TALLER SECUENCIA MATEMÁTICA

www.helsinki.fi/yliopisto
EDUCACIÓN EN MATEMÁTICAS
„Haciendo matemática‟
Dra. Heidi Krzywacki
Heidi.krzywacki@helsinki.fi
Departamento de Educación del Profesor

• Comprender los temas especiales que se debe
encarar en la educación en matemáticas, por
ejemplo, el aprendizaje de conceptos matemáticos.
• Aprender a usar materiales concretos como parte
de la educación en matemáticas durante la primaria
• Aprender a resolver problemas y a pensar
matemáticamente como parte de la educación en
matemáticas
• Abordar aspectos afectivos en el aprendizaje de las
matemáticas
• Tratar sobre los diversos tipos de personas que se
inician en matemáticas
2
Los principales objetivos y contenidos
de las matemáticas
Peru, marzo,2014

I. De lo concreto a lo abstracto
II. Pensamiento matemático y resolución de
problemas
III. Los afectos en la educación en matemáticas
IV. Aprendizaje de las matemáticas y apoyo a los
que recién se inician en ellas
3
Esquema de “Haciendo matemática”
Peru marzo, 2014

I De lo concreto a lo abstracto
4
A. Empleo de manipulativos
e ilustraciones
B. Enfoque inductivo a la matemática
escolar
Peru marzo, 2014

Empleo de materiales concretos y
modelos didácticos
…para mejorar la comprensión de conceptos
matemáticos
• El proceso de aprendizaje se compone de varias
fases:
1) Fase concreta
2) Fase de estrategias mentales
3) Fase automática
• Algunos requieren de una enseñanza especial y de
apoyo individual en clase (diferenciación)
• Discusión sobre conceptos matemáticos abstractos
mediante el uso de manipulativos (por ejemplo,
comprender el sistema decimal con la ayuda de
material especial)
5
Peru marzo, 2014

Aprendizaje de conceptos matemáticos
aritméticos
1. Estrategias concretas
• Comprensión conceptual basada en ilustraciones y
modelos concretos
• manipulativos
• Ilustraciones y figuras
• Imágenes sobre el uso de lo concreto
2. Estrategias mentales
• Comprensión conceptual y procesos sin imágenes
de lo concreto
• Incorporación de uno o más pasos en los procesos
aritméticos
3. Comprensión conceptual automátizada
V
E
R
B
A
L
I
Z
A
C
I
Ó
N
Peru marzo, 2014

Aprendizaje de conceptos matemáticos
aritméticos
1. Estrategias concretas
• Comprensión conceptual basada en ilustraciones y
modelos concretos
• manipulativos
• Ilustraciones y figuras
• Imágenes sobre el uso de lo concreto
2. Estrategias mentales
• Comprensión conceptual y procesos sin imágenes
de lo concreto
• Incorporación de uno o más pasos en los procesos
aritméticos
3. Comprensión conceptual automátizada
V
E
R
B
A
L
I
Z
A
C
I
Ó
N
Peru marzo, 2014
• Demostración en enseñanza presencial
• Manipulativos usados por los alumnos,
individualmente o en parejas
• Con la guía del profesor
• Los alumnos a su propio ritmo
8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 13
127 + 38 = 127 + 30 + 8 = 157 + 8 = 165
o = 127 + 3 + 35 = 130 + 35 = 165
etc.

Se considera que un niño es activo y un aprendiz
social cuando básicamente quiere y está
motivado a aprender, siendo capaz de seguir un
proceso autorregulado
• Pensamiento a nivel concreto (Piaget)
• Cognición incorporada
• Verbalización y comunicación oral
• Apoyo a la autoeficacia (Erikson)
• Experiencias positivas de aprendizaje,
evaluación y retroalimentación
8
Peru marzo, 2014
Aprendizaje de las matemáticas: los
alumnos cumplen un rol muy activo (1)

Aprendizaje de las matemáticas: los
alumnos cumplen un rol muy activo (2)
• Interacción individual con el entorno social (Bruner,
1964)
1. Acciones, capacidad sensomotora  actividades
2. Imágenes, percepciones  icónico
3. Lenguaje, verbalización  simbólico
 Actividades y materiales concretos/manipulativos
que contribuyan al pensamiento matemático 
aprendizaje de las matemáticas
 Ocuparse de las necesidades individuales en las
diferentes fases del proceso de aprendizaje
9
Peru marzo, 2014

