ЛЕКЦ №3.pdf

Akhyt
AkhytAkhyt

хэрэглээний математик

ЛЕКЦ №3. Интеграл тоолол.
Тодорхой бус интеграл.
Тодорхойлолт: Хэрэв )
(x
F функцийн уламжлал )
(x
f -тэй тэнцүү бол )
(x
F
функцийг )
(x
f -ийн эх функц гэнэ.
Теорем: )
(
),
( 2
1 x
F
x
F функцүүд )
(x
f функцийн эх функцүүд бол
;
)
(
)
( 2
1 const
x
F
x
F =
− байна.
Энэ нь )
(x
f функцийн ямар нэг эх функц )
(x
F бол )
(x
f функцийн бүх эх функц
c
x
F +
)
( гэдгийг харуулж байна. Энд c дурын тогтмол тоо.
Тодорхойлолт: )
(x
f функцийн бүх эх функцийг )
(x
f функцийн тодорхой биш
интеграл гээд  +
= ;
)
(
)
( c
x
F
dx
x
f гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ 17:  dx
x4
интегралыг бод.

=








;
5
4
'
5
x
x
 +
= ;
5
5
4
c
x
dx
x
Тодорхой бус интегралын чанар.

1 . ;
)
(
)
( dx
x
f
dx
x
f
d =


2 .  +
= ;
)
(
)
( c
x
F
x
dF

3 .  

=
 ;
)
(
)
( dx
x
f
k
dx
x
f
k Энд .
const
k =

4 .   

=
 ;
)
(
)
(
))
(
)
(
( dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f

5 .   +
+
=
+ );
(
)
(
)
( b
x
d
b
x
f
dx
b
x
f Энд .
const
b =

6 .  
= );
(
)
(
1
)
( ax
d
ax
f
a
dx
ax
f Энд .
const
a =
Жишээ 18:  + dx
x )
2
3
cos(
5 интегралыг бод.
 
   
);
2
3
sin(
3
5
)
2
3
(
)
2
3
cos(
3
5
5
)
3
(
)
2
3
cos(
3
5
6
)
2
3
cos(
5
3
)
2
3
cos(
5
+
=
+
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
+




x
x
d
x
x
d
x
dx
x
dx
x



Таблицын интеграл.
1.  +
+
=
+
;
1
1
c
n
x
dx
x
n
n
буюу )
1
(
;
1
1
−

+
+

=



+
n
c
n
d
n
n
2.  +
= ;
ln
1
c
x
dx
x
буюу  +

=


;
ln c
d
3.  +
= ;
c
e
dx
e x
x
буюу  +
=
 

;
c
e
d
e
4.  +
= ;
ln
c
a
a
dx
a
x
x
буюу  +
=



;
ln
c
a
a
d
a
5.  +
−
= ;
cos
sin c
x
xdx буюу  +

−
=

 ;
cos
sin c
d
6.  +
= ;
sin
cos c
x
xdx буюу  +

=

 ;
sin
cos c
d
7.  +
= ;
cos2
c
tgx
x
dx
буюу  +

=


;
cos2
c
tg
d
8.  +
−
= ;
sin 2
c
ctgx
x
dx
буюу  +

−
=


;
sin 2
c
ctg
d
9.  +
=
+
;
1
2
2
c
a
x
arctg
a
x
a
dx
 +

=

+

;
1
2
2
c
a
arctg
a
a
d
10.  +
=
−
;
arcsin
2
2
c
a
x
x
a
dx
 +

=

−

;
arcsin
2
2
c
a
a
d
11.  +
+
−
=
−
;
ln
2
1
2
2
c
a
x
a
x
a
a
x
dx
буюу
 +
+

−

=
−


;
ln
2
1
2
2
c
a
a
a
a
d
12.  +

+
=

;
ln 2
2
2
2
c
a
x
x
a
x
dx
буюу
 +


+

=



;
ln 2
2
2
2
c
a
a
d
Жишээ 19:  dx
x
3
интегралыг бод.
 
