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圏論3分クッキング
(ゆるふわ)
圏論3分クッキング
(ゆるふわ)
30
趣旨
● wikipedia「圏」の項を
適宜、簡略,追加して書いています
– https://ja.wikipedia.org/wiki/圏_(数学)
● 圏論を
…ゆるふわに説明したいなぁ 。
目録
● 圏の定義
● 圏の例(群の圏)
● 関手
● おまけ
僕
・名前:   あいや (@aiya_000)
– 主兵装: C#
– 使いたいもの: Haskell
– 自学で圏論をちょくちょく進めては
Twitterでご指摘をいただいている
(大感謝)
圏の定義
圏の定義
● 圏Cとは次のものからなる
– 対象 ­ 対象X, 対象Y, 対象Z (X,Y,Z C)∈
– 射 ­ 対象の組(X, Y)  に対して 射f : X ­> Y
– 恒等射 ­ 任意の対象X  に対して 射idX : X ­> X
...
圏の定義
● 圏Cとは次のものからなる
– 合成 
● 任意の対象の組(X,Y,Z) があり
● 射f : X ­> Y, g : Y ­> Z があるとき
● 射g   f : X ­> Z ○ が合成可能
射f : X ­> Y
射g : ...
圏の定義
● ちなみに
– 射fの対象Xを「射のdomain(始域)」
– 射fの対象Yを「射のcodomain(終域)」という
● 射gのYは始域, Zは終域
射f : X ­> Y
射g : Y ­> Z
 射の合成演算子 (○)
 射 (...
圏の定義
● 射は射の合成について以下を満たす
– (h   g)   f = h   (g   f) (○ ○ ○ ○ 結合律)
– idY   f = f   id○ ○ X = f
f : X ­> Y
g : Y ­> Z
h : Z ...
圏の例(群の圏)
圏の例(群の圏)
● 圏Grp ­ 群の圏(群視点)
– 群が対象
– 群の準同型写像が射
圏Grpの部分圏Grp'
Z
Y
対象A(群A)
X X'
対象B(群B)
Y'
Z'
射f(準同型写像f):A ­> B
圏の例(群の圏)
● 圏Grp ­ 群の圏(圏視点)
– 群が対象
– 群の準同型写像が射
A B
射f:A ­> B
圏Grpの部分圏Grp'
関手
関手
● 2つの圏C,Dがあったとき
● 関手F:C ­> Dは圏C,Dに以下の対応関係を与える
– Cの対象X  に対し
Dの対象F(X)
– Cの射f : X ­> Y に対し
– Dの射F(f) : F(X) ­> F(Y)
関手
● Cの対象X  に対し
Dの対象F(X)
● Cの射f : X ­> Y に対し
Dの射F(f): F(X) ­> F(Y)
X
Y
f
F(X)
F(Y)
F(f)関手F
圏C 圏D
関手
● 関手は対象と射に関する次の性質を満たす
– Cの各対象をDの各対象に対応させる
= 対象関数
– Cにおける射をDにおける射に対応させる
= 射関数
X
Y
f
F(X)
F(Y)
F(f)関手F
圏C 圏D
関手
● Cの各対象をDの各対象に対応させる
– 対象X C∈    と 対象F(X) D∈
– 対象Y C∈    と 対象F(Y) D∈
X
Y
f
F(X)
F(Y)
F(f)
圏C 圏D
関手
● Cにおける射をDにおける射に対応させ
次に示す2つの性質を満たす
– ①各対象X C∈ に対して
F(idX) = idF(X)
圏C 圏D
X
idX idF(X)
F(X)
関手
● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X)
– idX      C∈
– idF(X)    D∈
– F(idX)   D∈
圏C 圏D
X
idX idF(X)
F(X)
関手
● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X)
– 関手の始域の圏の各対象の恒等射は
– 必ず終域の圏の各対象の恒等射に写される
圏C 圏D
X
idX idF(X)
F(X)
関手
● Cにおける射をDにおける射に対応させ
次に示す2つの性質を満たす
– ②任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して
F(g f○ ) = F(g)   F(○ f)
 Zunko has gone to the heaven /...
関手
● 任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して
F(g f○ ) = F(g)   F(○ f)
● これは関手が「射の構造を保つ」ことを示す
 Zunko has gone to the heaven /
圏C
X
Y Z
f
g...
おまけ
おまけ
モナドは単なる
自己関手の圏における
モノイド対象だよ♡
おまけ
● 始域と終域の圏が同じ関手G : C ­> Cを
「自己関手」と呼ぶ
– 「恒等関手」は自己関手の一種
圏C
X
Y Z
f
g
関手G : C ­> C
だいじ!
owari !
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圏論 3分(?) クッキング

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 圏論とは様々な構造を抽象的に扱い、内部の構造について言及しないことにより
「様々な構造」の共通した性質を見出すという楽しい分野です。

 圏論を身につけることにより、貴方は様々な事柄について
面白い見方をすることができるようになるかもしれません。

そんな圏論の初歩的内容をスライドにしてみました。
東北ずん子ちゃんと一緒にご覧くださいっ。

 この作品はマスコットアプリ文化祭2015に参加しています。
https://mascot-apps-contest.azurewebsites.net/

 また、このスライドはwikipediaの下記ページを参考にしています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B

