estructuras lógicas

1. Matem´aticas I (´algebra)
curso 2019-2020
S.J.
septiembre, 2019

2. Tema 1. Estructuras algebraicas b´asicas

3. 1.1 Lenguaje y razonamientos matem´aticos
Teor´ıa matem´atica
• axiomas: Son verdades que se consideran “evidentes” y que determinan el marco de la
teor´ıa (paradigma).
• Postulados: verdades “arbitrarias” (hoy en d´ıa no se distingue).
Ej. El quinto postulado de la geometr´ıa de Euclides: “Desde un punto exterior a una recta se
puede trazar una, y s´olo una, paralela a la misma” (Proclo).
• Definiciones: objetos de inter´es.
• Propiedades: enunciados o proposiciones (sin caracter verdadero/falso asignado a priori),
proposiciones verdaderas (llamadas teoremas, no evidentes, en general), proposiciones falsas.
[ Si bien se supone que las proposiciones son o falsas o verdaderas, la cosa es m´as complicada
de lo que parece y por varios motivos (G¨odel, Wittgenstein, etc.)]
Proposiciones falsas. Ejemplos sacados de la geometr´ıa y del c´alculo:
• Paradoja de Zen´on del ´arbol y la flecha.
• “Todos los tri´angulos son equil´ateros”.
• Partiendo de x = y se obtiene 2 = 1.

4. Ejercicio: corrija la demostraci´on del ejemplo 3, p´ags. 55 y 56, de [1] (porque hay un error tal y
como aparece en el libro).
Notaciones, constantes y variables: algunos ejemplos.
• s´ımbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 1.2, 1.3, 1.4, . . .;
7
5
, . . .;
√
2,
√
17,
√
4, . . .; π, e, . . . (¿e0
?).
• variables y par´ametros: x, y, z, . . .; a, b, c, . . .; α, β, γ, . . .; ℵ, iii, . . .
Diferencia (conceptal) entre: xy = 1 y ay = 1.
Proposiciones
• verdad/falsedad y estructura l´ogica.
• conectores l´ogicos: ¬, ∧, ∨, ∨, =⇒, ⇐=, ⇐⇒
• tablas de verdad
Ejemplos b´asicos: sean A y B proposiciones cualesquiera
A ¬A
V F
F V
A ¬A A ∧ (¬A)
V F F
F V F
A ¬A A ∨ (¬A)
V F V
V F V
F V V
F V V
A B A ∨ B
V V V
V F V
F V V
F F F

5. Ejemplo: A ⇒ B (si A es cierta entonces B es cierta)
A B A ⇒ B
V V V
V F F
F V V
F F V
Si A es falsa, da igual el caracter V/F de B. Podemos verlo con su
negaci´on: ¬(A ⇒ B) es equivalente a A ∧ (¬B), que interpretamos
como “A es cierta pero B no lo es”.
Su tabla es:
A B ¬B A ∧ (¬B) ¬ A ∧ (¬B)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
• implicaciones y equivalencias l´ogicas y deductivas: diferencia entre A =⇒ B y A ⊢ B
Ejercicios: halle las tablas de A ∨ B, B ⇒ A (y comparar con la de A ⇒ B).
Demuestre que (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬A) ∨ B y que (A ⇔ B) ⇐⇒ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) .

6. Dos definiciones:
• Contradicci´on Proposici´on compuesta que es siempre falsa, independientemente del caracter
de sus componentes. Ejemplo: A ∧ (¬A).
• Tautolog´ıa Proposici´on compuesta que es siempre verdadera, independientemente del
caracter de sus componentes. Ejemplo: A ∨ (¬A).
Propiedades b´asicas de las negaciones:
• ¬(¬A) ⇔ A.
• ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B).
• ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B).
Ejemplo: ¬ (¬A) ∨ B ⇐⇒ ¬(¬A) ∧ (¬B) ⇐⇒ A ∧ (¬B).
Ejemplo: (A ⇒ B) ⇐⇒ ¬ A ∧ (¬B) ⇐⇒ (¬A) ∨ B.
Ejercicio: demuestre que la negaci´on de una tautolog´ıa es una contradicci´on y viceversa.
Ejercicio: demuestre que (A∨B) ⇐⇒ ¬(A ⇔ B).
Esto permite poder prescindir de ⇒, ⇔, ⇐, ∨, y usar s´olo ¬, ∧, ∨.

7. Leyes l´ogicas: proposiciones siempre verdaderas, independientemente de sus integrantes
(tautolog´ıas)
• No-contradicci´on: negaci´on de una contradicci´on, ¬(A ∧ ¬A) .
• Tercio excluso: A ∨ (¬A) (es equivalente a lo anterior).
• Reducci´on al absurdo: (A ⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B) ⇒ (P ∧ ¬P) .
Es decir: la negaci´on de A ⇒ B supone una proposici´on falsa por dar lugar a una
contradicci´on.
• Contraposici´on: (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A).
Ejercicio: compru´ebese.
Ejercicio: demuestre que A ∧ (A ⇒ B) =⇒ B es una ley l´ogica (una tautolog´ıa).