;
4
3
3
4
1
3
1
1
3 4
3
4
1
3
1
3
1
3
c
x
c
x
c
x
таб
dx
x
dx
x
+
=
+
=
=
+
+
=
=
=
+


Жишээ 20:  + dx
x 3
)
1
2
( интегралыг бод.
 
  ;
8
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
2
1
1
)
1
2
(
)
1
2
(
2
1
5
,
6
)
1
2
(
4
1
3
3
3
c
x
c
x
таб
x
d
x
dx
x
+
+
=
+
+
+

=
=
=
+
+
=
=
+
+




Жишээ 21:  dx
x
x
sin
cos
интегралыг бод.
 
  ;
sin
ln
2
sin
sin
cos
sin
sin
cos
c
x
таб
x
x
d
xdx
x
d
dx
x
x
+
=
=
=
=
=
= 

Орлуулах арга.
 dx
x
f )
( интегралд )
(t
x 
= гэж орлуулбал 
 
= ;
)
(
'
))
(
(
)
( dt
t
t
f
dx
x
f 
 болно.
Yүнийг тодорхой бус интегралд хувьсагчийг солих томъёо гэнэ.
Жишээ 22:  +
 dx
x
x 3
1 интегралыг бод.
c
x
x
c
t
t
dt
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dx
t
x
t
x
dx
x
x
+
+
−
+
=
=
+
−
=
−
=
−
=
=


−
=










=
−
=
=
+
=
+






4
)
1
(
3
7
)
1
(
3
)
4
7
(
3
)
(
3
)
(
3
3
)
1
(
3
1
;
1
1
3 4
3 7
4
7
3
6
3
6
2
3
2
3
3
3
Жишээ 23:  dx
x
x
ln
интегралыг бод.
;
2
ln
2
1
ln
ln 2
2
c
x
c
t
tdt
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
+
=
+
=
=










=
=
= 

Жишээ 24: 
−
 dx
e
x x2
интегралыг бод.
;
2
1
2
1
2
1
)
2
(
2
,
2
2
2
2
c
e
c
e
dt
e
dt
e
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
e
x
x
t
t
t
x
+
−
=
+
−
=
−
=
=
−

=










−
=
=
−
=
−
=

−
−



Жишээ 25:  − dx
x2
4 интегралыг бод.
;
2
4
2
arcsin
2
2
2
sin
)
)
2
(
2
cos
2
1
(
2
)
2
cos
(
2
2
1
2
cos
4
cos
4
cos
sin
1
4
cos
2
sin
4
4
cos
2
sin
2
4
2
2
2
2
2
c
x
x
x
c
t
t
c
t
t
td
dt
tdt
dt
t
tdt
tdt
x
tdt
x
tdt
dx
t
x
dx
x
+
−
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
=
=
+
=
=

−
=
=

−
=






=
=
=
−








Жишээ 26: 
+
dx
x
x
2
2
1
интегралыг бод.
;
1
1
ln
sin
1
cos
1
ln
sin
1
sin
1
sin
1
ln
2
1
sin
1
sin
1
sin
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
1
cos
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
x
x
x
x
c
t
t
tgt
c
t
t
t
c
t
t
t
d
t
t
d
t
tdt
t
tdt
t
dt
dt
t
t
t
t
t
t
dt
t
dt
t
tg
t
tg
t
dt
dx
tgt
x
dx
x
x
+
+
−
+
+
=
=
+
−
+
=
+
−
−
+
=
=
+
−
−
=
+
=
=
+
=

+
=

=
=

+
=










=
=
=
+









Хэсэгчлэн интегралчлах арга.
)
(
),
( x
v
x
u дифференциалчлагдах функцүүдийн хувьд
 
