1.
KALKULUS
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN
Oleh :
1.Moch.Diyan.S
(105448)
2.Moch. Hasanudin
(105485)
3. Maratus Sa’adah
(105765)
4. Moch. Sholeh
(105774)
5. Laily R.
(105777)
6. Riza Wardha R
(105780)
7.Teguh Sukma M
(105782)
8. Selly Puspitasari
(105786)

2.
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN
 DERET TAYLOR
Dalam kalkulus seringkali kita dihadapkan kepada
suatu persamaan yang memuat berbagai macam fungsi
Misalnya Sin x +
+
- 2 = 0
Menyelesaikan persamaan diatas tidaklah mudah., salah
satu cara ialah mengubah setiap fungsi itu menjadi
suatu polinom dalam x.
Mengubah suatu fungsi f(x) dalam bentuk polinom
dalam x dapat dilakukan dengan memperderetkan
fungsi itu menurut deret taylor ,yaitu kita gunakan
teorema Role yang berbunyi :
Jika f(x) kontinu dalam selang ,dan diferensiabel
dalam selang ,dan jika
F(a)=f(a+h)=0 ,maka paling sedikit dapat ditentukan
suatu nilai t yang memenuhi 0<t<1 ,sehingga f’(a+th)=0

3.
PERHATIKAN SEKARANG SEBUAH FUNGSI DENGAN
PERSAMAAN Y = F(X).KITA BENTUK FUNGSI G(X)
YANG DAPAT DISUSUN DARI F(X) DENGAN CARA
SEBAGAI BERIKUT :
( a + h − x) 2 f "( x) − ( a + h − x) 3
f’ ( x ) −
g(x)= f (a+h)- f(x) –
2!
( a + h − x ) n − 1 f ( n − 1)( x )
f "' ( x ) − ⋅ ⋅ ⋅ −
3!
n − 1!

h
h2
h n − 1 ( n − 1) 
−  f ( a + h) − f ( a) − f ' ( a) − f "( a) − ⋅ ⋅ ⋅ −
f ( a) 
( n − 1) !
1
2!


a+h−x
×

h


p

4.
JIKA P BILANGAN POSITIF SEBARANG ,MAKA TERNYATA BAHWA
G(A) = 0 DAN G(A + H ) = 0
MENURUT TEOREMA ROLLE , DAPAT DI TENTUKAN BILANGAN T
ANTARA 0 DAN 1,SEHINGGA G’(A+TH ) = 0 .UNTUK MEMPEROLEH G’ (A
+ TH ) = 0 . UNTUK MEMPEROLEH G’ (A + TH ) KITA TENTUKAN
TERLEBIH DAHULU G’( X ),SEBAGAI BERIKUT :
g’ (x) = - f’ (x) -
f’’(x) + f’(x) –
f’’’(x) +
(x)
f’’(x) –
+
f
( n −1)


h
h2
h n −1
( x) −  f ( a + h) − f ( a) − f ' ( a) − f "( a) − ⋅ ⋅ ⋅ −
f n −1 ( a ) 
1
2!
( n − 1) !


p−
1
 p  a +h −x 

− 


h
 h


jika x kita ganti dengan a + th , maka kita peroleh nilai
g ‘(a + th) ,yaitu :
g’(a + th ) = 1
( − )p −
1 t
=
0
n− p

p
h
h n −1
h n (1 − t )
p −1 
( n −1)
(1 − t )  f ( a + h ) − f ( a ) − f ' ( a ) − ⋅ ⋅ ⋅ −
( a) −
f
⋅ f ( n ) ( a + th )  = 0
( n − 1) !
( n − 1) ! p
h
1



5.
f (a + h) = f(a) +
+
f”(a)+…+
sn
jika
Deret diatas disebut deret taylor berderajat (n-1) dari fungsi f, dan

