Lições sobre o Problema das Quatro Cores

Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Ciência da Computação
Lições sobre o Problema das Quatro Cores
Adriano Teles da Costa e Oliveira
Monograﬁa apresentada como requisito parcial
para conclusão do Curso de Computação — Licenciatura
Orientador
Prof. Dr. José Carlos Loureiro Ralha
Brasília
2010

Universidade de Brasília — UnB
Curso de Computação — Licenciatura
Coordenador: Prof. Dr. Homero Luiz Píccolo
Banca examinadora composta por:
Prof. Dr. José Carlos Loureiro Ralha (Orientador) — CIC/UnB
Prof.a
Dr.a
Maria de Fátima Ramos Brandão — CIC/UnB
Prof.a
Dr.a
Maria Emília Machado Telles Walter — CIC/UnB
CIP — Catalogação Internacional na Publicação
Oliveira, Adriano Teles da Costa e.
Lições sobre o Problema das Quatro Cores / Adriano Teles da Costa e
Oliveira. Brasília : UnB, 2010.
42 p. : il. ; 29,5 cm.
Monograﬁa (Graduação) — Universidade de Brasília, Brasília, 2010.
1. Problema das Quatro Cores, 2. Teoria dos Grafos, 3. Coloração de
Mapas
CDU 004
Endereço: Universidade de Brasília
Campus Universitário Darcy Ribeiro — Asa Norte
CEP 70910-900
Brasília–DF — Brasil

Universidade de Brasília
Lições sobre o Problema das Quatro Cores
Adriano Teles da Costa e Oliveira
Monograﬁa apresentada como requisito parcial
para conclusão do Curso de Computação — Licenciatura
Prof. Dr. José Carlos Loureiro Ralha (Orientador)
CIC/UnB
Prof.a
Dr.a
Maria de Fátima Ramos Brandão Prof.a
Dr.a
Maria Emília Machado Telles Walter
CIC/UnB CIC/UnB
Prof. Dr. Homero Luiz Píccolo
Coordenador do Curso de Computação — Licenciatura
Brasília, 29 de setembro de 2010

Lista de Tabelas
4.1 Divisão das atividades da oﬁcina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iv

Agradecimentos
Ao professor Guilherme Albuquerque Pinto, que me auxiliou na fase da pesquisa e que
me mostrou como melhor atingir o objetivo traçados.
Ao professor José Carlos Loureiro Ralha, pela orientação e principalmente pelo respeito
que demonstrou em aceitar a condução já iniciada dessa monograﬁa. O resultado foi uma
rica discussão de ideias que engrandeceram o conteúdo e possibilitaram sua conclusão.
Aos professores e funcionários com quem convivi nos anos de universidade, em especial
aos que transmitiram conhecimento nas disciplinas relacionadas à Computação e que
contribuiram na minha formação acadêmica.
Aos colegas de curso que compartilharam comigo a jornada da graduação.
À minha família, principalmente à minha mãe cuja vontade e garra muito me ensinaram.
Finalmente, minha gratidão à Palloma, ﬁel companheira, pela ajuda, compreensão e pa-
ciência, que sempre esteve ao meu lado incentivando e torcendo pelo êxito do trabalho.
v

Resumo
Este trabalho aborda o Problema das Quatro Cores que assegura ser possível colorir qual-
quer mapa com até quatro cores distintas, sem que regiões vizinhas possuam a mesma cor.
Por ser fácil de entender, desperta a curiosidade das pessoas de distintas áreas e diversos
interesses, o que o destaca dos demais problemas que apenas são entendidos por mate-
máticos profissionais Ore (1967). Tendo por finalidade conhecer as diferentes formas de
contribuição científica que se desenvolveram sobre o tema, inicia-se pelos principais con-
ceitos e pela investigação de trabalhos que tentaram solucionar o Problema das Quatro
Cores proposta pelo jovem matemático Francis Guthrie em 1852. Confronta-se os dife-
rentes métodos aplicados e procura-se estabelecer qual a contribuição do uso do Problema
das Quatro Cores no ensino pré-universitário no Brasil.
Palavras-chave: Problema das Quatro Cores, Teoria dos Grafos, Coloração de Mapas
vi

Abstract
This work approaches the Four Colors Problem. This problem assures to be possible
to color any map with up to four diﬀerent colors, without neighboring areas sharing the
same color. Being easily posed and understandable, it wakes up the people’s curiosity what
detaches it of other problems that are only understood by professional mathematicians Ore
(1967). The work presents, from a historical perspective, the most relevant developments
that led to the solution of one of the most diﬃcult problems ever. It also describes
two classroom experiences using the Four Colors Problem as the basis for teaching, on a
multidisciplinary approach, subjects of Brazilian High School grade.
Keywords: Four Colors Problem, Graph Theory, Map Coloring
vii

Sumário
1 Introdução 1
2 O Problema das Quatro Cores 4
2.1 Mapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Minimal Criminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 A abordagem de Kempe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Kempe Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 O erro de Kempe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Complexidade do Teorema das Quatro Cores 23
3.1 Sobre o Método de Kempe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Deﬁnições de Kittell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Solução do Problema das Quatro Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Coloração de Mapas na Sala de Aula 26
4.1 Coloração de Mapas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Análise Combinatória e Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Conclusões e Trabalhos Futuros 30
Referências 31
viii

Lista de Figuras
1.1 Mapa do Brasil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Países vizinhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quatro países vizinhos entre si. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Três cores necessárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Quatro cores necessárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Mapa pizza de 8 fatias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Tabuleiro de xadrez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Regiões de um mesmo país. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.8 Região externa como se fosse um país que circunda todas as outras regiões. 7
2.9 Região externa, em azul, sendo o oceano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.10 Mapa em duas partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.11 Mapa unido por um único ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.12 Países com um único ponto de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.13 Três linhas limítrofes em cada ponto de encontro. . . . . . . . . . . . . . . 8
2.14 Grafo Planar 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.15 Grafo Planar 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.16 Grafo não Planar pois arestas se cruzam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.17 Estados representados por vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.18 Estados vizinhos ligados por arestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.19 Um minimal criminal não pode conter um país com dois vizinhos (um
dígono) Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.20 Um minimal criminal não pode conter um país com três vizinhos (um
triângulo) Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.21 Minimal criminal que contém quatro países vizinhos (um quadrado) Wilson
(2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.22 Minimal criminal que contém cinco países vizinhos (um pentágono) Wilson
(2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ix

