Caderno de atividades matematica

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Caderno de atividades matematica

  1. 1. CLIQUEAQUIPARA VIRARAPÁGINA Semestre2 Tecnologiaem Marketing Caderno de Atividades Matemática
  2. 2. Caderno de Atividades Tecnologia em Marketing Disciplina Matemática Coordenação do Curso Professora Msc. Arley Regina Lobo Professor Msc. Carlos Eduardo de Azevedo Autor Prof. Me. Guilherme Macorin FICHA TÉCNICA Equipe de Gestão Editorial Regina Cláudia Fiorin Ana Cristina Ferreira João Henrique Canella Fiório Priscilla Ramos Capello Análise de Processos Juliana Cristina e Silva Flávia Lopes Revisão Textual Alexia Galvão Alves Giovana Valente Ferreira Ingrid Favoretto Julio Camillo Luana Mercúrio Diagramação Célula de Inovação e Produção de Conteúdos
  3. 3. Chanceler Ana Maria Costa de Sousa Reitora Leocádia Aglaé Petry Leme Pró-Reitor Administrativo Antonio Fonseca de Carvalho Pró-Reitor de Graduação Eduardo de Oliveira Elias Pró-Reitor de Extensão Ivo Arcangêlo Vedrúsculo Busato Pró-Reitora de Pesquisa e PósGraduação Luciana Paes de Andrade Realização: Diretoria de Planejamento de EAD José Manuel Moran Barbara Campos Diretoria de Desenvolvimento de EAD Thais Costa de Sousa Gerência de Design Educacional Rodolfo Pinelli Gabriel Araújo © 2013 Anhanguera Educacional Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua por- tuguesa ou qualquer outro idioma. Como citar esse documento: MACORIN, Guilherme. Matemática. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2013. Disponível em: <www.anhanguera.edu.br/cead>. Acesso em: jun. 2013.
  4. 4. seções
  5. 5. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  6. 6. 6 Tema01 ConjuntosNuméricoseEstudodeExpressões
  7. 7. 7 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Conjuntos numéricos. • Expressões numéricas. • Introdução às expressões algébricas.
  8. 8. 8 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA I. Os conjuntos numéricos Para iniciar este estudo, é válido revisar a definição de conjuntos. Um conjunto pode ser entendido como um grupo de elementos com características semelhantes. No caso dos conjuntos numéricos, tais elementos são números. Agora você verá quais serão os con- juntos estudados. • Conjunto dos Números Naturais: são todos os números positivos, incluindo o zero, e é infinito. A representação desse conjunto é dada pela letra N. N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Em todos os casos exemplificados, a utilização das chaves {} representa a formação de um conjunto. • Conjunto dos Números Inteiros: são todos os números naturais mais os números in- teiros negativos. A representação desse conjunto é dada pela letra Z. Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • O que são conjuntos numéricos? • Quais são os principais conjuntos numéricos? • O que diferencia uma expressão numérica de uma expressão algébrica? • Como se determina o grau de uma expressão algébrica? • Que nome se dá a uma expressão algébrica que possui mais de um termo com coefi- ciente literal? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  9. 9. 9 Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} • Conjunto dos Números Racionais: são todos os números inteiros mais os números decimais finitos (10,15859 e 537,59874, por exemplo) e decimais infinitos periódicos (936,33333... e 4,121212..., por exemplo). A representação desse conjunto é dada pela letra Q. • Conjunto dos Números Irracionais: são todos os números decimais infinitos não periódi- cos (por exemplo, 2,5369842...). A representação desse conjunto é dada pela letra I. • Conjunto dos Números Reais: é a união do conjunto dos números racionais e dos ir- racionais. A representação do conjunto é dada pela letra R. • Conjunto dos Números Complexos: é um número que possui uma parte real e outra imaginária. Pode ser escrito como z = x + Yi, sendo que x e y são números reais e i é a parte imaginária. Este conjunto compreende, por exemplo, o resultado de uma raiz quadrada de um número negativo. A representação desse conjunto é dada pela letra C. Os conjuntos numéricos fundamentais podem ser representados pelo diagrama a seguir: Figura 1.1 Diagrama dos conjuntos numéricos fundamentais. LEITURAOBRIGATÓRIA
  10. 10. 10 ÍNICIO II. As expressões numéricas Uma expressão numérica é uma combinação de números associados por operações. Uma expressão algébrica é uma combinação de números e letras associadas por operações. Exemplos: • Expressão numérica -> 5-2+6÷3=5 • Expressão algébrica -> 2q+20=-y Nas expressões numéricas e algébricas, a utilização de parênteses, colchetes e chaves determina a ordem na qual as operações devem ser realizadas. Primeiramente, calcule as operações dentro dos parênteses; depois, realize as operações dentro dos colchetes; e, por fim, calcule as que estiverem entre chaves. Por último, calcule as demais operações. As op- erações também possuem uma ordem para serem efetuadas e devem respeitar a seguinte ordem: 1. potenciação (também chamada de exponenciação) e radiciação; 2. multiplicação e divisão; 3. adição e subtração. Exemplo: 20+[8÷2-(2*2+1)] = =20+[8÷2-(4+1)]= =20+[8÷2-5]= =20+[4-5]= =20-1= =19 Repare na ordem da resolução das operações. Ela está de acordo com as regras citadas anteriormente. Também é conveniente relembrar as regras de sinais em operações. Em adição e subtração: • No caso de sinais iguais, mantenha os sinais e some os valores. Exemplos: 1+3=4 e -1-2=-3 No caso de sinais diferentes, subtraia os valores e mantenha o sinal do maior valor. Exemplos: -2+5=3 e 2-5=-3 LEITURAOBRIGATÓRIA
  11. 11. 11 Em multiplicação e divisão: • No caso de sinais iguais, o resultado será sempre positivo. Exemplos na multiplicação: 2*2=(+4) e (-3)*(-5)=(+15) Exemplos na divisão: 4÷2=(+2) e (-15)÷(-3)=(+5) • No caso de sinais diferentes, o resultado será sempre negativo. Exemplos na multiplicação: (-3)*5=(-15) e 3*(-5)=(-15) Exemplos na divisão: (-15)÷3=(-5) e 20÷(-4)=(-5) Potenciação é uma operação na qual há uma base (q) e um expoente (n), representada por qn . Isto significa repetir a multiplicação de q por ele mesmo por n vezes, ou seja, q1 * q2 * q3 ... * qn. A expressão é lida como q elevado a n ou, então, q elevado à n-ésima potência. • No caso de base negativa ou positiva com expoente par, o resultado é positivo. Exemplos: (-2)²=(-2)*(-2)=4 e (2)²=(2)*(2)=4 No entanto, se o sinal de negativo não estiver sendo elevado, o resultado será diferente. Exemplo: -(2)²=-(2*2)=-4 • No caso de base negativa com expoente ímpar, o resultado é negativo. Exemplo: (-2)³=(-2)*(-2)*(-2)= =(-2*-2)*(-2)= =4*(-2)=(-8) • No caso de base positiva com expoente ímpar, o resultado é positivo. Exemplo: (2)³=8 Ainda há outras especificidades da potenciação, como será visto a seguir: q¹=q, q0 =1, 1n =1 e 0n =0 Em multiplicação de potências com bases iguais, os expoentes se somam. Exemplo: q²*q³=q(²+³)=q5 LEITURAOBRIGATÓRIA
  12. 12. 12 ÍNICIO Multiplicação de potências com bases diferentes mas expoentes iguais. Exemplo: q³*r³=(q.r)³ Em divisão com potências diferentes e bases iguais, a base se mantém e os expoentes se subtraem. Exemplo: q8 ÷q3 =q(8-3 )=q5 Em divisão com potências iguais e bases diferentes, o expoente se mantém e as bases se dividem. Exemplo: q³÷r³=(q÷r)³ Há também o caso chamado de potência de potência, no qual se eleva um valor que já está sendo elevado a alguma potência. Exemplo: (q²)³=(q*q)³= =(q*q)*(q*q)*(q*q)= =q6 Portanto, (q²)³=q(²*³)=q6 A radiciação, por sua vez, é a operação inversa da potenciação. Ela é representada por n √a, em que (n) é chamado de índice, ou radical, e (a) de radicando. A expressão determina qual o valor que, ao ser elevado à potência (n), resultará no valor de (a), ou seja, determinará o valor que, se multiplicado ele mesmo por (n) vezes, resultará em (a). Para o estudo dos sinais em radiciação de números racionais, lembre-se dos principais pontos a seguir: n √a=a1/n , portanto, n √an =an/n =a. Nas multiplicações de raízes de mesmo radicando com índices diferentes, os radicandos se mantêm e os índices se somam. Exemplo: 3 √8*2 √8=5 √8 Nas multiplicações de radicandos diferentes e índices iguais, os índices se mantêm e os radicandos se multiplicam. Exemplo: ²√3*²√2=²√6 Em divisões de radicandos diferentes mas índices iguais, os índices se mantêm e os radi- candos se dividem. Exemplo: ²√8÷²√2=²√4 LEITURAOBRIGATÓRIA
  13. 13. 13 Você acabou de rever as regras básicas de operações em expressões numéricas. O próxi- mo passo é estudar as expressões algébricas. III. Introdução às expressões algébricas Conforme já citado anteriormente, uma expressão algébrica é uma combinação de números e letras associadas por operações. Exemplo: 10=5y No exemplo anterior, o valor numérico 5 é chamado de coeficiente numérico e a letra (y) é chamada de coeficiente literal. Verifique também que o coeficiente literal (y) é uma variável. Essa variável irá assumir um valor numérico. No caso anterior, y=2, pois y=10÷5. Você verá no próximo tema como resolver e simplificar equações algébricas e como encontrar os re- sultados dessas variáveis. Lembre-se de que já foi citada a ordem em que as operações devem ser realizadas e o papel dos parênteses, colchetes e chaves nas expressões numéricas. Nas expressões al- gébricas, as regras dos sinais e das operações continuam iguais às vistas nas expressões numéricas, mas agora foi introduzida uma letra como variável. Muitas vezes, as expressões algébricas são utilizadas para representar situações-problema. As letras substituem valores inicialmente desconhecidos, de modo a facilitar a resolução do problema. Uma expressão que contenha apenas um termo com coeficiente literal, ou seja, um termo que possua letras, é chamada de monômio; se tiver dois termos com coeficientes literais é chamada de binômio; e, no caso de três termos com coeficientes literais, chama-se trinô- mio. No entanto, sempre que houver mais de um termo com coeficiente literal, a expressão é também classificada como polinômio. É o número de termos com letras que determina a classificação, e não somente a quantidade de letras na expressão. Exemplos: • Monômio -> 2xy • Binômio (polinômio) -> 2x+y • Trinômio (polinômio) -> 2x+y-wr Note que, se a classificação anterior é dada em função do número de termos com coefici- entes literais, uma expressão do tipo 2x+8 é, portanto, um monômio, por possuir apenas um LEITURAOBRIGATÓRIA