8. Funci´on proposicional
Un ejemplo. La expresi´on 7x + 5 = 2 no es una proposici´on. Tampoco es (realmente) una
ecuaci´on.
Es una funci´on proposicional o predicado: dado un valor x concreto, nos da una proposici´on.
Buscamos determinar los valores de x que hagan verdadera la proposici´on, el conjunto:
x ∈ R 7x + 5 = 2 .
La expresi´on 7x + 5 = 2 es ahora la ecuaci´on que caracteriza el conjunto. Proceso de resoluci´on:
7x + 5 = 2 ⇐⇒ (7x + 5) + (−5) = 2 + (−5) suma de iguales
⇐⇒ 7x + 5 + (−5) = 2 − 5 asociatividad (izq.), operaci´on resta (dcha.)
⇐⇒ 7x + 0 = −3
⇐⇒ 7x = −3 elemento neutro de la suma
⇐⇒
1
7
(7x) =
1
7
(−3) producto por iguales no nulos
⇐⇒ 7
1
7
x = −
3
7
asociatividad del producto
⇐⇒ 1x = −
3
7
⇐⇒ x = −
3
7
elemento neutro del producto
“Hemos despejado x de la ecuaci´on.”

9. En general:
• Dentro de un conjunto dado D, definimos una regla p(·) que a cada elemento x ∈ D asigna
una proposici´on p(x).
• El caracter V/F depende, en general, del elemento.
• La variable que se use es “muda”: se puede cambiar por cualquier otra.
• Normalmente querremos conocer el conjunto de valores que hacen ciertas las proposiciones:
dados D y p(·) queremos determinar:
S = x ∈ D p(x) .
Conjunto de todos los elementos de D que “cumplen” p (es decir: tales que p es verdadera),
o conjunto de soluciones de la ecuaci´on p(x). Se puede dar por extensi´on, por descripci´on,
por caracterizaci´on.. . (pero hay que darlo)
• Puede haber m´as de una variable.
Ejemplos:
x ∈ R, p(x) : 7x + 5 = 2; S = −
3
7

10. x ∈ R, p(x) : 7x + 5 > 2; S = x ∈ R x > −
3
7
= −
3
7
, +∞
x, y ∈ R, p(x, y) : x2
+ y2
= 1; S circunferencia de radio 1 en el plano, centrada en el origen,
S =



(x, y) ∈ R × R ∃θ ∈ [0, 2π),
x = cos(θ),
y = sen(θ).



Cuantificadores: transforman una funci´on proposicional en una proposici´on.
• Cuantificador universal ∀.
• Cuantificadores existenciales ∃ y ∃!.
• Negaci´on de proposiciones con un cuantificador:
∀x, p(x) : ¬ ∀x, p(x) ⇐⇒ ∃x, ¬p(x).
∃x, p(x) : ¬ ∃x, p(x) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x).
∃!x, p(x) : ¬ ∃!x, p(x) ⇐⇒ ∨
∀x, ¬p(x) cero valores,
∃x, y, x = y, p(x) ∧ p(y) dos valores, al menos.
• Las variables cuantizadas son “ligadas”.
• A˜nadir un cuantificador a una funci´on proposicional la convierte en proposici´on.

11. Ejemplos:
funci´on proposicional, x es una variable muda: x ∈ R, 7x + 5 = 2.
⋆∀x ∈ R, 7x + 5 = 2 es una proposici´on (F). Su negaci´on: ∃x ∈ R, 7x + 5 = 2 (V).
⋆∃x ∈ R, 7x + 5 = 2 es una proposici´on (V). Su negaci´on: ∀x ∈ R, 7x + 5 = 2 (F).
Dos cuantificadores:
• ∀ε, ∃δ: para cada ε hay un δ que, en general, depende de ε, δ(ε).
• ∃δ, ∀ε: hay un δ que “vale” para todos los ε. Engloba lo anterior con todos los valores δ
iguales entre s´ı.
Negaciones con dos cuantificadores:
proposici´on negaci´on
∀x, ∀y, p(x, y) ∃x, ∃y, ¬p(x, y)
∀x, ∃y, p(x, y) ∃x, ∀y, ¬p(x, y)
∃x, ∀y, p(x, y) ∀x, ∃y, ¬p(x, y)
∃x, ∃y, p(x, y) ∀x, ∀y, ¬p(x, y)
⋆ Hay que tener cuidado: por ejemplo, ∀x, p(x) ∨ q(x) ⇐⇒ ∀x, p(x) ∨ ∀x, q(x) .
Ejercicio 1.2.5, p´agina 51 del documento “de las 1000 p´aginas”.

12. Demostraciones: un razonamiento v´alido usando leyes l´ogicas.
• A =⇒ B, marcha adelante:
A =⇒ A1, A1 =⇒ A2, · · · , An−1 =⇒ An, An =⇒ B.
Ejemplo: (x > 1) =⇒ 2 −
1
x
> 1 .
x > 1 ⇒ 1 >
1
x
⇒ −
1
x
> −1 ⇒ 2 −
1
x
> 1.
• A =⇒ B, marcha atr´as:
B1 =⇒ B, B2 =⇒ B1, · · · , Bn =⇒ Bn−1, A =⇒ Bn.
Ejemplo: (x > 0) =⇒ x +
1
x
≥ 2
x +
1
x
≥ 2 ⇔ x +
1
x
− 2 ≥ 0 ⇔
x2
+ 1 − 2x
x
≥ 0 ⇔
(x − 1)2
x
≥ 0 ⇔ x > 0.