2.23 Encolher um país até um ponto (Wilson, 2002a). . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.24 Nenhum minimal criminal pode conter um triângulo Wilson (2002a). . . . 14
2.25 Quadrado e pentágono cercado por quatro cores Wilson (2002a). . . . . . . 15
2.26 Duas situações de ligação entre as partes vermelha-verde acima e verde-
vermelha abaixo de S Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.27 Parte vermelha-verde acima de S não se ligando à parte verde-vermelha
abaixo de S Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.28 Parte azul-amarela à esquerda de S separada da parte amarela-azul à direita
de S Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.29 Caso do país restaurado sendo um pentágono Wilson (2002a). . . . . . . . 17
2.30 Parte amarela-vermelha acima de P não se ligando à parte vermelha-amarela
abaixo de P Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.31 Parte amarela-vermelha acima de P se ligando à parte vermelha-amarela
2.32 Parte verde-vermelha acima de P não se ligando à parte vermelha-verde
2.33 Parte verde-vermelha acima de P se ligando à parte vermelho-verde abaixo
de P Wilson (2002a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.34 Troca de cores da parte amarela-azul à direita de P Wilson (2002a). . . . . 18
2.35 Troca de cores da parte verde-azul à esquerda de P Wilson (2002a). . . . . 19
2.36 Pentágono após as trocas de cores à direita e à esquerda de P Wilson (2002a). 19
2.37 Contra-exemplo de Heawood para a prova de Kempe Wilson (2002a). . . . 20
2.38 Troca de cores da cadeia vermelha-verde acima de P Wilson (2002a). . . . 21
2.39 Troca de cores da cadeia vermelha-amarela abaixo de P Wilson (2002a). . . 21
2.40 Países A e B, vizinhos e coloridos por vermelho Wilson (2002a). . . . . . . 22
3.1 Kittell (1935) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 Óleos sobre tela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
x

Capítulo 1
Introdução
Na história das ciências encontramos diversos problemas que encantam a humanidade ao
longo de seu curso. Os mais fascinantes são certamente aqueles de “enunciado simples.”
Em razão de sua aparente simplicidade, tais problemas acabam se transformando em
passatempos para leigos e desafios para os estudiosos da área à qual o problema pertence.
Para tornar claro o significado que estamos atribuindo ao termo “problema de enun-
ciado simples” usaremos dois exemplos da Matemática, a saber: (1) o Último Teorema
de Fermat; (2) o Problema das Quatro Cores. Como veremos, tais problemas podem ser
enunciados e compreendidos através do uso de linguagem coloquial.
Último Teorema de Fermat
O último teorema de Fermat está relacionado ao problema de se encontrar números inteiros
positivos a, b e c tais que para todo número inteiro n maior que 2, a soma das potências
n de a e b seja c a potência n. Matematicamente esse enunciado é expresso pela equação
an
+ bn
= cn
. (1.1)
Em 1637 Pierre de Fermat escreveu no rodapé de um livro ter encontrado uma prova
negativa verdadeiramente simples para tal problema mas que tal prova não cabia naquele
rodapé. O problema resistiu a todo tipo de investida através dos séculos até que Wiles
(1995) apresenta a demonstração que de fato não existem números inteiros positivos cuja
soma da n-ésima potência satisfaça a equação (1.1). A demonstração ocupa 140 páginas
e se baseia na Teoria das Curvas Elípticas e Super-simetria, entre outros conceitos, e não
é nem um pouco trivial!
Problema das Quatro Cores
Quando colorimos mapas, desejamos que regiões vizinhas tenham cores diferentes para
que as mesmas possam ser identificadas mais facilmente, conforme ilustrado na Fig. 1.1.
De forma coloquial, o Problema das Quatro Cores expressa a ideia que mapas, quaisquer
que sejam, possam ser coloridos usando no máximo quatro cores distintas.
1

Figura 1.1: Mapa do Brasil.
A primeira referência a este problema data de 1852 e está associado ao matemático
Francis Guthrie (cf. May (1965)) e a busca de sua solução se baseia tipicamente na
Teoria dos Grafos (Errera, 1921; Kittell, 1935; Krantz, 2007; Morgenstern and Shapiro,
1991; Robertson et al., 1997). Na terminologia da Teoria dos Grafos, o Problema das
Quatro Cores expressa o fato que os vértices de todo grafo planar pode ser colorido com
no máximo quatro cores de modo que não hajam dois vértices adjacentes com a mesma
cor (Calude and Calude, 2010).
Ao longo do tempo, várias tentativas de demonstrar a veracidade do Problema das
Quatro Cores foram feitas mas a primeira prova irrefutável para o problema foi obtida
em 1977 por Appel, Haken e Koch através do uso intensivo de computador (Appel et al.,
1977a,b) apud (Calude and Calude, 2010; Wilson, 2002b).
Podemos portanto perceber que há uma grande distância entre a simplicidade na
enunciação de problemas e a simplicidade de suas soluções.
Este trabalho tem por objetivo apresentar um levantamento bibliográﬁco sobre o Pro-
blema das Quatro Cores e as tentativas de demonstração para o mesmo. A razão para
isso é que:
• o Problema das Quatro Cores pode ser usado na produção didática pedagógica no
ensino de tópicos relacionados a matemática, artes e biologia etc. (cf. Pinto (2008));
• a metodologia introduzida em Kempe (1879) pode ser usada para o aprendizado
de tópicos relacionados a Teoria dos Grafos, Análise Combinatória e Probabilidade
(Pinto, 2008);
• a compreensão de tais tópicos venha a ser usada no desenvolvimento futuro de
ferramentas computacionais que auxiliem o processo didático-pedagógico presencial
ou a distância.
2

Para isso, este trabalho está organizado da seguinte maneira. No Capítulo 2 apresentamos
as ideias subjacentes a “prova” de Kempe (1879) – posteriormente refutada por Heawood
(1890) – onde as posteriormente denominadas cadeias de Kempe foram introduzidas. Ape-
sar do erro na demonstração efetuada por Kempe (1879), as cadeias de Kempe podem
ser utilizadas na base do desenvolvimento de ferramenta didática-pedagógica no ensino
de conteúdos considerados difíceis. Como as cadeias de Kempe não bastam para resolver
certas instâncias do Problema das Quatro Cores, o Capítulo 3 introduz as operações de
Kittell (Kittell, 1935). Neste capítulo apresentamos também, ainda que de forma extre-
mamente reduzida, as ideias subjacentes a demonstração computadorizada apresentada
em Appel et al. (1977a,b). O Capítulo 4 apresenta um dois casos de uso do Problema
das Quatro Cores em sala de aula para abordar de forma transversal conteúdos do Ensino
Médio. Em um dos casos foi feita uma experiência com alunos da sexta série do Ensino
Fundamental. Por ﬁm, o Capítulo 5 apresenta as conclusões e propõe desdobramentos na
forma de trabalhos futuros.
3

Capítulo 2
O Problema das Quatro Cores
O problema de determinar o número mínimo de cores suﬁcientes para se colorir qualquer
mapa foi formulado pela primeira vez em 1852, pelo jovem matemático Francis Guthrie,
quando estava colorindo o mapa dos condados da Inglaterra e conseguiu fazê-lo com apenas
quatro cores, sem pintar regiões vizinhas com a mesma cor.
Para iniciarmos o estudo sistemático do Problema das Quatro Cores precisamos res-
ponder algumas perguntas tais como: (i) o que é um mapa? (ii) como podemos representá-
los?
2.1 Mapas
Pode-se imaginar um mapa como sendo um conjunto de países, ou regiões. Essas regiões
podem ser condados no caso da Grã Bretanha, ou estados no caso do Brasil. As fronteiras
de cada estado são indicadas por várias linhas limítrofes, e essas linhas se interceptam em
vários pontos de encontro. Dois países com linhas limítrofes em comum são chamados de
países vizinhos. No mapa da Fig. 2.1, A e B são países vizinhos.
Figura 2.1: Países vizinhos.
Ao se colorir um mapa, deve-se colorir países vizinhos com cores diferentes. Observe
que alguns mapas precisam de quatro cores: o mapa da Fig. 2.2 possui quatro países,
cada um vizinho dos outros três, sendo assim, necessário colorir cada um deles com uma
cor diferente, totalizando quatro cores.
4

