Logica Proposicional

8.742 visualizações

Publicada em

Slides do professo Celso Kaestner, complementados por mim, sobre Lógica Proposicional.
Obs.: foretemente baseados em SILVA, Flávio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V. de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

Publicada em: Educação, Tecnologia
0 comentários
3 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
8.742
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
28
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide
  • Logica Proposicional

    1. 1. Lógica Proposicional Slides da disciplina “Lógica para Computação” , ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. ( [email_address] ) entre 2007 e 2008. Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto ( [email_address] ) Versão original disponível em http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~kaestner/Logica/LogicaProposicional.ppt
    2. 2. Lógica Proposicional <ul><li>Linguagem informal x linguagem formal ( 1.1 );
    3. 3. Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas;
    4. 4. Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso);
    5. 5. Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU), negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…) ;
    6. 6. Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como “todos”, “algum”, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa. </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    7. 7. Lógica Proposicional A linguagem proposicional ( 1.2 ) : <ul><li>Alfabeto : </li></ul><ul><ul><li>Símbolos proposicionais, variáveis proposicionais ou átomos: P = { p 0 , p 1 , p 2 , … };
    8. 8. Conectivos: </li></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>unário: negação:  (NÃO);
    9. 9. binários: conjunção:  (E), disjunção:  (OU), implicação:  (SE…ENTÃO…); </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><li>Símbolos de pontuação: parênteses “(“e “)”. </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    10. 10. Lógica Proposicional A linguagem proposicional ( 1.2.1 ) : <ul><li>Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto L LP com as seguintes regras de formação: </li></ul><ul><ul><li>Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P  L LP ;
    11. 11. Caso indutivo 1: Se A  L LP então  A  L LP ;
    12. 12. Caso indutivo 2: Se A, B  L LP então ( A  B )  L LP , ( A  B )  L LP , e ( A  B )  L LP . </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    13. 13. Lógica Proposicional <ul><li>Fbf’s… </li></ul><ul><ul><li>Exemplos …
    14. 14. Regras para a omissão de parênteses;
    15. 15. Precedência entre os conectivos. </li></ul></ul><ul><li>Subfórmulas ( 1.2.2 );
    16. 16. Tamanho das fórmulas ( 1.2.3 );
    17. 17. Expressando idéias ( 1.2.4 );
    18. 18. Exercícios: pp. 12-13 (* 1.6) </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    19. 19. Lógica Proposicional Semântica (= significado, 1.3 ): <ul><li>Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem;
    20. 20. Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0);
    21. 21. Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V : P  {0,1}. </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    22. 22. Lógica Proposicional <ul><li>Para as fórmulas complexas: </li></ul><ul><ul><li>V (  A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ;
    23. 23. V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1;
    24. 24. V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1;
    25. 25. V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. </li></ul></ul><ul><li>Matrizes dos conectivos …
    26. 26. Exercícios (pg.16). </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    27. 27. Lógica Proposicional <ul><li>Satisfazibilidade, Validade, Tabelas-verdade ( 1.4 ): </li></ul><ul><ul><li>Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V ( A ) = 1;
    28. 28. Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V ( A ) = 0;
    29. 29. Uma fbf A é válida (ou tautologia ) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 1;
    30. 30. Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 0. </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    31. 31. Lógica Proposicional <ul><li>Resultados ( 1.4 ): </li></ul><ul><ul><li>Toda fbf válida é também satisfazível ;
    32. 32. Toda fbf insatisfazível é falsificável ;
    33. 33. Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável : neste caso é dita contingente ;
    34. 34. Uma fbf não pode ser válida e falsificável ; também não pode ser insatisfazível e satisfazível ;
    35. 35. Se A é válida ,  A é insatisfazível e reciprocamente;
    36. 36. Se A é satisfazível ,  A é falsificável e reciprocamente. </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    37. 37. Lógica Proposicional <ul><li>Tabelas-verdade… </li></ul><ul><ul><li>ASA CALC PRO </li></ul></ul><ul><ul><li>http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequiz/tablepractice.html ;
    38. 38. http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table ;
    39. 39. http://www.brian-borowski.com/Truth/ . </li></ul></ul><ul><ul><li>Mais na página da disciplina na Wiki do DAINF-UTFPR </li></ul></ul><ul><li>Exercícios (pg. 20). </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    40. 40. Lógica Proposicional Conseqüência lógica ( 1. 5 ): <ul><ul><li>Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A , denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B , i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1;
    41. 41. De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf  ={ A 1 , A 2 … A n }, denotando-se por  |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de  também satisfaz B. </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    42. 42. Lógica Proposicional Conseqüência lógica: <ul><ul><li>Exemplo: </li></ul></ul>Modus ponens : p , ( p  q ) |= q . <ul><ul><li>Teorema da dedução: </li></ul></ul> , A |= B sse  |= A  B . <ul><ul><li>Mais exemplos… </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    43. 43. Lógica Proposicional Equivalência lógica: <ul><ul><li>Duas fbf A e B são logicamente equivalentes , representando-se por A  B sse A |= B e B |= A ;
    44. 44. Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas;
    45. 45. Definição: A  B  ( A  B )  ( B  A )
    46. 46. Teorema: A  B sse A  B é tautologia. </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    47. 47. Lógica Proposicional Equivalência lógica ( 1. 5.1 ): <ul><ul><li>Algumas equivalências notáveis: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>  p  p (dupla negação);
    48. 48. p  q   p  q (definição de  em função de  e  ); </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li> ( p  q )  (  p   q ) e  ( p  q )  (  p   q ); (Leis de De Morgan) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) ( distributividade de  sobre  ); </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) (distributividade de  sobre  ). </li></ul></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    49. 49. Lógica Proposicional Equivalência lógica ( 1. 5.2 ) : <ul><ul><li>(Re)definições de conectivos em função de  e  : </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>p  q   p  q   (  p  q );
    50. 50. p  q   (  p   q ) . </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>É possível se definir todos os conectivos em função de um só ? </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    51. 51. Lógica Proposicional Ver http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/Novo4.pdf “ B arras de She ff er ” ou “ conectivos de She ff er ” são simbolizados por : <ul><ul><li># (negação conjunta) e
    52. 52. | (d isjunção alternativa) , d efin ido s pela seguinte tabela: </li></ul></ul>p q p # q p | q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    53. 53. Lógica Proposicional Fazendo: <ul><ul><li> p = ( p # p ) , e
    54. 54. p  q =(( p # q ) # ( q # q )) , pode-se definir os conectivos  e  a partir de # , e obter os demais conectivos a partir desses. </li></ul></ul>Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q =  ( p  q ) e p | q =  ( p  q ) : 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    55. 55. Lógica Proposicional <ul><li>Exercícios (pg. 27). </li></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    56. 56. Lógica Proposicional <ul><li>Desafios da Lógica Proposicional ( 1. 6 )
    57. 57. SAT
    58. 58. Problemas NP-completos </li></ul><ul><ul><li>P=NP? (1 milhão de dólares!)
    59. 59. Chute vs. solução bem pensada
    60. 60. Vários problemas, todos redutíveis uns aos outros </li></ul></ul>12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner
    61. 61. Referências <ul><li>SILVA, Flávio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V. de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, 2006. </li><ul><li>Os números em vermelho (por exemplo 1. 6 ) ao lado de um tema indicam onde encontrar (capítulo e seção) neste livro o tema. </li></ul></ul>

    ×