  14. 14. 14 ÍNICIO termo com a letra (x) como coeficiente literal. A expressão 2xy+8 também é um monômio, pois as letras (x) e (y) pertencem a um mesmo termo. As expressões algébricas também podem ser classificadas quanto ao grau relativo, ou seja, o expoente de uma variável. No exemplo 2x² o monômio é de grau 2 em relação a (x). Já 2x²-3y³ é um binômio de grau 3 em relação a (y) e de grau 2 em relação a (x). Contudo, para classificar uma expressão algébrica quanto ao seu grau, citamos apenas o maior grau. Exemplo: 4x³+x²-x -> trinômio de grau 3 Exemplo: 5x+6 -> monômio de grau 1 Exemplo: 2x²-3y³+(2*5z5) -> trinômio de grau 5 LINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o material preparado pelo site Mundo Vestibular sobre conjuntos numéricos. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br/articles/5951/1/Conjuntos-Numericos/ Paacutegina1.html>. Acesso em: 18 abr. 2013. No link, a seguir, são apresentados alguns exemplos práticos com as regras de sinais das operações que você acabou de estudar. Vale a pena rever. Disponível em: <http://www.matematica.com.br/site/index.php?option=com_content&view=article& id=388:regra-de-sinais&catid=109:numeros-inteiros&Itemid=178>. Acesso em: 1 abr. 2013. LEITURAOBRIGATÓRIA
  15. 15. 15 Acesse um site muito útil e completo sobre matemática chamado Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br>. Acesso em: 17 abr. 2013. Acesso um link interessante sobre expressões algébricas e revise definições e operações. Disponível em: <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos021. asp>. Acesso em: 20 abr. 2013. VÍDEOS Videoaula – Expressões Algébricas. Trata-se de uma breve revisão sobre o conceito de expressão algébrica que você acabou de estudar. Um vídeo rápido e muito didático. Disponível em: <http://www.auladoguto.com.br/videoaulas-de-matematica/videoaula-expressoes- algebricas>. Acesso em: 19 abr. 2013. LINKSIMPORTANTES
  16. 16. 16 ÍNICIO RESPOSTA DISSERTATIVA Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 1, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Para que você possa fazer os exercícios propostos neste tema, é necessário que relembre as regras básicas de sinais em operações. Pratique algumas dessas re- gras antes de iniciar as outras questões. Resolva os casos a seguir: a) (-8)+(-35)= b) (-3)²= c) (-2)³= d) (-4)*3= e) (-5)*(-5)= Questão 2: Levando em consideração as regras das operações estudadas, responda (V) para Verdadeiro e (F) para Falso. a) ( ) 2+4*10-9÷3=57 b) ( ) (2+4)*10-9÷3=57 c) ( ) ³√8+3²=11 d) ( ) 3²*3³-52=5 Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) O Conjunto dos Números Irracionais é representado pela letra C. b) Uma potenciação do tipo q³ significa multiplicar o número 3 por ele mesmo por (q) vezes. c) A expressão algébrica 2xy+3 é um binômio. d) A radiciação é considerada a operação inversa da potenciação. Questão 4: Assinale a alternativa correta: a) ²√3*²√5=4 √15 b) ²√3*²√5=²√15 c) ²√12÷²√3=¹√4 d) ²√12÷²√3=4 √4 RESPOSTA DISSERTATIVA AGORAÉASUAVEZ INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA
  17. 17. 17 RESPOSTA DISSERTATIVA Questão 5: Considerando a classificação das ex- pressões algébricas quanto ao grau e ao número de coeficientes literais, assinale a alternativa correta: a) 2x²+y³-2 é um trinômio de grau 3 em relação a y e grau 2 em relação a x. b) x³y é um binômio de grau 3 em relação a x e grau 3 em relação a y. c) 2x+3yz é um binômio de grau 1 em re- lação a x, y e em relação a z. d) z²-(2*8)+y4 é um trinômio de grau 2 em relação a z e grau 4 em relação a y. Questão 6: Resolva a seguinte expressão numérica: (4*(2+4)÷(4+2*2))² Questão 7: Sabendo que a área de um quadrado é de- terminada pela multiplicação de um lado pelo outro, represente algebricamente a área de um quadrado que possui um lado igual a x+5-y. Questão 8: Classifique as expressões a seguir quanto ao número de coeficientes literais e quanto ao grau das variáveis. a) X²+2 b) Y+3x³+z c) xz+y² Questão 9: Resolva a expressão numérica a seguir: ²√4*²√3÷²√3+4²*4³÷25 Questão 10 Ana possui determinada quantidade de maçãs e outra quantidade de bananas. Se ela conseguir dobrar a quantidade de suas maçãs e doar 5 maçãs e 1 banana para sua amiga, com quantas maçãs e bananas Ana ficará no final em relação ao que pos- suía no início? Elabore uma expressão algébrica que re- solva este problema. RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA AGORAÉASUAVEZ INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA
  18. 18. 18 ÍNICIOFINALIZANDO No Tema 1 você relembrou conjuntos numéricos, expressões numéricas e foram introdu- zidos os conceitos básicos e as regras das expressões algébricas. No Tema 2, você verá mais a fundo as expressões algébricas, com os métodos de simplificação, resolução de equações, produtos notáveis, entre outros conceitos. REFERÊNCIAS IEZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2009. MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, eco- nomia e contabilidade. 2ª edição revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622). GLOSSÁRIO Conjuntos numéricos: grupo de elementos com características semelhantes. Expressão algébrica: combinação de números e letras associadas por operações. Expressão numérica: combinação de números associados por operações. Polinômio: expressão que possui dois ou mais coeficientes literais.
  19. 19. 19 GLOSSÁRIO GABARITO Tema 1 Conjuntos Numéricos e Estudo de Expressões Questão 1 Resposta: a) -43 b) 9 c) -8 d) -12 e) 25 Questão 2 Resposta: a) F; b) V; c) V; d) F Questão 3 Resposta: d) Questão 4 Resposta: b) Questão 5 Resposta: c) Potenciação: operação na qual há uma base (q) e um expoente (n), sendo representada por qn . Isto significa repetir a multiplicação de (q) por ele mesmo por (n) vezes.
  20. 20. 20 ÍNICIOGABARITO Questão 6 Resposta: (4*(2+4)÷(4+2*2))²= =(4*(6)÷(4+4))²= =(24÷8)²= =(3)²=9 Questão 7 Resposta: Se o lado do quadrado é igual a x+5 e sua área é determinada por seu lado mul- tiplicado pelo outro, temos que a área é igual à: (x+5-y)*(x+5-y)=(x+5-y)² Questão 8 Resposta: a) x²+2 – monômio de grau 2 em relação a (x). b) y+3x³+z – trinômio de grau 1 em relação a (y) e (z) e grau 3 em relação a (x). Portanto, trinômio de grau 3. c) xz+y² - binômio de grau 1 em relação a (x) e (z) e grau 2 em relação a (y). Portanto, binômio de grau 2. Questão 9 Resposta: ²√4*²√3÷²√3+4²*4³÷25= =²√(4*3)÷²√3+45÷25= =²√(12÷3)+(4÷2)5= =²√4+25= =2+32=34 Questão 10 Resposta: Represente maçã por uma letra qualquer. Aqui a chamaremos de x. Represente banana por outra letra qualquer. Aqui a chamaremos de y.
  21. 21. 21 GABARITO Se Ana vai dobrar a quantidade inicial de maçã, então ela terá 2x de maçãs. Depois, ela irá doar 5 maçãs, ficando então com (2x-5) maçãs. Ao doar 1 banana, ela terá (y-1) bananas. Portanto, Ana ficará com (2x-5) maçãs e (y-1) bananas.
  22. 22. seções
  23. 23. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  24. 24. 24 Tema02 SimplificaçãodeEquaçõesAlgébricas,Produtos NotáveiseResoluçãodeEquações
  25. 25. 25 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Simplificação e operações de equações algébricas. • Os chamados produtos notáveis. • Regras de fatoração.
  26. 26. 26 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA I. Simplificação de expressões algébricas O procedimento de simplificação de expressões algébricas visa tornar a resolução de uma expressão mais fácil, pois agrupa termos semelhantes, ou seja, agrupa termos literais iguais. Lembre-se de que um polinômio é classificado quanto ao número de termos literais que possui, portanto, um polinômio pode ser encarado como uma soma de monômios. A simplificação tem o intuito de transformar a expressão no menor número de termos literais possíveis por meio das operações, semelhantemente ao que ocorre com as expressões numéricas. Veja alguns exemplos do que significa um termo ser semelhante ao outro: • 2x+x -> o termo (x) aparece nos dois termos e é elevado a grau 1, portanto, são ter- mos iguais. É possível somá-los. Simplificando a expressão, teremos 2x+x=3x. Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual a importância de se simplificar expressões algébricas? • Em uma expressão algébrica, o que é um fator comum? • O que são e qual a importância dos produtos notáveis? • Quais são os principais métodos de fatoração? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  27. 27. 27 • 3x²+x-2x²+5x -> aqui, a simplificação deverá ocorrer apenas entre os termos semel- hantes. É possível realizar operações entre (+3x²) e (-2x²) e entre (+x) e (+5x). Portanto, 3x²-2x²+x+5x=x²+6x. Exemplos de simplificações com operações: Soma e subtração: se os termos são semelhantes, conserve a parte literal e realize a op- eração indicada: Exemplo: 3x+4x=7x porque esta é uma soma de termos semelhantes. Exemplo: 3x²-2-x²-x=2x²-x-2 Exemplo: 4x+5x³-8+(4x-x)-3x³=7x+2x³-8 Em uma multiplicação de monômios, é necessário relembrar as regras da potenciação. Em termos semelhantes, multiplicam-se as bases e os expoentes se somam. Exemplo: (4x²y³)*(2x³)= =4*2*x²*x³*y³= =8x5 y³ É importante notar que apenas o coeficiente literal (x) e as bases sofreram simplificação. O coeficiente literal (y) não possui termo semelhante nesta expressão e, portanto, não sofreu alteração. Mais um exemplo: (5x²y³)*(4y³x)= =20x³y6 Partiremos, agora, para a multiplicação de um monômio por um polinômio. Neste caso, aplica-se a propriedade distributiva, o que significa multiplicar o monômio por todos os ter- mos do polinômio. Veja os exemplos: • (x²)*(2+x)=(x²*2)+(x²*x)=2x²+x³ • (xy)*(y+x-1)=(xy*y)+(xy*x)-(xy*1)=(xy²)+(x²y)-(xy) • (x)*(y²÷x)=y² LEITURAOBRIGATÓRIA