Empleo de manipulativos e
ilustraciones
• Los manipulativos y las ilustraciones cumplen un rol
importante en la enseñanza de las matemáticas, en
particular porque incrementan la comprensión conceptual
y sirven para la resolución de problemas
Por ejemplo, bloques atributivos, formas geométricas de
diferentes colores y tamaños, cubos para contar,
bloques con base decimal, piezas de fracciones, líneas
de números, modelos de superficies, etc.
• SIN EMBARGO, todo esto podría llevar a confundir si es
presentado de manera azarosa y desorganizada, y sin
que se cuente con la guía y la instrucción adecuada del
profesor
 Capacitación y pensamiento pedagógico del profesor (!)
10
Peru marzo, 2014

Conociendo diferentes tipos de materiales concretos
(manipulativos)...
11
ilustraciones
0,03

... Y aprendiendo a usar materiales y modelos
12
ilustraciones

En la educación de profesores, estos
• Adquieren conocimientos y habilidades (potencial
cognitivo) para usar manipulativos e ilustraciones
• Aprenden a hacer asequibles las matemáticas
formales (y abstractas)
• Comprenden de qué se trata la matemática escolar y
el significado de una instrucción bien estructurada y
significativa
 ¡La EXPERIENCIA marca la diferencia!
13
ilustraciones
Peru marzo, 2014

Ejercicios:
Comprensión del concepto
básico de número y de sistemas
de números
14
Peru marzo, 2014

Habilidad con los
números (concreto)
Símbolos numéricosVerbalización
conceptualización,
estimado
”cinco” 5
Reconocimiento
expresión
Comprendiendo los números
© Putkonen & Sinnemäki
3
1
2
4
Toma tantos cubos como
palmadas yo dé.
Toma tres cubos. Toma dos
más. ¿Cuántos hay en total?
Escribe el número cinco.
¿Qué es este número?
Dame tantos cubos como
está escrito en la tarjeta.

Trabaja con tu pareja siguiendo los ejemplos y da una
tarea tras otra. Pon atención a la diferenciación de
tareas.
• Concreto – concreto (1)
“Toma tantos como aplausos yo dé”.
• Concreto – verbalización (2)
“Toma tres cubos. Toma dos más.
¿Cuántos hay en total?“
• Concreto – símbolo numérico (3)
“Dame tantos cubos como está escrito en la tarjeta”
• Verbalización – símbolo numérico (4)
Ejercicio 1: Concepto de número
Peru marzo, 2014

Trabaja con tu pareja siguiendo los ejemplos y da una tarea tras
otra.
• Estimados
“¿Cuántos cubos hay aquí?”
[luego cuenta la cantidad exacta]
• Descomposiciones
Compañero A : “Tengo 7 cubos en total.”
[división en dos manos escondidas detrás de la espalda]
Compañero B: “Muéstrame tu mano derecha.”
[se ve la cantidad que hay en la mano derecha]
“Debes tener X en tu mano izquierda.”
Ejercicio 2: Concepto de número
Peru marzo, 2014

Sistemas de números (numéricos)
Sistemas posicionales (anotación del lugar-valor)
• El número de dígitos está relacionado con la base del
sistema, Por ejemplo, el sistema decimal tiene diez dígitos
(0,… ,9)
• El poder de un dígito está relacionado con el peso de la
base
• Lugar-valor: se usa la posición de un dígito para significar el
poder de la base
• Es necesario el número cero
Sistemas no posicionales
• Signo-valores y el valor no está en relación con la posición
del dígito
• Los números se forman mediante la combinación de
símbolos y añadiendo los valores (por ejemplo, el sistema
de números romanos)
• No se usa el cero

1/100 centésimasunidades
decenas
punto decimal
1/10 décimas
1/1000 milésimas
1) Sistema decimal
“¿Cuántos cubos hay aquí?” [empezar con 39 unidades]
“Añade X unidades / decenas / centenas. Si es necesario,
realiza transformaciones de unidades“
“¿Cuántos hay ahora?”
“Añade dos “decenas” y tres “centenas”.
¿Cuántos hay en total?
2) Sistema decimal con decimales
“¿Cuántos hay en total?
“Añade X centésimas, décimas, unidades, decenas,
centenas.”
Si es necesario, realiza transformaciones de unidades.
“¿Cuántos hay ahora?”
“Añade dos “decenas” y tres “centenas”.
“¿Cuántos hay en total?”
Ejercicio 3: Sistemas de números
Peru marzo, 2014

