関西大学総合情報学部　2013年度秋学期　統計学　第７回／「データの関係を知る(1)−回帰分析」 担当・浅野晃　2013/11/7

1. 2013年度秋学期 統計学
A. Asano, Kansai Univ.
データの関係を知る(2)̶回帰分析
浅野 晃
関西大学総合情報学部

2. A. Asano, Kansai Univ.

3. A. Asano, Kansai Univ.
回帰分析とは

4. 回帰分析とは
A. Asano, Kansai Univ.
多変量データがあるとき
ある変量の変化を他の変量の変化で
［説明］する方法
2013年度秋学期 統計学

5. 回帰分析とは
多変量データがあるとき
ある変量の変化を他の変量の変化で
［説明］する方法
A. Asano, Kansai Univ.
説明？
2013年度秋学期 統計学

6. 回帰分析とは
緯度と気温のデータを例にとると
A. Asano, Kansai Univ.
相関分析
緯度があがると，気温が下がる
傾向がはっきりしている
回帰分析
緯度が上がるから気温が下がると考える
緯度が１度あがると，気温が⃝℃下がる
2013年度秋学期 統計学

7. 回帰分析とは
A. Asano, Kansai Univ.
緯度が上がるから気温が下がると考える
緯度が１度あがると，気温が⃝℃下がる
2013年度秋学期 統計学

8. 回帰分析とは
緯度が上がるから気温が下がると考える
緯度が１度あがると，気温が⃝℃下がる
A. Asano, Kansai Univ.
各都市の気温の違いは，緯度によって決
まっているという［モデル］を考える
2013年度秋学期 統計学

9. 回帰分析とは
緯度が上がるから気温が下がると考える
緯度が１度あがると，気温が⃝℃下がる
A. Asano, Kansai Univ.
各都市の気温の違いは，緯度によって決
まっているという［モデル］を考える
統計学では，
気温（のばらつき）は，緯度によって
［説明］されるという
2013年度秋学期 統計学

10. 説明変数・被説明変数
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
（というモデル）
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

11. 説明変数・被説明変数
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
（というモデル）
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
［説明変数］
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

12. 説明変数・被説明変数
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
23
%
21
19
気温
（℃）
［被説明変数］
気温は緯度によって説明される
（というモデル）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
［説明変数］
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

13. A. Asano, Kansai Univ.

14. A. Asano, Kansai Univ.
線形単回帰

15. 線形単回帰
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

16. 線形単回帰
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
どう説明される？
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

17. 線形単回帰
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
どう説明される？
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

18. 線形単回帰
気温（℃）
A. Asano, Kansai Univ.
気温は緯度によって説明される
どう説明される？
23
%
21
19
気温
（℃）
8.0
9.6
11.0
11.9
12.5
12.9
13.2
15.3
13.1
11.4
16.0
14.9
16.2
14.4
15.0
16.3
16.0
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
散布図上で直線の関係がある，と考える
図 1: 散布図：緯度と気温の関係
2013年度秋学期 統計学

19. 線形単回帰
散布図上で直線の関係がある
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
A. Asano, Kansai Univ.
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

20. 線形単回帰
散布図上で直線の関係がある
23
y = a + bx
という式で表される関係
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
A. Asano, Kansai Univ.
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

21. 線形単回帰
散布図上で直線の関係がある
23
y = a + bx
という式で表される関係
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
7
A. Asano, Kansai Univ.
［線形単回帰］
という
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

22. 線形単回帰
23
%
y = a + bx という式で
表される関係
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
A. Asano, Kansai Univ.
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

23. 線形単回帰
23
%
y = a + bx という式で
表される関係
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
A. Asano, Kansai Univ.
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

24. 線形単回帰
23
%
y = a + bx という式で
表される関係
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
9
%
A. Asano, Kansai Univ.
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

25. 線形単回帰
23
%
y = a + bx という式で
表される関係
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
どうやって求める？
%
9
%
7
A. Asano, Kansai Univ.
aやbは
%
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
緯度
（度）
x
2013年度秋学期 統計学

26. パラメータの決定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
（度）
x 緯度
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

27. パラメータの決定
x = xiのとき
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
（度）
x 緯度
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

28. パラメータの決定
x = xiのとき
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

29. パラメータの決定
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

30. パラメータの決定
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

31. パラメータの決定
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

32. パラメータの決定
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

33. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

34. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

35. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

36. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

37. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
差
yi – (a + bxi )
%
%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