Figura 2.2: Quatro países vizinhos entre si.
Alguns mapas não precisam de quatro cores. Por exemplo, nos dois mapas da Fig. 2.3,
a cadeia externa de países pode ser colorida com duas cores (verde e amarelo), que se
alternam quando avançamos na cadeia; o país do centro deve assumir então uma outra
cor (azul) e assim apenas três cores são necessárias.
Figura 2.3: Três cores necessárias.
Observe que quatro cores pode ser necessário mesmo que quatro países não façam
fronteira entre si. No mapa da Fig. 2.4, a cadeia externa de cinco países não pode ser
colorida com duas cores alternadamente, necessitando de uma terceira cor. Assim, o
país central precisará de uma cor diferente das outras três presentes na cadeia externa,
totalizando então quatro cores.
Figura 2.4: Quatro cores necessárias.
Pode-se fazer ainda mais uma consideração sobre o que é um mapa. Quando duas ou
mais regiões se tocam apenas por um ponto, pode-se colorí-las com a mesma cor. Essa
convenção é necessária, caso contrário poderíamos construir mapas pizza, que requerem
tantas cores quanto regiões existirem. O mapa pizza de 8 fatias da Fig. 2.5 requer oito
cores, uma vez que todas as fatias se encontram no centro. Com essa convenção esse mapa
requer apenas duas cores.
Outro mapa conhecido que necessita de apenas duas cores é o tabuleiro de xadrez.
Para cada ponto de encontro entre quatro casas do tabuleiro alterna-se as cores preto e
branco, construindo um tabuleiro de xadrez convencional.
Um atributo interessante e praticamente desconhecido da maioria das pessoas do mapa
da América do Sul é que a Guiana Francesa é uma parte do país França do qual está
separada pelo Oceano Atlântico. Dessa forma, as duas regiões deveriam estar coloridos
com a mesma cor. Nesse caso, não há nenhuma diﬁculdade em colorir o mapa com quatro
cores, porém, podem surgir situações em que um país ou estado dividido em duas ou mais
5

Figura 2.5: Mapa pizza de 8 fatias.
Figura 2.6: Tabuleiro de xadrez.
regiões poderá implicar que uma quinta cor seja necessária. Considere um mapa onde
duas regiões coloridas por verde são separações de um mesmo país. Nesse caso, cada um
dos cinco países tem uma fronteira em comum com os outros quatro, sendo cinco cores
necessárias como mostra a Fig. 2.7.
Figura 2.7: Regiões 1, em verde, de um mesmo país. O mapa requer cinco cores.
De agora em diante, convenciona-se que não se deseja situações como a acima, e todo
país deve estar contido em apenas uma região. Caso um mesmo país ou região possua
duas ou mais regiões, cada uma será tratada como se fossem regiões distintas, ou seja,
poderão assumir cores diferentes.
Algumas pessoas também gostam de incluir a região externa nas suas colorações. Isso
não faz diferença, pois pode-se considerar essa região externa como se fosse um país que
circunda todas as outras regiões (vide Fig. 2.8). Se for pensado que o mapa está desenhado
num globo, a região externa é nada mais que uma outra região qualquer, ou o Oceano.
Na verdade, desenhar mapas no plano é equivalente a desenhar mapas num globo, ou
na linguagem matemática, na superfície de uma esfera. Dado qualquer mapa numa esfera,
pode-se projetá-lo no plano. O inverso também é válido; dado qualquer mapa no plano,
pode-se projetá-lo numa esfera.
6

Figura 2.8: Região externa como se fosse um país que circunda todas as outras regiões.
Figura 2.9: Região externa, em azul, sendo o oceano.
É importante ressaltar que essas projeções não afetam as projeções de cores dos mapas.
Se duas regiões vizinhas são coloridas por verde e amarelo, depois de sua projeção, no
plano ou na esfera, elas continuarão verde e amarela.
É quase desnecessário dizer que um mapa é uma ﬁgura contínua e não está separado
em duas ou mais partes, pois pode-se tratar cada parte como parte de um único mapa e
colorí-los separadamente. Similarmente pode-se unir essas partes separadas do mapa por
uma fronteira de um único ponto, não afetando a coloração do mapa ﬁnal. Em particular,
deve-se ignorar países com fronteira em apenas um único ponto. Assim, deve-se ignorar
mapas como os das Fig. 2.10, 2.11 e 2.12.
Figura 2.10: Mapa em duas partes.
Figura 2.11: Mapa unido por um único ponto.
7

Figura 2.12: Países com um único ponto de fronteira.
Finalmente, pode-se assumir que existem pelo menos três linhas limítrofes em cada
ponto de encontro, conforme Fig. 2.13. Se existirem apenas duas linhas em um ponto de
encontro, então pode-se remover um ponto sem afetar a coloração.
Figura 2.13: Três linhas limítrofes em cada ponto de encontro.
Na verdade, ao tentar solucionar o Problema das Quatro Cores, pode-se sempre
restringir-se a mapas onde existem exatamente três linhas limítrofes em cada ponto de
encontro. Esses mapas são muito comuns e possuem um nome especial: mapas cúbicos.
Agora que caracterizamos informalmente a noção de mapas podemos passar a outra
questão, qual seja: Como representá-los? Formalmente, mapas são representados através
de grafos.
2.2 Grafos
O marco inicial da Teoria dos Grafos ocorreu com a resolução do Problema das Pontes de
Kognisberg pelo matemático suíço Leonhard Euler, que visitou a cidade das pontes em
1736.
Grafos são objetos matemáticos que encontram aplicações nas mais diversas áreas
do conhecimento humano, principalmente por sua simplicidade, seu apelo visual, e por
esconder em sua estrutura, princípios combinatórios importantes. Intuitivamente, um
grafo é um conjunto de vértices ligados por arestas (Wilson, 2002a).
Um mapa é um grafo planar1
, ou seja, pode ser desenhado em um plano, de tal
forma que duas arestas não se encontrem, exceto, possivelmente, no vértice em que ambas
incidem.
1
As Figs. 2.14, 2.15 e 2.16 são reproduções encontradas em
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Butterﬂy_graph.svg (2010), http://en.wikipedia.org/wiki/File:Goldner
Harary_graph.svg (2010) e http://en.wikipedia.org/wiki/File:Complete_graph_K5.svg (2010)
8