  28. 28. 28 ÍNICIO A multiplicação de polinômios por polinômios é semelhante ao caso anterior. Aplica-se a regra distributiva entre cada um dos termos. Exemplo: (x+2)*(y-x)=(xy-xx)+(2y-2x)=(xy-x²)+(2y-2x) Exemplo: (x+2)*(x+1)*(2x-1)=(x²+x+2x+2)*(2x-1)= =(x²+3x+2)*(2x-1)=2x³-x²+6x²-3x+4x-2= =2x³+5x²+x-2 O próximo passo é relembrar as divisões com expressões algébricas. Em uma divisão de monômio por monômio, divida os coeficientes literais semelhantes e as bases. Exemplo: 8x³÷4x²=2x Exemplo: (12y²x5)÷(4x²y²)=3x³ Outra possibilidade, assim como na multiplicação, é a divisão de um polinômio por um monômio. Divida cada um dos termos semelhantes do polinômio pelo monômio e as re- spectivas bases. Exemplo: (4x³+2x)÷x=4x²+2 Exemplo: (3xy-6y²x²+2)÷3x=y-2y²x+(2÷3x) Agora é a vez da divisão de polinômios por polinômios. A operação é bem semelhante a que ocorre com números naturais. Utilizaremos como exemplo a operação a seguir: (12x²+23x+13)÷(4x+1). A partir desta expressão, demonstraremos o caso. A primeira parte da expressão é o dividendo e a segunda é o divisor. O primeiro passo é dividir o termo de maior grau, neste caso 12x², pelo divisor de maior grau, que é o 4x. O quociente (resultado) é 3x, e este valor irá multiplicar o divisor (4x+1), re- sultando em: 3x*(4x+1)=(12x²+3x). Este valor será subtraído do dividendo: (12x²+23x+13)- (12x²+3x)=20x+13. O resultado (20x+13) é chamado de resto parcial. O próximo passo é pegar o termo de maior grau do resto parcial e dividir pelo termo de maior grau do divisor. Neste caso, a divisão será 20x por 4x, que resultará em 5. Siga os mesmos passos descritos anteriormente e multiplique 5 pelo divisor, 5*(4x+1)=20x+5. Este resultado será subtraído do resto parcial. Agora, subtraindo do resto parcial, temos: (20x+13)-(20x+5)=8. O valor 8 é chamado de resto, pois, como o grau dele é menor que o grau do divisor, não há divisões a serem feitas. Então, a divisão termina quando encontra- mos um resto 0 (zero) ou um resto que tenha grau menor que o divisor. LEITURAOBRIGATÓRIA
  29. 29. 29 Neste exemplo, o resultado, chamado de quociente, é (3x+5) com resto 8. Um novo exemplo para melhor fixação: (4x²+6x+8)÷(2x+2)= =(4x²÷2x)=2x=quociente, portanto ->(4x²+6x+8)-2x(2x+2)= =Resto parcial (2x+8). O termo de maior grau, 2x, será dividido novamente pelo divisor de maior grau, que é 2x. O quociente é igual a 1 (um). =(2x+8)-1(2x+2)=6 = Resto Portanto, o quociente é (2x+1) com resto 6. II. Produtos notáveis A utilização de produtos notáveis visa facilitar os cálculos com expressões algébricas. Al- guns polinômios aparecem com muita frequência e são resultado da multiplicação de outras expressões. Chamamos tais produtos de produtos notáveis. O primeiro caso a ser estudado é o quadrado da soma de dois termos. A expressão (x+y)² é uma soma de termos elevada ao quadrado. Aplicando a regra distribu- tiva, tem-se que: (x+y)*(x+y)=(x²+xy+yx+y²)= =x²+2xy+y². Resumidamente, o que ocorreu foi o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o pri- meiro vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. O segundo caso é conhecido como o quadrado da diferença de dois termos. Exemplo: (x-y)²=(x²-xy-yx+y²)= =x²-2xy+y² Este caso é bem parecido com o demonstrado anteriormente, mas muda o sinal do segundo termo. Resumidamente, o resultado será sempre o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o segundo termo ao quadrado. LEITURAOBRIGATÓRIA
  30. 30. 30 ÍNICIO O terceiro caso que estudaremos é o produto da soma pela diferença de dois termos. Este produto é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Veja o exemplo: (x+y)*(x-y)=x²-xy+yx-y²= =x²-y² Estes são os três produtos notáveis que estudaremos neste Caderno. III. Fatoração Fatorar é o ato de decompor um número em outros que estejam na forma de produto e que sejam equivalentes ao valor inicial. Há diversas técnicas. Veremos algumas. • Fator comum O primeiro exemplo corresponde a colocar em evidência o fator comum aos termos da expressão. Exemplos: X²+3x -> neste binômio, o fator comum é o (x), portanto, coloque-o em evidência da se- guinte maneira: x(x+3). Pronto, expressão fatorada. 10x4 -6x²+8x³ -> neste caso, o fator comum é 2x². A expressão fatorada fica 2x²(5x³-3+4x²). • Fatoração por agrupamento Significa encontrar um fator que seja comum a diferentes termos da expressão. Exemplos: ax-mx+ay-my -> encontre os termos semelhantes -> x(a-m)+y(a-m). Portanto, temos que a expressão é igual a (a-m)*(x+y). O fator comum é (a-m). wx-w-5x+5 = w(x-1)-5(x-1). Neste caso, o fator comum é (x-1). A expressão é igual a (x-1).(w-5). • Quadrados perfeitos Um monômio é quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de outro monômio. Exemplos: 16x4 =(4x²)² 9x²=(3x)² LEITURAOBRIGATÓRIA
  31. 31. 31 • Diferença de dois quadrados Veja exemplos de um valor ao quadrado menos outro valor ao quadrado em sua forma fa- torada: x²-y²=(x+y)*(x-y). Aplique a regra distributiva no caso anterior e verá que há igualdade. 4x²-9=(2x-3)*(2x+3). Novamente a expressão encontrada após o sinal de igualdade é uma fatoração. • Trinômio quadrado perfeito Quando um trinômio é igual ao quadrado de um binômio. Exemplos: a²+2ab+b². Esta é a expressão genérica utilizada para exemplificar o caso. Aplique a regra distributiva e veja que (a+b)²=a²+2ab+b². a²-2ab+b²=(a-b)² Os trinômios foram reduzidos a binômios ao quadrado. LEITURAOBRIGATÓRIA
  32. 32. 32 ÍNICIOLINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o link de um site direcionado a vestibulando. Este tópico desenvolve a questão de simplificação de expressões algébricas. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br/articles/4618/1/EXPRESSOES-ALGEBRI- CAS/Paacutegina1.html>. Acesso em: 22 abr. 2013. Acesse o site da Infoescola e encontre conceitos, exemplos e exercícios sobre produtos notáveis. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis>. Acesso em: 22 abr. 2013. Acesse um site muito útil e completo sobre matemática chamado Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br>. Acesso em: 17 abr. 2013. Acesso o link e encontre alguns exercícios resolvidos sobre produtos notáveis. Disponível em: <http://www.sempretops.com/estudo/produtos-notaveis-exercicios-resolvidos/>. Acesso em: 23 abr. 2013. VÍDEOS Assista ao vídeo Produtos Notáveis e Fatoração Produto da soma pela diferença. Vídeo bem completo sobre produtos notáveis e fatoração. Vários exemplos para revisar os con- ceitos estudados. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=g8ea9bdba80>. Acesso em: 23 abr. 2013.
  33. 33. 33 RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 2, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Simplifique as expressões a seguir: a) 3x²+2*5x-12y÷y-2³ b) 2*[5x*x*y+(4y÷2+y)-3] c) 3²*3²÷3+x*y*x³ Questão 2: Assinale a alternativa correta: a) Na soma e na subtração, se os termos são semelhantes, realiza-se a operação indicada para os coeficientes numéricos e para os coeficientes literais. b) Em uma divisão de monômio por monômio, dividem-se os coeficientes literaissemelhanteseasbasesnuméricas. c) Em uma multiplicação de monômios com termos semelhantes, multiplicam-se as bases numéricas e os expoentes. d) Em uma divisão de polinômio por monômio, mantêm-se os coeficientes literais e dividem-se as bases numéricas. Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) (x+5)²=(x²+25x) b) (y-3x)²=(y²-3xy+9x²) c) 9x²-16=(3x-4).(3x+4) d) 2yx²-2y-25x²+25=(2y-5)*(x²+5) Questão 4: Considerando o processo de simplificação de expressões algébricas, assinale a alter- nativa correta: a) x²-4x²+x+5x=-3x+6x² b) (4y²x)÷(xy²)=4yx³ c) (8xy-2y²x²)÷2x=4y-y²x d) (x+1).(x²+3)*(2x)=(2x4 +4x+3) Questão 5: Utilizando as regras sobre produtos no- táveis, calcule: a) (x-4)² b) (2x+3y)² c) (3x+5y)*(3x-5y) INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ
  34. 34. 34 ÍNICIO Questão 6: Simplifique a expressão algébrica a seguir: (6x²+4x+3)÷(x+3) Questão 7: Imagine um quadrado com os lados de ta- manho x inserido em outro quadrado maior com lado (x+2). Calcule a área do quadrado maior que não está ocupada pelo quadrado menor. Questão 8: Imagine um retângulo com um lado de ta- manho x e o outro lado de tamanho (x-2). Dentro dele, há um quadrado de lado (x-3). Calcule a área do retângulo que não está ocupada pelo quadrado. Questão 9: Fatore as expressões a seguir: a) ax+2bx+3ª+6b b) xy+2x-2x-4 Questão 10: Considere um quadrado de lado (x-y) e um retângulo com um lado (x+2) e outro lado (x-2). Qual a soma das áreas do quadrado e do retângulo? RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA AGORAÉASUAVEZ
  35. 35. 35 FINALIZANDO No Tema 2 você relembrou simplificação e operações de expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração. No Tema 3, você verá as regras de três simples e composta, porcenta- gens, conceito de função e as funções crescentes e decrescentes. REFERÊNCIAS IEZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2009. MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622) GLOSSÁRIO Fatoração: ato de decompor um número em outros números que estejam na forma de produto (multiplicação) e que sejam equivalentes ao valor inicial. Fator comum: elemento que é comum aos termos da expressão. Simplificação de expressões algébricas: procedimento que agrupa termos semelhantes, ou seja, agrupa termos literais iguais visando simplificar as expressões.
  36. 36. 36 ÍNICIOGLOSSÁRIO Tema 2 Simplificação de Equações Algébricas, Produtos Notáveis e Resolução de Equações Questão 1 Resposta: a) 3x²+2*5x-12y÷y-2³=3x²+10x-12-8=3x²+10-18 b) 2*[5x*x*y+(4y÷2+y)-3]=2*[5x²y+(3y)-3]=10x²y+6y-6 c) 3²*3²÷3+x*y*x³=3³+x4y=27+x4y Questão 2 Resposta: b) Questão 3 Resposta: c) Questão 4 Resposta: c) Questão 5 Resposta: a) (x-4)²=x²-8x+16 Produtos notáveis: polinômios que aparecem com muita frequência e são resultado da multiplicação de outras expressões. Quociente: resultado de uma divisão. GABARITO
  37. 37. 37 GABARITO b) (2x+3y)²=4x²+12xy+9y² c) (3x+5y)*(3x-5y)=9x²-25y² Questão 6 Resposta: a) (6x²+8x+3)÷(x+1)= • dividindo 6x² por x temos 6x. Este valor irá multiplicar o divisor. • 6x(x+1)=6x²+6x. O próximo passo é subtrair este resultante do dividendo: (6x²+8x+3)- (6x²+6x)=2x+3=resto parcial • agora, divida 2x por x. O resultado (2) irá multiplicar o divisor 2(x+1)=2x+2. Agora, subtraia do resto parcial. • (2x+3)-(2x+2)=1. Pronto, o quociente é 6x+2 com resto 1. Questão 7 Resposta: Se o lado de um quadrado é igual a x, sua área será x². Por outro lado, o outro quadrado de área (x+2) terá área igual a x²+4x+4. Agora, é só subtrair a área do quadrado menor do quadrado maior -> (x²+4x+4)-x²=(4x+4). Esta é a área do quadrado maior não ocupada pelo quadrado menor. Questão 8 Resposta: Área do retângulo é igual a x(x-2)=x²-2x. A área do quadrado é igual a (x-3)²=x²- 6x+9. Basta subtrair a área do quadrado da área do retângulo: (x²-2x)-(x²-6x+9)=4x-9. Questão 9 Resposta: a) ax+2bx+3a+6b = (a+2b)*(x+3) b) xy+2x-2x-4 = (y+2)*(x-2) Questão 10 Resposta: O quadrado de lado (x-y) possui área (x-y)²=x²-2xy+y². A área do retângulo é (x+2)*(x-2)=x²-4. Portanto, a soma das áreas é igual a x²-2xy+y²+x²-4 = 2x²+y²-2xy-4.
  38. 38. seções
  39. 39. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  40. 40. 40 Tema03 RegradeTrêsSimples,Composta,Porcentageme IntroduçãoàsFunções
  41. 41. 41 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Regra de três simples. • Regra de três composta. • Porcentagem. • Conceito de função, função crescente e decrescente.
