimulando a percepçom de luz no olho humano. Se Qv é algumha das quatro grandezas fotométricas definidas anteriormente, e Qe é a grandeza radiométrica correspondente, entom a eficácia luminosa de radiaçom é: Kr = Qv Qe com unidades de lm/Watt. Assim por exemplo considerando o fluxo luminoso e o fluxo radiante: Kr = Pv Pe = 683 770 380 Pλ(λ)V(λ)dλ ∞ 0 Pλ(λ)dλ (lm/Watt). Na tabela 1.4 podemos ver a eficácia luminosa de radiaçom de diversas fontes luminosas . Evidentemente para radiações monocromáticas a eficácia luminosa de radiaçom é simples- mente: Kλ = 683V(λ) lm/Watt.
  19. 19. 1.4. EFICÁCIA LUMINOSA DA RADIAÇOM 9 Tabela 1.3: Valores representativos de quantidades fotométricas (Valores orientativos) Quantidade Valor Fluxo luminoso total produzido por umha lâmpada incandescente de tungsténio de 100 W 1250 - 1600 lm Fluxo luminoso dumha lâmpada fluorescente de 40 W 3.000 lm Fluxo luminoso dum ponteiro laser vermelho 0’05 - 0’5 lm Fluxo luminoso dum ponteiro laser verde 0’3 - 3 lm Iluminância dum projector de cinema sobre umha tela 102 lx Iluminância do Sol na superfície da Terra, com céu despejado. 105 lx Intensidade luminosa em eixo dos LEDs vermelhos usados em instrumentaçom electrónica. 0’2 - 2 cd Luminância da chama dumha vela 104cd/m2 Luminância do céu despejado 8103cd/m2 Luminância do céu coberto 2103cd/m2 Luminância dum tubo fluorescente de 40 W 104cd/m2 Luminância dum monitor LCD 200 - 300 cd/m2 Luminância dumha TV LCD 500 cd/m2 Tabela 1.4: Eficácia luminosa de radiaçom de algumhas fontes de luz (Valores orientativos) Fonte Eficácia luminosa Luz monocromática de 555 nm 683 lm/W Luz do Sol directa, no meio-dia 90 - 120 lm/W Luz do Sol directa, no sol-por 50 - 90 lm/W Luz do céu coberto 103 - 115 lm/W Lâmpadas incandescentes de tungsténio 9 - 20 lm/W Lâmpadas halógenas 17 - 22 lm/W Lâmpadas fluorescentes 40 - 80 lm/W Led vermelho 80 - 140 lm/W Led verde 500 - 600 lm/W Led azul 65 - 80 lm/W Díodo laser de infravermelho 0 lm/W
  20. 20. 10 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA θ 0 nA = A Cos θθ 0A = A Cosθ θA = Cte 0.5 θ θ 0.5 0.5 θ Aθ 0A Aθ 0A θ½ θ½ Aθ 0A Lâmina −90º 90º −90º 90º Led Lâmpada b) Fonte lambertiana difusora c) Fonte labertiana geral a) Fonte pontual incandescente Figura 1.4: Perfis de radiaçom típicos 1.5 Perfis de radiaçom comuns na Opto-electrónica Na figura 1.4 podemos ver três perfis de radiaçom avondo comuns, que tenhem a vantagem de estarem descritos matematicamente por umha fórmula singela. • FONTE PONTUAL. É um tipo de fonte mui comum. Assim as fontes que constam dum filamento pequeno dentro dumha coberta transparente podem-se considerar a muitos efeitos fontes pontuais. A fonte pontual radia com a mesma intensidade, radiante ou luminosa, em todas as direcções: Aθ = A0 = cte sendo Aθ a intensidade na direcçom definida polo ângulo θ, e A0 a intensidade na direcçom do eixo de simetria. • FONTE LAMBERTIANA. O segundo tipo de fonte que aparece na figura1.4 recebe o nome de fonte lambertiana, em honor de Johann Lambert6. Neste caso o perfil de radiaçom é co-senoidal: Aθ = A0 cosθ. Este tipo de perfil gera-se quando a luz, procedente dumha fonte pontual, passa por umha lâmina difusora, ou bem se reflecte numha superfície rugosa. Comparando este tipo de fonte com a anterior, vemos que o espalhamento da radiaçom é menor, já que toda a energia é radiada para ângulos entre 0 e 90 graus. A direccionalidade (ou estreiteza) dum padrom de radiaçom é umha característica chave do dito padrom. E 6Matemático e cartógrafo Alsaciano conhecido principalmente por ser o inventor da projecçom cónica con- formal que se usa em cartografia
  21. 21. 1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 11 para medir esta característica emprega-se o ângulo metade, θ1 2 , que nom é mais que o ângulo para o qual a intensidade é o 50% da máxima, usualmente correspondente à intensidade no eixo de simetria. Evidentemente quanto menor seja o ângulo me- tade mais estreito e direccional será o padrom de radiaçom. No caso dumha fonte lambertiana o ângulo metade é: A0 2 = A0 cosθ1 2 ⇒ θ1 2 = arccos 1 2 = 60o • FONTE LAMBERTIANA GERAL Som fontes cujo padrom de radiaçom vem dado por: Aθ = A0 cosm θ sendo m um número real, representado na figura 1.4(c). Os LEDs som os exemplos mais conhecidos deste tipo de fontes. Neste caso o ângulo metade é: θ1 2 = arccos 1 2 1/m ⇒ m = ln2 ln cosθ1/2 1.5.1 Cálculo do fluxo a partir da intensidade A medida do fluxo nom é usualmente umha tarefa doada. Porém a medida da intensidade é muito mais singela. Por isto resulta usual que nas folhas de dados da maioria da fontes opto-electrónicas apareçam recolhidas especificações de intensidade, e nom de fluxo. Agora bem, normalmente obter o fluxo emitido por umha fonte a partir do seu perfil de intensidade nom resulta complicado, sobre todo quando o padrom de radiaçom tem simetria rotacional. Para isto nom temos mais que integrar a intensidade. Dada a simetria do perfil de radiaçom, veja-se a figura 1.5, podemos considerar elemen- tos de ângulo sólido anulares. (Ou seja o ângulo sólido que encerra o anel sombreado da figura). O ângulo sólido correspondente a um cone de semiângulo θ, veja-se a figura1.6 é igual a: Ω = 2π(1−cosθ) e portanto dΩ = 2π sinθdθ. Em cada elemento anular de ângulo sólido o fluxo elementar é: dP = Aθ dΩ = 2πAθ sinθdθ, de jeito que o fluxo total para um ângulo θ será: Pθ = θ 0 2πAθ sinθdθ = 2π θ 0 Aθ sinθdθ. Assim para umha fonte lambertiana geral o fluxo vem dado portanto por: Pθ = 2πA0 θ 0 cosm θ sinθdθ = 2πA0 m+1 (1−cosm+1 θ),
  22. 22. 12 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA θ θd dΩ r A0 Aθ Figura 1.5: Padrom de radiaçom Ω θ Figura 1.6: Ângulo sólido correspondente a um cone de semiângulo θ.
  23. 23. 1.5. PERFIS DE RADIAÇOM COMUNS NA OPTO-ELECTRÓNICA 13 Bandeja do papel Fotodiodo LED 30 mm x θ 4 mm Figura 1.7: Esquema dum detector de papel dumha impressora e para obter os fluxos dumha fonte lambertiana e o dumha fonte pontual, nom há mais que substituir os valores correspondentes m = 1 e m = 0. O fluxo total emitido pola fonte acha-se substituindo θ polo ângulo máximo, que em geral é 90o, e portanto: P90 = 2πA0 m+1 , excepto para fonte pontual, na qual o ângulo máximo é 180o, de maneira que neste caso P180 = 4πA0. Exemplo 1.1 Detector de papel numha impressora Na figura1.7 tem-se um esquema dum detector de papel numha impressora, que consta es- sencialmente dum LED de infravermelho e dum foto-díodo. Se o LED tem um perfil de inten- sidade Aθ = A0 cos5 θ, e umha intensidade radiante máxima A0 = 1 5mW/sr, qual é o fluxo total emitido polo LED, e qual é o fluxo que atinge o foto-díodo? O fluxo emitido por um LED é Pθ = 2πA0 m+1 (1 − cosm+1 θ). O fluxo total é o correspondente a θ = 90, e para m = 5 e A0 = 1 5mW/sr Ptotal = 2π1 510−3 6 = 1 5710−3 W . O fluxo que atinge o foto-díodo corresponde-se, a vista da figura 1.7, com o ângulo θ = arctan 4/2 30 = arctan( 1 15 ) = 3o 48 51”, com o qual o fluxo que se passa polo buraco da cinta e chega ao foto-díodo é: Pθ = 2π1 5710−3 6 1−cos7 (3 81) = 3 4810−6 W = 3 48µW .