Figura 2.14: Grafo Planar 1.
Figura 2.15: Grafo Planar 2.
Figura 2.16: Grafo não Planar pois arestas se cruzam.
Se G é um grafo planar, então qualquer desenho plano de G divide o plano em regiões
chamadas de faces. Uma destas faces é ilimitada e é chamada de face inﬁnita. Se F é uma
face qualquer de G, então o grau de F é o número de arestas encontradas na fronteira de
F (se uma aresta é uma ponte, então ela deve ser contada duas vezes) e é denotado pela
letra grega ρ.
Uma maneira de representar um mapa qualquer é construir o seu grafo dual. Seja M
um mapa. Desenhe um vértice no interior de cada face de M e ligue dois vértices com
uma aresta se as respectivas faces são vizinhas (isto é, têm alguma aresta em comum).
O novo grafo assim obtido é chamado de grafo dual do mapa M (Godinho and Gomes,
2006).
A Fig. 2.17 mostra o mapa do Brasil com os estados marcados com um ponto. Esses
pontos representam os estados enquanto vértices no grafo dual exibido na Fig. 2.18. Note
que as arestas representam as fronteiras entre estados.
9

Figura 2.17: Estados representados por vértices.
Figura 2.18: Estados vizinhos ligados por arestas.
Outras considerações são:
• Um mapa é um grafo planar onde todas as faces tem grau pelo menos igual a três.
• Diz-se que uma aresta de um grafo é uma ponte se a retirada dela deixa o grafo
desconexo.
• Um grafo é conexo se existe a possibilidade de sair de qualquer um de seus vértices
e chegar à outro, caminhando por sobre as arestas desse grafo.
Tendo visto como podemos transformar um mapa em um grafo, resta-nos agora iniciar
a discussão de como podemos colorir os vértices usando apenas quatro cores.
2.3 Minimal Criminal
Uma outra maneira de abordar o problema é supor que quatro cores é insuﬁciente. Se
assim for, devem existir mapas que não possam ser coloridos com apenas quatro cores.
Entre esses mapas existe algum com o menor número possível de países. Pode-se cha-
mar esse mapa de mínimo contra-exemplo, ou minimal criminal já que eles apresentam
10

“comportamentos criminosos” em que não podem ser coloridos com quatro cores, e são
mínimos porque tem a menor quantidade de países possível para possuir cinco ou mais
cores. Pode-se ver que:
Um minimal criminal não pode ser colorido com quatro cores, mas qualquer mapa com
menos países pode ser colorido com quatro cores.
Para provar que quatro cores é suﬁciente, deve-se provar que nenhum minimal criminal
existe, e para isso deve-se encontrar mais condições restritivas para aplicar a eles. Na
verdade, deve-se diﬁcultar tanto o caso, que eles não possam existir.
Como exemplo, pode-se facilmente mostrar que nenhum minimal criminal pode conter
um país com dois vizinhos (um dígono). Para isso, suponha que um minimal criminal
contenha um dígono, como mostrado na Fig. 2.19. Se for possível removermos uma linha
de fronteira do dígono, mesclando o dígono com um de seus vizinhos, obtem-se um novo
mapa com menos países. Pela hipótese, pode-se agora colorir esse novo mapa com quatro
cores.
Figura 2.19: Um minimal criminal não pode conter um país com dois vizinhos (um
dígono) Wilson (2002a).
Agora restaura-se o dígono, colocando de volta a linha retirada. Uma vez que quatro
cores estão disponíveis, e uma vez que os países vizinhos ao dígono usam apenas duas
delas, devem existir uma cor extra para o dígono. Assim, pode-se colorir o minimal
criminal com quatro cores, o que contradiz a hipótese. Assim, mostra-se que um minimal
criminal não pode conter um dígono.
De maneira semelhante, pode-se mostrar que o minimal criminal não pode conter um
país com três vizinhos (triângulo). Suponha que ele tenha. Remove-se a linha de fronteira,
mesclando o triângulo com um de seus vizinhos. Assim, obtem-se um mapa com menos
países que pode-se colorir com quatro cores, como antes.
Agora, restaura-se o triângulo. Uma vez que os países perto do triângulo usam apenas
três cores, pode-se usar a quarta cor para colorir o triângulo. Assim, colore-se o minimal
criminal com quatro cores, contradizendo a hipótese. Assim, um minimal criminal não
pode conter um triângulo.
O que acontece se tentar estender essas idéias para um minimal criminal que contém
um país com quatro vizinhos (um quadrado)? Como antes, remove-se uma linha de
11

Figura 2.20: Um minimal criminal não pode conter um país com três vizinhos (um
triângulo) Wilson (2002a).
Figura 2.21: Minimal criminal que contém quatro países vizinhos (um quadrado) Wilson
(2002a).
fronteira, mescla-se o quadrado com um de seus vizinhos e obtem-se um mapa com menos
países. De novo, pode-se colorir esse novo mapa com quatro cores.
Mas, quando tenta-se restaurar o quadrado, os países vizinhos a ele, podem já ter
utilizado todas as quatro cores, nesse caso não sobra nenhuma cor extra para colorir o
quadrado e a prova não pode proceder como antes.
Um problema similar acontece quando tenta-se estender essa idéia para o minimal
criminal que contém um país com cinco vizinhos (um pentágono). Como antes, remove-
se a linha de fronteira, mesclando o pentágono com um de seus vizinhos e obtem-se um
mapa com menos países. Como em todos os casos anteriores, esse novo mapa pode ser
colorido com menos cores.
Quando se restaura o pentágono, os países vizinhos a ele podem já ter usado todas as
quatro cores, não restando nenhuma cor extra para o pentágono. De novo, a prova não
pode proceder.
A seguir, será apresentado como Alfred Kempe superou essas diﬁculdades quando o
minimal criminal contém um quadrado, usando o método de Kempe Chains.
12

Figura 2.22: Minimal criminal que contém cinco países vizinhos (um pentágono) Wilson
(2002a).
2.4 A abordagem de Kempe
O interesse de Kempe em coloração de mapas surgiu da pergunta de Cayley no encon-
tro da London Mathematical Society. Kempe tinha obtido a solução do problema das
quatro-cores, e em 17 de julho ele publicou uma prévia in Nature. A versão completa
apareceu no ﬁnal do ano, no Volume 2 do American Journal of Mathematics. Em 26 de
fevereiro de 1880 Kempe publicou versões simpliﬁcadas in Nature e o Proceedings of the
London Mathematical Society, que corrigia alguns pequenos erros no seu artigo original
mas deixava intacto um erro (Wilson, 2002a).
Em uma seção, Kempe derivou uma extensão da fórmula de Euler para mapas, citando
a versão de correspondência planar de Cauchy. A partir daí, ele deduziu a fórmula
5d1 + 4d2 + 3d3 + 2d4 + d5 − . . . = 0
onde cada dk denota o número de regiões com k fronteiras. Uma vez que apenas os cinco
primeiros termos são positivos, ele deduziu que nem todas as quantidades d1, d2, d3, d4 ou
d5 pudessem ser zero. Esse é o resultado conhecido pelo nome de teorema de "Apenas
Cinco Vizinhos (Only Five Neighbours Theorem)”.
Usando esse resultado, Kempe então descreveu um método de colorir qualquer mapa,
que pode ser resumido em seis passos:
I. Localize um país com cinco ou menos vizinhos (tal país existe, pelo resultado acima).
II. Cubra esse país com um pedaço branco de papel (um remendo (patch)) com o mesmo
formato, mas um pouco maior.
III. Extenda todas as fronteiras que alcançam esse remendo e junte-as em um único
ponto dentro do remendo, como na Fig. 2.23, o que resulta em encolher o país até
um ponto. Isso tem o efeito de reduzir o número de países em 1.
IV. Repita o procedimento acima com o novo mapa, continuando até que haja apenas
um país sobrando: o mapa todo agora é dito ter sido remendado.
13