38. パラメータの決定
23
x = xiのとき
モデルによれば a + bxi
実際は yi
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
差
yi – (a + bxi )
%
%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
A. Asano, Kansai Univ.
a,bを決める
%
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
差が最小に
なるように
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学
y = a + bx

39. パラメータの決定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
差
y% – (a + bxi )
i
%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

40. パラメータの決定
すべてのxiについて，
差の合計が最小になるように
23
a,bを決める
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
差
y% – (a + bxi )
i
%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

41. パラメータの決定
すべてのxiについて，
2
差の合計が最小になるように
23
a,bを決める
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
差
y% – (a + bxi )
i
%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

42. パラメータの決定
，この式の a, b つまりパラメータを決める方法を考えま
すべてのx= a + bx というモデル
iについて，
します。x と y の間の関係が，y
2
y
気温
（℃）
差の合計が最小になるように
+ bxi となるはずです。しかし，現実には y = yi となっ
23
のうちで，この「全ての (xi , yi ) についての，yi と a + b
%
a,bを決める
21
メータをもっとも適切なパラメータとします。差には正
差
19
% yi – (a + bxi )
17
すなわち
%%
%%
15
13
yi
11
9
a + bxi
n
%
%%
%
% %
% %
% % %
L=
i=1
%
{yi − (a + bxi )}
2
7
なるように a と b を決定します（n はデータの組の数です
A. Asano, Kansai Univ.
%
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
xi
うな a と b を求める方法は，おもに２つあります。ひとつ
（度）
x 緯度
それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
2013年度秋学期 統計学

43. パラメータの決定
，この式の a, b つまりパラメータを決める方法を考えま
すべてのx= a + bx というモデル
iについて，
します。x と y の間の関係が，y
2
y
気温
（℃）
差の合計が最小になるように
+ bxi となるはずです。しかし，現実には y = yi となっ
23
のうちで，この「全ての (xi , yi ) についての，yi と a + b
%
a,bを決める
21
メータをもっとも適切なパラメータとします。差には正
差
19
% yi – (a + bxi )
17
すなわち
%%
%%
15
13
yi
11
9
a + bxi
n
%
%%
%
% %
% %
% % %
L=
i=1
%
{yi − (a + bxi )}
2
7
が最小になる
なるように a と b を決定します（n はデータの組の数です
A. Asano, Kansai Univ.
%
5
a,bを求める
xi
うな a と b を求める方法は，おもに２つあります。ひとつ
（度）
x 緯度
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
2013年度秋学期 統計学

44. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
おいた方程式を解くものです。
A. Asano, Kansai Univ.
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
2013年度秋学期 統計学

45. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
おいた方程式を解くものです。
A. Asano, Kansai Univ.
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
2013年度秋学期 統計学

46. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
L
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
おいた方程式を解くものです。
L
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
b
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
★
A. Asano, Kansai Univ.
b
a
a
2013年度秋学期 統計学

47. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
L
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
aだけの関数
おいた方程式を解くものです。 と考えて微分
L
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
b
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
★
A. Asano, Kansai Univ.
b
a
a
2013年度秋学期 統計学

48. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
L
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
aだけの関数
おいた方程式を解くものです。 と考えて微分
L
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
b
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
★
A. Asano, Kansai Univ.
b
a
a
2013年度秋学期 統計学

49. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
L
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
aだけの関数
おいた方程式を解くものです。 と考えて微分
L
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
b
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
bだけの関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
★
と考えて微分
A. Asano, Kansai Univ.
b
a
a
2013年度秋学期 統計学

50. なパラメータとします。差には正負がありますから，実
「偏微分」による方法
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}
2
が最小になる
a,bを求める
定します（n はデータの組の数です）
。
a,bの２次関数
L
法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を a と b で
aだけの関数
おいた方程式を解くものです。 と考えて微分
L
る」とは，次のような意味です。微分とは，関数のグラフ
b
。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数と考える
bだけの関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，そのグラフは
数で，a b
★
と考えて微分
A. Asano, Kansai Univ.
b
a
a
2013年度秋学期 統計学