−
= );
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( x
du
x
v
x
v
x
u
x
dv
x
u байна. Yүнийг хэсэгчлэн интегралчлах томъёо
гэнэ.
Жишээ 27:  + dx
e
x x
2
)
3
( интегралыг бод.
;
4
1
)
3
(
2
1
2
1
)
3
(
2
1
2
1
,
,
3
)
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
e
e
x
dx
e
e
x
e
dx
e
v
dv
dx
e
du
dx
u
x
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=
−
+
=
=










=
=
=
=
=
+
=
+



Жишээ 28:  −
+ xdx
x
x 3
cos
)
1
( 2
интегралыг бод.
;
3
sin
9
2
9
3
cos
)
1
2
(
3
sin
)
(
3
1
3
cos
3
2
9
3
cos
)
1
2
(
3
sin
)
(
3
1
2
)
3
3
cos
(
3
3
cos
)
1
2
(
3
1
3
sin
)
(
3
1
3
3
cos
,
3
sin
2
,
1
2
3
sin
)
1
2
(
3
1
3
sin
)
(
3
1
3
sin
3
1
3
cos
,
3
cos
)
1
2
(
,
3
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
c
x
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
v
dv
xdx
du
dx
u
x
xdx
x
x
x
x
x
xdx
v
dv
xdx
du
dx
x
u
x
x
xdx
x
x
+
−
−
+
+
+
=
−
+
+
+
+
=







−
−
+
−
−
−
+
=










−
=
=
=
=
+
=
=
+
−
+
=
=










=
=
=
=
+
=
+
=
+





Жишээ 29:  xdx
e x
sin
2
интегралыг бод.
;
4
sin
2
cos
sin
4
sin
2
cos
)
sin
2
sin
(
2
cos
sin
,
cos
2
,
cos
2
cos
cos
,
sin
2
,
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
I
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
e
x
e
x
v
dv
xdx
du
dx
e
u
e
xdx
e
x
e
x
v
dv
xdx
du
dx
e
u
e
xdx
e
I
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
+
+
−
=






=
=
=
=
=
+
+
−
=






−
=
=
=
=
=
=




буюу ;
4
sin
2
cos 2
2
I
x
e
x
e
I x
x
−
+
−
= болно. ;
5
sin
2
5
cos
sin
2
2
2
c
x
e
x
e
xdx
e
I
x
x
x
+
+
−
=
= 
Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох зарим интегралуудаас:
)
(x
Pn нь n зэргийн олон гишүүнт буюу ө.х. ;
)
( 1
1
1
0 n
n
n
n
n a
x
a
x
a
x
a
x
P +
+
+
+
= −
−

байг. Тэгвэл:
−  dx
e
x
P kx
n )
( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv
dx
e
u
x
P kx
n =
= ,
)
( гэж
орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ. Тухайлбал: (Жишээ 27).
− 
 kxdx
x
P
kxdx
x
P n
n sin
)
(
,
cos
)
( хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо олон
гишүүнтийг u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ.
Тухайлбал: (Жишээ 28).
−  dx
kx
x
Pn )
ln(
)
( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv
dx
x
P
u
kx n =
= )
(
,
)
ln( гэж
орлуулаад 1 удаа хэсэгчилнэ.
− 
 ,
arcsin
)
(
,
arccos
)
( xdx
x
P
xdx
x
P n
n 
 ,
)
(
,
)
( arcctgxdx
x
P
arctgxdx
x
P n
n
хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо тригонометрийн урвуу функцүүдийг
u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад хэсэгчилнэ.
− 
 kxdx
e
kxdx
e ax
ax
sin
,
cos хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо аль ч
функцийг u -р орлуулж болно. Харин заавал 2 удаа хэсэгчилнэ.
Тухайлбал: (Жишээ 29).