  42. 42. 42 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA I. Regra de três simples A regra de três simples é utilizada quando temos quatro valores relacionados e conhecemos apenas três deles. Este quarto valor é descoberto em função dos outros três. No entanto, os valores representam apenas duas grandezas de valor diferentes, como tempo e velocidade, por exemplo. Dois valores representam uma grandeza, e outros dois valores representam a outra grandeza relacionada. Quando há uma relação entre os valores, é necessário identificar se eles são diretamente ou inversamente proporcionais. Em valores diretamente proporcionais há uma correlação positiva entre eles, enquanto os valores inversamente proporcionais possuem correlação negativa. Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais? • Se um corredor percorre determinado trecho em 300 segundos correndo a 5 metros por segundo, em quanto tempo irá percorrer o mesmo percurso se correr a 7 metros por segundo? • Se uma fábrica produz 10 toneladas de farinha por mês funcionando 20 dias por mês por 8 horas por dia, quantas toneladas essa mesma fábrica produziria se funcionasse 26 dias por mês por 6 horas por dia? • O que são domínio e imagem de uma função? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  43. 43. 43 Exemplo de valores diretamente proporcionais: quanto mais tempo uma torneira fica aberta, mais água será gasta; ou quanto menos uma pessoa come, menor é a ingestão de calorias. Exemplo de valores inversamente proporcionais: quanto maior a velocidade de um carro, menor o tempo do percurso percorrido; ou quanto mais trabalhadores em uma obra, menor o tempo para que ela fique pronta. Exemplos de cálculo da regra de três simples: • Em uma construção é necessário utilizar 1 kg de cimento para cobrir uma área de 4 m². Quantos quilos de cimento são necessários para cobrir 20 m²? Resposta: 1 kg de cimento se relaciona a 4m², assim como x kg de cimento se relaciona com 20 m². Portanto: 1 kg ---- 4 m² X kg ---- 20 m² Realizando uma multiplicação cruzada, temos -> 20=4x, então, x=5. São necessários 5 kg de cimento! Para valores inversamente proporcionais, o procedimento é o mesmo, mas ocorre uma in- versão dos termos. • Se uma pessoa estuda 10 páginas por dia e demora 24 dias para ler todo o livro, em quantos dias lerá todo o livro se estudar 12 páginas por dia? 10 páginas por dia – 24 dias 12 páginas por dia – x dias Neste caso, quanto mais a pessoa ler, menos dias irá demorar para terminar os estudos. Assim, é necessário inverter a coluna onde está a incógnita. 10 – x 12 – 24 Desta maneira, a multiplicação cruzada retorna a expressão: 10*24=12x. Então, x=20 dias. II. Regra de três composta Este outro caso é utilizado quando há mais de duas grandezas relacionadas no problema. LEITURAOBRIGATÓRIA
  44. 44. 44 ÍNICIO O princípio de cálculo é o mesmo que o da regra de três simples. Vejamos os exemplos: • Para pintar uma parede de 10 metros de comprimento e 5 metros de altura, foram utilizadas 3 latas de tinta. Quantas latas são necessárias para pintar uma parede de 15 metros de comprimento por 4 metros de altura? Para este problema colocado, primeiramente é preciso identificar quais grandezas são di- retamente proporcionais e quais são inversamente proporcionais à quantidade de latas uti- lizadas. A relação é esta: Latas Comprimento Altura 3 10 5 x 15 4 Separe sempre a variável na primeira coluna. Assim como na regra simples, identifique a relação da variável com as demais grandezas. No exemplo, quanto maior o comprimento do muro, mais latas de tintas serão utilizadas, portanto, são diretamente proporcionais. O mes- mo ocorre em relação à altura, quanto maior a altura, mais latas de tinta são necessárias para pintar o muro, então, são diretamente proporcionais. É hora de multiplicar! =50x=180 -> x=3,6 Portanto, serão utilizadas aproximadamente 3,6 latas de tintas. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, inverte-se a grandeza e efetua-se a multiplicação do mesmo modo que na regra de três simples. • Para pintar uma casa são necessários 3 pintores trabalhando 4 dias por 8 horas diárias. LEITURAOBRIGATÓRIA
  45. 45. 45 Quantos pintores são necessários para pintar uma casa trabalhando 5 dias por 6 horas diárias? Pintores Dias Horas 3 4 8 x 6 2 Repare que, quanto mais trabalhadores, o trabalho será executado em menos dias. A mes- ma relação vale para as horas trabalhadas, então, dias e horas são inversamente propor- cionais à variável (x). Então, basta inverter os termos da expressão inversamente propor- cionais: Pintores Dias Horas 3 6 2 x 4 8 Agora, basta efetuar a multiplicação e encontrar o valor da variável. Portanto, x=8. São necessários 8 trabalhadores. III. Porcentagem Expressões com porcentagens são muito utilizadas em transações financeiras, engenharia, para indicar promoções, índices, entre outros. A representação de números porcentuais ocorre dividindo-se o número por 100 ou adicionando o símbolo (%). Portanto, x% de um valor significa multiplicar esse valor por (x/100). Exemplos: LEITURAOBRIGATÓRIA
  46. 46. 46 ÍNICIO • O número 50 é expresso em porcentual como 50%. Na razão centesimal como (50÷100) e em número decimal como 0,5. Todas as representações possuem o mesmo valor numérico. Obter (x%) de outro valor significa encontrar essa tal proporção do valor desejado, por ex- emplo: • 20% de 10,00 = (20*10)÷100 = 2,00. Isto é a mesma coisa que 0,2*100=2,00. Trans- formamos a expressão porcentual em razão centesimal e, depois, em número (ou valor) decimal para multiplicar por 10, de modo a encontrar 20% deste valor. Conceder um porcentual de desconto significa diminuir o valor em tal proporção porcentual; conceder um acréscimo porcentual significa somar. Para isso, o ideal é encontrar o Fator Multiplicação, que, para o acréscimo de valor, nada mais é que somar (1+valor decimal). No caso de decréscimo de valor, ou desconto, basta subtrair o valor decimal (1-valor decimal). Este fator será usado para multiplicar o parâmetro de valor a ser somado/descontado. Exemplos: Somar 20% -> fator de multiplicação = (1+0,2) = 1,2 Descontar 30% -> fator multiplicação = (1-0,3) = 0,7 Ao comprar um televisor de R$ 600,00 e conseguir desconto de 10%, você pagará (1-0,1) do valor inicial, ou seja, 0,9*600,00=540,00. Seu desconto foi de R$ 60,00. Ao aplicar R$ 600,00 em um investimento e conseguir um retorno financeiro de 10% do valor investido, você terá no final 1,1*600=660,00. Seu lucro foi de R$ 60,00. IV. Conceito de função As funções matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução de problemas de diver- sos tipos. Dizer que algo está em função de outra coisa quer dizer que há uma relação de dependência entre estas variáveis. O valor de uma variável se altera em função de outra. Imagine que a produção de um produto qualquer depende exclusivamente de quantos trab- alhadores estão empregados no processo produtivo. Chamaremos a quantidade produzida de (p) e o número de trabalhadores empregados de (t). Portanto, em p=f(t), conforme a quantidade de (t) varia, (p) também varia. Existe uma relação em que, para cada valor de (t), há um único valor de (p) correspondente. Dizemos que (p) está como função de (t). Neste caso, (t) é a variável independente e (p) é a variável dependente. Já o conjunto de valores LEITURAOBRIGATÓRIA
  47. 47. 47 possíveis que a variável (t) pode assumir é o domínio da função, e o conjunto de resultados da dependente (p) correspondentes ao domínio é chamado de imagem. Uma função é expressa com fórmulas que relacionam as variáveis e o conjunto domínio com as respectivas imagens da função. V. Função crescente e decrescente Neste Caderno de Atividades, você estudará diversos tipos de função. As primeiras serão as funções crescentes e decrescentes. Uma função é crescente quando, conforme o número da variável independente aumenta, a dependente também aumenta. Por outro lado, a função decrescente se caracteriza da seguinte forma: na medida em que o número da variável independente aumenta, o valor da dependente diminui. Veja os exemplos a seguir: • Função crescente: imagine o crescimento de uma pessoa até os 18 anos. Com 5 anos, esta pessoa já possui, por exemplo, 110 cm; portanto, este é o ponto de partida do gráfico que utilizaremos. De acordo com o passar dos anos, a pessoa cresce até atin- gir, por exemplo, 190 cm aos 18 anos. Então, temos uma função crescente da seguinte forma: considerando (A) como variável para altura, que é a variável dependente, e (t) para cada ano, que é a variável independente. A função é A=f(t), em que o eixo horizontal corresponde à idade e o eixo vertical corresponde à altura (Figura 3.1). Figura 3.1 Gráfico da altura em centímetros em função da idade. LEITURAOBRIGATÓRIA
  48. 48. 48 ÍNICIO Idade (domínio) 5 6 8 10 12 14 16 18 Altura (ima- gem) 110 121 133 144 156 167 179 190 Exemplos de função crescente: 2x+3; 7x-10; (x÷5). Em todos os casos, quanto maior o valor de (x), maior será a variável dependente. • A função decrescente apresenta relações inversas. Imagine que uma obra está sen- do construída por operários que possuem uma produtividade igual e contínua. A obra tem previsão de ser concluída em 31 dias se houver apenas 1 operário. A cada novo operário contratado, o tempo da obra é reduzido em 1 dia, portanto, se houver 30 operários, a obra pode ser concluída em 1 dia. Esta é uma função decrescente, na qual (d) são os dias de obra e (p) é o número de operários. Então, d=f(p), em que o eixo horizontal cor- responde ao número de operários e o eixo vertical mostra os dias de obra (Figura 3.2). Figura 3.2 Gráfico dos dias de obra em função do número de operários. Número de operários (domínio) 1 5 10 15 20 25 30 Dias de obra (imagem) 31 26 21 16 11 6 1 LEITURAOBRIGATÓRIA
  49. 49. 49 Exemplos de função crescente: -2x+3; -x-2; -10x Em todos os casos, quanto maior o valor de (x), menor será a variável dependente. LINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o site Brasil Escola, que apresenta exemplos de cálculo de porcentagens. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm>. Acesso em: 23 abr. 2013. Acesse o link com o conceito e exemplo gráfico de uma função. Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/conceito.htm>. Acesso em: 26 abr. 2013. Acesse o link com exemplos de funções de primeiro grau crescentes e decrescentes. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm>. Acesso em: 27 abr. 2013. VÍDEOS Definição formal de função crescente e função decrescente. É uma breve revisão sobre o conceito de funções crescentes e decrescentes que você acabou de estudar. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=3g6quxWFlQU>. Acesso em: 27 abr. 2013. LEITURAOBRIGATÓRIA
  50. 50. 50 ÍNICIO Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 3, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Utilizando a regra de três simples, encon- tre a expressão algébrica para definir o que se pede. Se um corredor percorre (3x÷2) km em 90 minutos, quanto percorrerá em 5 horas? Questão 2: Levando em consideração o que foi estu- dado sobre porcentagem, responda (V) para Verdadeiro e (F) para Falso. a) ( ) 115%*40=43,2 b) ( ) (63÷100)*50=31,5 c) ( ) 120*85%÷(100*105%)=1,02 d) ( ) 108%*0,90*10=9,72 Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) Uma função é uma relação de duas variáveis, na qual há um único valor de imagem para cada valor do domínio. b) A regra de três composta é utilizada quando há mais de três grandezas en- volvidas e ao menos duas delas são desconhecidas. c) Uma função crescente é sempre posi- tiva. d) Uma função é uma relação de duas variáveis, na qual há um único valor de domínio para cada valor da imagem. Questão 4: Assinale a alternativa correta: a) A função (-3x+15) é crescente. b) A função (1÷x) é decrescente. c) A função (-x÷x²) é decrescente. d) A função (-x÷-2) é decrescente. Questão 5: Uma pessoa consegue ler 300 páginas em 10 dias, lendo 4 horas por dia. Quan- tas horas por dia esta mesma pessoa pre- cisará de leitura diária para ler 720 páginas em 12 dias? RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA AGORAÉASUAVEZ INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA
  51. 51. 51 RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA AGORAÉASUAVEZ Questão 6: Uma pessoa ganha R$ 1.000,00 por mês trabalhando 15 dias por mês por 5 horas diárias. Quanto esta mesma pessoa gan- haria se trabalhasse 30 dias por mês por 8 horas diárias? Questão 7: Uma pessoa vai ao mercado para tentar comprar uma geladeira. O boleto a ser pago daqui a 30 dias está no valor de R$ 1.500,00. Se pagar 5 dias antes, há um desconto de 5%, se pagar 10 dias antes, há um desconto adicional de 5% sobre o valor pago com 5 dias de antecedência. Por outro lado, se o pagamento atrasar em até 5 dias, terá uma multa de 3% do valor e, se atrasar mais que 5 dias, a multa será de mais 3% sobre o valor, já considerando a multa anterior. Calcule o valor a ser pago se: a) Antecipar o pagamento em 10 dias. b) Atrasar o pagamento em mais de 5 dias. Questão 8: Considere a função f(x)=3x²+5x-x²-15. En- contre o valor de f(3)-f(2). Questão 9: Se 1 máquina empacota 450 produtos a cada 80 minutos, quantas máquinas são necessárias para empacotar 1.350 produ- tos funcionando por 120 minutos? Questão 10: Considere uma função de produção na qual a quantidade (q) é uma função dos insumos (x). A função é dada por q=3x+20-(x÷2) a) Qual a quantidade produzida quando a quantidade de insumos é 6? b) Encontre a quantidade de insumos para uma quantidade total produzida igual a 50.
  52. 52. 52 ÍNICIOFINALIZANDO No Tema 3 você relembrou as regras de três simples e composta, porcentagem. Também foi introduzido o tema funções. No Tema 4, você verá mais a fundo os tipos de funções e as funções de 1o grau. REFERÊNCIAS MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622) GLOSSÁRIO Função crescente: é quando a variável independente aumenta e a variável dependente também. Função decrescente: é quando a variável independente aumenta e a variável dependente decresce. Imagem da função: conjunto dos valores assumidos pela variável dependente na função. Valores diretamente proporcionais: valores com correlação positiva. Valores inversamente proporcionais: valores com correlação negativa.