51. 微分?
L
L
aだけの関数
と考えて微分
b
b
a
A. Asano, Kansai Univ.
a
★
2013年度秋学期 統計学

52. 微分?
L
L
aだけの関数
と考えて微分
b
b
a
A. Asano, Kansai Univ.
a
★
2013年度秋学期 統計学

53. 微分?
L
L
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
a
A. Asano, Kansai Univ.
a
★
2013年度秋学期 統計学

54. 微分?
L
L 下り(-)
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
a
A. Asano, Kansai Univ.
a
★
2013年度秋学期 統計学

55. 微分?
L
L 下り(-)
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
上り(+)
a
★
A. Asano, Kansai Univ.
a
2013年度秋学期 統計学

56. 微分?
L
L 下り(-)
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
上り(+)
a
★
a
A. Asano, Kansai Univ.
底では微分=0
2013年度秋学期 統計学

57. 微分?
L
L 下り(-)
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
上り(+)
a
★
A. Asano, Kansai Univ.
a
底では微分=0
bについても同じ，
底では微分=0
2013年度秋学期 統計学

58. 微分?
L
L 下り(-)
aだけの関数
と考えて微分
b
微分は，傾きを
求める計算
b
上り(+)
a
★
A. Asano, Kansai Univ.
a
底では微分=0
bについても同じ，
これらから
底では微分=0
a,bを求める
2013年度秋学期 統計学

59. 計算はともかく結論は
•偏微分による方法（付録１）
•「２次関数の最大・最小」に
A. Asano, Kansai Univ.
よる方法（付録２）
2013年度秋学期 統計学

60. 学部の１年生で習うくらいの解析学の知識が
計算はともかく結論は
ら，•偏微分による方法（付録１）
「２次関数の最大・最小」を使えば，こ
，付録２で説明しています。
•「２次関数の最大・最小」に
よる方法（付録２）
A. Asano, Kansai Univ.
σxy
b= 2
σx
a = y − b¯
¯
x
散，σxy は x, y の共分散です。x, y は，前回
¯ ¯
2013年度秋学期 統計学

61. 学部の１年生で習うくらいの解析学の知識が
計算はともかく結論は
ら，•偏微分による方法（付録１）
「２次関数の最大・最小」を使えば，こ
，付録２で説明しています。
•「２次関数の最大・最小」に
よる方法（付録２）
x, yの共分散
A. Asano, Kansai Univ.
σxy
b= 2
σx
a = y − b¯
¯
x
散，σxy は x, y の共分散です。x, y は，前回
¯ ¯
2013年度秋学期 統計学

62. 学部の１年生で習うくらいの解析学の知識が
計算はともかく結論は
ら，•偏微分による方法（付録１）
「２次関数の最大・最小」を使えば，こ
，付録２で説明しています。
•「２次関数の最大・最小」に
よる方法（付録２）
x, yの共分散
A. Asano, Kansai Univ.
σxy
b= 2
σx
xの分散
a = y − b¯
¯
x
散，σxy は x, y の共分散です。x, y は，前回
¯ ¯
2013年度秋学期 統計学

63. 学部の１年生で習うくらいの解析学の知識が
計算はともかく結論は
ら，•偏微分による方法（付録１）
「２次関数の最大・最小」を使えば，こ
，付録２で説明しています。
•「２次関数の最大・最小」に
よる方法（付録２）
x, yの共分散
A. Asano, Kansai Univ.
σxy
b= 2
σx
xの分散
a = y − b¯
¯
x
yの平均
散，σxy は x, y の共分散です。x, y は，前回
¯ ¯
2013年度秋学期 統計学

64. 学部の１年生で習うくらいの解析学の知識が
計算はともかく結論は
ら，•偏微分による方法（付録１）
「２次関数の最大・最小」を使えば，こ
，付録２で説明しています。
•「２次関数の最大・最小」に
よる方法（付録２）
x, yの共分散
A. Asano, Kansai Univ.
σxy
b= 2
σx
xの分散
a = y − b¯
¯
x
xの平均
yの平均
散，σxy は x, y の共分散です。x, y は，前回
¯ ¯
2013年度秋学期 統計学

65. 最小二乗法
σxy
b= 2
σx
a = y − b¯
¯
x
y
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

66. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように a と b を決定します（n はデータの組の数です）
。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
傾きを求めることです。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a b
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

67. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように a と b を決定します（n はデータの組の数です）
。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
傾きを求めることです。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a b
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

68. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように a と b を決定します（n はデータの組の数です）
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
傾きを求めることです。そこで，(1) 式の L を a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a b
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

69. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように と を決定します（n はデータの組の数です）
です。x,a y bは，前回も出てきたもので
¯ ¯
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
傾きを求めることです。そこで， y の を 上への回帰方
次式 y = a + bx を(1) 式の Lx a, b の２つの変数の関数
ちらについても２次関数で，a ， の係数がいずれも正ですから，その
b
，これを回帰係数といいます。なお，
2
2
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

70. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように と を決定します（n はデータの組の数です）
です。x,a y bは，前回も出てきたもので
¯ ¯
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
［回帰方程式］あるいは
傾きを求めることです。そこで， y の を 上への回帰方
次式 y = a + bx を(1) 式の Lx a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a ［回帰直線］
b
，これを回帰係数といいます。なお，
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

71. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように と を決定します（n はデータの組の数です）
です。x,a y bは，前回も出てきたもので
¯ ¯
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
［回帰方程式］あるいは
傾きを求めることです。そこで， y の を 上への回帰方
次式 y = a + bx を(1) 式の Lx a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a ［回帰直線］
b
，これを回帰係数といいます。なお，
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

72. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように と を決定します（n はデータの組の数です）
です。x,a y bは，前回も出てきたもので
¯ ¯
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
［回帰方程式］あるいは
傾きを求めることです。そこで， y の を 上への回帰方
次式 y = a + bx を(1) 式の Lx a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a ［回帰直線］
b
，これを回帰係数といいます。なお，
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

73. i
i
i
i
ラメータをもっとも適切なパラメータとします。差には正負があります
，すなわち
最小二乗法
σxy
b= 2
σx
n
L=
i=1
{yi − (a + bxi )}2
になるように と を決定します（n はデータの組の数です）
です。x,a y bは，前回も出てきたもので
¯ ¯
を最小にしたので。
ab= y − b¯
¯
x
ような a と を求める方法は，おもに２つあります。ひとつは，(1) 式を
［最小二乗法］
，それらを両方とも 0 とおいた方程式を解くものです。
は x, y の共分散です。x, y は，前回も出て
¯ ¯
y それぞれで偏微分する」とは，次のような意味です。微分とは，関数
b
［回帰方程式］あるいは
傾きを求めることです。そこで， y の を 上への回帰方
次式 y = a + bx を(1) 式の Lx a, b の２つの変数の関数
2 ， 2 の係数がいずれも正ですから，その
ちらについても２次関数で，a ［回帰直線］
b
，これを回帰係数といいます。なお，
A. Asano, Kansai Univ.
うにして得られる１次式 y = a + bx を y の x
［回帰係数］
統計学（2013 年度秋学期） 第７回 (2013. 11. 7)
http://r
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といい
2013年度秋学期 統計学

74. 散です。x, y は，前回も出てきたもので，それ
¯ ¯
ところで
σ
b=
１次式 y =
温（℃）
xy
2
aσx bx を y
+
のx
より 上への回帰方程式，
で，これを回帰係数といいます。なお，(2) 式
8.0 a = y − b¯
¯
x
A. Asano, Kansai Univ.
y
気温
（℃）
9.6
11.0
23
σxy 11.9 x, y の共分散です。x, y は，前回も出てきたもので，そ
は
¯ ¯
%
x)
¯
(3)
21
12.5
19
12.9
%
17
http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ページ
%%
13.2
うにして得られる１次式 y =%%%%+ bx を y の x 上への回帰方程
a
15
%
%
15.3
% %
13
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といいます。なお，(2
% %
13.1
% % %
11
11.4
%
9
16.0
%
y ¯
7 ¯
14.9− y = b(x − x)
5
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
14.4
3. 11. 7)
緯度 http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ペ
（度）
15.0
2013年度秋学期 統計学
16.3
x