  24. 24. 14 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA Fonte x θ d D Detector Figura 1.8: Fonte e detector enfrentados. 1.5.2 A funçom de transferência óptica, OTF. Umha das principais questões que devem ser tidas em conta no desenho dum sistema opto- electrónico é o controlo do fluxo, i.e. como dirigi-lo da fonte ao detector do jeito mais eficiente. Na maioria dos casos deseja-se que ao detector chegue a maior parte do fluxo possível. A funçom de transferência óptica, OTF, expressa a eficiência de acoplamento, definindo-se como o cociente do fluxo que atinge a regiom sensível do detector entre o fluxo total emitido pola fonte: OTF = Pd Pf sendo Pd o fluxo que chega ao detector em Watt ou lm, e Pf o fluxo total emitido pola fonte em Watt ou lm. A OTF é portanto umha grandeza adimensional que pode tomar valores entre 0 e 1. O zero significa que ao detector nom chega nada do fluxo emitido pola fonte, enquanto que o um corresponde-se ao caso em que todo o fluxo emitido atinge o detector. Exemplo 1.2 Fonte lambertiana geral. Quando a fonte e o receptor estám enfrentados, tal e com se vê na figura 1.8, pode-se calcular facilmente a OTF. • Fonte lambertiana OTF = πA0 sin2 θ πA0 = sin2 θ A miúdo emprega-se a abertura numérica do receptor, NA = sinθ, com o qual OTF = NA2. • Fonte lambertiana geral. Neste caso: OTF = 2πA0 n+1 1−cosn+1 θ 2πA0 n+1 = 1−cosn+1 θ
  25. 25. 1.6. CORRENTES DE FOTÕES 15 Tenha-se em conta que no caso da figura θ = arctan D/2 d ⇒ sinθ = D/ √ 4d +D2 cosθ = 2d/ √ 4d +D2 1.6 Correntes de fotões Para estudarmos boa parte dos dispositivos que aparecem nos temas vindoiros cumpre con- siderarmos a natureza quântica da radiaçom electromagnética. Isto é, que a dita radiaçom pode ser considerada como composta por quantos de energia propagando-se com a mesma velocidade e direcçom. Cada quanto de radiaçom, chamado fotom, tem associada umha freqüência ν e umha energia eν eν = hν onde h = 6 6310−34J · s é a constante de Planck. Tendo em conta que c = λ · ν, podemos escrever a energia do fotom em funçom da sua longura de onda eλ = hc λ . Esta equaçom dá a energia dum fotom em Joules, mas em muitas ocasiões resulta mais conveniente expressar a energia do fotom em electrom-volts. O denominador da expressom anterior é igual a h·c = 1 98762410−25 J ·m e tendo em conta que 1eV = 1 6021910−19 J h·c = 1 24eV ·µm. Logo eλ(eV) = 1 24 λ(µm) . A continuaçom vamos ver umha série de conceitos que caracterizam umha corrente de fotões, e a relaçom destes cos conceitos radiométricos vistos na secçom 1.1. • NÚMERO DE FOTÕES, Nph, é o número de fotões emitidos por umha fonte, ou que incidem, atravessam ou emergem dumha superfície dada num intervalo de tempo determinado. Incluindo-se todos os fotões de todas as longuras de onda contidas no feixe de radiaçom. Se chamamos Nν ph ao número de fotões no intervalo [ν, ν + dν], entom a energia radiante espectral correspondente a esse intervalo será igual ao número de fotões, Nν ph, pola energia de cada fotom, hν: Eν = Nν ph eν = Nν ph hν
  26. 26. 16 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA e portanto Nν ph = Eν hν . Analogamente se Nλ ph é o número de fotões no intervalo [λ, λ+dλ], entom: Eλ = Nλ ph hc λ ⇒ Nλ ph = λEλ hc O número de fotões é portanto Nph = Nλ ph dλ = λEλ hc dλ ou considerando as freqüências: Nph = Nν p dν = Eν hν dν. O número de fotões Nph, é umha grandeza adimensional, medindo-se na pseudo- unidade q (≡ no de fotões), enquanto Nν ph tem por dimensões o [T], medindo-se em q/Hz, e Nλ ph tem por dimensões [L−1], medindo-se em q/nm. Numha radiaçom quase-monocromática de freqüência central ν o número de fotões vem dado por Nph = E hν = λE hc . • FLUXO FOTÓNICO, φph, é o número de fotões que fluem ao través dumha superfície ou regiom do espaço por unidade de tempo φph = dNph dt . Incluindo-se neste fluxo todos os fotões de todas as longuras de onda contidas no feixe de radiaçom. Considerando unicamente o fluxo dos fotões de longuras de onda no intervalo [λ, λ + dλ] temos o fluxo fotónico espectral, φλ ph que está relacionado directamente com o fluxo radiante espectral: Pλ = φλ ph hc λ ⇒ φλ ph = λPλ hc ⇒ φph = λPλ hc dλ. Analogamente Pν = φν ph hν ⇒ φν ph = Pν hν ⇒ φph = Pν hν dν. O fluxo fotónico tem dimensões de [T−1] medindo-se em q/s, enquanto φν ph é adi- mensional medindo-se em q/sHz, e φλ ph tem dimensões de [L−1T−1] medindo-se em q/snm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência central ν o fluxo fotó- nico vem dado por: φph = P hν = λP hc .
  27. 27. 1.6. CORRENTES DE FOTÕES 17 • IRRADIÂNCIA FOTÓNICA, Iph, é a densidade superficial de fluxo fotónico: Iph = dφph dso . Evidentemente também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas espectrais Iλ ph = λIλ hc Iν ph = Iν hν Iph = λIλ hc dλ = Iν hν dν A irradiância fotónica tem dimensões de [L−2T−1] medindo-se em q/sm2, enquanto Iν ph tem dimensões de [L−2] medindo-se em q/sm2Hz, e Iλ p tem dimensões de [L−3T−1] medindo-se em q/sm2nm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência cen- tral ν a irradiância fotónica vem dada por: Iph = Ie hν = λIe hc . • INTENSIDADE FOTÓNICA, Aph, é densidade angular de fluxo fotónico: Aph = dφph dω . Evidentemente também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas espectrais Aλ ph = λAλ hc Aν ph = Aν hν Aph = λAλ hc dλ = Aν hν dν A intensidade fotónica tem dimensões de [T−1] medindo-se em q/ssr, enquanto Aν p é adimensional medindo-se em q/ssrHz, e Aλ p tem dimensões de [L−1T−1] medindo- se em q/ssrnm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência central ν a intensidade fotónica vem dada por: Aph = Ae hν = λAe hc . • RADIÂNCIA FOTÓNICA, Lph, é densidade angular e superficial de fluxo fotónico: Lph = d2φp dωds . Também neste caso se podem definir as correspondentes grandezas espectrais Lλ ph = λLλ hc Lν ph = Lν hν Lph = λLλ hc dλ = Lν hν dν
  28. 28. 18 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA A radiância fotónica tem dimensões de [L−2T−1] medindo-se em q/sm2sr, enquanto Lν p tem dimensões de [L−2] medindo-se em q/sm2srHz, e Lλ p tem dimensões de [L−3T−1] medindo-se em q/sm2srnm. Numha radiaçom quase-monocromática e freqüência central ν a radiância fotónica vem dada por: Lph = Le hν = λLe hc . Exemplo 1.3 Fotões por segundo num lúmen. Quantos fotões por segundo tem 1 lm de radiaçom monocromática com longura de onda: 1. λ = 465 nm (Azul) 2. λ = 545 nm (Verde) 3. λ = 610 nm (Vermelho) φph = Pe λ hc = Pv Kλ λ hc = Pv hc λ Kλ Pv = 1lm hc = 1 24eV ·µm ⇒ Pv hc = 1lm 1 24eV ·µm = 0 806lm/eV ·µm 1W = 6 241451018 eV s ⇒ Pv hc = 0 806 lm eV µm ·6 241018 eV W s = 5 031018 lm W µms 1. λ = 465nm = 0 465µm Kλ = 683·0 0739 = 50 47lm/W ⇒ λ Kλ = 9 2110−3 µmW lm φph = 5 031018 lm W µms ·9 2110−3 W µm lm = 4 631016 q s 2. λ = 545nm = 0 545µm Kλ = 683·0 9083 = 620 37lm/W ⇒ λ Kλ = 8 7910−4 µmW lm φph = 5 031018 lm W µms ·8 7910−4 µmW lm = 4 421015 q s 3. λ = 610nm = 0 61µm Kλ = 683·0 503 = 343 55lm/W ⇒ λ Kλ = 1 7810−3 µmW lm φph = 5 031018 lm W µms ·1 7810−3 µmW lm = 8 951015 q s 1.6.1 Variaçom temporal do feixe de fotões Se a irradiância é umha funçom do tempo, a irradiância fotónica também será umha funçom temporal, e assim considerando umha radiaçom quase-monocromática Iph(−→r ,t) = Ie(−→r ,t) hν .