  53. 53. 53 GABARITO Tema 3 Regras de Três Simples, Composta, Porcentagem e Introdução às Funções Questão 1 Resposta: Se em 90 minutos ele percorre (3x÷2) km, então em 60 min irá percorrer 60(3x÷2)/90 = x km a cada hora. Portanto, em 5 horas irá percorrer 5x. Questão 2 Resposta: a) F; b) V; c) F; d) V Questão 3 Resposta: c) Questão 4 Resposta: a) Questão 5 Resposta: Horas Páginas Dias 4 300 10 x 720 12 Se aumentar o número de horas de leitura, é possível ler mais páginas, portanto, direta- mente proporcional. Se aumentar o número de horas de leitura, é possível ler em menos tempo, portanto, inversamente proporcional. Inverta o número.
  54. 54. 54 ÍNICIOGABARITO Horas Páginas Dias 4 300 12 x 720 10 Agora é só multiplicar -> x*300*12=4*720*10, então x= 8 horas. Questão 6 Resposta: Salário Dias Horas 1000 15 5 x 30 8 Neste caso, todos os valores são diretamente proporcionais, pois, se o salário é dado por hora, quanto mais se trabalha, maior o salário. Então: x*15*5=1000*30*8. O salário da pessoa seria de R$ 3.200,00. Questão 7 Resposta: a) Antecipar 5 dias dá desconto de 5% sobre R$ 1.500,00, portanto, pagará (1- 0,05)*1500=1.425,00. Se pagar com 10 dias de antecedência, receberá mais 5% sobre este valor, portanto, (1-0,05)*1.425=1.353,75. O valor a ser pago antecipando o boleto em 10 dias será de R$ 1.353,75. b) Seopagamentoatrasar5dias,haverámultade3%,portanto,pagará(1+0,03)*1500=1545. Se atrasar mais de 5 dias, haverá nova multa de 3% sobre este valor, então pagará (1+0,03)*1545=1591,35. O valor a ser pago com a multa será de R$ 1.591,35. Questão 8 Resposta: A função é f(x)=3x²+5x-x²-15. Em seu modo simplificado, pode ser escrita como x²+5x-15
  55. 55. 55 GABARITO f(3)= 3²+5*(3)-15=9 f(2)= 2²+5*(2)-15=-1 Portanto, f(3)-f(2)=9-(-1)=10 Questão 9 Resposta: Quanto mais máquinas, mais produtos serão empacotados, então são valores diretamente proporcionais. Quanto mais máquinas, menos tempo é necessário para o em- pacotamento, portanto, são valores inversamente proporcionais. Inverta o número. Máquinas Produtos Minutos 1 450 120 x 1350 80 X=(1350*80)÷(450*120)=2 máquinas Questão 10 Resposta: a) X=6 e a função é igual a q=3x+20-(x÷2). Basta substituir o (x) da função pelo número 6 e teremos: q=3x+20-(x÷2)= =3*6+20-(6/2)=35 b) Agora a quantidade total é igual a 50. Basta fazer q=50 e encontrar o valor de (x). q=3x+20-(x÷2)= =50=3x+20-(x÷2)= =50-20=3x-(x÷2)= =30*2=6x-x= =60=5x, então x=12
  56. 56. seções
  57. 57. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  58. 58. 58 Tema04 TiposdeFunçãoeFunçãode1o Grau
  59. 59. 59 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Função limitada. • Função composta. • Função de 1o grau. • Juros simples. • Restrição orçamentária.
  60. 60. 60 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA I. Função limitada No tema anterior, foram apresentadas as funções crescentes e decrescentes. Agora, você verá as funções limitadas. Uma função é chamada de limitada quando a imagem, ou seja, a variável dependente, não ultrapassa determinado valor, seja ele superior ou inferior. Se o resultado nunca é menor que determinado resultado, tal valor é chamado de limitante infe- rior; se o resultado nunca é maior que outro resultado determinado, este valor é chamado de limitante superior. • Exemplo de função limitada superiormente e inferiormente: Considere a função y=(1÷x), sendo que x≥0,1 Domínio (x) 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,10 100,0 Imagem (y) 10,00 3,33 2,00 1,43 1,11 0,91 0,01 Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual a diferença de uma função limitada superiormente de uma função limitada infe- riormente? • O que significa uma função ser composta? • O que indica a taxa de variação em uma função? • O que é break-even point? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  61. 61. 61 Figura 4.1 Função limitada inferiormente e superiormente. Note que a função acima é limitada superiormente quando x=0,10 (Figura 4.1). Quanto maior (x), mais próximo a zero será (y). Então, y=10 é o limite superior, e o limite inferior tende a zero. II. Função composta Você também já aprendeu que uma função pode ser descrita como f(x), ou seja, algo que se relaciona com as variações decorrentes de (x). Já a função g(f(x)) quer dizer que a fun- ção g depende da função f, ou seja, primeiramente é necessário resolver a função f(x) para depois resolver a função g(f(x)). Esta função é composta e envolve mais de uma grandeza. Veja o exemplo a seguir: • Imagine um plano dividido em 6 áreas quadradas e iguais. Considerando o lado de cada área como (x), encontre a área total do plano. Resolvendo o problema, temos que, se as áreas dos quadrados são iguais e a somatória das 6 áreas é igual ao plano total, então esta é um função composta. Primeiramente, é ne- cessário encontrar a área do quadrado para encontrar a área do plano. Escrevemos como g(f(x)), em que g é uma função para encontrar a área total do plano. LEITURAOBRIGATÓRIA
  62. 62. 62 ÍNICIO Substituindo: y=f(x)=x² -> g(y)=6y ->6x² Então, podemos reescrever a função como g(x)=6x². Esta é a área total do plano. III. Função de 1o grau As funções de 1º grau, chamadas também de funções polinomiais de primeiro grau, são consideradas as funções mais simples. Elas são escritas como y=f(x), sendo que f(x)=mx+b. Aqui, (m) é chamado de coeficiente angular e é sempre diferente de zero, enquanto (b) é o coeficiente linear. A função de 1o grau é caracterizada quando uma variação na variável independente resulta em uma variação proporcional na variável dependente. Para verificar este caso, podemos calcular a taxa de variação da variável dependente em relação à variável independente. É o que veremos no exemplo a seguir. • Função y=2x+3. Neste exemplo, veremos o que acontece com as variáveis. Domínio (x) 1 2 3 4 5 Imagem (y) 5 7 9 11 13 Agora, calcularemos a taxa de variação da variável dependente em relação à variação da variável independente. A variação de (x) está ocorrendo sempre em uma unidade de valor, e o efeito disso sobre (y) está sendo sempre de duas unidades. Neste exemplo, a taxa de variação da variável dependente é igual a 2. Isso quer dizer que cada variação de uma unidade em (x), (y) irá variar em 2 unidades. O coeficiente angular também é a taxa de variação de uma função e, portanto, indica a inclinação da reta. Pense no exemplo apresentado como uma função de custo de produção, na qual 2x é o custo que varia de acordo com o aumento da produção (custo variável) e 3 é o custo fixo. O custo inicial para a quantidade x=0 é igual a 3, e a inclinação da reta, que é a taxa de variação calculada, é igual a 2 (Figura 4.2). LEITURAOBRIGATÓRIA
  63. 63. 63 Figura 4.2 Função custo de produção y=2x+3. O próximo passo é definir uma função de receita para esta produção. Sabendo que receita é igual à quantidade vendida vezes o preço unitário, faremos R=p*x. Trabalharemos com preço unitário igual a R$ 5,00, então, R=5x. Neste caso, a inclinação da reta de receita é igual a 5. O lucro é uma decorrência da receita menos custos. L=R-C= =5x-(2x+3)= =3x-3=L A inclinação da função lucro é igual a 3. Agora, é importante encontrar a quantidade mínima a ser produzida com dada função, e este ponto é quando o lucro é igual a zero. Se produzir menos que tal quantidade haverá prejuízo, se produzir mais haverá lucro. L=0=3x-3. Temos que x=1 é a quantidade mínima a ser produzida. Esta é a quantidade que a receita se iguala ao custo, ou seja, R=C quando 5x=2x-3 -> x=1. Por termos trabalhado com exemplos que envolvem custos e receitas, este ponto é chamado de break-even point ou ponto de equilíbrio. Mas a premissa para encontrarmos o ponto em comum entre um sistema de funções de primeiro grau é a mesma, pois basta igualarmos as funções para encontrarmos o valor da variável que torna comum o resultado das funções. Se, por exemplo, duas funções se cru- LEITURAOBRIGATÓRIA
  64. 64. 64 ÍNICIO zam em um ponto em comum, ou seja, há apenas um valor comum da função e apenas um valor da variável, este sistema é chamado de possível e determinado. Se não há solução em comum, o sistema é chamado de impossível, pois as retas nunca se cruzarão em um ponto comum. IV. Juros simples Veremos agora funções de juros simples. Sabendo que a função do montante (juros mais capital inicial) é igual ao capital inicial investido multiplicado pelos juros e multiplicado pelo período aplicado. Deste modo: M=C*i*n+C M=Montante; i=taxa de juros; C=capital inicial; n=período da aplicação. Por outro lado, a equação M-C indica o valor dos juros recebidos pelo investimento no período, ou seja, os juros recebidos (J) correspondem a J=C*i*n. A função de juros simples é sempre de 1o grau, pois é uma reta (Figura 4.3). Note que o maior grau da função é 1 para qualquer termo. Figura 4.3 Montante e Juros. LEITURAOBRIGATÓRIA
  65. 65. 65 V. Restrição orçamentária Mais um exemplo de função de 1o grau é o caso de restrição orçamentária. Aqui, dadas as funções de gastos com os produtos a serem comprados, a meta é encontrar a quantidade comprada de cada produto até os gastos se igualarem ao orçamento. Suponha orçamento total igual a R$ 100,00. Com esse orçamento serão comprados dois produtos diferentes, um de custo unitário de R$ 2,00 e outro de R$ 4,00. A quantidade do produto um é igual a (x) e do produto dois igual a (y). Portanto: 100=2x+4y, esta é a restrição orçamentária do exemplo. Se fizermos y=0, teremos x=50; se fizermos x=0, teremos y=25. Estes casos ilustram a pos- sibilidade de se comprar apenas um dos produtos com o orçamento disponível. Se na função 100=2x+4y isolarmos as variáveis em momentos distintos, teremos a relação entre elas. Por exemplo: X=50-2y e y=25-0,5x Já sabemos quais são as quantidades extremas de cada produto que cabem no orçamento e agora temos a relação entre as variáveis. Então, se, por exemplo, a pessoa optar por comprar 30 unidades de x, temos que o orçamento irá comportar mais: y=25-0,5x -> y=10. Vamos verificar: 100=2*30+4y -> y=10 Por outro lado, se a pessoa optar por comprar 20 unidades do produto y, o orçamento irá comportar: x=50-2y= =x=50-40=10 Então, ao comprar 20 unidades do produto y, ainda haverá orçamento para mais 10 uni- dades do produto x. Lembre-se de que, neste exemplo, as quantidades de cada produto devem respeitar os casos extremos que encontramos anteriormente, x=50 ou y=25. O maior grau desta função de restrição orçamentária é 1, portanto, é uma função de 1o grau. Combinações de quantidades que não somem um valor gasto menor que o orçamento disponível são chamadas de pontos abaixo da reta. Combinações que proporcionem um gasto igual ao orçamento são pontos na reta, e combinações nas quais os gastos excedam o orçamento são pontos acima da reta. LEITURAOBRIGATÓRIA
  66. 66. 66 ÍNICIOLINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o site Brasil Escola e veja exemplos de funções compostas. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-composta.htm>. Acesso em: 28 abr. 2013. Acesse o site Só Matemática e veja novamente os conceitos sobre juros simples. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/finan2.php>. Acesso em: 29 abr. 2013. Acesse o link do Guia do Estudante sobre sistemas impossíveis, possíveis e determinados. Disponívelem:<http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/sistemas-lineares-677814. shtml>. Acesso em: 30 abr. 2013. Acesse o link do site Mundo Educação e veja exemplo de cálculo de ponto de equilíbrio. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-equilibrio.htm>. Acesso em: 30 abr. 2013. VÍDEOS Matemática - Aula 4 - Função do Primeiro Grau - Parte 1. É uma breve revisão sobre a fun- ção de 1o grau que você acabou de estudar. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=pYqp-57y0D8>. Acesso em: 28 abr. 2013.