75. 散です。x, y は，前回も出てきたもので，それ
¯ ¯
ると ところで
σxy
b= 2
１次式 y = a + bx を y の x 上への回帰方程式，
σx
¯
より y − y = b(x
温（℃）
で，これを回帰係数といいます。なお，(2) 式
8.0 a = y − b¯
¯
x
− x)
¯
9.6
11.0
23
σxy 11.9 x, y の共分散です。x, y は，前回も出てきたもので，そ
は
¯ ¯
%
x)
¯
(3)
21
12.5
19
12.9
%
17
http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ページ
%%
13.2
うにして得られる１次式 y =%%%%+ bx を y の x 上への回帰方程
a
15
%
%
15.3
% %
13
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といいます。なお，(2
% %
13.1
% % %
11
11.4
%
9
16.0
%
y ¯
7 ¯
14.9− y = b(x − x)
5
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
14.4
3. 11. 7)
緯度 http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ペ
（度）
15.0
2013年度秋学期 統計学
16.3
A. Asano, Kansai Univ.
y
気温
（℃）
学期） 第７回 (2013. 11. 7)
x

76. 散です。x, y は，前回も出てきたもので，それ
¯ ¯
ると ところで
σxy
b= 2
１次式 y = a + bx を y の x 上への回帰方程式，
σx
¯
より y − y = b(x
温（℃）
で，これを回帰係数といいます。なお，(2) 式
8.0 a = y − b¯
¯
x
− x)
¯
9.6
11.0
23
σxy 11.9 x, y の共分散です。x, y は，前回も出てきたもので，そ
は
¯ ¯
%
x)
¯
(3)
21
12.5
19
12.9
%
17
http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ページ
%%
13.2
うにして得られる１次式 y =%%%%+ bx を y の x 上への回帰方程
a
15
%
%
15.3
% %
13
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といいます。なお，(2
% %
13.1
% % %
11
11.4
%
9
16.0
%
y ¯
7 ¯
14.9− y = b(x − x)
5
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
14.4
3. 11. 7)
緯度 http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ペ
（度）
15.0
2013年度秋学期 統計学
16.3
A. Asano, Kansai Univ.
y
気温
（℃）
学期） 第７回 (2013. 11. 7)
x
x

77. 散です。x, y は，前回も出てきたもので，それ
¯ ¯
ると ところで
σxy
b= 2
１次式 y = a + bx を y の x 上への回帰方程式，
σx
¯
より y − y = b(x
温（℃）
で，これを回帰係数といいます。なお，(2) 式
8.0 a = y − b¯
¯
x
− x)
¯
9.6
11.0
23
σxy 11.9 x, y の共分散です。x, y は，前回も出てきたもので，そ
は
¯ ¯
%
x)
¯
(3)
21
12.5
19
12.9
%
17
http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ページ
%%
13.2
うにして得られる１次式 y =%%%%+ bx を y の x 上への回帰方程
a
15
%
%
15.3
% %
13
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といいます。なお，(2
% %
13.1
% % %
11
11.4
%
9
16.0
%
y ¯
7 ¯
14.9− y = b(x − x)
5
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
14.4
3. 11. 7)
緯度 http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ペ
（度）
15.0
2013年度秋学期 統計学
16.3
A. Asano, Kansai Univ.
y
気温
（℃）
学期） 第７回 (2013. 11. 7)
y
x
x

78. 散です。x, y は，前回も出てきたもので，それ
¯ ¯
ると ところで
σxy
b= 2
１次式 y = a + bx を y の x 上への回帰方程式，
σx
¯
より y − y = b(x
温（℃）
で，これを回帰係数といいます。なお，(2) 式
8.0 a = y − b¯
¯
x
− x)
¯
9.6
11.0
23
σxy 11.9 x, y の共分散です。x, y は，前回も出てきたもので，そ
は
¯ ¯
%
x)
¯
(3)
21
12.5
19
12.9
%
17
http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ページ
%%
13.2
うにして得られる１次式 y =%%%%+ bx を y の x 上への回帰方程
a
15
%
%
15.3
% %
13
は回帰直線の傾きで，これを回帰係数といいます。なお，(2
% %
13.1
% % %
11
11.4
%
9
16.0
%
y ¯
7 ¯
14.9− y = b(x − x)
5
16.2
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
14.4
3. 11. 7)
緯度 http://racco.mikeneko.jp/ 2/9 ペ
（度）
15.0
2013年度秋学期 統計学
16.3
A. Asano, Kansai Univ.
y
気温
（℃）
学期） 第７回 (2013. 11. 7)
回帰直線は
(x, y)を通る
y
x
x

79. A. Asano, Kansai Univ.

80. A. Asano, Kansai Univ.
決定係数

81. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
11
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
（度）
x 緯度
2013年度秋学期 統計学

82. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

83. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

84. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

85. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
yi
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

86. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
%
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
15
13
yi
11
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

87. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

88. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
xi に対する，回帰直線によるyの推定値
23
%
21
y
気温
（℃）
19
17
15
13
%
a + bxi
yi
11
%%
%%
%
%%
%
% %
% %
% % %
%
A. Asano, Kansai Univ.
9
%
7
5
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
x
xi
緯度
（度）
2013年度秋学期 統計学

89. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
xi に対する，回帰直線によるyの推定値
23
%
応する y の値，すなわち a + bxi を yi = a + bxi と
ˆ
21
と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは
ˆ 17
%
%%
%%
%
%%
15
したとき，予測によって表現できなかった部分を表
%
y 13 a + bxi
% %
% %
% % %
11
（前回の講義参照）とすると
yi
気温
（℃）
%
9
A. Asano, Kansai Univ.
=
19
%
7
2
(yi − yi ) = (1 −
ˆ
5
25 27 29 31 33 35 37 39
2
つまり，rxy
xi
緯度
（度）
2
rxy )45
41 43
(yi − y )
¯
2
x
が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さ
ˆ
2013年度秋学期 統計学

90. 残差
a,bが求められて，回帰直線が確定
xi に対する，回帰直線によるyの推定値
23
%
応する y の値，すなわち a + bxi を yi = a + bxi と
ˆ
21
と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは
ˆ 17
%
%%
%%
%
%%
15
したとき，予測によって表現できなかった部分を表
%
y 13 a + bxi
% %
% %
% % %
11
（前回の講義参照）とすると
yi
気温
（℃）
%
9
A. Asano, Kansai Univ.
=
19
%
7
2
(yi − yi ) = (1 −
ˆ
5
25 27 29 31 33 35 37 39
2
つまり，rxy
xi
緯度
（度）
2
rxy )45
41 43
(yi − y )
¯
2
x
が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さ
ˆ
2013年度秋学期 統計学

91. 残差
¯ を通る直線」になります。
「傾きが b で点 (¯, y)
x
a,bが求められて，回帰直線が確定
xi に対する，回帰直線によるyの推定値
23
%
応する y の値，すなわち a + bxi を yi = a + bxi と
ˆ
定係数
21
と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは
ˆ 17
%
それでも残っている，
%%
%%
各 xi に対して，回帰直線上で対応する y の値，す
%
%%
15
したとき，予測によって表現できなかった部分を表
%
推定値と実際の差
y 13 a + bxi
% %
% %
のとき，実際のデータにおける yi とiyと表すこと
y の値，すなわち a + bx%i を yi = a + bx ˆi の差を残
ˆ
% %
11
（前回の講義参照）とすると
yi
%
9
の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方
値を使って，yi の値を yi %
ˆ と予測したとき，予測に
7
2 x と y の相関係数（前回の講義参
2
2
き，予測によって表現できなかった部分を表していま
ついて，rxyi )31 33 35 37 − rxy )45 (yi − y )
=
(y5i25− y を = (1 39 41 43
ˆ
¯
27 29
xi
回の講義参照）とすると
（度）
x 緯度
2
2 が 1 に近づくほど y 2 と y の差は小さ
di = ˆi (yi − yi )
ˆ
つまり，rxy
A. Asano, Kansai Univ.
気温
（℃）
19
2013年度秋学期 統計学

92. 残差
図 2: 偏微分と関数の最小値
¯ を通る直線」になります。
「傾きが b で点 (¯, y)
x
a,bが求められて，回帰直線が確定
xi に対する，回帰直線によるyの推定値
布図上で回帰直線は「傾きが b で点 (¯, y) を通る直線」に
x ¯
応する y の値，すなわち a + bxi を yi = a + bxi と
ˆ
定係数
21
19
と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは
ˆ 17
%
それでも残っている，
%%
%%
各 xi に対して，回帰直線上で対応する y の値，す
%
%%
15
したとき，予測によって表現できなかった部分を表
%
推定値と実際の差
y 13 a + bxi
% %
% %
のとき，実際のデータにおける yi とiyと表すこと
y の値，すなわち a + bx%i を yi = a + bx ˆi の差を残
ˆ
% %
11
（前回の講義参照）とすると
yi
%
9
の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方
値を使って，yi の値を yi %
ˆ と予測したとき，予測に
7
帰直線上で対応する y の値，すなわち a + bxi2を yi = a +
ˆ
［残差］という
2 x と y の相関係数（前回の講義参
2
き，予測によって表現できなかった部分を表していま
ついて，rxyi )31 33 35 37 − rxy )45 (yi − y )
=
(y5i25− y を = (1 39 41 43
ˆ
¯
27 29
タにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。
ˆ
xi
回の講義参照）とすると
（度）
x 緯度
を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった
ˆ
2
2 が 1 に近づくほど y 2 と y の差は小さ
di = ˆi (yi − yi )
ˆ
つまり，rxy
%
A. Asano, Kansai Univ.
気温
（℃）
23
2013年度秋学期 統計学