  29. 29. 1.6. CORRENTES DE FOTÕES 19 Evidentemente neste caso o fluxo radiante e o fluxo fotónico também som funções do tempo: φph(t) = Σ Iph(−→r ,t)dΣ = P(t) hν onde Σ é a superfície onde incide, que atravessa, ou donde emerge a radiaçom. O número de fotões registrados num intervalo temporal, entre t = 0 e t = T, também varia com o tempo, i.e. considerando distintos intervalos da mesma duraçom, Nph = T 0 φph(t)dt = E hν onde E = T 0 Pe(t)dt = T 0 Σ Ie(−→r ,t)dΣdt é a energia radiante. 1.6.2 Estatística fotónica Viu-se anteriormente como as grandezas radiantes e as fotónicas estám relacionadas. Agora bem, as relações vistas som válidas quando o número de fotões é relativamente alto, e para o promedio, mas nom para os fotões individuais. Consideremos por exemplo um feixe monocromático com umha longura de onda λ0 = 1 24µm e um fluxo radiante constante de 0’16 µW . Este feixe consta por termo médio de 100 fotões por nanosegundo, e portanto de 0’1 fotom por picosegundo. Mas os fotões nom som divisíveis, de maneira que se considerarmos 10 intervalos contíguos de 1 picosegundo, podemos esperar que num deles haja um fotom, e nos outros 9 nom. Assim, o facto de os fotões serem quantos discretos de energia dá lugar a flutuações estatísticas em intervalos temporais curtos, induzindo umha certa dissonância na relaçom entre grandezas radiantes e fotónicas. Mas este nom é o fenómeno mais rechamante. Como o feixe considerado tem um fluxo radiante constante, poderíamos esperar que os fotões viajassem equiespaciados, ou seja, dividindo o eixo temporal em intervalos de 10 ps, que em cada um desses intervalos houvesse um fotom. E mais, que ao subdividir cada um desse intervalos em 10 subintervalos de 1 ps, o fotom correspondente a cada intervalo de 10 ps, estivesse sempre no mesmo subintervalo, por exemplo sempre nos segundos subin- tervalos, ou sempre nos quintos subintervalos. Porém na realidade os fotões nom viajam equiespaciados, existindo sempre um certo degrau de aleatoriedade. Assim no exemplo anterior, considerando intervalos de 10 ps, nalguns deles viajará um fotom, noutros nom viajará nengum fotom, e noutros viajaram dous ou mais fotões. Na figura 1.9 representa-se a irradiância que incide num detector, e os impactos fotóni- cos que dam lugar a esta irradiância. Ainda que a irradiância seja constante, os fotões nom incidem no detector a intervalos estritamente regulares, sendo a irradiância medida umha funçom da média dos fotões detectados. Se a irradiância varia com o tempo, a densidade dos tempos de detecçom dos fotões segue aproximadamente a funçom Ie(t), mas os instan- tes exactos dos impactos apresenta umha certa aleatoriedade. Quando a potência é elevada
  30. 30. 20 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA Impactos fotónicos Impactos fotónicos t t t t e e I (t) I (t) Figura 1.9: Aleatoriedade do fluxo fotónico que incide no detector. o número meio de fotões é alto, e quando a potência é pequena os fotões chegam mais es- paçados, mas nom há umha relaçom determinista directa entre o fluxo radiante e o número de fotões que incidem num intervalo de tempo pequeno. A aleatoriedade do fluxo fotónico é umha fonte importante de ruído, que cobra mais importância quanto menor seja o número de fotões implicados, e que depende da natureza da fonte de luz. 1.6.2.1 Luz coerente Quando a luz é coerente, e o fluxo constante, a probabilidade de num determinado subinter- valo viajar um fotom é independente da presença de fotões nos subintervalos próximos. Ou dito doutro jeito, a chegada de fotões a um detector pode considerar-se como ocorrências independentes dumha seqüência de sucessos aleatórios. Tendo esta seqüência umha “ve- locidade” igual ao fluxo fotónico, que é proporcional ao fluxo radiante ou potência óptica. Se pola contra a luz é incoerente ou parcialmente coerente, a chegada de fotões nom pode ser considerada como umha seqüência de sucessos aleatórios, i.e. a probabilidade de num determinado subintervalo viajar um fotom depende da presença de fotões nos subintervalos próximos. Consideremos um fluxo radiante constante Pe. O fluxo fotónico correspondente, φph = Pe/hν, é também constante, mas os tempos exactos de incidência dos fotões numha super- fície dada som aleatórios. Na figura 1.10 representam-se as incidências dos fotões do dito fluxo, e como podemos ver os tempos de incidências nom estám equi-espaçados, senom
  31. 31. 1.6. CORRENTES DE FOTÕES 21 n = 11n = 7n = 9n = 8 T T T T Figura 1.10: Incidência de fotões com fluxo radiante constante. que se distribuem aleatoriamente. O intervalo total esta dividido em subintervalos iguais de largura T. Seja n o número de fotões que incide num desses subintervalos. Sabemos que o valor médio de n é n = Nph = φph T = Pe T hν mas como vemos na figura em cada subintervalo podem incidir um número diferente de fotões. Queremos calcular agora a probabilidade de que o número de incidências seja um n determinado, por exemplo que n = 8 ou que n = 11. Para isto dividimos cada intervalo T num grande número de subintervalos M com umha largura pequena o bastante para que em cada um desses subintervalos haja umha probabilidade p = n M de que incida um fotom, e umha probabilidade 1 − p de que nom incida nengum fotom. A probabilidade de que incidam n fotões no intervalo T é portanto igual a probabilidade de de termos n subintervalos contendo 1 fotom e M − n subintervalos contendo 0 fotões, em qualquer ordem possível. Esta probabilidade é igual a distribuiçom binomial7: p(n) = Cn M pn (1− p)M−n = M! n!(M −n)! n M n 1− n M M−n . Como lim M→∞ M! (M −n)!Mn = 1 e lim M→∞ 1− n M M−n = e−n entom p(n) = nn e−n n! . Esta equaçom é conhecida por distribuiçom de Poisson, e dá-nos a probabilidade de que num intervalo de largura T incidam n fotões. Na figura 1.11 mostra-se a distribuiçom de Poisson para vários valores do valor médio n. (Note-se que a distribuiçom é discreta, e as linhas ponteadas pintam-se só para fazer mais clara a gráfica). Umha sucessom de sucessos caracteriza-se usualmente por dous parâmetros, o seu valor médio n = ∞ ∑ n=0 n p(n) 7O produto da combinaçom de ordem n de M elementos vezes a probabilidade de incidir um fotom elevado a n, e a probabilidade de non incidir um fotom elevado a M −n.
  32. 32. 22 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA  ¡ ¢¡¢ £¤ ¥¦§¡§¨¡¨ © ¡¡ !¡! #$ %'¡'(¡( )01¡12¡2 345¡56 78 9@A¡AB¡B CDE¡EF¡F GH IP QR ST n = 1 UVWX Y¡YY¡Y`¡``¡` aabbc¡cd ef ghipq¡qr¡rstuvw¡wx y€ ‚‚ƒ¡ƒ„¡„…¡…†¡† ‡‡ˆˆ ‰¡‰‰¡‰¡¡ ‘’“¡“”¡” ••––—¡—˜ ™d efg¡gg¡gh¡hh¡h ii jjk¡kl¡l mn oopp qqrr st n = 5 n = 15 n 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 5 10 15 20 25 30 p(n) Figura 1.11: Distribuiçom de Poisson para 3 valores de n. e a variância σ2 n = ∞ ∑ n=0 (n−n)2 p(n). Calculemos primeiramente o valor médio n = ∞ ∑ n=0 n p(n) = ∞ ∑ n=0 n nn e−n n! = e−n ∞ ∑ n=0 n nn n! , e tendo em conta que ∑∞ n=0 nxn n! = xex n = e−n ·n·en = n. Ou seja, obtemos que o valor médio da distribuiçom de Poisson é n, e portanto os nossos cálculos som coerentes. Calculemos agora a variância σ2 n = ∞ ∑ n=0 (n−n)2 nne−n n! = e−n ∞ ∑ n=0 (n−n)2 nn n! = e−n ∞ ∑ n=0 (n2 +n2 −2nn) nn n! = e−n ∞ ∑ n=0 n2 nn n! +n2 e−n ∞ ∑ n=0 nn n! −2ne−n ∞ ∑ n=0 n nn n! . Tendo em conta que ∞ ∑ n=0 n2 xn n! = x(1+x)ex , ∞ ∑ n=0 n xn n! = xex , ∞ ∑ n=0 xn n! = ex , entom σ2 n = n(1+n)+n2 −2n2 = n. Assim se por exemplo n = 100 o desvio padrom será σn = 10, i.e. um fluxo de 100 fotões vem acompanhada por umha inexactitude de ±10 fotões.