Figura 2.23: Encolher um país até um ponto (Wilson, 2002a).
V. Colora o único país remanescente com uma das quatro cores.
VI. Reverta o referido processo, tirando os remendos na ordem inversa, até que o mapa
original seja restaurado. Em cada etapa, colora cada país restaurado com qualquer
cor disponível até que o mapa inteiro esteja colorido com quatro cores (Kempe, 1879;
Wilson, 2002a).
Foi tentando prosseguir com esse último estágio que Kempe fez sua maior contribuição
para a coloração de mapas. Um problema surge: como pode-se ter certeza que uma das
quatro cores estará disponível quando um país é restaurado? Como foi visto anterior-
mente, não há diﬁculdade se nosso país restaurado tiver no máximo três países vizinhos.
Por exemplo, se for um país triangular, então ele é cercado por três países que são co-
loridos com apenas três cores; existindo assim uma quarta cor disponível para colorir o
triângulo, como mostrado abaixo. Isso mostra que nenhum minimal criminal pode conter
um triângulo.
Figura 2.24: Nenhum minimal criminal pode conter um triângulo Wilson (2002a).
Mas se o país restaurado tiver quatro ou cinco fronteiras – se ele for um quadrado ou
pentágono? Em ambos os casos, o país restaurado pode estar cercado por países que estão
coloridos com todas as quatro cores, como ilustrado abaixo. Assim, não haverá nenhuma
cor disponível para colorir o quadrado ou pentágono.
2.4.1 Kempe Chains
Para superar essas diﬁculdades, Kempe introduziu um método agora conhecido como
método de Kempe Chains ou argumento de Kempe-chain, ou seja, método das Cadeias
de Kempe. Nesse método, olha-se para as cores dos países que cercam o país central
e escolhe-se dois que não sejam adjacentes – por exemplo: vermelho e verde. Olha-se
14

Figura 2.25: Quadrado e pentágono cercado por quatro cores Wilson (2002a).
então apenas para os países que são coloridos com essas cores. O método de Kempe será
ilustrado primeiro mostrando como ele lidou com o caso do quadrado (denotado por S),
cercado por quatro países de diferentes cores: esse é o caso quando o minimal criminal
contém um quadrado.
Olha-se primeiro para os vizinhos vermelho e verde do quadrado S. Cada um desses é o
começo para uma parte vermelho-verde do mapa – isto é, uma parte do mapa consistindo
apenas de países coloridos por vermelho ou verde. (Apesar de serem chamados de Cadeias
de Kempe, essas partes bicolores do mapa não são geralmente cadeias, mas podem conter
‘interrupções’, como nos diagramas que seguem: essas interrupções podem conter um
arranjo arbitrário de países. Desde que sejam coloridos corretamente, a sua presença não
afeta o problema de como será colorido S.)
Agora pergunta-se se essas partes vermelho-verde são separadas umas das outras, ou
se elas se unem. Duas situações podem surgir e estão ilustradas na Fig. 2.26.
Figura 2.26: Duas situações de ligação entre as partes vermelha-verde acima e verde-
vermelha abaixo de S Wilson (2002a).
Caso 1 Aqui, os países vermelho e verde acima de S que podem ser alcançados pelo
vizinho vermelho de S não se unem aos países vermelho e verde abaixo de S que pode ser
alcançado pelo vizinho verde de S. Assim, pode-se alternar as cores dos países vermelho
e verde acima de S, como mostrado abaixo, sem afetar a coloração dos países vermelho e
verde abaixo de S. O quadrado S então é cercado apenas de cores verde, azul e amarelo,
sendo que S pode ser colorido por vermelho. Isso completa a coloração do mapa.
15

Figura 2.27: Parte vermelha-verde acima de S não se ligando à parte verde-vermelha
abaixo de S Wilson (2002a).
Caso 2 Aqui a parte vermelho-verde acima de S une-se a parte vermelho-verde abaixo
de S. Isso faz os procedimentos um pouco mais difíceis, uma vez que nada é ganhado
alternando as cores vermelho e verde: o vizinho vermelho de S se torna verde, e o vizinho
verde de S se torna vermelho, e a situação do quadrado não ﬁca melhor do que a anterior.
Direciona-se a atenção então para os países azul e amarelo, e para as partes azul-
amarelo do mapa à esquerda e direita do quadrado S. Aqui, a parte azul-amarelo à direita
de S não se une a parte azul-amarelo à esquerda de S, porque a cadeia de países vermelho
e verde atravessa o caminho.
Figura 2.28: Parte azul-amarela à esquerda de S separada da parte amarela-azul à direita
de S Wilson (2002a).
Assim, pode-se alternar as cores dos países azul e amarelo à direita de S sem afetar a
coloração dos países azul e amarelo à esquerda de S. O quadrado S é então cercado apenas
pelas cores amarelo, vermelho e verde, sendo que S pode ser colorido de azul.
Isso completa a coloração do mapa quando o país restaurado é um quadrado, e mostra
que nenhum minimal criminal pode conter um quadrado.
Kempe então voltou suas atenções para o caso quando o país restaurado é um pen-
tágono (denotado por P), cercado por cinco países coloridos com quatro cores diferentes.
(É nessa parte da prova que encontra-se a falha fundamental).
Ele novamente escolhe duas cores vizinhas que não são adjacentes. Primeiro ele con-
sidera os países não adjacentes amarelo e vermelho acima e abaixo de P. Se as partes
amarelo-vermelho acima de P não se unem as partes amarelo-vermelho abaixo de P, então
16

Figura 2.29: Caso do país restaurado sendo um pentágono Wilson (2002a).
pode-se alternar as cores dos países amarelo e vermelho acima de P sem afetar a coloração
daqueles abaixo de P.
Figura 2.30: Parte amarela-vermelha acima de P não se ligando à parte vermelha-amarela
abaixo de P Wilson (2002a).
O pentágono P é então cercado apenas pelas cores vermelho, verde e azul, sendo que
P pode ser colorido de amarelo, completando assim a coloração do mapa para este caso.
Tem-se ainda o caso quando a parte vermelho-amarelo acima de P une-se com a parte
vermelho-amarelo abaixo de P.
Figura 2.31: Parte amarela-vermelha acima de P se ligando à parte vermelha-amarela
Kempe considerou os países não adjacentes verde e vermelho acima e abaixo de P.
Se a parte verde-vermelho acima de P não se une com a parte verde-vermelho abaixo de
P, então pode-se alternar as cores verde e vermelho dos países acima de P sem afetar a
coloração daqueles abaixo e P.
17