Recomendados

Hesegchlen integralchlah por
Hesegchlen integralchlahHesegchlen integralchlah
Hesegchlen integralchlahEnkhbaatar.Ch
103 visualizações6 slides
Seminar 1 por
Seminar 1Seminar 1
Seminar 1boogii79
3K visualizações4 slides
семинар 3 por
семинар 3семинар 3
семинар 3boogii79
1.8K visualizações6 slides
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №1.pdf por
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №1.pdfБИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №1.pdf
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №1.pdfAkhyt
3.7K visualizações3 slides
Tootson bodoh matematic lekts por
Tootson bodoh matematic lektsTootson bodoh matematic lekts
Tootson bodoh matematic lektsE-Gazarchin Online University
5.7K visualizações50 slides

Mais conteúdo relacionado

Similar a ЛЕКЦ №3.pdf

бие даалт por
бие даалтбие даалт
бие даалтBolortuya Boloroo
8.3K visualizações13 slides
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2 por
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№22012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2Э. Гүнтулга
5K visualizações17 slides
семинар 4 por
семинар 4семинар 4
семинар 4boogii79
1.5K visualizações4 slides
Эх функц ба тодорхой биш интеграл por
Эх функц ба тодорхой биш интегралЭх функц ба тодорхой биш интеграл
Эх функц ба тодорхой биш интегралBattur
1.8K visualizações73 slides
функц, түүний тодорхойлогдох муж por
функц, түүний тодорхойлогдох мужфункц, түүний тодорхойлогдох муж
функц, түүний тодорхойлогдох мужjimsee92
1.1K visualizações6 slides
функц, түүний тодорхойлогдох муж por
функц, түүний тодорхойлогдох мужфункц, түүний тодорхойлогдох муж
функц, түүний тодорхойлогдох мужjimsee92
1K visualizações6 slides

Similar a ЛЕКЦ №3.pdf(20)

бие даалт por Bolortuya Boloroo
бие даалтбие даалт
бие даалт
Bolortuya Boloroo8.3K visualizações
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2 por Э. Гүнтулга
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№22012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2
2012 09 10 тоон дараалл хязгаар лекц№2
Э. Гүнтулга5K visualizações
семинар 4 por boogii79
семинар 4семинар 4
семинар 4
boogii791.5K visualizações
Эх функц ба тодорхой биш интеграл por Battur
Эх функц ба тодорхой биш интегралЭх функц ба тодорхой биш интеграл
Эх функц ба тодорхой биш интеграл
Battur1.8K visualizações
функц, түүний тодорхойлогдох муж por jimsee92
функц, түүний тодорхойлогдох мужфункц, түүний тодорхойлогдох муж
функц, түүний тодорхойлогдох муж
jimsee921.1K visualizações
функц, түүний тодорхойлогдох муж por jimsee92
функц, түүний тодорхойлогдох мужфункц, түүний тодорхойлогдох муж
функц, түүний тодорхойлогдох муж
jimsee921K visualizações
функц, түүний тодорхойлогдох муж por jimsee92
функц, түүний тодорхойлогдох мужфункц, түүний тодорхойлогдох муж
функц, түүний тодорхойлогдох муж
jimsee926.4K visualizações
Bvleg 6 recursion por Orgil Jargalsaihan
Bvleg 6 recursionBvleg 6 recursion
Bvleg 6 recursion
Orgil Jargalsaihan1.4K visualizações
цахим хичээл 2 por nandia
цахим хичээл 2цахим хичээл 2
цахим хичээл 2
nandia4.5K visualizações
Math101 Lecture4 por Munhbayr Sukhbaatar
Math101 Lecture4Math101 Lecture4
Math101 Lecture4
Munhbayr Sukhbaatar10.1K visualizações
Funktsin grafik8 por rmarey
Funktsin grafik8Funktsin grafik8
Funktsin grafik8
rmarey6.4K visualizações
зарим арифметик функцүүд por Ч. Алтка
зарим арифметик функцүүдзарим арифметик функцүүд
зарим арифметик функцүүд
Ч. Алтка757 visualizações
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл por Battur
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлДээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur6.4K visualizações
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга por Battur
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц аргаБутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Battur343 visualizações
Интегралчлах үндсэн аргууд por Battur
Интегралчлах үндсэн аргуудИнтегралчлах үндсэн аргууд
Интегралчлах үндсэн аргууд
Battur397 visualizações
11 soril 31_jishig_daalgavar por Baasandorj Baatarhuyag
11 soril 31_jishig_daalgavar11 soril 31_jishig_daalgavar
11 soril 31_jishig_daalgavar
Baasandorj Baatarhuyag34.9K visualizações
Mt102 lekts3 por Sukhee Bilgee
Mt102 lekts3Mt102 lekts3
Mt102 lekts3
Sukhee Bilgee506 visualizações
Mt102 lekts4 por Sukhee Bilgee
Mt102 lekts4Mt102 lekts4
Mt102 lekts4
Sukhee Bilgee523 visualizações
Hicheel por nomad_9
HicheelHicheel
Hicheel
nomad_92.5K visualizações
Bzd standart olimpiad 2013-iin bodloguud por Baasandorj Baatarhuyag
Bzd standart olimpiad 2013-iin bodloguudBzd standart olimpiad 2013-iin bodloguud
Bzd standart olimpiad 2013-iin bodloguud
Baasandorj Baatarhuyag10.9K visualizações