13. • A =⇒ B, por contraposici´on: (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A).
Ejemplo: n3
par =⇒ n par. Por contraposici´on: n impar =⇒ n3
impar.
n impar ⇒ ∃k ∈ Z, n = 2k + 1
⇒ n3
= (2k + 1)3
= (2k)3
+ 3(2k)2
+ 2k + 1 = 2(4k3
+ 6k2
+ 3k) + 1
⇒ ∃m ∈ Z, m = 4k3
+ 6k2
+ 3k, n3
= 2m + 1 ⇒ n3
impar.
• A =⇒ B, por reducci´on al absurdo: la negaci´on es una falsedad.
Ejemplo: Hay infinitos n´umeros primos.
Suponemos la negaci´on: hay un n´umero finito de primos.
Existe, entonces, m, n´umero primo, que es el mayor de todos ellos.
Construimos n = m! + 1: el resto de la divisi´on de n por todos los n´umeros de 1 a m tiene
por resto 1.
Es decir, m no es divisible por ninguno de los n´umeros menores que m (en particular los
primos) y es, por tanto, primo.
Pero n > m, por lo que se llega a una contradicci´on: existe un primo mayor que el que
hab´ıamos supuesto como mayor de todos.
Por tanto la negaci´on es falsa y la proposici´on es cierta.

14. • A =⇒ B, demostrado por casos: se descompone en los diferentes casos posibles (un n´umero
finito, y mejor peque˜no, de casos).
Ejemplo: ∀x ∈ R, |x| ≥ x.
1. x ≥ 0: |x| = x y la propiedad es cierta en este caso por cumplirse la igualdad.
2. x < 0: |x| = −x > 0. Dado que x < 0, se cumple |x| = −x > x, y la propiedad es cierta
en este caso.
• Inducci´on simple: es una demostraci´on por casos con un n´umero infinito pero numerable de
casos, del tipo ∀n ∈ N, p(n). Se hace en dos pasos:
1. Se demuestra que p(1) es cierta.
2. Se demuestra que: p(m) con m > 1 =⇒ p(m + 1).
Entonces, por ser p(1) cierta lo es p(2), por ser cierta p(2) lo es p(3), y as´ı hasta cualquier
n´umero n que se quiera.
Ejemplo. Demostrar la propiedad de Bernoulli: sea h > −1, ∀n ∈ N, (1 + h)n
≥ 1 + nh.
p(1): (1 + h)1
≥ 1 + 1h es verdadera puesto que se cumple la igualdad.
p(m): (1 + h)m
≥ 1 + mh
⇒ (1 + h)m+1
≥ (1 + mh)(1 + h) = 1 + (m + 1)h + mh2
≥ 1 + (m + 1)h; p(m + 1).

15. • Inducci´on fuerte. De la forma ∀n ∈ N, p(n), tambi´en se demuestra en dos pasos:
1. Se demuestra que p(1) es cierta.
2. Se demuestra que: p(1), p(2), . . . , p(m) con m > 1 =⇒ p(m + 1).
Ejemplo: demostrar que todo n´umero n ≥ 2 es primo o producto de n´umeros primos.
Para n = 2 se cumple ya que 2 es primo.
Sea m ≥ 2: si es primo ya est´a demostrado (caso 1). Si no es primo (caso 2) se puede
descomponer en un producto ab de n´umeros estrictamente menores que m que, a su vez, o
son primos o se descomponen en producto de primos, por cumplirse la hip´otesis para los
n´umeros menores que m.
• Refutaci´on por un contraejemplo: para proposiciones con el cuantificador universal,
∀x, p(x). Se demuesra que es falsa si se encuentra un x tal que ¬p(x) es cierta.
(Por supuesto, hallar un x que cumple p(x) s´olo es un caso ilustrativo, no una prueba.)
Ejemplo: todos los tri´angulos son equil´ateros. Para refutarla basta con construir uno que no
lo sea, por ejemplo el que se obtiene a partir de un cuadrado y de su diagonal.

16. 1.2 Conjuntos y ´algebra de Boole
La teor´ıa de conjuntos como teor´ıa axiom´atica.
Construida a partir del uso, se convierte en algo m´as abstracto para eliminar incertidumbres e
inconsistencias (otra teor´ıa donde eso ocurre es en el c´alculo de probabilidades, por ejemplo).
Definici´on operativa: Un conjunto es una colecci´on no ordenada de “elementos”,
considerados simult´aneamente.
• Ejemplos. Diferentes conjuntos de n´umeros:
enteros naturales N y N0, los enteros relativos Z, los n´umeros racionales Q,
los n´umeros reales R, los n´umeros complejos C.
Otros: los n´umeros enteros pares P, los n´umeros reales positivos, los n´umeros irracionales,
los n´umeros imaginarios. . .
• Notaci´on: x, y, z, a, b, c, . . . para elementos, X, Y, Z, A, B, C, . . . para conjuntos (incluso Ω).
• Pertenencia: x es elemento de A, lo representamos por x ∈ A.
x no pertenece a A, ¬(x ∈ A): x /∈ A.