  67. 67. 67 RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 4, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Considerando os tipos de funções apre- sentadas no Tema 3 e no Tema 4, classi- fique as funções a seguir como crescente, decrescente, limitada ou composta. a) y=(1÷x)+550 b) y=8x-(1÷x) c) y=f(2x+1) d) y=3x÷7x-2x Questão 2: Levando em consideração o que foi estu- dado sobre as funções de 1o grau, respon- da (V) para Verdadeiro e (F) para Falso. a) ( ) Uma função limitada inferiormente pode possuir infinitos resultados. b) ( ) Uma função limitada superiormente pode possuir infinitos resultados. c) ( ) Na função y=mx+b, o coeficiente (b) determina a inclinação da reta. d) ( ) O break-even point é o ponto de equilíbrio de uma função de lucro. Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) Na função y=8x-6, a taxa de variação é igual a (-6). b) Na função y=-2+3x÷2, a inclinação da reta é igual a 3. c) O coeficiente angular de uma função indica o ponto gráfico onde a reta irá cru- zar o eixo vertical y. d) A função f(x)=4x também pode ser es- crita como y=4x. Questão 4: Assinale a alternativa correta: a) O sistema de funções y=4x+30 e y=- 2x-10 é impossível. b) O ponto de equilíbrio das funções y=(2x³÷x²)-4 e y=4x+50 é quando x=27. c) Se o coeficiente angular de uma fun- ção é igual a (5÷2), se o valor de (x) variar em 4 unidades, a variável dependente (y) irá variar em 2 unidades. d) O sistema de funções y=2x+2 e f(x)=2x-2 é possível e determinado. INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ
  68. 68. 68 ÍNICIO INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA Questão 5: Considerando o que foi estudado sobre funções compostas neste Tema 4, assinale a alternativa correta: a) Se f(x)=2x+2 e g(y)=4x, então g(f(x))=8x²+8x. b) Se f(x)=2x+2 e g(y)=4x, então g(x)=8x+2. c) Se f(x)=x e g(y)=x, então g(x)=2x. d) Se f(x)=x² e g(y)=(1÷x), então g(f(x))=x²-x. Questão 6: Encontre o ponto de equilíbrio das funções y=4x-15 e y=x-3. Questão 7: Calcule o montante de um investimento no qual o capital inicial aplicado seja de R$ 5.000,00 por um período de 14 meses, com juros mensais de 3%. Questão 8: Areceita de uma clínica médica é dada pela quantidade de pacientes e pelo valor cob- rado pelo atendimento. O custo da clínica possui uma parte variável, de acordo com a quantidade de pacientes, e outra parte de despesas fixas, que é igual a R$ 21.000,00 por mês. Considerando o valor médio co- brado por atendimento de R$ 200,00 e a função de custo fixo de 50x, determine a quantidade mínima de pacientes para esta clínica não ter prejuízo. Questão 9: Um hospital atendeu há 8 meses 50 paci- entes além da quantidade que determina seu ponto de equilíbrio. Com o lucro que obteve, resolveu aplicar em um investimen- to que rende 2% ao mês. Considerando o custo variável do hospital de 10x, o custo fixo de R$ 49.400,00 e uma receita média por paciente de R$ 200,00, calcule a recei- ta total obtida no mês em questão e qual o rendimento com juros que o hospital obteve após os 8 meses com o dinheiro investido. (x=número de pacientes) Questão 10: Imagine um processo produtivo integrado. Uma etapa do processo é produzir bar- ras de aço e a outra etapa é cortar esta barra de aço em (8y-2) pedaços iguais. A função produção da barra de aço é igual a y=4x+10, e (x) é o peso da barra em kg. Determine quantos pedaços de barra de aço serão produzidos se inserirem 2 kg de aço na máquina. RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA
  69. 69. 69 No Tema 4 você relembrou as funções de 1o grau do tipo composta e limitada, viu como calcular juros simples e restrição orçamentária. No Tema 5, será introduzido o tema funções de 2o grau. FINALIZANDO REFERÊNCIAS MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622) GLOSSÁRIO Break-even point: ponto no qual o lucro é zero, ou seja, a receita é igual ao custo. Montante: soma do capital inicial investido mais os ganhos com os juros. Sistema impossível: um sistema de funções que não possui solução. Graficamente, isto quer dizer que as retas formadas pelas funções não se cruzam. Sistema possível e determinado: um sistema de funções que possui apenas um valor para a incógnita como solução. Graficamente, isto quer dizer que as retas formadas pelas funções se encontram em apenas um ponto determinado. Taxa de variação: é a taxa de variação causada na variável dependente a cada variação unitária da variável independente.
  70. 70. 70 ÍNICIOGABARITO Tema 4 Tipos de Função e Função de 1o Grau Questão 1 Resposta: a) Função limitada e decrescente. b) Função crescente. c) Função composta. d) Função decrescente. Questão 2 Resposta: a) V; b) V; c) F; d) V Questão 3 Resposta: d) Questão 4 Resposta: b) Questão 5 Resposta: b) Questão 6 Resposta: Para encontrar o ponto de equilíbrio, basta igualar as duas funções, portanto, 4x-15=(x)-3= =3x=12 ->x=4 determina o ponto de equilíbrio. Agora, substituindo o valor na função, temos que y=3*(4)-15=-3 Questão 7 Resposta: Calcule o montante de um investimento no qual o capital inicial aplicado seja de R$ 5.000,00 por um período de 14 meses, com juros mensais de 3%. Montante=Capital*juros*período, ou seja, M=C*i*n+C
  71. 71. 71 Então, M=5.000*14*0,03+5.000=R$ 7.100,00. Questão 8 Resposta: A função de custo é igual ao custo fixo mais custo variável, portanto, Custo=50x+21000. Já a Receita é dada por pacientes*valor do atendimento. A Receita da clínica é igual a 200x. Agora, é só igualar as duas funções para saber a quantidade mínima de (x) para que não tenha prejuízo, ou seja, Custo=Receita. 50x+21000=200x= =21000=150x -> x=140 São necessários 140 pacientes para que a clínica não tenha prejuízo. Questão 9 Resposta: Primeiramente, é necessário encontrar o ponto de equilíbrio para depois saber qual o lucro obtido há 8 meses. Para isto, iguale a função de receita=200*x à função de custo=custo fixo+custo variável=10x+49.400. Portanto, 200x=10x+49400= =190x=49400 -> x=260, ou seja, são necessários 260 pacientes mensais para que o hos- pital não tenha prejuízo. Agora, é só acrescer 50 pacientes, além do ponto de equilíbrio, ou seja, x=(260+50)=310. Receita=200x. No mês em questão, a receita total do hospital foi de R$ 62.000,00. O lucro obtido foi de 50 pacientes. Este valor será calculado com a receita menos os custos quando o total de pacientes atendido for de 310 pessoas. Portanto, 200*310-10*310+49400=Lucro=R$ 9.500,00 Agora, basta relembrar que juros recebidos= Capital investido*taxa de juros*período. Neste caso, a taxa e o período foram dados no enunciado. Valor de juros= C*i*n= =9500*0,02*8=1.500,00 O total recebido apenas de juros da aplicação feita após 8 meses é de R$ 1.500,00. Questão 10 Resposta: A função composta é g(f(x)), sendo g(y)=8x-2 e f(x)=y=4x+10. Portanto, a função g(x)=8(4x+10)-2. Se forem inseridos 2 kg de aço na máquina, teremos g(f(2))=8(4*2+10)- 2=72. Serão produzidos 72 pedaços de aço. GABARITO
  72. 72. seções
  73. 73. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  74. 74. 74 Tema05 Funçõesde2o Grau
  75. 75. 75 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Definição de função de 2o grau. • Modelos de função de 2o grau. • Como calcular as raízes das funções de 2o grau. • Como definir o conjunto imagem de uma função de 2o grau.
  76. 76. 76 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA No Tema 5, você estudará as funções de 2o grau. No tema anterior, foram apresentadas as funções de 1o grau, com seus tipos básicos, juros simples e restrição orçamentária. Agora, estudaremos as funções de grau 2, que também são chamadas de funções quadráticas, ou seja, aquelas funções que possuem o maior expoente de um coeficiente literal igual a 2. No próximo tema, aprenderemos a utilizar as funções quadráticas para resolver problemas práticos que podem surgir no dia a dia. Uma função de 2o grau pode ser escrita da seguinte forma: f(x)=ax²+bx+c em que os coeficientes (a), (b) e (c) são números reais e a≠0. O coeficiente (c) também é chamado de termo independente. No entanto, (b) e (c) podem ser iguais a zero ou nulos. Neste caso, a função é chamada de função incompleta. Por outro lado, quando todos os coeficientes são diferentes de zero, é chamada de função completa. Exemplos de funções completas: Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • O que é uma função completa e uma função incompleta? • Como se verifica a direção da concavidade de uma parábola? • Para que é utilizada a fórmula de Bhaskara? • O que determina o sinal do discriminante da equação ∆? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  77. 77. 77 • 2x²+3x-15 • -X²+x+1 Exemplos de funções incompletas: • X²+4x • 5x²-20 • -8x² Há algumas características comuns que podem ser observadas nas funções de segundo grau. Quando o termo de maior grau é elevado ao quadrado, o gráfico que representa a função é uma parábola, também chamada de curva. O primeiro ponto a ser observado é que, se o sinal do coeficiente da variável indepen- dente, que nos exemplos anteriores foi representada por (a), for positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima. Se o sinal do coeficiente da variável independente for nega- tivo, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Veja as figuras a seguir: Figura 5.1 Parábola da função x2. LEITURAOBRIGATÓRIA
  78. 78. 78 ÍNICIO A Figura 5.1 representa um gráfico para a função incompleta x². Apenas como exemplo, foram utilizados valores entre -3 e 3 para a variável. Note que a curva corta o eixo horizontal quando x=0, portanto, esta é a raiz da função. O coeficiente (a) é igual a 1. Figura 5.2 Parábola da função –x2. A Figura 5.2 representa a função (–x²). Note que y=0 quando x=0, portanto, x=0 é a raiz dessa função. O coeficiente (a) é igual a (-1). Mais exemplos: • f(x)=-9x²+10 -> o coeficiente da variável independente é igual a -9, portanto, menor que zero. A concavidade da parábola é voltada para baixo. • f(x)=30x²-50x -> o coeficiente da variável independente é igual a 30, portanto, maior que zero. A concavidade da parábola é voltada para cima. Como veremos mais adiante, essas funções possuem duas raízes, que podem ser iguais ou diferentes. Nos exemplos anteriores, ambas as raízes são iguais a zero. Essas raízes são representadas no gráfico como o(s) ponto(s) onde a curva corta o eixo horizontal. Se as raízes são representadas como os pontos que cortam o eixo horizontal, isso quer dizer que o valor correspondente no eixo vertical é igual a zero. Portanto, quando substituímos LEITURAOBRIGATÓRIA
  79. 79. 79 a variável independente da função pelo valor de uma das raízes, o valor de f(x)=y=0. Para encontrarmos as raízes de uma função quadrática, o primeiro passo é igualarmos f(x)=0 e calcularmos o valor da variável independente. O modo que utilizaremos para encontrar as raízes é a fórmula de Bhaskara, descrita a seguir: Neste caso, podemos fazer b²-4ac=Δ. Então, A letra grega delta, representada por Δ, é chamada de discriminante da equação. Veja al- gumas características do delta: • Se Δ>0, a função terá duas raízes reais e distintas. Uma raiz será igual a e a outra raiz será igual a . • Se Δ=0, a função terá duas raízes reais e iguais. Se delta é igual a zero, então a raiz é igual a . • Se Δ<0, não existem raízes reais. O vértice da parábola é chamado de ponto de mínimo se a concavidade estiver voltada para cima (a>0) ou ponto de máximo se a concavidade estiver voltada para baixo (a<0). As coordenadas do vértice determinam o conjunto imagem da função e são dadas por: V=(-b÷2a, -Δ÷4a) em que a primeira coordenada determina o valor do ponto no eixo horizontal e a segunda coordenada determina o valor do ponto no eixo vertical. Veremos, agora, a resolução de alguns exemplos para servir de base para futuros exercícios. LEITURAOBRIGATÓRIA