Figura 2.32: Parte verde-vermelha acima de P não se ligando à parte vermelha-verde
O pentágono é então cercado apenas pelas cores vermelho, amarelo e azul, sendo que
P pode ser colorido de verde, completando a coloração de mapas para este caso. Tem-
se ainda o caso onde a parte verde-vermelho acima de P une-se a parte verde-vermelho
abaixo de P. Combinando isso ao caso anterior foram-se a Fig. 2.33.
Figura 2.33: Parte verde-vermelha acima de P se ligando à parte vermelho-verde abaixo
de P Wilson (2002a).
Observa-se que a parte azul-amarelo à direita de P está separada da parte azul-amarelo
à esquerda de P, porque a cadeia vermelho-verde atravessa o caminho. Pode-se assim,
alternar as cores da parte de azul-amarelo à direita de P sem afetar a coloração da parte
azul-amarelo à esquerda de P.
Figura 2.34: Troca de cores da parte amarela-azul à direita de P Wilson (2002a).
18

Similarmente, a parte azul-verde à esquerda de P está separada da parte azul-verde
à direita de P, porque a cadeia vermelho-amarelo atravessa o caminho. Pode-se assim
alternar as cores da parte azul-verde à esquerda de P sem afetar a coloração da parte
azul-verde à direita de P:
Figura 2.35: Troca de cores da parte verde-azul à esquerda de P Wilson (2002a).
Se for feita as duas intercalações, o pentágono P ﬁca cercado apenas pelas cores ama-
relo, vermelho e verde, sendo que P pode ser colorido de azul.
Figura 2.36: Pentágono após as trocas de cores à direita e à esquerda de P Wilson (2002a).
Isso completa a coloração de mapas quando o país restaurado é um pentágono, e
mostra que nenhum minimal criminal pode conter um pentágono.
A abordagem de Kempe não está correta e um contra-exemplo foi apresentado por
Heawood (1890).
2.4.2 O erro de Kempe
Kempe usou duas trocas simultâneas de cor para recolorir os países em cada lado do
pentágono tal que o pentágono pudesse ser colorido. Cada troca de cor é perfeitamente
válida, mas fazê-las ao mesmo tempo não é permitido.
Para explicar porque essa troca simultânea não é permitida, Heawood introduziu o
mapa exibido na Fig. 2.37. Nesse mapa, cada um dos vinte e cinco países foram coloridos
red, blue, yellow ou green, exceto o pentágono (denotado por P) no meio. Esse mapa
19

certamente pode ser colorido com quatro cores, mas o ponto de Heawood é mostrar que
o método de provar de Kempe está incorreto.
Figura 2.37: Contra-exemplo de Heawood para a prova de Kempe Wilson (2002a).
De acordo com Kempe, deve-se tentar recolorir dois vizinhos do pentágono de maneira
que haja uma cor disponível para o pentágono P. Nota-se que os vizinhos azul e amarelo de
P estão conectados por uma cadeia azul-amarela de países que separa a parte vermelho-
verde acima de P da parte vermelho-verde abaixo de P, como mostra a Fig. 2.38(a).
Pode-se assim, alternar as cores da parte vermelho-verde acima de P sem afetar a parte
vermelho-verde abaixo de P, como mostra a Fig. 2.38(b).
Alternativamente, pode-se fazer uma alternância diferente. Os vizinhos azul e verde
de P estão conectados por uma cadeia azul-verde de países que separam a parte vermelho-
amarela acima de P da parte vermelho-amarela abaixo de P, como mostra a Fig. 2.39(c).
Pode-se assim alternar as cores da parte vermelho-amarela abaixo de P sem afetar a parte
vermelho-amarela abaixo de P, como na Fig. 2.39(d).
20

Figura 2.38: Troca de cores da cadeia vermelha-verde acima de P Wilson (2002a).
Figura 2.39: Troca de cores da cadeia vermelha-amarela abaixo de P Wilson (2002a).
21

As duas alternâncias são possíveis sozinhas, mas o erro de Kempe foi em tentar fazê-
las simultaneamente. Assim, se forem alternadas as cores da parte vermelho-verde abaixo
de P e da parte vermelho-amarela abaixo de P, então o país verde A e o país amarelo
B, ambos se tornam vermelhos, o que não é permitido. Assim, a prova de Kempe que
permitia a alternância simultânea de cores, é falsa.
Figura 2.40: Países A e B, vizinhos e coloridos por vermelho Wilson (2002a).
Neste capítulo vimos o histórico do Problema das Quatro Cores numa linha tempo
centrada no século XIX. No próximo capítulo focaremos os desdobramentos ocorridos ao
longo do século XX e XXI e como foi provada formalmente existir uma solução posi-
tiva para o Problema das Quatro Cores. Em função da demonstração, daqui por diante
usaremos os termos Problema das Quatro Cores e Teorema das Quatro Cores de modo
intercambiável.
22

Capítulo 3
Complexidade do Teorema das Quatro
Cores
Como vimos, as “soluções” apresentadas ao longo do século XIX baseavam-se na constru-
ção de grafos. Sabemos contudo que problemas modelados por grafos podem ser muito
difíceis e isso é corroborado pelos estudos realizados em Complexidade de Algoritmos,
desenvolvida a partir dos anos 70 do século XX. Neste capítulo, faremos uma breve apre-
sentação das tentativas de prova do Problema das Quatro Cores bem como sua prova
realizada por Appel et al. (1977a) e Appel et al. (1977b). Essa prova faz uso intensivo de
computador para verificar a enorme variedade de possíveis configurações de grafos. Uma
prova mais recente é apresentada em Gonthier (2008) o qual mapeia o problema a resolu-
ção de equações Diofantinas. A demonstração usa o assistente de prova Coq. Terminamos
o capítulo apresentando um resultado comparativo entre o Último Teorema de Fermat e
o Problema das Quatro Cores(Calude and Calude, 2010).
3.1 Sobre o Método de Kempe
Aparentemente, o método de Kempe funciona nos grafos mais genéricos e falha apenas
em condições mais restritas. Isto é, para a prova de Kempe estar certa, faltaram algumas
configurações específicas para o caso do pentágono resolver a coloração.
De acordo com o método de Kempe, qualquer minimal criminal do pentágono poderia
ser solucionado com até duas substituições. Para os casos mais complicados, onde havia
duas cadeias de Kempe ocorrendo sobre os vértices de cores que não se repetiam, ele
sugeriu que uma das cores que se repetisse, digamos R, fosse substituída por uma cor
diferente e de um vértice não adjacente à ela (o que oferece uma única opção), e que
o outro vértice R fosse colorido usando a mesma lógica. Assim, ele pensou que tivesse
provado o Problema das Quatro Cores.
23