Mais de Akhyt

ЛЕКЦ №2.pdf por
ЛЕКЦ №2.pdfЛЕКЦ №2.pdf
ЛЕКЦ №2.pdfAkhyt
1.6K visualizações5 slides
СЕМИНАР №6.pdf por
СЕМИНАР №6.pdfСЕМИНАР №6.pdf
СЕМИНАР №6.pdfAkhyt
1.6K visualizações5 slides
СЕМИНАР №7.pdf por
СЕМИНАР №7.pdfСЕМИНАР №7.pdf
СЕМИНАР №7.pdfAkhyt
603 visualizações1 slide
ЛЕКЦ №4.pdf por
ЛЕКЦ №4.pdfЛЕКЦ №4.pdf
ЛЕКЦ №4.pdfAkhyt
787 visualizações5 slides
СЕМИНАР №5.pdf por
СЕМИНАР №5.pdfСЕМИНАР №5.pdf
СЕМИНАР №5.pdfAkhyt
2.3K visualizações2 slides
СЕМИНАР №8.pdf por
СЕМИНАР №8.pdfСЕМИНАР №8.pdf
СЕМИНАР №8.pdfAkhyt
249 visualizações2 slides

Mais de Akhyt(20)

ЛЕКЦ №2.pdf por Akhyt
ЛЕКЦ №2.pdfЛЕКЦ №2.pdf
ЛЕКЦ №2.pdf
Akhyt1.6K visualizações
СЕМИНАР №6.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №6.pdfСЕМИНАР №6.pdf
СЕМИНАР №6.pdf
Akhyt1.6K visualizações
СЕМИНАР №7.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №7.pdfСЕМИНАР №7.pdf
СЕМИНАР №7.pdf
Akhyt603 visualizações
ЛЕКЦ №4.pdf por Akhyt
ЛЕКЦ №4.pdfЛЕКЦ №4.pdf
ЛЕКЦ №4.pdf
Akhyt787 visualizações
СЕМИНАР №5.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №5.pdfСЕМИНАР №5.pdf
СЕМИНАР №5.pdf
Akhyt2.3K visualizações
СЕМИНАР №8.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №8.pdfСЕМИНАР №8.pdf
СЕМИНАР №8.pdf
Akhyt249 visualizações
СЕМИНАР №2.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №2.pdfСЕМИНАР №2.pdf
СЕМИНАР №2.pdf
Akhyt4.7K visualizações
ЛЕКЦ №1.pdf por Akhyt
ЛЕКЦ №1.pdfЛЕКЦ №1.pdf
ЛЕКЦ №1.pdf
Akhyt1.8K visualizações
СЕМИНАР №1.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №1.pdfСЕМИНАР №1.pdf
СЕМИНАР №1.pdf
Akhyt7.9K visualizações
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №3.pdf por Akhyt
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №3.pdfБИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №3.pdf
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №3.pdf
Akhyt671 visualizações
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №4.pdf por Akhyt
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №4.pdfБИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №4.pdf
БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №4.pdf
Akhyt492 visualizações
СЕМИНАР №3.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №3.pdfСЕМИНАР №3.pdf
СЕМИНАР №3.pdf
Akhyt2.9K visualizações
СЕМИНАР №4.pdf por Akhyt
СЕМИНАР №4.pdfСЕМИНАР №4.pdf
СЕМИНАР №4.pdf
Akhyt2.3K visualizações
Day 1 por Akhyt
Day 1Day 1
Day 1
Akhyt1K visualizações
Indesign -surah_bichig__ por Akhyt
Indesign  -surah_bichig__Indesign  -surah_bichig__
Indesign -surah_bichig__
Akhyt1.3K visualizações
Articulate quizmaker por Akhyt
Articulate quizmakerArticulate quizmaker
Articulate quizmaker
Akhyt5K visualizações
Internet por Akhyt
InternetInternet
Internet
Akhyt9.3K visualizações
Stat bolovsruulalt1 por Akhyt
Stat bolovsruulalt1Stat bolovsruulalt1
Stat bolovsruulalt1
Akhyt9.3K visualizações
Adobe photoshop por Akhyt
Adobe photoshopAdobe photoshop
Adobe photoshop
Akhyt23.6K visualizações
Day 4 por Akhyt
Day 4Day 4
Day 4
Akhyt284 visualizações

