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Algoritmo Clique
Máximo
O que é uma Clique?
•Uma clique de um grafo G é um subgrafo
completo de G.
O que é uma Clique Máxima?
•Uma clique máxima é uma clique com a maior
quantidade de vértices possível.
O Problema da Clique Máxima
•O problema da Clique Máxima é encontrar, a
partir de um grafo G, a clique de maior tamanho.
•O tamanho (número de vértices) da maior clique
de G é chamado número de clique, ω(G).
Dificuldades do Problema
•O Problema da Clique Máxima é um problema
importante de otimização combinatória
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•Telecomunicação

•Bioinformática
▫Análise de DNA e RNA
analisando e comparando proteínas e compostos
menores através de grafos e cliques
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fórmula química CpH2p+2, onde C representa
moléculas de carbono e H de hidrogênio.
Os vértices que incidem apenas uma arestra são os
átomos de Hidrogênio.
Exemplo prático
•Suponha que, em um laboratório farmacêutico,
seja necessário dimensionar o depósito de
substâncias composto por alguns refrigeradores,
tendo em mãos uma lista de pares de substâncias
que não podem ser armazenadas em um mesmo
refrigerador. Assim, o clique máximo do grafo
formado por tais incompatibilidades é um
limitante inferior para a quantidade de
refrigeradores necessários para armazenar todas as
substâncias.
Algoritmo Força Bruta
•Pseudo Código
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
maxClique <- {}
para cada conjunto s de todos Conjuntos
se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique
Algoritmo Força Bruta
•Pseudo Código + Análise (n = |V|)
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
maxClique <- {}
para cada conjunto s de todos Conjuntos
se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique
Algoritmo Força Bruta
•Pseudo Código + Análise
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
O(2N)
maxClique <- {}
para cada conjunto s de todos Conjuntos
se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique
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•Pseudo Código + Análise
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
O(2N)
maxClique <- {}
para cada conjunto s de todos Conjuntos
O(2N)
se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique
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•Pseudo Código + Análise
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
maxClique <- {}
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se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique

O(2N)
O(2N)
O(N²)
Algoritmo Força Bruta
•Pseudo Código + Análise
clique_maxima_exato(Grafo g):
todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices)
maxClique <- {}
para cada conjunto s de todos Conjuntos
se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho)
maxClique <- s
retorna maxClique

Total : O(2^n *n^2)

O(2N)
O(2N)
O(N²)
Algoritmo Aproximado
•Pseudo Código
clique_maxima_aproximada(Grafo g):
conjuntoOrdenadoGrau <- ordenaVertice(V)
maxClique <- conjuntoOrdenadoGrau(1)
para cada vertice vi de i=2 até N
se (formaClique(vi, maxClique))
maxClique = maxClique U vi
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se (formaClique(vi, maxClique))
maxClique = maxClique U vi
retorna maxClique

Total : O(n³)

O(nlogn)
O(n)
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Referência
•http://www.ime.usp.br/~eufrasio/eufrasio/paulo
eufrasioIC2009.pdf
•http://ubiq.inf.ufpel.edu.br/arrsouza/lib/exe/fetc
h.php?media=clique_de_um_grafo.pdf

•http://lcavique.no.sapo.pt/publicacoes/Clique%2
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Algoritmo clique maximo - Analise de Algoritmos

  • 2. O que é uma Clique? •Uma clique de um grafo G é um subgrafo completo de G.
  • 3. O que é uma Clique Máxima? •Uma clique máxima é uma clique com a maior quantidade de vértices possível.
  • 4. O Problema da Clique Máxima •O problema da Clique Máxima é encontrar, a partir de um grafo G, a clique de maior tamanho. •O tamanho (número de vértices) da maior clique de G é chamado número de clique, ω(G).
  • 5. Dificuldades do Problema •O Problema da Clique Máxima é um problema importante de otimização combinatória
  • 6. Aplicações •Telecomunicação •Bioinformática ▫Análise de DNA e RNA analisando e comparando proteínas e compostos menores através de grafos e cliques
  • 7. Aplicações •Química Computacional ▫Emparelhamento de moléculas Hidrocarbonetos conhecidos como alcanos tem fórmula química CpH2p+2, onde C representa moléculas de carbono e H de hidrogênio. Os vértices que incidem apenas uma arestra são os átomos de Hidrogênio.
  • 8. Exemplo prático •Suponha que, em um laboratório farmacêutico, seja necessário dimensionar o depósito de substâncias composto por alguns refrigeradores, tendo em mãos uma lista de pares de substâncias que não podem ser armazenadas em um mesmo refrigerador. Assim, o clique máximo do grafo formado por tais incompatibilidades é um limitante inferior para a quantidade de refrigeradores necessários para armazenar todas as substâncias.
  • 9. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique
  • 10. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código + Análise (n = |V|) clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique
  • 11. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código + Análise clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) O(2N) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique
  • 12. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código + Análise clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) O(2N) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos O(2N) se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique
  • 13. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código + Análise clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique O(2N) O(2N) O(N²)
  • 14. Algoritmo Força Bruta •Pseudo Código + Análise clique_maxima_exato(Grafo g): todosConjuntos <- todasCombinacoes(g.Vertices) maxClique <- {} para cada conjunto s de todos Conjuntos se (formaClique(s) && (s.tamanho > maxClique.tamanho) maxClique <- s retorna maxClique Total : O(2^n *n^2) O(2N) O(2N) O(N²)
  • 15. Algoritmo Aproximado •Pseudo Código clique_maxima_aproximada(Grafo g): conjuntoOrdenadoGrau <- ordenaVertice(V) maxClique <- conjuntoOrdenadoGrau(1) para cada vertice vi de i=2 até N se (formaClique(vi, maxClique)) maxClique = maxClique U vi retorna maxClique
  • 16. Algoritmo Aproximado •Pseudo Código + Análise (n = |V|) clique_maxima_aproximada(Grafo g): conjuntoOrdenadoGrau <- ordenaVertice(V) maxClique <- conjuntoOrdenadoGrau(1) para cada vertice vi de i=2 até N se (formaClique(vi, maxClique)) maxClique = maxClique U vi retorna maxClique Total : O(n³) O(nlogn) O(n) O(n²)