Лекц № 2. Матриц.
);
,
1
,
,
1
(
, n
j
m
i
aij =
= тоонуудаар зохиосон тэгш өнцөгт таблицийг (mxn) хэмжээст
матриц гэж нэрлээд
;
2
1
2
22
21
1
12
11














=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A






гэж тэмдэглэнэ. Матрицийг товчоор
);
,
1
,
,
1
(
),
( n
j
m
i
a
A ij =
=
= гэж бичиж болно. Матрицын мөр баганын тоо тэнцүү
буюу n
m = бол квадрат матриц гэнэ.
Матрицыг нэмэх ба тоогоор үржүүлэх: );
,
1
,
,
1
(
),
(
),
( n
j
m
i
b
B
a
A ij
ij =
=
=
= ижил
хэмжээст матрицуудын хувьд тэдгээрийн нийлбэр матриц )
( ij
c
C = нь дараахь
дүрмээр тодорхойлогдоно.
);
,
1
,
,
1
(
, n
j
m
i
b
a
c
B
A
C ij
ij
ij =
=
+
=

+
=
Матрицыг тоогоор үржүүлэхэд түүний бүх элементүүд уг тоогоор үржигдэнэ.
);
,
1
,
,
1
(
, n
j
m
i
a
c
A
C ij
ij =
=

=


= 

Матрицуудыг үржүүлэх: А ба В матрицууд харгалзан (mxk) ба (kxn) хэмжээст
бол B
A
C 
= үржвэр матриц дараахь дүрмээр тодорхойлогдоно.
);
,
1
,
,
1
(
,
1
n
j
m
i
b
a
c
B
A
C
k
l
lj
il
ij =
=
=


= 
=
Жишээ 5. ;
3
1
2
0
7
5
;
4
0
1
3
2
1








−
=








−
= B
A бол 2A+B – г ол.
;
11
1
4
6
11
7
3
1
2
0
7
5
8
0
2
6
4
2
3
1
2
0
7
5
4
0
1
3
2
1
2
2








−
=








−
+








−
=
=








−
+








−

=
+ B
A
Жишээ 6. ;
3
1
2
1
1
1
;
6
5
4
3
2
1










=








= B
A бол AB ба BA – г ол.
;
32
15
14
6
3
6
2
5
1
4
1
6
1
5
1
4
3
3
2
2
1
1
1
3
1
2
1
1
3
1
2
1
1
1
6
5
4
3
2
1








=









+

+


+

+


+

+


+

+

=
=



















=
AB

;
21
17
13
15
12
9
9
7
5
6
3
3
1
5
3
2
1
4
3
1
1
6
2
3
1
5
2
2
1
4
2
1
1
6
1
3
1
5
1
2
1
4
1
1
1
6
5
4
3
2
1
3
1
2
1
1
1










=











+


+


+


+


+


+


+


+


+

=
=



















=
BA
Матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол уг матрицыг тэг (0) матриц гэнэ.
A+0=0+A=A; байна.
Гол диагоналийн элементүүд нь 1, бусад элементүүд нь 0-тэй тэнцүү квадрат
матрицыг нэгж матриц гэж нэрлээд
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
















=







E гэж тэмдэглэнэ. A матриц (nxn) хэмжээст бол
;
A
A
E
E
A =

=
 байна. ;
1
1
E
A
A
A
A =

=
 −
−
нөхцлийг хангадаг 1
−
A матрицыг А
матрицын урвуу матриц гэнэ. ;
2
1
2
22
21
1
12
11














=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A






бол ;
1
2
1
2
22
12
1
21
11
1















=
−
nn
n
n
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A






байна. Энд ;
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a






=

Урвуу матрицыг олох өөр нэг аргыг Жишээ 7-д үзүүлэв.
Жишээ 7. ;
4
3
2
1
2
1
1
1
1