17. • Representaciones:
por extensi´on, dando todos los elementos como una colecci´on no ordenada,
por comprensi´on, dando una caracter´ıstica ´unica de los elementos del conjunto,
por recurrencia (si, por ejemplo hay infinitos elementos), dando una ley que permite ir
construyendo los elementos a partir de uno dado.
Ejemplo: A = 2, 3, 5, 7 , A es el conjunto de n´umeros primos menores que 10.
Ejemplo: N = 1, 2, 3, . . . , sumando 1 al ´ultimo damos a entender c´omo se construyen,
Ejemplo: S =
√
2, 2 +
√
2, 2 + 2 +
√
2, . . . , no damos la ley pero “se entiende”.
Podemos expresarlo como: s1 =
√
2 y, para k > 2, sk+1 =
√
2 + sk.
• Representaciones gr´aficas:
Los n´umeros de la recta real

18. [0, 2π) como una circunferencia: (x, y) (x ∈ R) ∧ (y ∈ R) como el plano:
π/2
π
3π/2
0 x
y
Usando representaciones esquem´aticas con diagra-
mas de Venn. A diferencia de las anteriores no se
pretende tener una representaci´on en la que la dis-
tancia o la distribuci´on sean significativas.

19. Consideraremos conjuntos no singulares:
conjuntos que no se contienen a s´ı mismos como elementos.
• Ejemplo: el conjunto de todos los libros no es singular (ya que no es un libro),
pero el conjunto de todas las cosas que no son libros s´ı es singular.
Los conjuntos singulares dan lugar a paradojas.
Relaciones entre conjuntos:
• Igualdad:
• Definici´on: A = B ⇐⇒ A y B tienen los mismos elementos.
Ejemplo: A = 2, 3, 5, 7 ; B = 3, 7, 2, 5 ; se cumple A = B.
Ejemplo: A = x ∈ R 7x + 5 = 2 ; B = −
3
7
; se cumple A = B.
Ejemplo: Z+
:= x ∈ Z x > 0 = N.
• Reflexividad: ∀A, A = A.
• Simetr´ıa: A = B ⇐⇒ B = A.
• Transitividad: (A = B ∧ B = C) =⇒ A = C.
(La igualdad es una “relaci´on de equivalencia”.)

20. • Inclusi´on (subconjuntos):
• Definici´on: A est´a incluido en B si, y s´olo si, todos los elementos de A son elementos de B.
Notaciones: A ⊂ B (m´as raramente: B ⊃ A). La negaci´on: ¬(A ⊂ B) se escribe A ⊂ B.
(A ⊂ B) ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Expresiones alternativas: A es subconjunto de B, A est´a contenido en B.
A no es un elemento de B sino una parte de los elementos de B.
(Es fundamental no confundir ∈ y ⊂.)
Ejemplo: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Ejemplo: tal y como lo hemos definido, ∀A, A ⊂ A.
• Subconjuntos propios: si A ⊂ B pero A = B, se dice que A es un subconjunto propio de B.
• Reflexividad: ∀A, A ⊂ A.
• Antisimetr´ıa: (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇐⇒ (A = B).
• Transitividad: (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) =⇒ (A ⊂ C).
(La inclusi´on es una “relaci´on de orden”.)

21. Partes de un conjunto:
• Conjunto Vac´ıo: es un conjunto sin elementos. Se denota por: ∅, ∅, { }.
mucho ojo: no es {0}.
Propiedad: para todo conjunto A se cumple ∅ ⊂ A.
• Conjunto “universal”: es el conjunto que contiene todos los elementos (seg´un el marco en
que trabajemos). Se suele representar por U, o por X, o por Ω.
Ejemplo: X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = x ∈ N0 x < 10 , el conjunto de los d´ıgitos
decimales. Algunos subconjuntos: los d´ıgitos pares 0,2,4,6,8 , los impares 1,3,5,7,9 , los
primos 2,3,5,7 , los m´ultiplos de 3 0,3,6,9 , etc. Otros: ∅, X.
• Conjunto de las partes de un conjunto: es el conjunto de todos sus subconjuntos.
Notaci´on: dado un conjunto A, representamos el conjunto de las partes de A como P(A).
Ejemplo: A = 1, 2, 3 ; P(A) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A .
• Propiedad b´asica: ∀A,



∅ ∈ P(A),
A ∈ P(A).
Aqu´ı los conjuntos ∅ y A son elementos de P(A).