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圏論 3分(?) クッキング

  1. 1. 圏論3分クッキング (ゆるふわ)
  2. 2. 圏論3分クッキング (ゆるふわ) 30
  3. 3. 趣旨 ● wikipedia「圏」の項を 適宜、簡略,追加して書いています – https://ja.wikipedia.org/wiki/圏_(数学) ● 圏論を …ゆるふわに説明したいなぁ 。
  4. 4. 目録 ● 圏の定義 ● 圏の例(群の圏) ● 関手 ● おまけ
  5. 5. 僕 ・名前:   あいや (@aiya_000) – 主兵装: C# – 使いたいもの: Haskell – 自学で圏論をちょくちょく進めては Twitterでご指摘をいただいている (大感謝)
  6. 6. 圏の定義
  7. 7. 圏の定義 ● 圏Cとは次のものからなる – 対象 ­ 対象X, 対象Y, 対象Z (X,Y,Z C)∈ – 射 ­ 対象の組(X, Y)  に対して 射f : X ­> Y – 恒等射 ­ 任意の対象X  に対して 射idX : X ­> X 対象X, Y, Z 射f : X ­> Y 射idX : X ­> X 射idY : Y ­> Y
  8. 8. 圏の定義 ● 圏Cとは次のものからなる – 合成  ● 任意の対象の組(X,Y,Z) があり ● 射f : X ­> Y, g : Y ­> Z があるとき ● 射g   f : X ­> Z ○ が合成可能 射f : X ­> Y 射g : Y ­> Z  射の合成演算子 (○)  射 (g ○ f) : X ­> Z
  9. 9. 圏の定義 ● ちなみに – 射fの対象Xを「射のdomain(始域)」 – 射fの対象Yを「射のcodomain(終域)」という ● 射gのYは始域, Zは終域 射f : X ­> Y 射g : Y ­> Z  射の合成演算子 (○)  射 (g ○ f) : X ­> Z
  10. 10. 圏の定義 ● 射は射の合成について以下を満たす – (h   g)   f = h   (g   f) (○ ○ ○ ○ 結合律) – idY   f = f   id○ ○ X = f f : X ­> Y g : Y ­> Z h : Z ­> V idX : X ­> X idY : Y ­> Y
  11. 11. 圏の例(群の圏)
  12. 12. 圏の例(群の圏) ● 圏Grp ­ 群の圏(群視点) – 群が対象 – 群の準同型写像が射 圏Grpの部分圏Grp' Z Y 対象A(群A) X X' 対象B(群B) Y' Z' 射f(準同型写像f):A ­> B
  13. 13. 圏の例(群の圏) ● 圏Grp ­ 群の圏(圏視点) – 群が対象 – 群の準同型写像が射 A B 射f:A ­> B 圏Grpの部分圏Grp'
  14. 14. 関手
  15. 15. 関手 ● 2つの圏C,Dがあったとき ● 関手F:C ­> Dは圏C,Dに以下の対応関係を与える – Cの対象X  に対し Dの対象F(X) – Cの射f : X ­> Y に対し – Dの射F(f) : F(X) ­> F(Y)
  16. 16. 関手 ● Cの対象X  に対し Dの対象F(X) ● Cの射f : X ­> Y に対し Dの射F(f): F(X) ­> F(Y) X Y f F(X) F(Y) F(f)関手F 圏C 圏D
  17. 17. 関手 ● 関手は対象と射に関する次の性質を満たす – Cの各対象をDの各対象に対応させる = 対象関数 – Cにおける射をDにおける射に対応させる = 射関数 X Y f F(X) F(Y) F(f)関手F 圏C 圏D
  18. 18. 関手 ● Cの各対象をDの各対象に対応させる – 対象X C∈    と 対象F(X) D∈ – 対象Y C∈    と 対象F(Y) D∈ X Y f F(X) F(Y) F(f) 圏C 圏D
  19. 19. 関手 ● Cにおける射をDにおける射に対応させ 次に示す2つの性質を満たす – ①各対象X C∈ に対して F(idX) = idF(X) 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
  20. 20. 関手 ● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X) – idX      C∈ – idF(X)    D∈ – F(idX)   D∈ 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
  21. 21. 関手 ● ①各対象X C∈  に対して F(idX) = idF(X) – 関手の始域の圏の各対象の恒等射は – 必ず終域の圏の各対象の恒等射に写される 圏C 圏D X idX idF(X) F(X)
  22. 22. 関手 ● Cにおける射をDにおける射に対応させ 次に示す2つの性質を満たす – ②任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して F(g f○ ) = F(g)   F(○ f) Zunko has gone to the heaven / 圏C X Y Z f g g f○ 圏D X Y Z F(f) F(g) F(g f○ ) = F(g)○F(f)
  23. 23. 関手 ● 任意の射f:X­>Y, g:Y­>Z  に対して F(g f○ ) = F(g)   F(○ f) ● これは関手が「射の構造を保つ」ことを示す Zunko has gone to the heaven / 圏C X Y Z f g g f○ 圏D X Y Z F(f) F(g) F(g f○ ) = F(g)○F(f)
  24. 24. おまけ
  25. 25. おまけ モナドは単なる 自己関手の圏における モノイド対象だよ♡
  26. 26. おまけ ● 始域と終域の圏が同じ関手G : C ­> Cを 「自己関手」と呼ぶ – 「恒等関手」は自己関手の一種 圏C X Y Z f g 関手G : C ­> C だいじ!
  27. 27. owari !

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