93. 残差と決定係数
回帰方程式を使って yi を予測したときの，
A. Asano, Kansai Univ.
予測によって表現できなかった部分
2013年度秋学期 統計学

94. 残差と決定係数
回帰方程式を使って yi を予測したときの，
予測によって表現できなかった部分
A. Asano, Kansai Univ.
残差について（付録３）
2013年度秋学期 統計学

95. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
ˆi
i
（導出は付録３）
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

96. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
残差
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
ˆi
i
（導出は付録３）
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

97. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
相関
残差1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2 が
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
ˆi
i
（導出は付録３）
係数
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

98. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
相関
残差1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2 が
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
ˆi
i
（導出は付録３）
係数
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

99. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
相関 決定
残差
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
i
（導出は付録３）
係数 係数 ˆi
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

100. 残差と決定係数
，回帰直線上で対応する y の値，すなわち ++ bxi を
a bx と表す
で対応する y の値，すなわち a yi を予測したときの，
ˆ
i
回帰方程式を使って + bxi を yi = a
のデータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表し
ˆ
ける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，
ˆ
予測によって表現できなかった部分
ˆ
i の値を yi と予測したとき，予測によって表現できな
予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表し
を係数（前回の講義参照）とすると
x と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
残差について（付録３）
2
di
=
22
(yi − yi i =
ˆ) =
d
(1
2
2 2
2
− rxy ) yi ) (yi − y− rxy )
(yi − ˆ = (1¯)
(yi
相関 決定
残差
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくな
2
３）
。つまり，rxy 。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と
i
（導出は付録３）
係数 係数 ˆi
A. Asano, Kansai Univ.
すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x か
となります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルに
決定係数が１に近づくほど
2 を決定係数とよびます。
このことから，rxy
2 を決定係数とよびます
になります。このことから，r
xy
残差の２乗和が0に近づく
うに説明できます。(4) 式を少し変形して
味は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2013年度秋学期 統計学

101. ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
ˆ
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
2
決定係数の意味
=
(yi − y )2
¯
より
(yi − yi22= (1 − rxy )yi )2(yi − y− rxy )
ˆi =
d)
(yi 2− ˆ = (1¯)2 2
(4)
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
xy
説明できます。(4) 式を少し変形して
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
2
− rxy =
d2
i
2 =
(y1 − y )xy =
r2
i −¯
d2 /n
i
d2 2
i
(yi − y ) /n=
¯
(yi − y )2
¯
d2 /n
i
(yi − y )2 /n
¯
(5)
A. Asano, Kansai Univ.
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
式の右端の分母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
2
2013年度秋学期 統計学

102. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(yi − y ) /n
¯
(yi − y )
¯
(5)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
式の右端の分母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
A. Asano, Kansai Univ.
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
2013年度秋学期 統計学

103. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

104. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

105. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

106. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

107. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
yの偏差の２乗の平均
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

108. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
yの偏差の２乗の平均
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

109. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
yの偏差の２乗の平均
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