  33. 33. 1.6. CORRENTES DE FOTÕES 23 Como já dixemos a aleatoriedade fotónica constitui umha fonte de ruído fundamental, que deve ter-se em conta à hora de transmitir informaçom usando radiaçom electromagné- tica. Umha medida muito utilizada para medir a bondade dum sistema de comunicações é a razom sinal-ruído (SNR). Se representamos a média do sinal por n e o seu ruído polo desvio padrom σn, a razom sinal-ruído dum feixe fotónico é: SNR = media2 vari ´ancia = n2 σ2 n . E caso de podermos aplicar a distribuiçom de Poisson: SNR = n2 n = n. Cumpre salientar que neste caso a razom sinal-ruído aumenta sem limite ao medrar o nú- mero de fotões. 1.6.2.2 Classificaçom da luz Do ponto de vista clássico um feixe coerente com fluxo radiante constante é o tipo de luz mais estável em que podemos pensar. Serve portanto como umha referência para classificar a luz em funçom da sua aleatoriedade fotónica. E assim umha dada radiaçom electromag- nética vai ter umha estatística fotónica dalgum dos seguintes 3 tipos: • super-poissoniana, σ2 n n, • poissoniana, σ2 n = n, ou • sub-poissoniana, σ2 n n. A figura 1.12 mostra as distribuições de probabilidade de estatísticas super-poissoniana, poissoniana e sub-poissoniana, para um valor médio n igual a 80. Um feixe laser monomodo, de potência constante e estabilizada, apresenta umha es- tatística praticamente poissoniana. As fontes térmicas e de descarga mostram estatística super-poissoniana, se bem em muitos casos nom dista muito da estatística poissoniana. Para obter luz com estatística sub-poissoniana cumpre utilizar montagens bastante sofisticadas, nas que a emissom dos fotões da fonte, usualmente um Led ou um díodo laser, é controlada com bastante precisom. 1.6.2.3 Luz super-poissoniana As fontes tradicionais; incandescentes, fluorescentes e de descarga, emitem luz super-poisso- niana, e portanto as razões sinal-ruído que se obtém som piores que para a luz coerente. Assim em geral o desvio padrom vem pode expressar-se como: σn = √ n+σt ,
  34. 34. 24 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA Poissoniana Sub−poissoniana Super−poissoniana n = 80 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 20 40 60 80 100 120 140 p(n) n 0 Figura 1.12: Comparativa de possíveis estatísticas fotónicas da luz. onde σt é o ruído a maiores devido a natureza estocástica da fonte. Este factor pode tomar valores muito diferentes, dependendo da fonte de luz, o seu grau de coerência, o grau de polarizaçom, etc. Um caso extremo e interessante é o corpo negro, cuja radiaçom é totalmente incoerente, é que serve de protótipo de fonte térmica. Neste caso para o cálculo da variância cumpre utilizar a estatísticas de Bose-Einstein, obtendo-se que a dita variância é igual a8: σ2 n = n· ehν/kBT ehν/kBT −1 ou seja o produto da variância do caso coerente por um quociente conhecido como factor de Boson, que pode tomar valores muito diferentes. O caso extremo dá-se quando a energia dos fotões é igual à energia térmica, kBT, entom quociente tende a infinito, mas usualmente trabalha-se em condições muito diferentes. Assim para freqüências ópticas, e temperatu- ras típicas o factor de Boson toma valores próximos a unidade, por exemplo considerando que a temperatura do corpo negro é de 5300 K, temperatura da superfície do Sol, aos ex- tremos do visível (360, 860) nm, correspondem-lhe factores de Boson de 1.0006 e 1.046 respectivamente. Cumpre sinalar as fontes parcialmente coerentes, podem ser mais ruidosas que o corpo negro, e sempre vam ser mais ruidosas que as fontes totalmente coerentes. A razom sinal ruído dum corpo negro será logicamente: SNR = n· ehν/kBT −1 ehν/kBT . 8Veja-se por exemplo a secçom 1-6 da referência[4].
  35. 35. BIBLIOGRAFIA 25 Bibliografia [1] McCluney W.R., Introduction to Radiometry and Photometry, ed. Artech House, Bos- ton 1994. [2] E.F. Schubert, Light-emitting diodes, cap 11, Cambridge University Press, 2003. [3] B.E.A. Saleh and M.C. Teich , Fundamentals of photonics, ed. Wisley, New York 1991. [4] Dereniak, E.L. and Crowe D.G., Optical Radiation Detectors, ed. John Wiley Sons, 1984. [5] Uiga, E., Optoelectronics, ed. Prentice Hall, 1995. [6] Gross H., Handbook of Optical Systems, Volume 1, cap. 6 e 7, ed. Wiley-VCH, 2005. [7] Fox M., Quantum Optics. An introduction, Oxford University Press, 2006. Problemas 1. O fluxo radiante espectral emitido polo corpo negro a temperatura T, vem descrito por: Pλ = P0 ·W(λ,T) con W(λ,T) = λ−5 · exp hc λkB T −1 −1 sendo P0 um parâmetro que nom depende nem da temperatura nem da longura de onda, h a constante de Planck, c a velocidade da luz no vácuo e kB a constante de Boltzmann. De maneira que hc/kB = 1 438775827107 nm K. 2. Represente-se graficamente Pλ/P0 para T = 2000, 3500 e 5000 K. (a) Calcule-se a eficácia luminosa de radiaçom como umha funçom da temperatura. Represente-se a dita eficiência no intervalo [1000, 15.000]. (b) Para umha temperatura dada, T, calcule-se a longura de onda para a qual a funçom W(λ,T) tem o seu máximo. 3. Da expressom que aparece no problema anterior derive-se o fluxo radiante espectral, a respeito da freqüência, que emite o corpo negro á temperatura T.
  36. 36. 26 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA 4. A distribuiçom espectral da radiaçom solar extraterrestre é semelhante à do corpo negro a 5800 K. Para esta radiaçom calcule-se: (a) a eficácia luminosa, e (b) quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen. 5. Seja umha lâmpada incandescente de tungsténio com as seguintes características: Pv = 1.270 lm Potência (eléctrica consumida) = 100 W Voltagem alimentaçom = 220 V Distribuiçom espectral semelhante à do corpo negro a 2820 K (a) Calcule-se a eficácia luminosa. (b) Calcule-se a eficiência radiante percentual, i.e. Pe Pelectrica ·100. (c) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen. (d) Quantos fotões por segundo emite a fonte. 6. Seja umha lâmpada halogénea com as seguintes características: Pv = 2.070 lm Potência (eléctrica consumida) = 100 W Voltagem alimentaçom = 220 V Distribuiçom espectral semelhante á do corpo negro a 3130 K (a) Calcule-se a eficácia luminosa. (b) Calcule-se a eficiência radiante percentual, i.e. Pe Pelectrica ·100. (c) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen. (d) Quantos fotões por segundo emite a fonte. 7. Mede-se a distribuiçom espectral dumha lâmpada flash obtendo-se um fluxo espectral que ajustamos à seguinte funçom: Pλ = P0 ·exp 30 1548−0 9688 √ λ− 2318470 λ2 onde a longura de onda mede-se em nanómetros. (a) Represente-se o fluxo espectral normalizado à unidade. (b) Corresponde-se este fluxo espectral com o do corpo negro?, a que temperatura?. (c) Calcule-se a eficácia luminosa. (d) Quantos fotões por segundo, no intervalo visível, tem 1 lúmen?.
  37. 37. BIBLIOGRAFIA 27 8. Considere-se a lâmpada do problema 3 iluminando um quarto cúbico de 9 m3. As- sumindo que a lâmpada é umha fonte pontual, que fica a 1 2 m do teito e no meio do quarto, e que este está valeiro. Calcule-se: (a) a intensidade luminosa, (b) a iluminância numha parede (ignorando a luz reflectida noutras paredes). 9. Represente-se o factor de Boson no espectro visível para o corpo negro às seguintes temperaturas: (a) T = 2000 K (b) T = 4000 K (c) T = 6000 K Dica • ∞ 0 xν−1 eµx −1 dx = 1 µν Γ(ν)ζ(ν)
  38. 38. 28 CAPÍTULO 1. RADIOMETRIA E FOTOMETRIA
  39. 39. Capítulo 2 Princípios físicos dos dispositivos opto-electrónicos Neste capítulo estudam-se os princípios básicos de funcionamento dos dispositivos opto- electrónicos, que na sua imensa maioria estám fabricados com semicondutores. Assim a primeira secçom está dedicada apresentar os semicondutores, introduzindo um modelo simples que explica as suas características gerais e permite entender as estruturas que se elaboram hoje em dia com semicondutores. Numha segunda secçom estudam-se os mate- riais específicos utilizados na elaboraçom dos dispositivos opto-electrónicos de semicondu- tores, as suas características e propriedades. E na terceira secçom apresenta-se um modelo simples das interacções entre a radiaçom electromagnética e os semicondutores. 2.1 Semicondutores 2.1.1 Conceitos básicos Um semicondutor é um sólido cristalino ou amorfo cuja condutividade eléctrica é intermé- dia entre a dum metal e a dum isolante, podendo ser variada significativamente modificando a temperatura ou a concentraçom de impurezas do material, ou por efeito da luz. Em opto-electrónica a maioria dos materiais usados som semicondutores compostos, i.e. formados por mais dum elemento, e cristalinos. Os mais comuns e úteis som os materiais tipo III-V que como o seu nome indica estám compostos por elementos do Grupo III (Al, Ga e In) e do Grupo V (N, P, As e Sb) como por exemplo o arsenieto de gálio (GaAs). Algo menos usados som os semicondutores elementares, Si e Ge, que se utilizam principalmente na elaboraçom de foto-detectores. Há também semicondutores do tipo II-VI, ex. telureto de cádmio (CdTe) e do tipo IV-VI, ex telureto de chumbo (PbTe), mas em ambos casos com um uso bastante reduzido. Por último existe um composto binário do tipo IV-IV, o SiC (carboneto de silício), que se usa tanto na detecçom como na emissom de radiações de longura de onda curta (azul - ultravioleta). Um material semicondutor nom pode ser visto como um conjunto de átomos indivi- duais, cada um cos seus níveis de energia próprios e independentes, posto que as suas in- 29
  40. 40. 30 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS 3s 3p 2p 2s 1s isolado Metal IsolanteSemi- condutor Átomo Nível do vácuo Figura 2.1: Agrupamento em bandas dos níveis energéticos teracções som demasiado fortes para serem ignoradas. E assim os electrões de valência nom estám vencelhados a átomos individuais, senom que pertencem ao sistema de átomos global. A soluçom da equaçom de Schrödinger para a energia do electrom, no potencial pe- riódico criado polo conjunto de átomos numha rede cristalina, consiste num conjunto de níveis energéticos discretos, que se agrupam em bandas energéticas. Cada banda contém um grande número de níveis energéticos, discretos mas muito próximos, de jeito que po- dem ser considerados como um continuum. Em ausência de excitações térmicas (a T = 0 K), nos semicondutores estas bandas estám bem completamente ocupadas por electrões, bem completamente valeiras. A banda ocupada mais alta -de maiores energias-, é nome- ada banda de valência, e a banda valeira seguinte recebe o nome de banda de conduçom. Ambas bandas estám separadas por unha banda (de energia) proibida de largura Eg (veja-se a figura 2.1), chamada largura da banda proibida, que joga um importante papel na deter- minaçom das propriedades eléctricas e magnéticas do material. Os materiais com umha banda de conduçom valeira e umha largura da banda proibida grande som isoladores eléc- tricos; enquanto aqueles com umha largura pequena ou inexistente som condutores. Os semicondutores som logicamente materiais com largura da banda proibida intermédia. Tra- dicionalmente considerava-se que os valores fronteira que definiam estes três grupos eram 0’1 e 3 eV, de maneira que um material com Eg 3 eV seria um isolante, um material com Eg ∈ (0 1, 3) eV seria um semicondutor e um material com Eg 0 1 eV seria um metal. Mas estes valores estám a ser revisados na actualidade, pois para conseguir fontes que emitam no azul e no violeta precisam-se materiais com largura de banda maiores de 3 eV. E assim materiais que tradicionalmente seriam considerados isolantes, estám a ser tratados hoje em dia como semicondutores.