22. Operaciones entre conjuntos:
• Complementario (monaria):
Dado un conjunto universal X y un subcon-
junto suyo A, definimos el conjunto comple-
mentario de A en X, ¯A, como el conjunto de
los elementos de X que no pertenecen a A:
¯A = x ∈ X x /∈ A .
Se cumple: (A) = A.
• Uni´on:
Dados dos conjuntos A y B, definimos la uni´on
de ambos, A ∪ B, como el conjunto que re´une
todos los elementos de ambos:
A ∪ B = x ∈ X (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) .
Se cumple: A ∪ B = B ∪ A.

23. • Intersecci´on:
Dados dos conjuntos A y B, definimos la in-
tersecci´on de ambos, A ∩ B, como el conjunto
con los elementos comunes a ambos:
A ∩ B = x ∈ X (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) .
Se cumple: A ∩ B = B ∩ A.
• Diferencia:
Dados dos conjuntos A y B, definimos la di-
ferencia, A − B, como el conjunto con los ele-
mentos de A que no pertenecen a B:
A − B = x ∈ A x /∈ B .
Se cumple: A−B = (A∪B)−B = A−(A∩B).

24. • Diferencia sim´etrica:
Dados dos conjuntos A y B, definimos la dife-
rencia sim´etrica, A△B, como el conjunto con
los elementos de A ∪ B que no pertenecen a
A ∩ B:
A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B).
Se cumple: A△B = B△A.
Propiedades:
Dado X y dados A, B y C elementos de P(X), se cumplen:
¯∅ = X ¯X = ∅
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅
A ∪ X = X A ∩ X = A
A ∪ ¯A = X A ∩ ¯A = ∅
asociatividad de ∪ y ∩:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

25. Si A ∩ B = ∅, se dice que los conjuntos son disjuntos.
• Leyes de Morgan: ∀A, B ∈ P(X)
A ∪ B = ¯A ∩ ¯B A ∩ B = ¯A ∪ ¯B
distributividad:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Con todas estas propiedades los conjuntos forman un “´algebra de Boole” (v´ease el final).
Paralelismo con la l´ogica:
Sean a(x) y b(x) dos funciones proposicionales dependientes de un par´ametro x ∈ X.
Sean: A y B los subconjuntos de X que hacen ciertas esas funciones, respectivamente. Entonces:
A es el conjunto que hace cierta ¬a(x)
A ∪ B es el conjunto que hace cierta a(x) ∨ b(x)
A ∩ B es el conjunto que hace cierta a(x) ∧ b(x).

26. Una operaci´on binaria especial:
Definici´on: producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B se define el conjunto de los pares ordenados, o producto cartesiano
de A y B, A × B, compuestos por un elemento de A y otro de B:
A × B = (x, y) (x ∈ A) ∧ (y ∈ B) .
Ejemplo: construcci´on del
plano R × R (denotado
como R2
).
x
y
abscisa
ordenada
Se generaliza a m´as productos, por ejemplo R × R × R = R3
= (x, y, z) x, y, z ∈ R .

27. 1.3 Funciones entre conjuntos
Definici´on: correspondencia
Una correspondencia, f, del conjunto A en el conjunto B es un subconjunto de elementos del
producto cartesiano A × B:
f ⊂ A × B
Es decir: un conjunto de pares ordenados (x, y), x ∈ A, y ∈ B: son los valores tales que y = f(x).
Se dice, entonces, que a x le corresponde y por f, y que y es una imagen de x por f.
Definici´on: aplicaci´on
Una aplicaci´on, f, de A en B es una correspondencia que a cada elemento de A atribuye una
´unica imagen en B:
∀x ∈ A, ∃!y ∈ B, (x, y) ∈ f
Ejemplos y notaciones:
f : R → R
x −→ cos(x)
g : R → R
x −→
1
x
h : R∗
→ R
x −→
1
x
j : [−1, 1] → R
x −→ arc sen(x)
En este caso f y h son aplicaciones, g y j son correspondencias pero no aplicaciones.
(Se dice que h es la restricci´on de g a R∗
, se denota por g
R∗
.)
Funci´on: Se llama a veces funci´on si la aplicaci´on es entre conjuntos de n´umeros.
(Y se llama operador si es entre conjuntos de funciones: ej. operador de derivaci´on)

28. Sea f : A −→ B,
• Dominio, Dom f.
• Imagen: de un elemento, de un conjunto Im f, f(A).
• Antecedente (preimagen): de un elemento, de un conjunto f−1
(S).
Restringiendo A o B, o la ley que da la asignaci´on, se puede en general extraer una aplicaci´on
de una correspondencia que no lo sea.
Ejemplos:
f : R → R
x −→
1
x
g : R∗
→ R
x −→
1
x
f : R → R
x −→ y, y2
= x2
+ 1
g1 : R → R
x −→
√
x2 + 1
g2 : R → R
x −→ −
√
x2 + 1
g3 : R → R
0 −→ 1
x = 0 −→ sgn(x)
√
x2 + 1
. . .
• Aplicaci´on identidad: ∀x ∈ A, id
A
(x) = x
• Aplicaci´on constante.