  80. 80. 80 ÍNICIO Exemplo 1 Determine as raízes das funções, a seguir, e as coordenadas dos vértices. Es- boce em um gráfico. a) f(x)=x²+3x-4 b) f(x)=-2x²+6 • Resolução f(x)=x²+3x-4 Primeiro, acharemos as raízes, conforme a fórmula de Bhaskara. Portanto, x1=(-3+√(3²-4*1*-4))÷(2*1) e x2=(-3-√(3²-4*1*-4))÷(2*1) Temos que as raízes são x1=1 e x2=-4. Isto quer dizer que a parábola irá cortar o eixo hori- zontal, ou seja, quando y=0, quando x for igual a x1 e também em x2. O coeficiente da variável independente, que no caso geral foi representado pela letra (a), é maior que zero. Assim, a concavidade da parábola é voltada para cima. Vamos analisar agora o valor de delta, que é dado por Δ=b²-4ac. No exemplo, Δ=25. Como o valor é positivo, a função possui duas raízes reais e diferentes, como já calculamos ante- riormente. O próximo passo é calcular as coordenadas do vértice. Temos que V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(-3÷2,-25÷4)=((-1,5),(-6,25)). Portanto, como a parábola está com a concavidade voltada para cima, as coordenadas do vértice determinam o ponto mínimo da função. Veja o grá- fico (Figura 5.3) representando o exemplo que acabamos de verificar com a curva cortando o eixo horizontal nas raízes -4 e 1 e o ponto mínimo quando x=-1,5 e resultando em y=-6,25. LEITURAOBRIGATÓRIA
  81. 81. 81 Figura 5.3 Gráfico f(x)=x2+3x-4. O exemplo dado foi de uma função completa com delta maior que zero. Veremos outro caso. Exemplo 2 Resolver f(x)=-2x²-3. O primeiro ponto a verificar é a respeito da concavidade da parábola. Temos que o coefi- ciente da variável independente (a) é igual a -2, portanto, menor que zero. Neste caso, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Isso quer dizer que o vértice será um ponto máximo no gráfico. Verificando o valor de delta, temos que Δ=-24. Desta forma, não há raízes reais para esta função, ou seja, considerando os números reais, não há pontos em que y=0. Consequent- emente, não é possível calcular x1 e x2. Mas é possível calcular o vértice da parábola conforme coordenadas já indicadas anterior- mente. O ponto máximo é V=(0,-3). Repare no gráfico (Figura 5.4), a seguir, que a curva não corta o eixo horizontal em nenhum momento e que o ponto de máximo ocorre quando x=0 e, consequentemente, y=-3. LEITURAOBRIGATÓRIA
  82. 82. 82 ÍNICIO Figura 5.4 Gráfico f(x)=-2x2-3 Com a definição do vértice de uma função, é possível definir seu conjunto imagem. Se uma função possui concavidade voltada para cima, seu vértice é um ponto mínimo e, portanto, todos os demais valores de y=f(x) serão maiores que o ponto mínimo. Por outro lado, se a função possui concavidade voltada para baixo, seu vértice é um ponto máximo e, portanto, todos os demais valores de y=f(x) serão menores que ele. Se, por exemplo, um ponto mínimo é dado por V=(1,-2), qualquer outro valor da função no conjunto Reais será maior que -1. Podemos definir o conjunto imagem da seguinte forma: Im(f)={y Є R| y≥-2}. Agora, se um ponto máximo é dado por V=(1,-2), qualquer outro valor da função no conjunto Reais será menor que -2. Neste caso, o conjunto imagem da função será: Im(f)={y Є R|y≤-2}. LEITURAOBRIGATÓRIA
  83. 83. 83 LINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o link Matemática Pura, com material bem completo sobre função de segundo grau. Disponível em: <http://www.matematicapura.com.br/download/material/funcao_do_2_grau.pdf>. Acesso em: 5 maio 2013. Acesse o site Alunos On Line, que trata um pouco sobre funções de 2o grau. Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-do-2-grau.html>. Acesso em: 4 maio 2013. Acesse o link do site Brasil Escola, com alguns exercícios sobre funções de 2o grau diferen- tes do que vimos neste Tema 5. Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-funcao-2-o-grau. htm>. Acesso em: 4 maio 2013. Acesse o site Tutor Brasil, que mostra exemplos de como calcular o vértice de uma função de 2o grau. Disponível em: <http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segun- do_grau/funcao_segundo_grau_09_vertice_imagem.php>. Acesso em: 4 maio 2013. VÍDEOS Videoaula Função Quadrática 2o grau. São aproximadamente 6 minutos de uma videoaula resumindo o que foi visto neste Tema 5. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=sm3FjI7HnYg>. Acesso em: 6 maio 2013.
  84. 84. 84 ÍNICIO RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 5, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Antes de realizar os demais exercícios deste tema, é importante que fixe como determinar a direção da concavidade da parábola. Indique para cada função, a se- guir, para onde a concavidade da parábola está voltada. a) y=9x-2x²+4 b) y=x²÷3 c) y=3x²+1 Questão 2: Levando em consideração o que foi estu- dado sobre as funções de 2o grau, respon- da (V) para Verdadeiro e (F) para Falso. a) ( ) A função f(x)=4x²+x²÷3-4 é uma função completa. b) ( ) Em f(x)=x²-4x÷3, o termo indepen- dente é igual a 3. c) ( ) O conjunto imagem de uma fun- ção, cujo ponto mínimo é V=(-1,5), é igual a Im(f)={y Є R|y≤-1}. d) ( ) O conjunto imagem de uma fun- ção, cujo ponto máximo é V=(3,8), é igual a Im(f)={y Є R|y≤8} Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) A função x²-3 não possui raízes Reais. b) A função –x²-2x+5 possui duas raízes Reais e distintas. c) A função 2x²-x possui duas raízes Reais e iguais. d) A função 6x+3-2x² não possui raízes Reais. Questão 4: Assinale a alternativa correta: a) O vértice de f(x)=2x²-2x+2 é V(0,2). b) O vértice de f(x)=2x²-2x+2 é V((0,5),(0,75)). c) O vértice V(-1,3) de f(x)=x²-2x+9 é um ponto máximo. d) O vértice de f(x)=-x²+4 é V(2,0). INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ
  85. 85. 85 INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVAQuestão 5: Considerando o que foi estudado sobre funções de 2o grau neste Tema 5, assinale a alternativa correta: a) O vértice de f(x)=-4x+x²+10 é V=(1,4). b) O conjunto imagem de uma função, cujo ponto mínimo é V=(3,6), é igual a Im(f)={y Є R|y≤6}. c) O conjunto imagem de uma função, cujo ponto máximo é V=(1,0), é igual a Im(f)={y Є R|y≤0}. d) O vértice de x²+15x+8 é um ponto máximo. Questão 6: Encontre o vértice da função f(x)=x²-x+2. Questão 7: Determine a direção da concavidade da parábola e as raízes da função y=-3x-8x²-1. Questão 8: Determine a direção da concavidade da parábola e as raízes da função y=8x+5x²+3. Questão 9: Encontre e esboce em um gráfico as raízes e o vértice da função -3x²+6x-3. Questão 10: Encontre e esboce em um gráfico as raízes e o vértice da função x²-3x+4. RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA
  86. 86. 86 ÍNICIO No Tema 5, você relembrou as funções de 2o grau. O Tema 6 irá aprofundar este mesmo assunto com o estudo de sinal e aplicações práticas para uso de funções de 2o grau. FINALIZANDO REFERÊNCIAS MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622) GLOSSÁRIO Eixo horizontal: reta no gráfico que representa os valores da variável independente. Eixo vertical: reta no gráfico que representa os valores da variável dependente. Parábola: nome dado à curva gráfica que representa uma função de 2o grau. Ponto máximo: valor extremo máximo que uma função pode alcançar. Ponto mínimo: valor extremo mínimo que uma função pode alcançar. Termo independente: coeficiente numérico da função que não está associado à variável independente.
  87. 87. 87 GABARITO Tema 5 Funções de 2o Grau Questão 1 Resposta: a) Concavidade voltada para baixo. b) Concavidade voltada para cima. c) Concavidade voltada para cima. Questão 2 Resposta: a) F ; b) F ; c) F ; d) V. Questão 3 Resposta: b) Questão 4 Resposta: b) Questão 5 Resposta: c) Questão 6 Resposta:Conformevisto,ovérticeédadoporV=(-b÷2a,-Δ÷4a).Portanto,paraf(x)=3x²-x+2, basta calcular as coordenadas V=(-(-1÷(2*1)),-((-1)²-(4*1*2))÷(4*1)), então, V=((0,5),(7÷4)). Questão 7 Resposta: O coeficiente do termo independente é menor que zero, portanto, a concavidade da parábola está voltada para baixo. Para encontrarmos as raízes da função, calcularemos x1 e x2 pela fórmula de Bhaskara. Primeiramente, é necessário encontrarmos o valor de delta.
  88. 88. 88 ÍNICIO Δ=b²-4ac -> Δ=(-3)²-4*(-8)*(-1) Δ=9-32=-23 O valor de delta é negativo, portanto, não há raízes no conjunto Reais. Questão 8 Resposta: 8x+5x²+3 O coeficiente do termo independente é maior que zero, portanto, a concavidade da parábola está voltada para cima. Para encontrarmos as raízes da função, calcularemos x1 e x2 pela fórmula de Bhaskara. Primeiramente, é necessário encontrarmos o valor de delta. Δ=b²-4ac -> Δ=(8)²-4*(5)*(3)=4, portanto, Δ=4. Agora, é a vez de utilizarmos a fórmula de Bhaskara: X1=(-8+√4)÷(2*5)=(-3÷5) X2=(-8-√4)÷(2*5)=-1 As raízes da função são (-3÷5) e (-1). Questão 9 Resposta: -3x²+6x-3. O coeficiente (a) da função é negativo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Assim, o vértice é o ponto máximo da função. Para encontrarmos as raízes, é necessário calcularmos o valor de delta para depois utilizar- mos a fórmula de Bhaskara. Δ=b²-4ac -> Δ=(-6)²-4*3*(-3)=0 Se o delta é igual a zero, as duas raízes são iguais. Então: x1=x2=(-b÷2a)= =(-6)÷(2*-3)=1=x1=x2 Agora, é necessário acharmos o vértice e esboçarmos o gráfico . V=(-b÷2a, -Δ÷4a) -> V(1,0) GABARITO
  89. 89. 89 GABARITO Neste caso, a própria raiz é o vértice. Questão 10 Resposta: O coeficiente (a) da função é positivo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima. Assim, o vértice é o ponto mínimo da função. Para encontrarmos as raízes, é necessário calcularmos o valor de delta para depois utilizar- mos a fórmula de Bhaskara. Δ=b²-4ac -> Δ=(-4)²-4*(1)*(3)=4 X1= (-(-4)+√4)÷(2*1) =3 X2= (-(-4)-√4)÷(2*1)=1 Os pontos em que a parábola corta o eixo horizontal ocorrem quando x=3 e x=1. Nestes dois casos, f(x)=0. O vértice é dado por V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(2,-1), ou seja, quando x=2, y será igual a -1, que é o menor valor possível da função dada. Vamos ao gráfico:
  90. 90. 90 ÍNICIOGABARITO
  91. 91. 91
  92. 92. seções
  93. 93. CONTEÚDOSEHABILIDADES LEITURAOBRIGATÓRIA SeçõesSeções CONTEÚDOSEHABILIDADES REFERÊNCIAS FINALIZANDO GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES AGORAÉASUAVEZ
  94. 94. 94 Tema06 Funçõesde2o Grau:Aplicações
  95. 95. 95 Introdução ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a). ÍNICIO Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad- ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622. ROTEIRO DE ESTUDO: CONTEÚDOSEHABILIDADES Prof. Me. Guilherme Macorin Matemática Conteúdos Nesta aula, você estudará: • Como realizar o estudo de sinais de funções de 2o grau. • Como calcular o ponto de equilíbrio em funções de 2o grau. • Como esboçar gráficos de funções de 2o grau. • Aplicações para uso prático de funções de 2o grau.