  41. 41. 2.1. SEMICONDUTORES 31 Banda de conduçom Banda de valência Lacuna banda proibida Largura da Energiadoelectrom Electrom livre Figura 2.2: Electrões de conduçom e lacunas. 2.1.1.1 Electrões e lacunas De acordo com o princípio de exclusom de Pauli um mesmo estado quântico nom pode estar ocupado por dous electrões distintos, ocupando-se primeiramente os níveis energéticos me- nores. Num semicondutor elementar, tal como o Si e o Ge, há quatro electrões de valência por átomo; de jeito que a banda de valência tem um número de estados quânticos tal que em ausência de excitaçom térmica a dita banda de valência está completamente cheia, entanto a banda de conduçom fica completamente valeira. Portanto o material nom pode conduzir electricidade. Porem ao incrementar-se a temperatura alguns electrões som excitados termicamente, atingindo a banda de conduçom, valeira de electrões e cheia de estados nom ocupados (veja-se a figura 2.2). Nela os electrões podem actuar como portadores móveis; deixando- se levar na rede cristalina polos efeitos dum campo eléctrico, e contribuindo deste jeito a corrente eléctrica. Mais ainda, o afastamento dum electrom da banda de valência fornece um estado quântico valeiro, permitindo aos electrões que permanecem na banda de valência trocar os seus respectivos lugares baixo a influência dum campo eléctrico. O movimento dos electrões na banda de valência pode ser visto como o movimento no sentido contrario, da lacuna1 deixada polo electrom que saltou à banda de conduçom. A lacuna se comporta portanto, como se tiver umha carga positiva +e. Assim a excitaçom de um electrom dá lu- gar entom á criaçom de um electrom ceive na banda de conduçom e unha lacuna na banda de valência. Os dous portadores de carga nom estám vencelhados a nengum átomo em particular, deixando-se levar livremente por qualquer campo eléctrico aplicado ao material, e contribuindo assim a corrente eléctrica. O material comporta-se como um semicondu- 1Lacuna: espaço valeiro no interior dum corpo. Letra que falta num texto impresso.
  42. 42. 32 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS [111] [100] [111] [100] k GaAs Si k E E Figura 2.3: Energia versus número de onda em Si e GaAs tor, cuja condutividade se incrementa rapidamente com a temperatura, ao se incrementar o número de portadores de carga gerados termicamente. 2.1.1.2 Relações energia-momento A energia E e o momento p de um electrom no espaço livre estám relacionados pola equa- çom: E = p2 /2m0 = 2 k2 /2m0 , onde p é o módulo do momento, k é o número de onda, i.e. o modulo do vector de onda k = p/ associado com a funçom de onda do electrom, e m0 é a massa do electrom (9.1 x 10−31 kg). I.e., a relaçom E −k é umha parábola. O movimento de electrões na banda de conduçom, e lacunas na banda de valência, dum semicondutor estám sujeitos a dinâmicas diferentes, estando governados pola equaçom de Schrödinger e a rede periódica do material. Na figura 2.3 ilustram-se as relações E − k para o Si e o GaAs. A energia E é umha funçom periódica das componentes (k1, k2, k3) do
  43. 43. 2.1. SEMICONDUTORES 33 π/a a2π/ 6Γ 8Γ 7Γ −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 K Energiadoelectrom,E(eV) L4 L5 L 6L 6 X6 X7 X6 Mínimo lateral Mínimo central Mínimo lateral Banda Split Off Banda de lacunas pesadas Banda de lacunas leves Banda de conduçom [111] [100] GaAs Figura 2.4: Energia versus número de onda para semicondutores binários III-V vector k, com periodicidades ((π/a1, π/a2, π/a3), onde a1, a2, e a3 som as constantes de rede do cristal. Na dita figura vem-se as secções transversais desta relaçom ao longo de duas diferentes direcções de k. Podendo-se observar como a energia dum electrom na banda de conduçom depende nom só da grandeza do seu momento, mais também da direcçom na que está a se deslocar no cristal. A figura que acabamos de ver simplifica notavelmente a situaçom real e ilustra mais bem umha aproximaçom, aproximaçom que imos empregar durante este curso porque facilita os cálculos e permite obter uns resultados razoáveis. Na figura 2.4 vê-se umha representaçom mais realista da relaçom energia-momento para o GaAs. Tanto para a banda de valência como para a banda de conduçom existem três pólas. Na banda de conduçom umha destas três pólas atopa-se claramente por baixo das outras duas, polo menos no seu mínimo. Vai ser este mínimo o que determine a largura da banda proibida, e dado que usualmente a regiom de interesse está nas vizinhanças desse mínimo, usualmente só é considerada essa póla. Na banda de valência a situaçom é diferente, pois duas das pólas convergem para k=0 (polo que se di que estám degeneradas -igual valor de energia para distintos estados do electrom-), a terceira póla fica por baixo das outras duas e usualmente tampouco é considerada.