6.
Jika pada deret Taylor diatas dimisalkan x =a+h,kita peroleh deret Taylor
berderajat (n-1) disekitar x = a.yaitu :
F(x) = f(a) + f’(a).(x-a)+
+…+
(x-a
DERET MAC LAURIN
Apabila pada Deret Taylor di atas di ambil a = 0, maka di peroleh Deret Mac Laurin berderajat ( n – 1 ) dari fungsi f, yaitu
x
1
f(x) = f (0) +
f
( n −1)
. f ‘ (0) +
2
x
2!
f” (0) +
x3
3!
x n (n )
(0) + S , jika S =
( tx )
n! f
n
f’’’ (0) + ........
x n −1
( n − 1)!
n
( tx ) adalah suku sisa langrange.
Jika f (x) suatu fungsi yang diferensiabel dan memenuhi :
Lim
n
n
S = 0 , maka f (x) dapat di perderetkan menurut deret tak hingga Mac Laurin,
∞
2
3
F (x) = f(0) + x f ‘ (0) + x f ‘’(0) + x
1
f ‘’’ (0) + ...........
2!
3!

7.
Seringkali kita hanya memerlukan nilai pendekatan dari f (x) dengan cara
mengambil beberapa suku pertama deret Mac Laurin. Nila ruas kanan kita
ambil 4 suku, kita peroleh suatu polinom berderajat 3 dalam x sebagai
pendekatan dari f (x).
Contoh
Tentukan deret Mac Laurin fungsi f (x) = ex
Untuk menentukan deret Mac Laurin suatu Fungsi f (x), kkita harus
x
mencari lebih dulu nilai-nilai f (0), f ‘ (0) , f ‘’(0) x dan seterusnya. Karena f (x) = ,e
x
, maka . f ‘ (x) = e
, f ‘’ (x) = e
x
, ....... jadi f (0) = e = 1 ,f ‘ (0) = 1 , f ‘’ (0) = 1 , .........
Deret Mac Laurin fungsi f(x) = ex ialah : e = 1 + 1 + x ! +
2
Harus ditunjukkan bahwa Lim S = 0
n
n ∞
jika kita gunakan suku sisa Langrange , kita peroleh
x
x n tx
Sn
f (tx) = n! e ( 0 < t < 1 )
tx< e x dan S n x n x
Jika x > 0 maka e
xn
=
n!
(n)
<
Jika x < 0 maka e
tx
< 1 dan
Sn <
e
n!
n
x
n!
2
x3
3!
5
+ x + x!
5
4
4!
+ ...........

8.
Jika x bernilai tetap, dapat di buktikan bahwa Lim
x
n
n!
=0
∞
n
dapat di tentukan Konstanta m , Sehingga untuk semua n > m
x
Berlaku
x
n
n!
x
m
<
1
, jadi
2
x
x
x
x
m
1
=
.
.
... <
. 
n!
m! m + 1 m + 2 n
m!  2 
Karena Lim  1 
n
Lim
n
∞
 
2
n− m
= 0 maka Lim
Sn = 0 Untuk setiap Nilai x.
∞
x
n−m
n
n!
= 0, sehingga

9.
Contoh :
Tentukan deret mac laurin fungsi
Jawab :
f ( x) = cos x
f (0) = 1
f ' ( x) = − sin x
f ' ' ( x) = − cos x
f ' ' ' ( x) = sin x
f
Jadi
( 4)
f ( x) = cos x
( x ) = cos x
f ' (0) = 0
f ' ' (0) = −1
f ' ' ' ( 0) = 0
f
( 4)
(0) =1
, dan seterusnya.
x 2 x 4 x6 x8
f ( x) = cos x = 1 −
+
−
+
− .......
2! 4! 6! 8!
lim : s n = 0
Harus ditunjukkan bahwa n → ∞
x
n
1


x n ( n)
xn 
1 
sn =
cos tx + nπ  Karena
sn = − f (tx) = cos tx + nπ  jadi :
n:
2 

n:
n! 
2 
maka
lim s n = 0
n →∞
untuk setiap nilai x.
1


cos tx + nπ  ≤ 1
2 


10.
CONTOH :
f ( x ) = cosh 2 3 x
DENGAN DERET MAC LAURIN, DINYATAKAN
POLINOM BERDERAJAT 4
DALAM X.
JAWAB :
DALAM SEBUAH
x
x2
x3
x4
f ( x ) = f (0) + f ' (0) +
f ' ' (0) +
f ' ' ' ( 0)
f
1
2!
3!
4!
( 4)
( x)
f ( x) = cosh 2 3x
f (0) =1
f ' ( x) = 2 cosh 3 x.3 sinh 3 x = 3 sinh 6 x
f ' ' ( x) = 18 cosh 6 x
f ' ' ' ( x) = 108 sinh 6 x
f ' (0) =
0
f ' ' ( 0) =
18
f ' ' ' ( 0) =
0
f ( 4 ) ( x) = 646 cosh 6 x
f
( 4)
(0) =
648
x2
x4
2
(18) + (648) = 1 + 9 x 2 + 27 x 4
Jadi cosh 3x = 1 +
2!
4!