Ejercicios:
Operaciones aritméticas
básicas y uso de manipulativos
20
Peru marzo, 2014

Operaciones aritméticas en matemática
elemental
+ Suma
Combinación de por lo menos dos números.
¿Cuántos hay en total? [suma]
- Resta
a) De un conjunto dado, quitar…
b) Comparar para hallar la diferencia.
∙ Multiplicación
X por Y [X copias de Y]. ¿Cuántos hay en total?
: División
a) ¿Dividir entre determinado número de partes?
b) ¿Medir cuántas veces?
• Conmutativo a + b = b + a
• Asociativo (a + b)+c = a + (b + c)
• Cero como elemento de identidad
a + 0 = a
• Conmutativo a · b = b · a
• Asociativo (a · b) · c = a · (b · c)
• Distributivo por suma y resta
a · (b + c) = a · c + a · c
• Número 1 como unidad
multiplicadora
Peru marzo, 2014

Usa manipulativos y piensa en alta voz las
instrucciones pedagógicas.
Tarea A: Suma y resta (diez bloques de base, versión
hecha por uno mismo)
29 + 17 42 – 17
Tarea B: Multiplicación y división (diez bloque de base)
3 · 125
426 : 3
Ejercicio 4: Operaciones básicas con
manipulativos (1/2)
Peru marzo, 2014

Usa manipulativos y piensa en alta voz las
instrucciones pedagógicas.
Tarea C: Suma y resta (ábaco)
267 + 145 502-174
Tarea D: Multiplicación y división (ábaco)
3 · 125
426 : 3
Ejercicio 4: Operaciones básicas con
manipulativos (2/2)
Peru marzo, 2014

I De lo concreto a lo abstracto
24
A. Empleo de manipulativos e
ilustraciones
B. Enfoque inductivo a la
matemática escolar
Peru marzo, 2014

• Casos individuales como base para comprender las
reglas y los hechos matemáticos
• Investigación de fenómenos mediante el trabajo de los
alumnos
Por ejemplo, conmutatividad (a + b = b + a), la suma
de los ángulos de un triángulo, el cálculo del área de
un paralelogramo, etc.
 Un profesor debe guiar a los alumnos para que
encuentren nociones generales basadas en sus
investigaciones
 El conocimiento previo y las habilidades de los
alumnos constituyen un punto de partida para las
investigaciones
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B. Enfoque inductivo a las matemáticas
Peru marzo, 2014

• Conocimiento previo acerca de triángulos y
ángulos
 Cada alumno dibuja un triángulo
(o el profesor da triángulos de diferentes
formas y tamaños)
 Establecer el objetivo de la investigación
26
1. Fase
introductoria
2. Examinar y
hallar la regla
matemática
3. Ejercicios
4. Limitaciones de
la regla
B. Enfoque inductivo :
Suma de los ángulos de un triángulo
Peru marzo, 2014

www.helsinki.fi/yliopisto 27
1. Fase
introductoria
2. Examinar y
hallar la regla
matemática
3. Ejercicios
4. Limitaciones de
la regla
• Examinar los triángulos: medir los ángulos y
guiar a los alumnos en la anotación de las
medidas
 Consignar los resultados del trabajo
escolar y hacer que los alumnos deduzcan
que
la suma total de los ángulos es 180°
Peru marzo, 2014

1. Fase
introductoria
2. Examinar y
hallar la regla
matemática
3. Ejercicios
4. Limitaciones de
la regla
• Aplicar los nuevos conocimientos y hacer
ejercicios
 Varias tareas
 Asegurarse de que los alumnos hayan
comprendido
Peru marzo, 2014

1. Fase
introductoria
2. Examinar y
hallar la regla
matemática
3. Ejercicios
4. Limitaciones
de la regla
• Resumir la sesión de investigación y sus
resultados
 La suma de los ángulos de un triángulo se
aplica a todos los triángulos pero no a otras
formas
Peru marzo, 2014

En la educación de profesores, estos
• Se familiarizan con el enfoque inductivo como
método para enseñar matemáticas
 Discuten qué contenidos se pueden abordar
especialmente mediante un enfoque inductivo y las
investigaciones escolares
 El gran desafío es producir un impacto en la
manera como los maestros que aprenden entienden
la matemática escolar
30
B. Enfoque inductivo a las matemáticas
Peru marzo, 2014

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