3.2 Definições de Kittell
Heawood mostrou que o minimal criminal do pentágono, quando não colorido com quatro
cores, possui quatro cores A, B, C e D, e apenas uma dessas cores se repete, digamos B, e
esse anel do pentágono pode assumir as cores DBABC em ordem. Também foi mostrado
que se um mapa é colorido dessa forma, haverá duas cadeias de Kempe que se interceptam,
entre A e C, e A e D, respectivamente. Diz-se que um mapa minimamente colorido ou
não, que estiver parcialmente colorido pela maneira acima é um impasse (Heawood, 1890).
A situação está ilustrada na Fig. 3.1.
Figura 3.1: Kittell (1935)
A Fig. 3.1 não tenta mostrar aonde ou quantas vezes os circuitos A e C, e A e D se
interceptam. A região A é chamada de vertex do anel. É a região no anel que encontra-se
entre duas regiões de mesma cor. Denomina-se o circuito AC de circuito esquerdo e o
circuito AD de circuito direito. Denomina-se a cadeia BD que inclui a região B do anel
entre A e C de cadeia esquerda e a cadeia BC que inclui a outra região B de cadeia direita.
Denomina-se a cadeia CD que inclui as regiões C e D do anel de cadeia tangente terminal;
a cadeia BC que toca o anel nas adjacências das regiões B e C de cadeia tangente esquerda;
e a cadeia que toca o anel nas adjacências das regiões B e D de cadeia tangente direita.
Finalmente, denomina-se a cadeia AB que inclui o vertex, de cadeia osculante.
A Fig. 3.1 serve também de exemplo para a caracterização de nove operações, a saber:
operação significado
α transpor as cores da cadeia esquerda
β transpor as cores da cadeia direita
γ transpor as cores do circuito esquerdo
δ transpor as cores do circuito direito
transpor as cores da cadeia tangente terminal
ζ transpor as cores da cadeia tangente esquerda
η transpor as cores da cadeia tangente direita
θ transpor as cores da cadeia osculante
ι não alterar as cores
Em todas essas operações, nenhuma cor será atribuída a região externa.
Usando os conceitos definidos por Kittell (1935), fica mais fácil entender onde Kempe
errou. Reescrevendo as condições do problema tem-se: qualquer impasse do pentágono
pode ser solucionado com até duas operações. A primeira operação, por estar ocorrendo
24

sobre o vértice que tem a cor que se repete e recebendo uma cor de um vértice de cor
diferente e não adjacente, configura a operação α ou β. A segunda operação, se tivesse
ocorrido antes da primeira, também teria sido do tipo α ou β, mas como não aconteceu, é
na verdade γ ou δ, pois o vertex mudou após a primeira operação. E é aí que encontra-se
a falha do método de Kempe apontada por Heawood.
3.3 Solução do Problema das Quatro Cores
O Problema das Quatro Cores foi demonstrado em Appel et al. (1977a) e Appel et al.
(1977b) baseando seus métodos na redutibilidade usando as cadeias de Kempe. A prova
continha um algoritmo que rodava recursivamente reduzindo o grafo planar Gi, em gra-
fos planares menores, Gi+1, de maneira que qualquer quatro-coloração de Gi+1 pudesse
facilmente induzir uma quatro-coloração de volta em Gi. Para garantir o sucesso, foram
usadas 487 regras de descarte, a investigação manual de cerca de 10000 vizinhanças de
países com carga positiva, e cerca de 2000 configurações de redução testadas computacio-
nalmente (denominadas conjunto completo de reduções), aonde muitas reduções precisa-
vam de várias transposições de cores usando Kempe Chains para induzir a coloração de
Gi+1 em Gi (Morgenstern and Shapiro, 1991; Wilson, 2002a).
Foram encontradas algumas falhas na prova original de Appel e Haken, mas todas
foram sanadas. Para entendê-las, era necessário lidar com 50 páginas de textos e diagra-
mas, mais 85 páginas com quase 2500 diagramas adicionais e 400 páginas de microficha
contendo mais diagramas e milhares de verificações individuais (Krantz, 2007). Esses
fatos e a questão da dificuldade em se acompanhar a prova computacional incita a busca
por novos métodos de prova (Swart, 1980). Nesse sentido, uma prova mais simples, mas
ainda assim usando as mesmas idéias e dependendo de computador, foi publicada em 1997
por Robertson, Sanders, Seymour e Thomas. A prova é mais eficiente porque reduziu a
dificuldade representacional do problema ao requer apenas 633 configurações Neil et al.
(1996).
Em 2005, o teorema foi provado por Benjamin Werner e Georges Gonthier utilizando
o software que tem como objetivo geral provar teoremas, Coq, removendo a necessidade
de ter que confiar em vários programas computacionais para verificar casos particulares,
sendo necessário agora apenas confiar no kernel do Coq (Gonthier, 2008).
Calude and Calude (2010) apresenta uma nova prova baseada na redução a um sistema
de equações Diofantinas. A prova é feita com o uso do Coq. Usando uma metodologia
de classificação para exprimir a dificuldade de problemas apresentada em Calude et al.
(2006), Calude and Calude (2010) apresentam uma comparação entre problemas. De
acordo com os autores, o Último Teorema de Fermat está na classe CU,1, a Hipótese de
Riemann está na classe CU,3 e o Problema das Quatro Cores está na classe CU,4.
25

Capítulo 4
Coloração de Mapas na Sala de Aula
A coloração de grafos é uma abstração da coloração de mapas e dessa forma perguntas
tais como “De quantas maneiras pode-se colorir um mapa de um estado, usando apenas n
cores, de forma que municípios com fronteira comum tenham cores distintas?” podem ser
propostas durante um processo de aprendizagem (cf. Bria (2004); Lozano et al. (2010);
Pinto (2008)). Na verdade, o tema “coloração” pode ser conduzido de modo transversal
e servir de base para a iniciação ao estudo de tópicos considerados não triviais em áreas
tais como Computação, Matemática, Física, Artes, entre outras.
4.1 Coloração de Mapas I
Segundo Bria (2004), o uso de grafos no Brasil é tema inédito no que diz respeito a Edu-
cação Básica sendo o assunto muitas vezes desconhecido por parte dos professores tanto
do nível Fundamental quanto do Médio. O tema, entretanto, possui vasta aplicabilidade
em função das inúmeras possibilidades de modelagem no que tange situações-problemas
do cotidiano. De acordo com Lozano et al. (2010), o estudo da Teoria dos Grafos e suas
aplicações apesar de fundamental ao mundo atual ainda não foi incluído nos cursos de
licenciatura em Matemática e por essa razão não está incluído na estrutura curricular do
Ensino Fundamental e Médio. Em função de sua aplicabilidade, caráter combinatório,
algébrico e algoritmico, Teoria dos Grafos é um tema que pode ser utilizado no ensino
pré-universitário.
Uma experiência nesse sentido é relatada em Lozano et al. (2010) a qual usa colo-
ração de mapas e grafos como ferramenta. Nessa experiência, as atividades da oficina
de coloração foram agrupadas em dois blocos de quatro atividades cada, resumidas na
Tabela 4.1.
Segundo os autores, o objetivo do primeiro bloco é trabalhar o Problema de Coloração
de Mapas e o do segundo bloco o Problema de Coloração em Grafos. As oficinas – duas
– foram realizadas na escola E. E. Pio X – São José do Rio Preto – SP, sendo uma para
a 2a
série do Ensino Médio e outra para a 6a
série do Ensino Fundamental. A oficina do
Ensino Médio ocupou duas aulas consecutivas de 50 minutos cada enquanto a outra durou
sessenta minutos. Nas considerações finais, Lozano et al. (2010) concluem que o tempo
26