110. ，r が 1 に近づくほど y と y の差は小さく
ˆ
。すなわち，最小二乗法で求めたモデル
決定係数の意味
最小二乗法で求めたモデルによって，y が x
2 を決定係数とよびま
。このことから，rxy2
2 を決定係数とよびます。
2
ら，(yxyyˆi22= (1 − ri xy )yi)2(yi − y−2 rより(yi − y)2
ri − di) = (y 2− ˆ = (1¯) xy )
=
(4)
¯
ータにおける yi と yi の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程
ˆ
yi と yixy
ˆ の差を残差といい，di で表します。残差とは，回帰方程式と xi
i
i
の値を yi と予測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています
ˆ
測したとき，予測によって表現できなかった部分を表しています。残差
と y の相関係数（前回の講義参照）とすると
数（前回の講義参照）とすると
ように説明できます。(4) 式を少し変形し
きます。(4) 式を少し変形して
2
2
2 が 1 に近づくほど y と y の差は小さくなり，r 2
。つまり，rxy が 1 に近づくほど yi と yi の差は小さくなり，rxy = 1 の
ˆ
出は付録３）
。つまり，rxy
ˆi
i
xy
わち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に正確に
なります。すなわち，最小二乗法で求めたモデルによって，y が x から完全に
2
ことから，rxy を決定係数とよびます。
なります。このことから，r2 を決定係数とよびます。
残差の２乗の平均
xy
22
は，次のように説明できます。(4) 式を少し変形して
di 2
ddi
/n
i
= 2 1 −2 rxy = d2/n
=
di
i2
2 /n 2
2
− rxy =
=
di 2 (y − yi)2 /n
d
2
(yi(y1 − yry2)= (yi − y) /n=i i −¯y )
− ¯¯
¯2
¯ (y
i − )
xy
2
2 /n
di
2
説明できます。(4) 式を少し変形して
(yi − y )
¯
(5)
¯
(yi − y ) /n
¯
決定 (yi − y)
母は，y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
係数全体の平均からの各 y のへだたり，すなわち偏差の２
yの偏差の２乗の平均
式の右端の分母は，y
全体の平均からの各 y のへだたり，すなわ
端の分母は，y 全体の平均からの各 yi の
＝yの分散
一方，分子は，残差の２乗の平均になってい
しています。一方，分子は，残差の２乗
しています（図 3）
。
ともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
ですから，分子は「線形モデルによる予測結
2
A. Asano, Kansai Univ.
i
ます。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
i
分散を表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差
たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
測結果からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心と
3）
。
2013年度秋学期 統計学

111. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
ます（図 3）
。
A. Asano, Kansai Univ.
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
は「もともとの y
。線形単回帰では， のばらつき具合に対する，線形モデルか
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学

112. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
［決定係
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味

113. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
［決定係
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味

114. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
［決定係
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
もともと y はこんなに
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
ばらついていた
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味

115. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
［決定係
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
もともと y はこんなに
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
ばらついていた
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味

116. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
回帰直線からの［決定係
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
ばらつきは
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
こんなに減った
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
もともと y はこんなに
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
ばらついていた
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味

117. のように説明できます。(4) 式を少し変形して
できます。(4) 式を少し変形して
決定係数の意味
=
d2 2
i
1 − rxy =
2
(yi − y )
¯
2
2 /n
ddi
i
=
− y )2 /n
¯ 2
(yi i − y )
(y
¯
2 /n
残差の２乗の平均
di
(5)
(yi − y )2 /n
¯
yの偏差の２乗の平均
決定
，端の分母は，y 全体の平均からの各 y のへだたり，すな
y 全体の平均からの各 yi のへだたり，すなわち偏差の２乗の平
（yの分散）
係数
i
。一方，分子は，残差の２乗の平均になっています。残差は「線
表しています。一方，分子は，残差の２乗の平均になって
」ですから，分子は「線形モデルによる予測結果を中心とするば
y
回帰直線からの［決定係
からの隔たり」ですから，分子は「線形モデルによる予測
y
y
i
なら
di = yi – yi
y
i
ます（図 3）i – y
。
y
ばらつきは
［分散］
［残差］
A. Asano, Kansai Univ.
［偏差］
の y のばらつき具合に対する，線形モデルからのばらつき具合の
y
y
こんなに減った
は「もともとの y のばらつき具合に対する，線形モデルか
。線形単回帰では，
「データが散布図上にばらついている」という
とになります。線形単回帰では，
「データが散布図上にばら
ではなく，線形モデルで表される直線に沿ってばらついている」
もともと y はこんなに
ルで完全に表されたわけではなく，直線から見てもデータはいく
ついているのではなく，線形モデルで表される直線に沿っ
x
x
i
ばらついていた
で完全に説明がついているわけではありません。こう考えると，
し，線形モデルで完全に表されたわけではなく，直線から
2013年度秋学期 統計学
図 4: 決定係数の意味