29. Representaciones gr´aficas
• Para aplicaciones (o correspondencias) de R en R.
• Usando diagramas de Venn.
Propiedades:
Sea f : A −→ B una aplicaci´on, Ai ⊂ A, Bj ⊂ B,
1. A1 ⊂ A2 ⊂ A =⇒ f(A1) ⊂ f(A2) ⊂ f(A) ⊂ B
2. f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)
3. f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2) no es una igualdad
4. B1 ⊂ B2 ⊂ B =⇒ f−1
(B1) ⊂ f−1
(B2) ⊂ f−1
(B) ⊂ A f−1
es una correspondencia
5. f−1
(B1 ∪ B2) = f−1
(B1) ∪ f−1
(B2)
6. f−1
(B1 ∩ B2) = f−1
(B1) ∩ f−1
(B2) s´ı es una igualdad
La propiedad 3 no es una igualdad: puede haber elementos de f(A1) ∩ f(A2) que no est´en en
f(A1 ∩ A2).

30. Definici´on: aplicaci´on inyectiva
f : A −→ B, una aplicaci´on, es inyectiva si, y s´olo si:
∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2.
Elementos diferentes tienen im´agenes por f diferentes. Ning´un elemento de B es asignado a dos
elementos de A distintos (como mucho a uno).
Ejemplos:
• En conjuntos finitos, no “llegan” 2 o m´as “flechas” a ning´un elemento de B.
Implica que: #A ≤ #B.
• En R : x −→ x3
es inyectiva, x −→ x2
no. Tampoco lo es x −→ sen(x).
• S´ı son inyectivas:
f : (−∞, 0] → R
x −→ x2
g : [0, π/2] → R
x −→ sen(x)
Propiedad:
f inyectiva ⇐⇒ ∃ una aplicaci´on inversa de f por la izquierda.
Existe una aplicaci´on g : Im f −→ A, tal que g ◦ f = id
A
.

31. Definici´on: aplicaci´on sobreyectiva
f : A −→ B, una aplicaci´on, es sobreyectiva si, y s´olo si:
∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).
Es equivalente a que B = Im f. Todo elemento de B tiene un antecedente (al menos uno).
Ejemplos:
• En conjuntos finitos, a cada elemento de B le “llega” al menos una “flecha”.
Implica que: #A ≥ #B.
• En R : x −→ x3
es sobreyectiva, x −→ x2
no. Tampoco lo es x −→ sen(x).
• S´ı son sobreyectivas:
f : R → [0, +∞)
x −→ x2
g : R → [−1, 1]
x −→ sen(x)
En general, se extrae una aplicaci´on sobreyectiva de una que no lo es restringiendo el conjunto
de llegada a Im f.
Propiedad:
f sobreyectiva ⇐⇒ ∃ una aplicaci´on inversa de f por la derecha.
Existe una aplicaci´on g : B −→ A, tal que f ◦ g = id
B
.

32. Definici´on: aplicaci´on biyectiva
f : A −→ B, una aplicaci´on, es biyectiva si, y s´olo si:
∀y ∈ B, ∃!x ∈ A, y = f(x).
Es equivalente a que f sea, a la vez, inyectiva y sobreyectiva. Todo elemento de B tiene un
antecedente y uno s´olo.
Ejemplos:
• En conjuntos finitos, de cada elemento de A sale una ´unica “flecha” y a cada elemento de B
le “llega” una ´unica “flecha”.
Implica que: #A = #B.
• En R : x −→ x3
es biyectiva. En R∗
lo es x −→ 1/x.
Propiedad: f es una aplicaci´on biyectiva si, y s´olo si, existe una aplicaci´on g que cumple:
f ◦ g = id
A
, g ◦ f = id
B
.
g es la aplicaci´on inversa de f (por la izquierda y por la derecha):
g = f−1
, es una aplicaci´on de B en B (una biyecci´on, con inversa f).

33. 1.4 Grupos, anillos y cuerpos
Vamos a tratar grupos y cuerpos, incidentalmente anillos y, aparte, ´algebras de Boole.
Ejemplo: En los n´umeros naturales m´as el cero, N0, con las operaciones usuales de suma y
multiplicaci´on, nos fijamos en qu´e ocurre con la paridad. Un n´umero n se puede escribir como
n = 2k si y s´olo si es par, o como n = 2k + 1 si y s´olo si es impar, con k ∈ N0. Esto supone que:
par + par = par, par + impar = impar, par × par = par, par × impar = par.
Si representamos los pares por ¯0 (su resto por la divisi´on por 2) y los impares por ¯1 (idem),
tenemos las dos tablas para las operaciones:
+ ¯0 ¯1
¯0 ¯0 ¯1
¯1 ¯1 ¯0
• elemento neutro
• elemento sim´etrico
• conmutatividad
× ¯0 ¯1
¯0 ¯0 ¯0
¯1 ¯0 ¯1
• elemento absorbente
• El conjunto ¯0, ¯1 se representa por Z2 (y, normalmente se omiten las barras): Z2 = 0, 1
• De manera an´aloga se definen conjuntos de enteros “m´odulo” 3, 4, . . . , p: resto de la divisi´on
por 3, 4, . . . , p.