  44. 44. 34 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS Tabela 2.1: Massas efectivas médias de electrões e lacunas em Si e GaAs. (T = 4K) mc mp v ml v Si 1’062 m0 0’537 m0 0’153 m0 GaAs 0’067 m0 0’51 m0 0’082 m0 2.1.1.3 Massa efectiva Nas vizinhanças do mínimo da banda de conduçom, a relaçom E-k pode representar-se aproximadamente por unha parábola E = Ec + 2k2 2mc (2.1) onde Ec é a energia mínima da banda de conduçom e mc é umha constante que representa a massa efectiva do electrom na banda de conduçom (veja-se a figura 2.3). De um jeito semelhante nas proximidades do máximo da banda de valência, e para cada umha das duas pólas que nele convergem tem-se que Ep = Ev − 2k2 2mp v e El = Ev − 2k2 2ml v (2.2) onde Ev = Ec −Eg é a energia máxima da banda de valência, mp v é a massa efectiva dumha lacuna da póla superior da banda de valência e ml v é a massa efectiva dumha lacuna da póla inferior da dita banda. Os superíndices p e l significam respectivamente pesado e leve, denominando-se lacunas pesadas aquelas pertencentes à póla superior e leves à inferior. Evidentemente ml v mp v . Os valores das massas efectivas dependem também da orienta- çom do cristal, sobre todo na banda de conduçom, onde se diferenciam a massa efectiva transversal mt e a massa efectiva longitudinal ml. Porém nós nom imos considerar esta diferença, trabalhando com massas efectivas médias, o qual resulta numha aproximaçom muito usada e que normalmente avonda para explicar os comportamentos dos dispositivos a estudar. Na tabela 2.1 incluem-se as massas efectivas medias para Si e GaAs. 2.1.1.4 Semicondutores directos e indirectos Os semicondutores para os quais o máximo na banda de valência tem o mesmo momento que o mínimo na banda de conduçom (o mesmo k) som chamados materiais com banda proibida directa ou materiais directos, enquanto que os semicondutores para os que nom se cumpre o anterior recebem o nome de materiais com banda proibida indirecta, ou materiais indirectos. A diferença é importante; já que umha transiçom entre o cimo da banda de valência e o fundo da banda de conduçom, num semicondutor com banda proibida indirecta, requer um cambio substancial no momento do electrom. Na figura 2.3 evidencia-se que o Si é um semicondutor com banda proibida indirecta, entanto o GaAs é um material com banda
  45. 45. 2.1. SEMICONDUTORES 35 Electrom livre Si Si Si Si Si Si P (a) Tipo-n Lacuna Si Si Si Si Si Si Al (b) Tipo-p Figura 2.5: Semicondutores dopados. proibida directa. Verá-se em apartados vindoiros que os semicondutores com banda proibida directa, coma o GaAs, som emissores fotónicos eficazes, entanto que os semicondutores com banda proibida indirecta, coma o Si, nom podem ser usados eficientemente coma fontes de luz. 2.1.1.5 Semicondutores dopados As propriedades eléctricas e ópticas dum semicondutor podem ser modificadas substancial- mente engadindo pequenas quantidades de impurezas especialmente escolhidas, ou dopan- tes, que alteram as concentrações de portadores de carga móbil em varias ordens de magni- tude. Se substituirmos umha pequena proporçom dos átomos normais da rede com átomos com excesso de electrões de valência (chamados doadores), dá-se lugar a umha predomi- nância de electrões móveis, já que há um aumento dos ditos electrões e umha diminuiçom de lacunas, daquela o semicondutor di-se de tipo n. Assim usam-se átomos do grupo V (ex. P ou As) para substituir átomos da rede dum material semicondutor elementar (do grupo IV), tal e como se vê na figura 2.5a, e átomos do grupo VI (ex. Se ou Te) para substituir átomos do grupo V dum semicondutor binário de tipo III-V, e obter semicondutores tipo-n. Igualmente fabricam-se materiais semicondutores do tipo-p, nos que predominam as lacu- nas, usando como dopantes átomos com falta de electrões de valência, chamados receptores ou aceitadores. Para elo substituem-se átomos da rede dum semicondutor elementar por átomos do grupo III (ex. B ou Al), tal e como se vê na figura 2.5b, ou átomos do grupo III dum semicondutor binário do tipo III-V por átomos do grupo II (ex. Zn ou Cd). Na figura 2.6 mostram-se os efeitos dos dopantes no diagrama de bandas. Um átomo aceitador dá lugar a um nível energético próximo à banda de valência, mas dentro da banda de energias proibidas. De maneira que é requerida muito pouca energia para um electrom da banda de valência poder se passar a ocupar esse nível energético, deixando trás de si um oco, i.e. umha lacuna. Por outro lado um átomo doador dá lugar a um nível energético próximo da banda de conduçom, de maneira que o electrom do átomo doador que ocupa
  46. 46. 36 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS D+Dx Ax A− A−equivale IonizadaNeutra Banda de conduçom Banda de valência Figura 2.6: Representaçom em diagrama de bandas das impurezas. esse nível pode se passar facilmente à banda de conduçom. Os semicondutores nom dopados recebem o nome de materiais intrínsecos, enquanto que aos dopados se lhes chama materiais extrínsecos. Num material intrínseco as concentra- ções de electrões e de lacunas som iguais, n = p = ni, incrementando-se com a temperatura dum jeito exponencial. A concentraçom de electrões móveis num semicondutor tipo n (cha- mados portadores majoritários) é muito maior que a concentraçom de lacunas (chamados portadores minoritários), i.e. n p, ocorrendo o contrario num semicondutor tipo p, onde os portadores majoritários som as lacunas e p n. A temperatura ambiente, os semicon- dutores dopados tenhem umha concentraçom de portadores majoritários aproximadamente igual à concentraçom de impurezas. 2.1.2 Concentrações de electrões e de lacunas Para determinarmos as concentrações de portadores (electrões e lacunas) cumpre conhecer- mos a densidade de níveis energéticos permitidos (densidade de estados), e a probabilidade de cada um desses estados estar ocupado. 2.1.2.1 Densidade de estados O estado quântico dum electrom num material semicondutor vem caracterizado pola sua energia E, o seu vector de onda −→ k -o módulo do qual está relacionado com E pola equaçom (2.1) ou a (2.2), e o seu spin. Estando descrito por umha funçom de onda que satisfai certas condições fronteira. Um electrom perto do fundo da banda de conduçom pode descrever-se aproximada- mente como umha partícula de massa mc confinada numha caixa cúbica (de dimensões d) com paredes reflectoras perfeitas, i.e., um poço de potencial tridimensional infinito e cúbico (veja-se a figura 2.7). A equaçom de Schrödinger toma entom a forma: ∇2 Ψ+k2 Ψ = 0 0 x l, 0 y w, 0 z d
  47. 47. 2.1. SEMICONDUTORES 37 E E E E c c superior v Figura 2.7: Representaçom do potencial correspondente à rede dum semicondutor. sendo l, w e d as dimensões do cristal. Usando a técnica de separaçom de variáveis chega-se à soluçom: Ψ(x,y,z) = A sinkxx sinkyy sinkzz com kx = qxπ/l, ky = qyπ/w, kz = qzπ/d, tais que k2 x +k2 y +k2 z = k2, e qx, qy, qz = 1, 2, 3... Cada combinaçom de qs (tal que k π/a, sendo a a constante da rede) define um estado permitido, e a partir das equações anteriores podemos calcular a energia correspondente. Se só estivermos interessados nos estados correspondentes a uns poucos qx, qy, qz poderíamos contá-los directamente, mas estamos interessados na densidade de estados em funçom da energia em todo o intervalo de energias permitidas. Como as dimensões do cristal som rela- tivamente grandes, os incrementos de ks ao variar as qs vam ser mui pequenos, de jeito que pode haver facilmente sobre 1020 estados permitidos nas proximidades de E = 0. Cumpre portanto usarmos umha técnica para contar o número de estados mais sofisticada. Para ajudar-nos a contar o número de estados permitidos usamos a rede da figura 2.8 . Cada soluçom da equaçom de Schrödinger pode associar-se univocamente com um vector do espaço das ks: −→ k = qxπ l −→ex + qyπ w −→ey + qzπ d −→ez onde −→ex , −→ey , −→ez som os vectores unitários ao longo dos eixos de coordenadas do espaço das ks. Cada vector aponta a um vértice distinto da rede tridimensional da figura 2.8, de jeito que cada um dos vértices representa um estado permitido2, ou o que é o mesmo, haverá 2Os vértices que jazem nos planos kx = 0, ky = 0, kz = 0, nom se correspondem com estados permitidos, já que todos eles dam lugar à soluçom trivial Ψ = 0.
  48. 48. 38 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS π w kx kx ky ky kz kz π π d l Figura 2.8: Artifício usado para contar o número de estados permitidos. tantos estados como celas da rede. Portanto o número de estados permitidos por unidade de volume no espaço das ks será o igual ao número de celas que cabem na unidade de volume, como o volume de cada cela é (π /l)(π /w)(π /d), o dito número será: número de estados permitidos unidade de volume do espaço das ks = l wd π3 O número de estados com vectores de onda de módulo entre 0 e k calcula-se contando o número de celas da rede que há no octante positivo dumha esfera de raio k, (veja-se a figura 2.9). O volume deste octante é: 1 8 4 3 πk3 = π 6 k3 . Devido a que o spin do electrom pode ter dous valores, cada ponto no espaço das ks corres- ponde a dous estados. Há portanto aproximadamente 2(πk3/6)(lwd/π3) = (k3/3π2)(lwd) estados num volume (lwd), e (k3/3π2) estados por unidade de volume. Do anterior segue- se que o número de estados com número de onda entre k e k+dk, por unidade de volume, é: ρ(k)dk = d dk k3 3π2 dk = k2 π2 dk e já que logo a densidade de estados em funçom de k, ou seja o número de estados por unidade de volume com número de onda entre k e k +dk é: ρ(k) = k2 π2 Se representamos por ρc(E)dE o número de níveis energéticos, por unidade de volume, da banda de conduçom entre E e E+dE, entom, dada a correspondência unívoca entre k e E,