Tabela 4.1: Divisão das atividades da oficina.
Bloco I Bloco II
Atividade 1: Coloração de
mapas
Atividade 5: Associar a cada mapa proposto um grafo
Atividade 2: Questionário Atividade 6: Problema de coloração de vértices de um
grafo
Atividade 3: Problema da
Herança
Atividade 7: Problema dos Químicos
Atividade 4: Teorema das
Quatro Cores
Atividade 8: Avaliação final
de duração das atividades do Bloco I é suficiente para os alunos do Ensino Médio porém
insuficiente para os alunos do Fundamental. Os autores relatam o sucesso da experiência
em passar a ideia da importância de estratégias para a resolução de problemas bem como
rever o processo de resolução quando uma resposta não é alcançada e que nem sempre
recomeçar é a melhor alternativa.
4.2 Análise Combinatória e Probabilidade
Em Pinto (2008) encontramos o relato de um projeto realizado em Paranavaí, Paraná, no
Colégio Estadual Prof. Bento Munhoz da Rocha Neto. Nesse projeto, a autora usou – em
suas próprias palavras – “O Problema de Guthrie como metodologia no ensino da Análise
Combinatória e Probabilidade” em uma classe do Ensino Médio. O conteúdo em questão
é típico da disciplina de Matemática mas a autora usou o Tratamento da Informação
como estruturador interdisciplinar entre Matemática, Arte e Biologia. Os experimentos
ocorreram durante o 1o
semestre de 2009 e usaram como base as seguintes perguntas:
1. É possível colorir estas regiões do mapa, utilizando apenas quatro cores, mas respei-
tando a condição de que regiões que possuem linhas de fronteiras comuns tenham
cores diferentes?
2. O conceito usado para este caso pode ser estendido à outros mapas?
Segundo a autora, a relação entre o problema proposto e a Matemática é induzir no
aluno a busca por conceitos e técnicas que venham a resolver tal situação; neste caso,
Teoria dos Grafos, apesar deste tópico não ser contemplado no currículo do Ensino Médio
(cf. Lozano et al. (2010).)
O problema de coloração induz perguntas do tipo “De quantas maneiras pode-se colorir
o mapa das regiões do estado do Paraná, usando apenas quatro cores, de forma que
municípios com fronteira comum tenham cores diferentes?”
27

Para responder a esta pergunta a autora interoperou arte e matemática o que levou a
necessidade de se conhecer algumas características relativas às cores. Para tanto, a autora
usou quadros do artista plástico Roberto Pereira da Silva1
como o mostrado na Fig. 4.1.
Figura 4.1: Óleos sobre tela.
Em sua abordagem transversal ao assunto a autora recorre a colorimetria como a
ciência que estuda os métodos de quantificação da cor e tom, saturação e intensidade.
Remete ainda a espectroscopia de Newton através da decomposição através de um prisma
da luz branca nas sete cores do arco-íris. Associa ainda noções tais como quantidade de
luz (saturação), reflexão (luminosidade) e emissão de luz (brilho) as sensações emocionais,
aos tipos de cores (primárias, secundárias, terciárias), cores quentes, frias e neutras e assim
por diante.
Para alcançar seu objetivo, a autora propõe inicialmente a atividade de coloração de
figuras usando apenas quatro cores mas obedecendo a restrição de que espaços comparti-
lhando segmentos de reta tenham cores distintas. As figuras propostas eram abstrações
das bandeiras dos estados do Acre, Alagoas, Paraná, Amazonas, Bahia e a projeção de
um tetraedro em um plano. Na sequência, usa problemas de genética exemplificados pela:
• herança de cabelo crespo;
• codificação da cor dos olhos da Drosophila Melanogaster cujo gene pode apresentar
trinta e dois alelos.
A autora termina o relatório retomando o problema inicial da coloração dos municípios
do Paraná. Nas páginas 13 e 14, figuras 14, 15, 16 e 17, a autora exemplifica o número
de possíveis colorações para as 10 regiões usando o princípio multiplicativo para concluir
que teríamos 1.296 possibilidades de colorir o mapa ((Pinto, 2008)).
1
Roberto Pereira da Silva, Persil, é pintor parnavaiense e já expôs seus trabalhos em inúmeras expo-
sições por várias cidades brasileiras. Em 2006 foi reconhecido internacionalmente com o projeto Arte na
Escola. Persil é também professor da rede pública de ensino do Estado do Paraná.
28

4.3 Epílogo
Conforme apontado por Lozano et al. (2010) é escassa a literatura quanto ao uso da
Teoria dos Grafos no Ensino Fundamental e Médio. Este capítulo procurou sintetizar as
duas experiências realizadas. De comum, as duas experiências deixam claro que o uso
da Coloração de Grafos é uma valiosa ferramenta no ensino de tópicos Combinatória,
Probabilidade, Física, Artes, Biologia.
29

Capítulo 5
Conclusões e Trabalhos Futuros
Este trabalho procurou identificar as abordagens que tratam do Problema das Quatro
Cores, proposta em 1852 por Francis Guthrie, enfocando as principais abordagens para a
sua solução. Para tanto, um amplo levantamento bibliográfico foi realizado e apresentado
nesta monografia.
Vimos que dentre as tentativas de solução mais famosas destaca-se a de Alfred Bray
Kempe apresentada em 1879, refutada posteriormente pelo contra-exemplo de Heawood.
Independente do erro apresentado por Heawood, a “prova” de Kempe introduziu um mé-
todo, as cadeias de Kempe, amplamente usado posteriormente para coloração de ma-
pas/grafos. O capítulo 2 apresentou as cadeias de Kempe de forma sucinta porém didá-
tica.
Como as cadeias de Kempe não solucionam a coloração de todos os tipos de mapas
usando apenas quatro cores, o capítulo 3 apresentou as operações de Kittell as quais podem
ser usadas na funtamentação de uma metodologia didático-pedagógica para o ensino de
tópicos tais como Análise Combinatória. Uma ressalva deve ser feita neste momento:
não de nossa parte nenhuma implicação que as operações de Kittell, ou qualquer outra
abordagem aparentemente “simples” possam resolver o Problema das Quatro Cores. Na
verdade, o capítulo 3 fecha mostrando a dificuldade deste problema colocando-o em termos
comparativos com outros dois problemas amplamente conhecidos.
Por fim, o capítulo 4 apresentou de modo simplificado uma maneira pela qual usar as
operações de Kittell na proposição e resolução de problemas.
Como trabalhos futuros, esperamos que o material apresentado nesta monografia possa
constituir a base para o desenvolvimento de uma metodologia didático pedagógica trans-
versal para que a mesma possa ser usada em áreas que não apenas aquelas relacionadas
a Computação e a Matemática.
30

Referências
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