ЛЕКЦ №3.pdf

  • 1. ЛЕКЦ №3. Интеграл тоолол. Тодорхой бус интеграл. Тодорхойлолт: Хэрэв ) (x F функцийн уламжлал ) (x f -тэй тэнцүү бол ) (x F функцийг ) (x f -ийн эх функц гэнэ. Теорем: ) ( ), ( 2 1 x F x F функцүүд ) (x f функцийн эх функцүүд бол ; ) ( ) ( 2 1 const x F x F = − байна. Энэ нь ) (x f функцийн ямар нэг эх функц ) (x F бол ) (x f функцийн бүх эх функц c x F + ) ( гэдгийг харуулж байна. Энд c дурын тогтмол тоо. Тодорхойлолт: ) (x f функцийн бүх эх функцийг ) (x f функцийн тодорхой биш интеграл гээд  + = ; ) ( ) ( c x F dx x f гэж тэмдэглэнэ. Жишээ 17:  dx x4 интегралыг бод.  =         ; 5 4 ' 5 x x  + = ; 5 5 4 c x dx x Тодорхой бус интегралын чанар.  1 . ; ) ( ) ( dx x f dx x f d =   2 .  + = ; ) ( ) ( c x F x dF  3 .    =  ; ) ( ) ( dx x f k dx x f k Энд . const k =  4 .     =  ; ) ( ) ( )) ( ) ( ( dx x g dx x f dx x g x f  5 .   + + = + ); ( ) ( ) ( b x d b x f dx b x f Энд . const b =  6 .   = ); ( ) ( 1 ) ( ax d ax f a dx ax f Энд . const a = Жишээ 18:  + dx x ) 2 3 cos( 5 интегралыг бод.       ); 2 3 sin( 3 5 ) 2 3 ( ) 2 3 cos( 3 5 5 ) 3 ( ) 2 3 cos( 3 5 6 ) 2 3 cos( 5 3 ) 2 3 cos( 5 + = + + = = = + = = = + = = +     x x d x x d x dx x dx x    Таблицын интеграл. 1.  + + = + ; 1 1 c n x dx x n n буюу ) 1 ( ; 1 1 −  + +  =    + n c n d n n 2.  + = ; ln 1 c x dx x буюу  +  =   ; ln c d 3.  + = ; c e dx e x x буюу  + =    ; c e d e 4.  + = ; ln c a a dx a x x буюу  + =    ; ln c a a d a 5.  + − = ; cos sin c x xdx буюу  +  − =   ; cos sin c d 6.  + = ; sin cos c x xdx буюу  +  =   ; sin cos c d
  • 2. 7.  + = ; cos2 c tgx x dx буюу  +  =   ; cos2 c tg d 8.  + − = ; sin 2 c ctgx x dx буюу  +  − =   ; sin 2 c ctg d 9.  + = + ; 1 2 2 c a x arctg a x a dx  +  =  +  ; 1 2 2 c a arctg a a d 10.  + = − ; arcsin 2 2 c a x x a dx  +  =  −  ; arcsin 2 2 c a a d 11.  + + − = − ; ln 2 1 2 2 c a x a x a a x dx буюу  + +  −  = −   ; ln 2 1 2 2 c a a a a d 12.  +  + =  ; ln 2 2 2 2 c a x x a x dx буюу  +   +  =    ; ln 2 2 2 2 c a a d Жишээ 19:  dx x 3 интегралыг бод.   ; 4 3 3 4 1 3 1 1 3 4 3 4 1 3 1 3 1 3 c x c x c x таб dx x dx x + = + = = + + = = = +   Жишээ 20:  + dx x 3 ) 1 2 ( интегралыг бод.     ; 8 ) 1 2 ( 1 3 ) 1 2 ( 2 1 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 1 5 , 6 ) 1 2 ( 4 1 3 3 3 c x c x таб x d x dx x + + = + + +  = = = + + = = + +     Жишээ 21:  dx x x sin cos интегралыг бод.     ; sin ln 2 sin sin cos sin sin cos c x таб x x d xdx x d dx x x + = = = = = =   Орлуулах арга.  dx x f ) ( интегралд ) (t x  = гэж орлуулбал    = ; ) ( ' )) ( ( ) ( dt t t f dx x f   болно. Yүнийг тодорхой бус интегралд хувьсагчийг солих томъёо гэнэ. Жишээ 22:  +  dx x x 3 1 интегралыг бод.
  • 3. c x x c t t dt t dt t dt t t dt t t t dt t dx t x t x dx x x + + − + = = + − = − = − = =   − =           = − = = + = +       4 ) 1 ( 3 7 ) 1 ( 3 ) 4 7 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 3 ) 1 ( 3 1 ; 1 1 3 4 3 7 4 7 3 6 3 6 2 3 2 3 3 3 Жишээ 23:  dx x x ln интегралыг бод. ; 2 ln 2 1 ln ln 2 2 c x c t tdt dt dx x t x dx x x + = + = =           = = =   Жишээ 24:  −  dx e x x2 интегралыг бод. ; 2 1 2 1 2 1 ) 2 ( 2 , 2 2 2 2 c e c e dt e dt e dt xdx dt xdx t x dx e x x t t t x + − = + − = − = = −  =           − = = − = − =  − −    Жишээ 25:  − dx x2 4 интегралыг бод. ; 2 4 2 arcsin 2 2 2 sin ) ) 2 ( 2 cos 2 1 ( 2 ) 2 cos ( 2 2 1 2 cos 4 cos 4 cos sin 1 4 cos 2 sin 4 4 cos 2 sin 2 4 2 2 2 2 2 c x x x c t t c t t td dt tdt dt t tdt tdt x tdt x tdt dx t x dx x + − + = + + = = + + = + = = + = =  − = =  − =       = = = −         Жишээ 26:  + dx x x 2 2 1 интегралыг бод. ; 1 1 ln sin 1 cos 1 ln sin 1 sin 1 sin 1 ln 2 1 sin 1 sin 1 sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin cos 1 cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c x x x x c t t tgt c t t t c t t t d t t d t tdt t tdt t dt dt t t t t t t dt t dt t tg t tg t dt dx tgt x dx x x + + − + + = = + − + = + − − + = = + − − = + = = + =  + =  = =  + =           = = = +         
  • 4. Хэсэгчлэн интегралчлах арга. ) ( ), ( x v x u дифференциалчлагдах функцүүдийн хувьд   − = ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x du x v x v x u x dv x u байна. Yүнийг хэсэгчлэн интегралчлах томъёо гэнэ. Жишээ 27:  + dx e x x 2 ) 3 ( интегралыг бод. ; 4 1 ) 3 ( 2 1 2 1 ) 3 ( 2 1 2 1 , , 3 ) 3 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 c e e x dx e e x e dx e v dv dx e du dx u x dx e x x x x x x x x