  49. 49. 2.1. SEMICONDUTORES 39 k k k+dk k z y k x Figura 2.9: Octante positivo dumha esfera de raio k. governada pola eq.(2.1), as densidades energética e de número de estados estám relaciona- das por: ρc(E)dE = ρ(k)dk ⇒ ρc(E) = ρ(k)/ dE dk Tendo em conta a relaçom que liga a energia e o número de onda nas proximidades do mínimo da banda de conduçom: dE dk = 2k mc ⇒ ρc(E) = mck π2 2 e dessa mesma relaçom sai que: k = √ 2mc √ E −Ec Portanto: ρc(E) = (2mc)3/2 2π2 3 √ E −Ec E ≥ Ec De um jeito análogo obtém-se a densidade energética na banda de valência, mais neste caso cumpre considerar as duas pólas existentes (as lacunas leves e as pesadas), e assim a densidade de estados total da banda de valência e a soma das densidades correspondentes a ambas pólas: ρv(E) = (2mp v )3/2 2π2 3 Ev −E + (2ml v)3/2 2π2 3 Ev −E = (2mv)3/2 2π2 3 Ev −E
  50. 50. 40 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS Ev Ec Ev Ec Eg v ρ (E) c ρ (E) k E E Densidade de estados Figura 2.10: Densidade de estados com mv = (mp v )3/2 + ml v 3/2 2/3 Como comentamos anteriormente pode simplificar-se o estudo do comportamento dos semicondutores ignorando a diferença entre as lacunas pesadas e as leves, considerando que a banda de conduçom só tem umha póla e usando para todas as lacunas a massa efectiva média mv. Isto representa logicamente umha aproximaçom da realidade, mas na maioria dos casos funciona bem. Na figura 2.10 ilustra-se a dependência da densidade de estados com a energia; que é zero nos extremos das bandas, incrementando-se ao se afastar dos ditos extremos a unha velocidade que depende das massas efectivas dos electrões e das lacunas. Na tabela 2.2 vemos as massas efectivas medias para Si e AsGa a T = 4K e T = 300K. Tabela 2.2: Massas efectivas de Si e de GaAs Massa efectiva Si GaAs mc/m0 T = 4 K 1’062 0’067 mc/m0 T = 300 K 1’182 0’0655 mv/m0 T = 4 K 0’590 0’532 mv/m0 T = 300 K 0’81 0’524
  51. 51. 2.1. SEMICONDUTORES 41 Ev Ec Ef Eg Ev Ec Ef Ev Ec Ef 0 0’5 1 f(E) f(E) 1−f(E) 0 0’5 1 f(E) E E T = 0 KT 0 K Figura 2.11: Distribuiçom de Fermi-Dirac 2.1.2.2 Probabilidade de ocupaçom Em ausência de excitaçom térmica (a T = 0K), todos os electrões ocupam os níveis energé- ticos mais baixos possíveis, cumprindo isso si, o principio de exclusom de Pauli. De jeito que a banda de valência está completamente cheia, nom há lacunas, e a banda de conduçom está completamente valeira, nom contém electrões. Quando a temperatura aumenta, alguns electrões som excitados termicamente saltando da banda de valência à banda de conduçom, deixando detrás sua estados valeiros na banda de valência, i.e. lacunas. As leis da mecânica estatística ditam que baixo condições de equilíbrio térmico à temperatura T, a probabilidade de um estado dado de energia E estar ocupado vem determinada pola funçom de Fermi: f(E) = 1 Exp (E −Ef ) kBT +1 onde kB é a constante de Boltzmann, o produto kBT recebe o nome de energia térmica, e Ef é umha constante conhecida como energia de Fermi ou nível de Fermi. A funçom anterior é conhecida também com o nome de distribuiçom de Fermi-Dirac. O nível energético E está ou bem ocupado, com probabilidade f(E), ou bem valeiro, com probabilidade 1− f(E). A distribuiçom de Fermi-Dirac é umha funçom monotonamente decrescente de E, tal e como se pode ver na figura 2.11. Devido a que f(Ef ) = 1 2 qualquer que seja a temperatura T, o nível de Fermi é o nível energético para o qual a probabilidade de ocupaçom seria 1 2 , se houver um estado permitido. No zero absoluto, T = 0K, f(E) =    0 para E Ef 1 2 para E = Ef 1 para E Ef
  52. 52. 42 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS Portanto Ef é a linha divisória entre os estados ocupados e os valeiros a T = 0K. Dado que f(E) é a probabilidade de um nível energético estar ocupado, 1 − f(E) é a probabilidade de estar valeiro, i.e. de estar ocupado por umha lacuna quando E jaz na banda de valência. Assim para um nível energético E: • f(E) = probabilidade de ocupaçom por um electrom • 1− f(E) = probabilidade de ocupaçom por umha lacuna (na banda de valência) sendo estas duas funções simétricas a respeito do nível de Fermi. Quando E −Ef kBT, pode-se aproximar a funçom de Fermi por: f(E) ≈ Exp − E −Ef kBT de jeito que a cauda correspondente às altas energias da funçom de Fermi na banda de conduçom decresce exponencialmente ao se incrementar a energia3. Analogamente se Ef −E kBT podemos aproximar 1− f(E) ≈ Exp − Ef −E kBT ou seja, a probabilidade de ocupaçom por lacunas na banda de valência decresce exponen- cialmente quando a energia fica suficientemente por baixo do nível de Fermi. 2.1.2.3 Concentrações de portadores em equilíbrio térmico Sejam n(E)dE e p(E)dE, respectivamente, o número de electrões e lacunas por unidade de volume com energias entre E e E+dE. As densidades n(E) e p(E) obtém-se multiplicando as densidades de estados de energia E polas probabilidades de ocupaçom do nível por electrões ou por lacunas: n(E) = ρc(E) f(E), p(E) = ρv(E)[1− f(E)] Podemos entom calcular as concentrações de portadores, sem mais que integrar as densida- des anteriores: n = ∞ Ec n(E)dE = ∞ Ec ρc(E) f(E)dE = (2mc)3/2 2π2 3 ∞ Ec √ E −Ec dE 1+Exp (E −Ef )/kBT = (2mc)3/2 √ kBT 2π2(h/2π)3 ∞ Ec (E −Ec)/(kBT)dE 1+Exp{(E −Ec)/(kBT)} Exp −(Ef −Ec)/(kBT) 3Já que logo a funçom de Fermi é proporcional á distribuiçom de Boltzmann, que descreve a dependência da fracçom dumha populaçom de átomos excitados a um nível energético dado, a respeito da energia, sendo tal dependência exponencial.
  53. 53. 2.1. SEMICONDUTORES 43 Usando a notaçom: x = (E −Ec)/kBT e ηc = (Ef −Ec)/kBT obtemos: n = 4π 2mckBT h2 3/2 ∞ 0 √ xdx 1+exe−ηc = Nc F1 2 (ηc) onde Nc = 2 2πmckBT h2 3/2 é a densidade de estados efectiva para a banda de conduçom, e F1 2 (η) = 2 √ π ∞ 0 √ xdx 1+exe−η é a integral de Fermi de ordem 1 2. Por outro lado o parâmetro η recebe o nome de nível de Fermi reduzido. Analogamente na banda de valência: p = Nv F1 2 (ηv) com Nv = 2 2πmvkBT h2 3/2 e ηv = Ev−Ef kBT . As densidades de estados reduzidas podem escrever-se como: Nc = 2 51019 (mc/m0)3/2 (T/300)3/2 cm−3 Nv = 2 51019 (mv/m0)3/2 (T/300)3/2 cm−3 numha maneira que resulta muito conveniente para o seu cálculo. Se bem é possível calcular a integral de Fermi para qualquer valor η por métodos nu- méricos, usualmente resulta mais cómodo usar algumha aproximaçom analítica. A seguinte é válida para qualquer valor de η: F1 2 (η) = 1 e−η +C1 2 (η) sendo C1 2 (η) = 3 π/2 η+2 13+ |η−2 13|12/5 +9 6 5/12 3/2 Esta aproximaçom tem a vantagem de ser válida em todo o domínio de definiçom, e ademais ser bastante exacta. Outras duas aproximações, menos exactas mas mais singelas som: F1 2 (η) ≈ eη para η −1 4 3 √ π η3/2 para η 5
  54. 54. 44 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS Ev Ec Ef Ev Ec Ef n(E) p(E) E Concentraçom de portadores Figura 2.12: Concentraçom de portadores num semicondutor intrínseco As vezes resulta necessário calcular o nível de Fermi em funçom da concentraçom de portadores, e nesse caso cumpre ter umha aproximaçom da funçom inversa. Sendo u = n Nc = F1 2 (η) e v = 3 √ πu 4 2/3 , entom η ≈ lnu 1−u2 + v 1+(0 24+1 08v)−2 . Num semicondutor intrínseco (sem impurezas) n = p a qualquer temperatura, já que a excitaçom térmica da lugar a electrões de conduçom e lacunas a pares (par electrom-lacuna). O nível de Fermi deverá situar-se portanto num nível energético tal que n = p. Se mv = mc, as funções n(E) e p(E) som simétricas e portanto Ef deve ficar justo no meio da banda proibida (veja-se a figura 2.12). De feito na maioria dos semicondutores intrínsecos o nível de Fermi fica nas vizinhanças do centro da banda proibida. Nos semicondutores extrínsecos a situaçom nom é tam simétrica. Na figura 2.13 pode- mos ver o diagrama de bandas, a funçom de Fermi e as concentrações de portadores dum semicondutor tipo-n típico. O nível da impureza doadora acha-se ligeiramente por baixo do fundo da banda de conduçom, e portanto é mui doado que os electrões neste nível se- jam excitados e saltem à banda de conduçom. Se por exemplo a energia de ionizaçom for ED = 0 01eV, a temperatura ambiente (kBT = 0 026eV) a maioria dos electrões do doador vam estar na banda de conduçom, o que implica que o nível de Fermi se situará por cima da metade da banda proibida, havendo muitos mais electrões de conduçom que lacunas. Por sua vez num semicondutor tipo-p o nível energético do aceitador fica um pouco por cima do cimo da banda de valência, o nível de Fermi situa-se por baixo do meio da banda proibida, e os portadores majoritários som as lacunas, tal e como se vê na figura 2.14.