=
A бол урвуу матрицыг ол.
;
5
.
0
5
.
0
5
.
0
0
1
1
5
.
0
5
.
0
5
.
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
0
1
1
0
1
2
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
2
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
3
2
1
2
1
1
1
1
2
:
,
,
−
−
−
−
−
⎯
⎯ →
⎯
−
−
−
−
→
⎯
⎯
⎯ →
⎯
−
−
−
⎯
⎯
⎯
⎯ →
⎯
−
−
−
−
−
III
I
III
II
I
I
II
II
I
III
;
5
.
0
5
.
0
5
.
0
0
1
1
5
.
0
5
.
0
5
.
2
1










−
−
−
−
−
=
−
A
Бодлого 1: (Тархвар судлалын I ба II зэргийн хавьтал). 3 хүн халдварт
өвчнөөр өвчилсөн гэе. 2-р группын 6 хүнээс энэ 3 өвчтний хэнтэй нь хавьтсаныг
илрүүлэх зорилгоор асуулт тавъя. Дараа нь 3-р группын 7 хүнээс 2-р группын 6

хүний хэнтэй нь хавьтсан талаар асуусан гэе. 1 ба 2-р группын хувьд
);
6
,
1
,
3
,
1
(
),
( =
=
= j
i
a
A ij матрицыг тодорхойлж болно. 1-р группын i -р өвчтөнтэй
2-р группын j -р хүн хавьтсан бол ;
1
=
ij
a гэж тэмдэглэе. Эсрэг тохиолдолд
;
0
=
ij
a (ө.х. Контакт үүсгээгүй). Yүнтэй ижлээр );
7
,
1
,
6
,
1
(
),
( =
=
= j
i
b
B ij матрицыг
тодорхойлно. ;
1
=
ij
b гэдэг нь 2-р группын i -р хүнтэй 3-р группын j -р хүн
хавьтсан гэсэн үг. Эсрэг тохиолдолд ;
0
=
ij
b Тухайлбал:
;
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0










=
A ;
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0




















=
B
Энэ матрицууд нь группуудын хоорондох 1-р зэргийн хавьтлын схемийг
харуулна. Энд ;
1
24 =
a гэдэг нь 1-р группын 2 дахь өвчтөнтэй, 2-р группын 4-р
хүн хавьтсан гэсэн үг. ;
0
33 =
b гэдэг нь 2-р группын 3 дахь хүнтэй, 3-р группын 3-
р хүн хавьтаагүй.
Одоо 3-р группын 7 хүн ба эхний 3 өвчтөний хоорондох II зэргийн хавьтал буюу
шууд биш хавьталыг сонирхож болно. Энэ II зэргийн хавьтлыг
);
7
,
1
,
3
,
1
(
),
( =
=
=
= j
i
c
AB
C ij матрицан үржвэр илэрхийлдэг. ij
c элемент нь I
группын i -р өвчтөн ба III группын j -р хүний хоорондох II эрэмбийн хавьтлын
тоог харуулна.
;
1
2
0
1
1
0
2
0
1
0
1
2
0
0
1
1
0
1
0
1
1










=
= AB
C
;
2
23 =
c элемент нь III группын 3 дахь хүн ба I группын 2-р өвчтөний хооронд II
эрэмбийн хавьтал 2 байсныг илрүүлнэ. (ө.х. III группын 3 дахь хүн I группын 2-р
өвчтөнөөс 2 замаар хавьтал авсныг харуулж байна.) Мөн III группын 6 дахь хүн
I группын өвчтөнүүдтэй нийт 1+1+2=4 ширхэг шууд биш хавьталтай байна. III
группын 5 дахь хүн ерөөсөө ийм хавьталгүй байна.
Шугаман тэгшитгэлийн систем.
Крамерын дүрэм: n хувьсагчтай n ширхэг шугаман тэгшитгэлийн систем







=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a






2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
байна. Энд );
,
1
( n
j
xj = үл мэдэгдэгч,
);
,
1
,
,
1
(
, n
j
n
i
b
a i
ij =
= нь өгөгдсөн тоонууд. Эдгээр тоонуудаар дараахь
тодорхойлогчуудыг зохиоё.