34. Propiedades de las operaciones + y × en R:
(R, +) : (R, ×) :
⋆ asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ⋆ asociativa: (ab)c = a(bc)
⋆ elemento neutro: 0 ⋆ elemento neutro: 1
⋆ elemento sim´etrico: a ↔ −a ⋆ elemento sim´etrico, a = 0: a ↔ 1/a
⋆ conmutativa: a + b = b + a ⋆ conmutativa: ab = ba
⋆ elemento absorbente: 0
(R, +, ×) :
⋆ distributiva: a(b + c) = (ab) + (ac)
La restricci´on de las operaciones a subconjuntos de R heredan esas propiedades, si siguen
siendo operaciones internas.
Ejemplo: En, N0, Z, Q: tanto la suma como el producto son asociativos y conmutativos y
tienen ambos elemento neutro. El sim´etrico s´olo existe para la suma en Z y Q, pero no en N0, y
existe s´olo para el producto en Q.

35. Definici´on: Grupo
Un conjunto G y una ley de composici´on ∗ forman un grupo, (G, ∗), si y s´olo si se cumplen las
siguientes propiedades:
• ∗ es una operaci´on interna en G: ∀a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G.
• ∗ es asociativa: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
• G tiene un elemento neutro para ∗: ∃e ∈ G, ∀a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a
• Todo elemento de G tiene un sim´etrico para ∗: ∀a ∈ G, ∃a′
∈ G, a ∗ a′
= a′
∗ a = e
Si, adem´as, ∗ es conmutativa en G: ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a, se dice que el grupo (G, ∗) es
conmutativo (o, tambi´en, “abeliano”).
Ejemplos:
• (R, +) es un grupo abeliano.
• (R, ×) no es un grupo, pero s´ı lo es (R − {0}, ×), y es tambi´en abeliano.
• (Z, +) es un grupo, subgrupo de (R, +). Es necesariamente abeliano.
• (Q − {0}, ×) es un subgrupo (abeliano) de (R − {0}, ×).
• (Z2, +) es un grupo abeliano. NO es subgrupo de (R, +). La operaci´on no es la misma
(aunque se parece): en (Z2, +), 1 + 1 = 0; en (R, +), 1 + 1 = 2.

36. Propiedad: El sim´etrico de un elemento es siempre ´unico.
Propiedad: Caracterizaci´on de un subgrupo
Sea (G, ∗) un grupo, A un subconjunto de G. (A, ∗) es un subgrupo de (G, ∗) si y s´olo si se
cumplen:
• ∗ es una operaci´on interna en A: ∀a, b ∈ A, a ∗ b ∈ A.
• El elemento neutro de G para ∗ pertenece a A: e ∈ A.
• Los sim´etricos de los elementos de A pertenecen a A: ∀a ∈ A, a′
∈ A.
El resto de propiedades se heredan de (G, ∗). En particular la conmutatividad. Pero atenci´on: el
subgrupo puede ser conmutativo aunque el grupo en el que est´a inmerso no lo sea.
Ejemplo: Las matrices cuadradas invertibles 2 × 2 forman un grupo con el producto
matricial. No es conmutativo. El subgrupo de las matrices de rotaci´on es conmutativo:
cos(α) − sen(α)
sen(α) cos(α)
α ∈ R
(matrices de giro de ´angulo α en el plano, en torno al origen)
Ejemplos: Las matrices de dimensiones (fijas) n × m forman grupo abeliano con la suma
matricial. Las matrices cuadradas invertibles de dimensiones n × n con el producto matricial
forman grupo, no conmutativo (dos rotaciones no conmutan necesariamente ahora).

37. Ejemplo: I =
1 0
0 1
, J =
0 1
−1 0
: JJ = −I.
(Z4, +) f : Z4 −→ {I, J, −I, −J} ({I, J, −I, −J}, ×)
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
0 −→ I
1 −→ J
2 −→ −I
3 −→ −J
× I J −I −J
I I J −I −J
J J −I −J I
−I −I −J I J
−J −J I J −I
Ambos grupos tienen la misma estructura. f es una biyecci´on: los grupos son equivalentes
(“isomorfos”). Por cierto: {0, 2} y {I, −I} son subgrupos de los correspondientes grupos.
El inter´es viene de poder trabajar con una u otra “representaci´on” seg´un nos resulte m´as
familliar o ventajosa.
Algunas particularidades sobre grupos con un n´umero finito de elementos: ver tabla.

38. Ejemplo: s´olo hay dos grupos no equivalentes distintos con 4 elementos, y ambos son
conmutativos. Las dos tablas de Cayley son:
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
b′
= b, c′
= c, b′
= c, c′
= b.
Aparte del elemento neutro e, es forzoso que al menos otro elemento sea su propio sim´etrico: si
no, no se consigue que sea un grupo porque un elemento aparece repetido en fila o columna.