  96. 96. 96 ÍNICIO LEITURAOBRIGATÓRIA I. Estudo dos sinais de uma função quadrática No Tema 6, você continuará estudando funções de 2o grau. No Tema 5, você aprendeu a verificar a direção da concavidade da parábola, a calcular as raízes de uma função quadráti- ca, a calcular o vértice e a definir o conjunto imagem. Agora, você fará um estudo do sinal da função e uma aplicação prática das funções quadráticas. Começaremos pelo estudo de sinal. Estudar o sinal de uma função y=ax²+bx+c significa de- terminar valores de (x), de modo que (y) seja positivo, negativo ou zero. A análise começa com o valor do discriminante ∆. Portanto, há três opções, como veremos a seguir: • Se ∆>0, há duas raízes distintas que definiremos x1 e x2. Se o coeficiente (a) for maior que zero, a concavidade é voltada para cima e, então, temos a parábola conforme a Figura 6.1: Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Como se realiza um estudo de sinal em uma função de 2o grau? • Como se determina o break-even point em uma função de 2o grau? • Como se encontra o lucro máximo de uma função de 2o grau? • Como se determinam os valores que fazem uma função lucro positiva? CONTEÚDOSEHABILIDADES
  97. 97. 97 LEITURAOBRIGATÓRIA Figura 6.1 Parábola – concavidade voltada para cima (∆>0 e coeficiente (a) maior que zero). Neste caso, verifica-se que para qualquer valor menor que x1 ou maior que x2 a função y terá um valor maior que zero, portanto, para: • y>0 quando x<x1 ou x>x2. • Y<0 quando x1<x<x2. • y=0 quando x=x1 ou x=x2. Outro caso possível quando ∆>0: se o coeficiente (a) for menor que zero, consequente- mente, a parábola estará com a concavidade voltada para baixo. Veja a Figura 6.2 a seguir: Figura 6.2 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆>0 e coeficiente (a) menor que zero). Aqui, os três casos possíveis são: • y>0 quando x1<x<x2. • y=0 quando x=x1 ou x=x2. • y<0 quando x<x1 ou x>x2.
  98. 98. 98 ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA Quando ∆=0, as duas raízes, x1 e x2, são iguais, portanto, o estudo do sinal é mais simples. • Se a>0, a concavidade da curva estará voltada para cima, como mostra a Figura 6.3 a seguir: Figura 6.3 Parábola – concavidade voltada para cima (∆=0 e coeficiente (a) maior que zero). Neste caso, quando x=x1=x2, a curva tangencia o eixo horizontal e o valor resultante da função é nulo. Nos demais casos, a função é sempre positiva. Os casos possíveis são: • y=0 quando x=x1=x2. • y>0 para qualquer valor de x≠x1 pertencente aos Reais. • Se a<0, a parábola muda de direção. Como ∆=0, só há um valor que torna y=0. Então, a curva tangencia o eixo horizontal em apenas um ponto. Veja a Figura 6.4: Figura 6.4 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆=0 e coeficiente (a) menor que zero). Os casos possíveis são: • y=0 quando x=x1=x2 ou
  99. 99. 99 LEITURAOBRIGATÓRIA • y<0 para qualquer valor de x≠x1 pertencente aos Reais. Já para valores de ∆<0, vimos que não existem raízes no conjunto dos números Reais. Isto significa que nenhum valor de (x) irá resultar em y=0. • Se a>0, todos os valores que a variável independente (x) pode assumir dentro dos números Reais irá resultar em um valor de y>0. Figura 6.5 Parábola – concavidade voltada para cima (∆<0 e coeficiente (a) maior que zero). • Por outro lado, se a<0, qualquer valor de (x) irá resultar em y<0. A Figura 6.6 a seguir mostra este caso: Figura 6.6 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆<0 e coeficiente (a) menor que zero). II. Aplicação das funções de 2o grau Veremos, agora, como podemos utilizar em situações práticas as funções de 2o grau e como as regras que acabamos de estudar podem ser úteis. Novamente o exemplo será em torno de funções de receita e custo.
  100. 100. 100 ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA A função receita será dada por R=p*x, em que (p) é o preço e (x) é a quantidade vendida. Por sua vez, há uma relação do preço do produto com a quantidade, ou seja, o preço é in- fluenciado pela quantidade vendida. Faremos p=-x+10. Assim, R=(-x+10)*x=-x²+10x. Para que possamos ver melhor a relação da quantidade vendida com a receita obtida, basta simularmos valores de (x) e traçarmos o gráfico. Veja o exemplo: Quantidade - x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Receita - R 0 9 16 21 24 25 24 21 16 9 0 Com o quadro mostrado, é possível verificarmos que o ponto máximo que a receita atinge é 25 quando a quantidade é igual a 5. Nos demais casos, a receita não é a maior possível. Isto também pode ser visualizado graficamente. Figura 6.7 Gráfico de f(x)=(-x2+10x). Vimos no Tema 5 que é possível calcular o vértice de uma função de segundo grau. No atual exemplo, o coeficiente do termo independente de segundo grau é negativo, portanto, a parábola tem sua concavidade voltada para baixo, fazendo com que o vértice seja um ponto máximo. Relembrando: • V=(-b÷2a, -Δ÷4a)
  101. 101. 101 LEITURAOBRIGATÓRIA -b÷2a= -10÷(2*-1)=5 -Δ÷4a=(b²-4ac)÷(4a)=(-10²)÷(4*-1)=25 Então, V=(5,25), ou seja, o ponto máximo de f(x) é igual a 25 e ocorre quando x=5. No quadro e no gráfico também verificamos que em dois pontos distintos a receita é igual a zero, ou seja, a função possui duas raízes Reais. Veremos: x1= ((-10)+√100)÷(2*-1)=0 x2=((-10)-√100)÷(2*-1)=10 Novamente, os valores bateram com o que foi visto na tabela e no gráfico. Encontramos a receita máxima da função dada, mas ainda não temos o lucro máximo. Para encontrarmos o lucro, é necessário sabermos o custo. Consideraremos a função de custo como a junção do custo fixo de produção, que é igual a 5, e o custo variável, que é igual a 4x. Portanto, a função custo total é C=4x+5. Lucro=Receita-Custo L=(-x²+10x)-(4x+5)= =-x²+6x-5=função Lucro A partir dessa função encontrada, será possível verificarmos em qual ponto há o lucro máx- imo, em qual(quais) ponto(s) o lucro é zero e em quais pontos o lucro é negativo. Temos que o coeficiente (a) é igual a (-1), portanto, a curva tem concavidade voltada para baixo e, consequentemente, haverá um ponto máximo. Calculando o delta, temos que ∆=b²-4ac=16. O resultado é maior que zero, então, existem dois pontos que fazem o lucro igual a zero. Descobriremos as raízes com a fórmula de Bhaskara. x1=(-6+4)÷(2*-1)=1 x2=(-6-4)÷(2*-1)=5
  102. 102. 102 ÍNICIO As raízes são x1=1 e x2=5. Se o lucro é zero nos dois pontos, quer dizer que a receita é igual ao custo. X1=1 e x2=5 são os pontos de equilíbrio. Agora, falta sabermos o vértice para descobrirmos onde está o ponto de lucro máximo dessa função. V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(3,4). O lucro máximo é igual a 4 e ocorre quando x=3. O gráfico a seguir (Figura 6.8) resume o exemplo que acabamos de estudar. A reta de custo inicia seu trajeto no eixo vertical, ou seja, quando x=0, com o valor y=5. A curva de receita cruza com a reta de custo em dois pontos, que são os pontos de equilíbrio, como vimos há pouco, quando x=1 e x=5, resultando respectivamente em y=9 e y=25. Já a curva de lucro tem seu ponto máximo quando x=3 e y=4. É neste ponto que há a maior distância no gráfico entre a curva de receita e a reta de custo. Figura 6.8 Funções Lucro, Receita e Custo. Agora, relembrando o estudo dos sinais no início deste Tema 6, podemos traçar o gráfico e analisar as variações do lucro em função da quantidade vendida. Considerando os pontos de equilíbrio encontrados, a função de lucro pode ser resumida da seguinte forma: LEITURAOBRIGATÓRIA
  103. 103. 103 Figura 6.9 Função de lucro. O esboço mostra que se x>1 e x<5 haverá lucro. Se x=1 ou x=5, o lucro será zero, pois já vimos que são os pontos nos quais as receitas são iguais aos custos. E, finalmente, se x<1 ou x>5 haverá prejuízo, uma vez que o custo será maior que a receita nas determinadas quantidades produzidas. Resumidamente, temos que a produção deve ser maior que 1 unidade e menor que 5 unidades para haver lucro. Qualquer outra quantidade produzida retornará prejuízo ou lucro zero. No entanto, o melhor cenário possível ocorre com 3 uni- dades produzidas. Com base no exemplo resolvido, é possível verificar que nem sempre a maior receita irá retornar o maior lucro. O lucro depende também do custo. E, então, é necessário realizar um estudo para saber qual é o melhor ponto de produção, qual a quantidade ou o preço que retorna o maior lucro, considerando as funções de receita e custo. LEITURAOBRIGATÓRIA
  104. 104. 104 ÍNICIOLINKSIMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: SITES: Acesse o link do blog Ensino Matemática, que apresenta exercícios de estudo de sinal de funções de 2o grau resolvidos. Disponível em: <http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2011/01/estudo-dos-sinais-da-funcao- de-2-grau.html>. Acesso em: 8 maio 2013. Acesse o site Mundo Educação, que apresenta exercícios resolvidos sobre funções de 2o grau de receita, custo e lucro. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcoes-custo-receita-lucro.htm>. Acesso em: 6 maio 2013. Acesse o link da Universidade FEEVALE e veja o exemplo resolvido de exercício de estudo de sinal. Disponível em: <http://www.rostirolla.com.br/diego/sinalSegundoGrau.html>. Acesso em: 8 maio 2013. Acesse o site Banco de Concursos, com exemplos de aplicações para o uso de funções de 2o grau. Disponível em: <http://www.bancodeconcursos.com/matematica/funcao-2-o-grau.html>. Acesso em: 9 maio 2013. VÍDEOS Matemática: Aula estudo do sinal da função quadrática. São aproximadamente 12 minutos de uma videoaula do Curso Sinapse sobre estudo de sinal de uma função de 2o grau, assim como foi visto neste Tema 6. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=6YqKA4Uiuz0>. Acesso em: 8 maio 2013.
  105. 105. 105 RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 6, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever. Questão 1: Antes de realizar os demais exercícios deste tema, é importante que relembre como determinar o conjunto imagem de uma função de 2o grau. Indique o conjunto imagem de cada função a seguir: a) y=-2x²+4 b) y=x²+2x+2 Questão 2: De acordo com o que foi visto sobre o es- tudo de sinal das funções de 2o grau, re- sponda (V) para Verdadeiro e (F) para Fal- so. Considere x1 e x2 as raízes da função, sendo x1 o menor valor e x2 o maior valor, quando for o caso. a) ( ) Em uma função de coeficiente (a) negativo e ∆>0, todo valor maior que a raiz x1 tornará f(x)>0. b) ( ) Em uma função de coeficiente (a) positivo e ∆=0, todo valor menor que x2 tornará f(x)>0. c) ( ) Em uma função de coeficiente (a) negativo e ∆<0, todo valor menor que x1 tornará f(x)>0. d) ( ) Em uma função de coeficiente (a) positivo e ∆>0, todo valor entre x1 e x2 tornará f(x)<0. Questão 3: Assinale a alternativa correta: a) Sempre no ponto em que função re- ceita for máxima, o lucro também será máximo. b) Sempre no ponto em que a função custo for mínima, a função lucro terá seu ponto máximo. c) Graficamente, o lucro será máximo no ponto em que houver a maior distância entre a função custo e a função receita. d) Sempre que as funções custo e recei- ta se cruzarem no gráfico, a função lucro cruzará o eixo horizontal. Questão 4: Com os conhecimentos adquiridos nos Temas 5 e 6, assinale a alternativa correta: a) Em uma função de coeficiente (a) posi- INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA AGORAÉASUAVEZ

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