x + − + = − + = =           = = = = = + = +    Жишээ 28:  − + xdx x x 3 cos ) 1 ( 2 интегралыг бод. ; 3 sin 9 2 9 3 cos ) 1 2 ( 3 sin ) ( 3 1 3 cos 3 2 9 3 cos ) 1 2 ( 3 sin ) ( 3 1 2 ) 3 3 cos ( 3 3 cos ) 1 2 ( 3 1 3 sin ) ( 3 1 3 3 cos , 3 sin 2 , 1 2 3 sin ) 1 2 ( 3 1 3 sin ) ( 3 1 3 sin 3 1 3 cos , 3 cos ) 1 2 ( , 3 cos ) ( 2 2 2 2 2 2 c x x x x x x xdx x x x x x dx x x x x x x x v dv xdx du dx u x xdx x x x x x xdx v dv xdx du dx x u x x xdx x x + − − + + + = − + + + + =        − − + − − − + =           − = = = = + = = + − + = =           = = = = + = + = +      Жишээ 29:  xdx e x sin 2 интегралыг бод. ; 4 sin 2 cos sin 4 sin 2 cos ) sin 2 sin ( 2 cos sin , cos 2 , cos 2 cos cos , sin 2 , sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I x e x e xdx e x e x e xdx e x e x e x v dv xdx du dx e u e xdx e x e x v dv xdx du dx e u e xdx e I x x x x x x x x x x x x x x x − + − = − − + − = − + + − =       = = = = = + + − =       − = = = = = =     буюу ; 4 sin 2 cos 2 2 I x e x e I x x − + − = болно. ; 5 sin 2 5 cos sin 2 2 2 c x e x e xdx e I x x x + + − = =  Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох зарим интегралуудаас: ) (x Pn нь n зэргийн олон гишүүнт буюу ө.х. ; ) ( 1 1 1 0 n n n n n a x a x a x a x P + + + + = − −  байг. Тэгвэл: −  dx e x P kx n ) ( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv dx e u x P kx n = = , ) ( гэж орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ. Тухайлбал: (Жишээ 27).
  • 5. −   kxdx x P kxdx x P n n sin ) ( , cos ) ( хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо олон гишүүнтийг u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад n удаа хэсэгчилнэ. Тухайлбал: (Жишээ 28). −  dx kx x Pn ) ln( ) ( хэлбэрийн интегралыг бодохдоо dv dx x P u kx n = = ) ( , ) ln( гэж орлуулаад 1 удаа хэсэгчилнэ. −   , arcsin ) ( , arccos ) ( xdx x P xdx x P n n   , ) ( , ) ( arcctgxdx x P arctgxdx x P n n хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо тригонометрийн урвуу функцүүдийг u , үлдсэнийг нь dv гэж орлуулаад хэсэгчилнэ. −   kxdx e kxdx e ax ax sin , cos хэлбэрийн интегралуудыг бодохдоо аль ч функцийг u -р орлуулж болно. Харин заавал 2 удаа хэсэгчилнэ. Тухайлбал: (Жишээ 29).