1.
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1
Instabilité dans le modèle de croissance monétaire de
TOBIN
Grenoble UPMF 2012-2013

2.
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I. Présentation du modèle de Tobin
Né en 1918 aux États-Unis, James Tobin
explique sa passion pour l'économie par le
souvenir de la grande dépression qui l'a
profondément marqué durant son enfance. D'où
sa volonté de mettre la réflexion théorique au
service de la politique économique afin de lutter
contre la pauvreté par la croissance et le plein-
emploi. Étudiant à l'université Harvard de 1935
à 1939, il y découvre l'œuvre de John Maynard
Keynes. Il rejoint l'université de Yale, en 1950,
où il fait toute sa carrière. En 1981, il est
consacré par le prix Nobel de sciences
économiques pour « son analyse des marchés financiers et ses relations avec les choix de
dépenses, l'emploi, la production et les prix ». Tobin revendique son appartenance au courant
dit du « keynésianisme de la synthèse » qui cherche à fondre l'analyse keynésienne du
chômage involontaire sur la courte période et l'analyse néoclassique de la croissance sur la
longue période, principalement représentée par Paul Samuelson et Robert Solow.
Au sein de ce courant, son originalité est d'avoir souligné l'importance de la monnaie
et de la finance en proposant plusieurs modèles théoriques intégrant la sphère réelle et la
sphère monétaire et financière de l'économie, ce que n'avaient pas fait les modèles keynésiens
de son époque. L’un de ces modèls est un sujet de notre mémoire…
Le modèle économique décrit la demande de monnaie d'un ménage. Celui-ci doit
répartir ses actifs entre épargne (peu liquide) et monnaie (liquide) afin d'effectuer ses
transactions. Le modèle décrit un optimum entre deux désirs : d'une part, l'épargne est
profitable à l'inverse de l'argent liquide, ce qui pousse le ménage à conserver le maximum
d'actifs sous forme d'épargne et à faire un grand nombre de petits retraits d'argent ; d'autre
part, chaque retrait a un coût (ne serait-ce qu'en temps dépensé), ce qui le pousse à faire un
petit nombre de retraits plus importants.

3.
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II. Modélisation théorique du modèle
Monnais externe.
On considère une monnaie externe M créée par le gouvernement à un taux constant θ :
Revenue des ménages.
Le revenu des ménages R se compose de deux termes :
Y(t) - la production et - a variation du stock de monnaie réelle
P (t) le prix

4.
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Consommation.
La consommation C est proportionnelle au revenu :
C(t)=(1-s)R(t)
s – taux d’épargne et 1-s – taux de consommation 0<s<1, s - constant
Digression sur SOLOW-SWAN et RAMSEY.
D’après le modèle de Solow-Swan, une fonction de production dépend de deux
facteurs :
Y(t)=F(K(t) ; L(t) )
K=quantité de capital et L=quantité de travail
F est une fonction homogène d’ordre 1, à rendement d’echelle constant, donc :
è
Mais en notations intensives Y(t)= (k(t))
D’après le modèle de Ramsey, on a l’hypothèse d’une économie sans gouvernement. Il
n’y a donc pas de dépenses publiques G ou de dépenses publiques T.
L’équilibre du marché des biens s’écrit alors :
Y(t)= C(t)+ I(t) (2)
Ci-après on développe les hypothèses du modèle de Ramsey qui approfond le modèle de
Solow-Swan.

5.
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Masse salariale.
La masse salariale croît au taux v, c’est-à-dire v – est un taux de croissance du travail :
Elle peut être considérée comme un ménage, ou un grand nombre de ménages
identiques, dont la taille croît au cours du temps. Pour simplifier, la population active est
égale à la population totale. Chaque individu offre une unité de travail par unité de temps.
Stock de capital.
Le stock de capital est accru de l’investissement I(t) et diminué de la dépréciation
physique du capital supposée proportionnelle à K(t) :
K (t)=I(t) – K(t) (3)
De (2) et (3), on déduit :
K (t)= Y(t) - C(t) – K(t) (5)
é
Dérivons k :
’ ’
Mettons (5), (6) et (4) dans la dernière équation

6.
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6
Rétour à TOBIN .
Insérons encore les équations de et dans (7) :
En utilisant (1) on obtient :
En sachant que est une variation du stock de monnaie réelle,
on note m(t) = comme un stock de monnaie réelle par unité de travail:
(i)
Dérivons m :
’ ’ ’
m (t)= (t) (ii)
On obtient ainsi un système suivant :

7.
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Hypothèse keynésienne.
Il est indispensable de prendre en compte les hypothèses Keynésiennes sur le taux
d’inflation , celui-ci est déterminé par une équilibre de court terme entre
l’offre et la demande de monnaie m(t).
Ceci résulte d’un effet de transaction et d’un effet de spéculation.
Par l’effet de transaction, la fonction de la demande est croissante de f(k).
Inversement, par l’effet de spéculation, la fonction de l’offre de monnaie est
décroissante de la perte anticipée sur l’épargne détenue sous forme monétaire au lieu de
capital, c’est-à-dire somme du taux d’inflation anticipé et de la rentabilité nette du capital.
 Il y a effet de spéculaction si g (k)>0
 Il y a effet de transaction si g (m)<0