;
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a






=
 ;
1
1
1
2
1
2
2
1
2
21
1
1
1
1
1
1
11
nn
nj
n
nj
n
n
j
j
n
j
j
j
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a










+
−
+
−
+
−
=
 );
,
1
( n
j = Тэгвэл ;
0

 бол
;
;
; 2
2
1
1


=


=


= n
n
x
x
x  байна. Харин ;
0
=
 бол эсвэл төгсгөлгүй олон
шийдтэй, эсвэл шийдгүй байна.
n хувьсагчтай m ширхэг шугаман тэгшитгэлийн систем







=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a






2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
(1) байна. Энд );
,
1
,
,
1
(
, n
j
m
i
b
a i
ij =
= нь өгөгдсөн
тоонууд. );
,
1
( n
j
xj = үл мэдэгдэгч. Мөн n
m  гэж үзэж болно.
;
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
*














=
m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
A






матрицыг (1)-д харгалзах өргөтгөсөн матриц гэнэ.
Өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулбал ерөнхий тохиолдолд
;
0
0
0
0
0
0
3
3
33
2
2
23
22
1
1
13
12
11
















m
mn
mm
n
n
n
d
c
c
d
c
c
d
c
c
c
d
c
c
c
c










болох ба уг матрицаар зохиосон (1)-тэй эквивалент
шугаман тэгшитгэлийн систем







=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
m
n
mn
m
mm
n
n
n
n
d
x
c
x
c
d
x
c
x
c
x
c
d
x
c
x
c
x
c
x
c






2
2
3
23
2
22
1
1
3
13
2
12
1
11
(2) болж ерөнхий шийд олдоно.
Жишээ 8: a)



=
−
=
+
1
2
4
1
2
1
2
1
x
x
x
x
b)



=
+
=
+
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
c)



=
−
=
−
3
2
6
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
a) ;
6
2
4
1
1
−
=
−
=
 ;
3
2
1
1
1
1 −
=
−
=
 ;
3
1
4
1
1
2 −
=
=
 ;
2
1
;
2
1 2
2
1
1 =


=
=


= x
x
b) ,
0
=
 ;
0
0
0
1
1
1
2
2
2
1
1
1
*








→








=
A 



=
=
+

0
0
1
2
1 x
x
ерөнхий шийд .
;
1 2
2
1 R
x
x
x 
−
= болно.
c) ;
1
0
0
2
1
3
3
2
6
2
1
3
*








−
−
→








−
−
=
A 




−
=
=
−

1
0
2
3 2
1 x
x
Жишээ 9: a)





=
+
−
−
=
−
+
=
+
+
11
3
2
2
2
4
10
3
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b)





=
+
+
=
+
−
=
+
+
20
5
4
7
3
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c)





=
+
+
=
+
−
=
+
+
13
5
4
7
3
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

a) ;
70
1
1
3
2
2
4
3
4
1
−
=
−
−
=
 ;
140
1
1
11
2
2
2
3
4
10
1 −
=
−
−
−
=

;
70
1
11
3
2
2
4
3
10
1
2 =
−
−
=
 ;
280
11
1
3
2
2
4
10
4
1
3 −
=
−
−
=

;
4
70
280
;
1
70
70
;
2
70
140
3
2
1 =
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
= x
x
x
b) ;
7
0
0
0
1
1
3
0
3
1
1
1
8
1
3
0
1
1
3
0
3
1
1
1
20
5
1
4
7
3
1
2
3
1
1
1
4
,
2
*










−
⎯
⎯ →
⎯










−
−
⎯
⎯
⎯
⎯ →
⎯










−
= −
−
− II
III
I
III
I
II
A







=
=
+
−
=
+
+

7
0
1
3
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
c) ;
0
0
0
0
1
1
3
0
3
1
1
1
1
1
3
0
1
1
3
0
3
1
1
1
13
5
1
4
7
3
1
2
3
1
1
1
4
,
2
*










−
⎯
⎯ →
⎯










−
−
⎯
⎯
⎯
⎯ →
⎯










−
= −
−
− II
III
I
III
I
II
A
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x








−
=
−
=






=
=
+
−
=
+
+
 3
3
2
3
1
3
2
3
2
1
3
4
10
3
1
0
0
1
3
3
гэж ерөнхий шийд олдоно.