  55. 55. 2.1. SEMICONDUTORES 45 ED Ef 0 1 f(E) E Ev Ec Nível doador p(E) n(E) E Concentraçom de portadores Figura 2.13: Concentraçom de portadores num semicondutor tipo-n Ainda que num material dopado haja umha grande superioridade dum dos portadores de carga, tal e como se vê nas figuras 2.13 e 2.14, os materiais permanecem electricamente neutros, já que as cargas dos portadores som neutralizadas cos iões aceitadores e doadores, de jeito que: n+N− A = p+N+ D onde N− A é o número de átomos aceitadores ionizados, e N+ D é o número de átomos doadores ionizados. 2.1.2.4 Semicondutor nom degenerado Entende-se por semicondutor nom degenerado aquele no qual o seu nível de Fermi, em equilíbrio térmico, fica na zona central da banda de energia proibida, ou mais exactamente quando dista dos bordos umha distância energética varias vezes superior à energia térmica, kBT. Tenha-se em conta que a temperatura ambiente (T=300K) kBT = 0 026eV, enquanto que por exemplo a largura da banda proibida do Si é Eg = 1’11 eV 40 kBT, e a largura da banda proibida do GaAs é Eg = 1’42 eV 50 kBT. Para um semicondutor nom degenerado as concentrações de portadores podem aproximar- se por umha simples funçom exponencial. Assim vimos que n = Nc F1 2 (η), com η = (Ef − Ec)/kBT. Neste caso Ef Ec e ademais (Ef − Ec) é varias vezes kBT, portanto estamos na zona −∞ η −1 e neste caso F1 2 (η) ≈ eη. Já que logo n ≈ Nc Exp − Ec −Ef kBT com Nc = 2 2πmckBT h2 3/2 .
  56. 56. 46 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS EA Ev Ec Ef E p(E) n(E) 0 1 f(E) E Nível aceitador Concentraçom de portadores Figura 2.14: Concentraçom de portadores num semicondutor tipo-p Analogamente p ≈ Nv Exp − Ef −Ev kBT com Nv = 2 2πmvkBT h2 3/2 . Evidentemente entom o produto das concentrações de electrões e lacunas pode aproximar- se também por umha funçom exponencial: n p = Nc Nv Exp − Ec −Ev kBT = Nc Nv Exp − Eg 2kB T Pode-se observar que este produto é independente da posiçom do nível de Fermi dentro da banda proibida e do nível de dopagem do semicondutor, sempre e quando a aproximaçom exponencial da funçom de Fermi seja válida. A constância do produto de concentrações é conhecida como lei de acçom de massas. Num semicondutor intrínseco n = p = ni, o que tendo em conta as equações anteriores pode expressar-se como: ni = Nc Nv Exp − Eg 2kBT onde vemos claramente expressado como a concentraçom de portadores num semicondutor intrínseco aumenta exponencialmente com a temperatura T. O valor de ni depende também da largura da banda proibida, e das massas efectivas. Na tabela 2.3 incluem-se a modo de exemplo as concentrações intrínsecas do Si e do GaAs a temperatura ambiente. A lei de acçom de massas resulta especialmente útil para o cálculo das concentrações dos portadores minoritários num semicondutor dopado. Por exemplo, num semicondutor
  57. 57. 2.1. SEMICONDUTORES 47 Tabela 2.3: Concentraçom intrínsecas, T = 300 K. ni (cm−3) Si 1 181010 GaAs 2 25106 tipo-n dopado moderadamente a concentraçom de electrões n é essencialmente igual à con- centraçom de doadores ND. Portanto a concentraçom de lacunas será, usando a lei de acçom de massas, igual a p = n2 i /ND. O conhecimento das concentrações de electrões e lacunas permite calcular a posiçom do nível de Fermi. E sempre que este fique no interior da banda proibida e avondo afastado dos bordos (semicondutor nom degenerado), podem-se usar as relações aproximadas exponenciais para o seu cálculo. Semicondutores degenerados. Se o nível de Fermi fica dentro da banda de condu- çom (ou de valência) e tal que Ef − Ec 5kBT, di-se que o semicondutor é degenerado. Neste caso nom se pode utilizar a aproximaçom exponencial da funçom de Fermi, de jeito que n p = n2 i . Baixo condições de dopagem mui forte o nível do doador (ou do receptor) transforma-se numha banda (banda doadora ou receptora) que pode chegar a superpor-se com a banda de conduçom (ou de valência), o que da lugar a umha diminuiçom da largura de banda efectiva. 2.1.2.5 Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio. As probabilidades de ocupaçom e as concentrações de portadores vistas anteriormente som válidas unicamente em condições de equilíbrio térmico, mas perdem a sua validade quando este equilíbrio se vê alterado. Porém há situações nas que os electrões da banda de condu- çom estám em equilíbrio entre eles, mas nom existe equilíbrio entre os electrões da banda de conduçom e as lacunas. Isto pode ocorrer por exemplo, quando umha corrente eléctrica ex- terna, ou um fluxo fotónico, induz transições banda a banda a umha velocidade demasiado grande como para que se poda acadar um equilíbrio inter-banda. Esta situaçom, que é co- nhecida como quase-equilíbrio, dá-se quando os tempos de relaxaçom dentro de cada umha das bandas é muito menor que o tempo de relaxaçom inter-banda. Usualmente os tempos de relaxaçom intra-banda som menores de 1 ps, entanto os tempos de recombinaçom electrom- lacuna andam polo nanosegundo. Nestas circunstâncias resulta apropriado empregar umha funçom de Fermi diferente para cada banda, com dous níveis de Fermi distintos, Efc e Efv, conhecidos como níveis quase-Fermi (ou pseudo-Fermi). Quando Efc e Efv ficam na banda de conduçom e de valência, respectivamente, e bem no interior, as concentrações tanto de lacunas como de electrões podem ser mui elevadas, tal e como se ilustra na figura 2.15. Exemplo 2.1 Determinaçom dos níveis quase-Fermi a partir das concentrações de electrões e de lacunas.
  58. 58. 48 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS FÍSICOS Ev Ec Ef Efc Efv Ev Ec 0 1 f(E) 0 1 f(E) E E n(E) p(E) E Concentraçom de portadores Figura 2.15: Concentraçom de portadores em quase-equilíbrio 1. Níveis quase-Fermi dum semicondutor a T = 0K em funçom das concentrações de electrões de conduçom e lacunas n e p. Na banda de conduçom para T = 0 K a funçom de Fermi torna-se: f(E) = 1 E Efc 0 E Efc Portanto a concentraçom de electrões será: n = ∞ Ec ρc(E) f(E)dE = Efc Ec (2mc)3/2 2π2 3 √ E −Ec dE = (2mc)3/2 2π2 3 2 3 (E −Ec)3/2 Efc Ec = (2mc)3/2 2π2 3 2 3 (Efc −Ec)3/2 Logo Efc = Ec + 2(3π2n)2/3 2mc . Analogamente na banda de valência Efv = Ev − 2(3π2 p)2/3 2mv . 2. As equações anteriores anteriores som aplicáveis a qualquer temperatura T sempre e quando n e p sejam altas o bastante para que (Efc −Ec) kBT e (Ev −Efv) kBT, ou seja que os níveis quase-Fermi fiquem bem no interior das bandas de conduçom e de valência. Se (Efc −Ec) kBT significa que estamos na zona 5 η ∞, sendo o nível de Fermi
  59. 59. 2.1. SEMICONDUTORES 49 Ec Ev RecombinaçomGeraçom Centro local de recombinaçom Figura 2.16: Geraçom e recombinaçom de portadores num semicondutor. reduzido η = (Efc −Ec)/kBT, e portanto n ≈ 2 2πmckBT h2 3/2 4 3 √ π Efc−Ec kBT 3/2 = 8π(2mc)3/2 3h3 (Efc −Ec)3/2 = (2mc)3/2 3π2 3 (Efc −Ec)3/2 de onde Efc = Ec + 2(3π2n)2/3 2mc Q.E.D. 2.1.3 Geraçom, recombinaçom e injecçom 2.1.3.1 Geraçom e recombinaçom em equilíbrio térmico A excitaçom térmica de electrões desde a banda de valência à banda de conduçom da lugar à geraçom de pares electrom-lacuna (Fig 2.16). Mas para o semicondutor se manter em equi- líbrio térmico cumpre que este processo se veja acompanhado por um processo simultâneo de desexcitaçom. Este processo, chamado recombinaçom electrom-lacuna, dá-se quando o electrom decai desde a banda de conduçom enchendo umha lacuna na banda de valência (Fig 2.16). A energia liberada polo electrom pode ser emitida em forma de fotom. Neste caso o processo nomeia-se recombinaçom radiante. Também som possíveis recombinações nom-radiantes, tais como a fonónica, na qual a energia liberada transfere-se a vibrações da rede (criando-se um ou mais fonões), ou os processos Auger, nos quais participam três portadores e a energia liberada transmite-se ao portador que fica trás a recombinaçom. Se no semicondutor existem defeitos cujos níveis energéticos ficam na banda proibida, junto com a recombinaçom entre bandas tem lugar recombinaçom por centros locais de re- combinaçom. Um defeito da rede pode actuar como centro de recombinaçom se é capaz de atrapar mais ou menos simultaneamente a um electrom de conduçom e a umha lacuna, incrementando entom a sua probabilidade de recombinarem-se (Fig 2.16) Este tipo de re- combinaçom pode ser radiante ou nom-radiante.

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