8.
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III. Résolution analytique d'un modèle
Choix des paramètres.
Pour notre modèle, nous fixons les paramètres comme suit :
s=0.6 taux d épargne
1-s=0.4 taux de consommation
=1.3 taux de change
v=0.4 taux de croissance du travail
-v=0.9
=0.1 taux de dépréciation physique du capital
a= +v=0.5
Nos paramètres étant détermines, nous pouvons maintenant définir les différentes
fonctions qui sont utilisées dans le modèle :
revenue par tête
taux d inflation m=0
Le système du modele est donc le suivant :
X , X’=Ϝ(X)
En remplaçant les paramètres et en simplifiant les équations on aura :

9.
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Récherche des équilibres.
X est une équilibre si et seulement si Ϝ =0, c’est-à-dire :
on pose n=
En prenant en compte notre choix des paramètres :
L équilibre du modèle est (

10.
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Interaction de deux courbes.
On sait que à l’équilibre :
On développe (ii) :
Consécutivement on développe (i) :
Le système devient :
Finalement :
Avec notre choix des paramètres on aura les courbes suivants :
La première fonction définit dans le plan (k,m) une
courbe croissante pour k<k1 et décroissante pour k> k1 où k1 est la solution de f (k1)=a/s .
Sur cette courbe m* s’annule en un point ks tel que : sf(ks)=a ks et (ks étant l’équilibre
de croissance sans monnaie).

11.
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La deuxième fonction définit dans le même plan comme une droite
croissante.
On suppose que ces deux courbe se coupent en un unique point (k*, m*) de (R+*)² tel
que k1<k*< k2, l’équilibre phisique k* du modèle de croissance monétaire n’étant pas trop
éloigné de l’équilibre ks du modèle sans monnaie.
Il se dégage deux propriétés de l’équilibre k* :
 Le niveau du capital par unité de travail k* du modèle de croissance monétaire est
inférieur à celui du modèle de croissance sans monnaie ks, défini avec le même taux
d’épargne s.
 L’équilibre physique k* dépend du taux de croissance de la monnaie, la monnaie
n’est pas neutre.

12.
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Nature et stabilité d équilibre.
Nous allons vérifier la stabilité de cet équilibre grâce à la matrice Jacobienne :
J(k ;m)= =
J(k* ;m*)=
Calculons le déterminant : dét J(k* ;m*)= = -0,37<0.
Pour déterminer si l'équilibre est localement stable, calculons les valeurs propres
associées à la matrice J(k* ;m*) :
dét (J(k* ;m*) -λI) = ( -λ)*( -λ)- (-1*(- ))= λ2
-1,0 λ-0,370987=0
Il faut résoudre cette équation du second degré, on trouve :
Δ= 1,0 2
-4*1*(-0,370987)= 2,619387
√ Δ=1.618452
Soit :
λ1= (1,0 -1.618452)/2=-0,276441<0
λ2= (1,0 +1.618452)/2=1,342011>0
Vérifions ces valeurs :
dét(J(k* ;m*)= λ1* λ2=-0,37<0
Comme les deux valeurs propres sont de signes contraires et que le déterminant de la
matrice est négatif, on en déduit que l'équilibre ( est un équilibre non
localement stable de notre modèle. Il s'agit d'un point selle (ou col).

13.
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IV. Confirmation du modèle par le logiciel SciLab
Système non linéarisé.
A l’aide du logiciel Scilab, on modélise tout à bord le système non linéarisé :
t1=linspace(0,0.7,100)
function xdot=myfonc(t1,x)
xdot=[0.6*x(1)^0.5-0.1*x(1)-0.52*x(2),0.9*x(2)-x(1)]
endfunction;
for i=0.68366:0.01: 0.88366
for j=0.77073:0.01: 0.97073
x=ode([i;j],0,t1,myfonc);
plot2d(x(1,:),x(2,:));
end;
end;
Soit la représentation graphique suivante :
Illustration 1: Représentation graphique du modèle de Tobin non linéaire

14.
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Système linéarisé.
Observons désormais la représentation du modèle lineairisé obtenu grâce à la matrice
Jacobienne :
Représentation obtenu à l’aide au programme suivant :
t1=linspace(0,0.7,100)
a=0.16557;b=-0.52;c=-1;d=0. 9;
function xdot=myfonc(t1,x)
xdot=[a*x(1)+b*x(2),c*x(1)+d*x(2)]
endfunction;
for i=-0.1: 0.01:0.1
for j= 0.1: 0.01:0.1
x=ode([i;j],0,t1,myfonc);
plot2d(x(1,:),x(2,:));
end;
end;
Soit:
Illustration 2: Représentation graphique du modèle de Tobin linéaire

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Interprétation des graphiques.
m
m*
k* k
m
m*
k* k

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Ainsi, on voit clairement apparaitre l'equilibre que nous avions précédemment
déterminé ( .
Equilibre instable, car les courbes se dirigent vers le point d'equilibre avant d'en devier.
Ce qui montre que l'equilibre est en fait un point col. Et confirme ainsi nos calculs.
On retrouve suite au modèle linéarisé, la même représentation graphique que
précédemment, ormis que l'équilibre se trouve desormais en (0,0). C'est là encore un point col,
les points se dirigent vers l'equilibre avant d'en dévier.
Le lien entre le système linéarisé et non linéaire peut paraître évident, du fait que la
jacobienne découle des valeurs d'équilibre préalablement défini. Il permet aussi de
confirmer nos résultats et de démontrer que nous avons à faire à un point selle (ou col).