39. Ejemplo: s´olo hay dos grupos no equivalentes distintos con 6 elementos, uno no conmutativo.
Las dos tablas de Cayley son:
∗ e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
∗ e a b c d f
e e a b c d f
a a b e f c d
b b e a d f c
c c d f e a b
d d f c b e a
f f c d a b e
(Z6, +) S3

40. Definici´on: Cuerpo
Un conjunto K con dos leyes de composici´on ⊕, ⊗, es un cuerpo (K, ⊕, ⊗) si y s´olo si:
1. (K, ⊕) es un grupo abeliano.
2. Si n es el elemento neutro para ⊕, (K − {n}, ⊗) es un grupo con elemento neutro e = n.
3. Distributividad: ∀a, b, c ∈ K,



a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c),
(b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a).
4. Si, adem´as, (K − {n}, ⊗) es grupo abeliano, se dice que el cuerpo es conmutativo.
Propiedad:
El elemento neutro n es absorbente para la segunda ley: ∀a ∈ K, n ⊗ a = a ⊗ n = n.
Ejemplos:
R con la suma y el producto habituales es un cuerpo conmutativo. Tambi´en lo es Q con las
mismas operaciones (es un subcuerpo del anterior). Para ellos n = 0 y e = 1.
Z2 con las dos operaciones que le hemos definido es un cuerpo conmutativo.

41. En muchos casos la propiedad 2 anterior no se cumple y la estructura no llega a ser la de un
cuerpo, pero es posible definir una estructura alternativa:
Definici´on: Anillo
Un conjunto A con dos leyes de composici´on internas ⊕, ⊗, es un anillo (A, ⊕, ⊗) si y s´olo si:
1. (A, ⊕) es un grupo abeliano.
2. ⊗ es asociativa: ∀a, b, c ∈ A, a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c.
3. Distributividad: ∀a, b, c ∈ A,



a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c),
(b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (c ⊗ a).
Ejemplos:
(Z, +, ×), (Mn×n, +, x), (Z4, +, ×) son anillos.
(N0, +, ×) no es un anillo: (N0, +) no es un grupo.
Definici´on:
Dado un anillo (A, ⊕, ⊗), se dice que un elemento a = n es un divisor de “cero” si y s´olo si:
∃b ∈ A, b = n, (a ⊗ b = n) ∨ (b ⊗ a = n).
El elemento b es, tambi´en, un divisor de cero (puede darse el caso a = b y si a ⊗ a = n se dice
que a es nilpotente).

42. Los divisores de cero no se pueden simplificar en las ecuaciones:
1 −3
2 −6
3 6
1 2
=
0 0
0 0
= O. En general: MN = O ⇐⇒ (M = O) ∨ (N = O).
En (Z4, +, ×): ¯2 × ¯2 = ¯0; en (Z6, +, ×): ¯2 × ¯3 = ¯0.
En (Zp, +, ×), con p no primo: a × b = ¯0 ⇐⇒ (a = ¯0) ∨ (b = ¯0).
Dado un anillo (A, ⊕, ⊗):
• Si ⊗ tiene elemento neutro en A, diferente de n, se dice que el anillo es unitario.
• Un anillo sin divisores de cero se dice que es un dominio de integridad (o un anillo ´ıntegro).
• Si ⊗ es conmutativa, se dice que el anillo es conmutativo.
Ejemplos:
• (Z, +, ×) es un anillo conmutativo, unitario e ´ıntegro.
• (Mn×n, +, ×) es un anillo unitario, no conmutativo y no es ´ıntegro.
• (Z4, +, ×) es un anillo unitario, conmutativo y no es ´ıntegro.
• (Zp, +, ×) es un cuerpo si p es primo,
y un anillo unitario con divisores de cero si p no es primo: si m es un divisor de p, entonces ¯m
es un divisor de cero.

43. Propiedad:
En un anillo unitario:
• si todo elemento de A, salvo n, tiene sim´etrico para ⊗, no hay divisores de cero.
• Los divisores de cero no tienen “inverso”.
Propiedad:
En un cuerpo, las ecuaciones son “simplificables”:
por la izquierda: ∀a, b, c ∈ K, (a ⊗ b = a ⊗ c) ∧ (a = n) =⇒ b = c,
por la derecha: ∀a, b, c ∈ K, (b ⊗ a = c ⊗ a) ∧ (a = n) =⇒ b = c,
adem´as: ∀a, b ∈ K, a ⊗ b = n ⇐⇒ (a = n) ∨ (b = n).

44. Definici´on axiom´atica del ´algebra de Boole:
El conjunto B con dos operaciones internas ⊓ y ⊔ forma un ´algebra de Boole, (B, ⊓, ⊔), si y s´olo
si cumple las siguientes propiedades:
• Conmutatividad de ambas operaciones:
∀a, b ∈ B,



a ⊓ b = b ⊓ a,
a ⊔ b = b ⊔ a.
• Existencia de un elemento neutro para cada operaci´on:



∃ω ∈ B, ∀a ∈ B, a ⊓ ω = a,
∃φ ∈ B, ∀a ∈ B, a ⊔ φ = a.
• Existencia del complementario para cada elemento:
∀a ∈ B, ∃¯a ∈ B,



a ⊓ ¯a = φ,
a ⊔ ¯a = ω.
• Distributividad de cada operaci´on con respecto a la otra:
∀a, b, c ∈ B,



a ⊓ (b ⊔ c) = (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c),
a ⊔ (b ⊓ c) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c).