11.
Contoh :
Diketahui
y = cos n 2 x + cos 2 x − 3
dy
=
0
Selesaikan persamaan
dx
dy
= 2 sinh 2 x − 2 sin
Jawab :
dx
2x
Dengan deret maclaurin kita nyatakan sin 2x dan sin 2x dal;am suatu polinom dalam x.
(2 x) 3 (2 x) 5 (2 x) 7
sinh 2 x − sin 2 x = 2 x +
+
+
+ .... −
3!
5!
7!


(2 x) 3 (2 x) 5 (2 x) 7
2x −
+
−
+ .... =

3!
5!
7!


 (2 x ) 3 ( 2 x) 7 ( 2 x)11


16 x 5
3 1
2
+
+
+ .... = 16 x  +
+ .... = 0
7!
11!
7!
 3!

 3!

Jadi x = 0

12.
CONTOH :
2
JIKA SUATU BILANGAN YANG MEMENUHI i = − 1 , MAKA TUNJUKKAN BAHWA
(RUMUSix = cos x + i
e EULER).
BUKTI :
AKAN KITA TUNJUKKAK BAHWA DERET MAC LAURIN RUAS KIRI SAMA DENGAN
DERET MAC LAURIN
RUAS KANAN.
i
sin x
x x2 x3 x4
Karena e ∧ = 1 + +
+
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ , maka
1 2! 3! 4!
ix
e
ix i 2 x 2 i 3 x 3 i 4 x 4 i 5 x 5 i 6 x 6 i 7 x 7
=1 + +
+
+
+
+
+
+⋅⋅⋅
1
2!
3!
4!
5!
6!
7!
x 2 ix 3 x 4 ix 5 x 6 ix 7 x 8
= 1 + ix −
−
+
+
−
−
+
+⋅⋅⋅
2! 3! 4! 5! 6! 7 ! 8!
x 2 x 4 x6 x8
ix 3 ix 5
= (1 −
+
−
+
− ⋅ ⋅ ⋅) + i ( x −
+
− ⋅ ⋅ ⋅)
2! 4! 6! 8!
3!
5!
= cos x + i sin x

13.
CONTOH:
DENGAN MENENTUKAN DERETA MAC LAURIN DARI PEMBILANG DAN
PENYEBUT,
2
1 +3x −e 3 x
TENTUKAN
lim
x → 0
1 − cos x 2
(
)
Jawab :
x2 x3 x4
Karena e = 1 + x + 2 ! + 3 ! + 4 ! + ⋅ ⋅ ⋅ , maka
x
e
3x
9 x 2 27 x 3 81x 4
= 1 + 3x +
+
+
+ ⋅⋅⋅ ,
2!
3!
4!
x2
x4
x6
+
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ , jadi
Sedangkan cos x = 1 +
2! 4! 6!
cos
x4
x8
x 12
x =1 +
+
+
+⋅ ⋅ ⋅
2! 4!
6!
2
kita peroleh
(1 + 3x − e )
3x 2
lim
x → 0
1 − cos x 2
2
 9x 2

27 x 3 81x 4
−
−
−
− ⋅ ⋅ ⋅
 2!

3!
4!

 =
lim
4
8
12
= x →0
x
x
x
−
−
−
−⋅ ⋅ ⋅
2! 4!
6!
2
2
2

9
27 x 3 81x 4
4  9x
 
x 
+
+
+ ⋅ ⋅ ⋅
 2!

 
3!
4!

 =  2 !  = − 81
lim
4
x → 0
1
2

x 8 x12
4 x
−
−x  + +
+ ⋅ ⋅ ⋅
 2! 4! 6!

2!

