Este documento presenta los conceptos básicos de derivadas e integrales y sus aplicaciones. Explica teoremas como el valor medio, Rolle y Cauchy. Las derivadas miden la tasa de cambio de una función y se usan para encontrar máximos y mínimos. También se aplican en física, química, economía y más. Las integrales indefinidas calculan áreas bajo curvas y las definidas miden el área entre límites.
1. Instituto Universitario de Tecnología
“Coronel Agustín Codazzi”
Barinas Edo. Barinas
Aplicación de
Derivadas
PROFESOR: ESTUDIANTE:
Jesús Gámez. Yusmar Esther Ramírez Fernández.
CARRERA: 23# C.I: 28728556
2. Introducción
La derivada es un concepto que tiene variedad de aplicaciones. Se aplica en
los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología.
También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza
el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes
que les son propias.
3. Índice:
Pag.
Aplicación de Derivada………………………………………4
Teorema del Valor Medio……………………………………4-5
Teorema del Rolle……………………………………………5-6
Teorema de Cauchy…………………………………………...6-7
Integrales:……………………………………………….........(7-8)
Integrales Indefinidas………………………………........7
Integrales Definidas……………………………………...8
Conclusión………………………………………………………9
Bibliografía……………………………………………………..10
4. Aplicación de Derivada:
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada
para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la
función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para
determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente
antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
Como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo
por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto
(a,b) existe al menos un número c∈(a,b) tal que:
“.
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2
. Como x2
es siempre
positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua
para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:
5. Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln (1+x2
), queda finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre a y
b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3
+ 4x2
-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2
+ 8x-7
f(-1)=(-1)3
+4(-1)2
-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
f(2)=23
+4.22
-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:
6. Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo
considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales
que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y
g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a,
b[ tal que:
“
Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x= pero dicho
punto no pertenece al intervalo abierto y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que
en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:
7. Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto,
válidos ambos.
Integrales
Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las
primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva
de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejemplo:
8. Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos
valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de
plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas
x = a y x = b
9. Conclusión
Para finalizar Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas
las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica,
ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía
para hallar valores mínimos y máximos los cuales son importantes para
proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de
una función trigonométrica. Es decir tiene un número sin fin de aplicaciones
en las cuales toma un papel importante. En la matemática es utilizada para
calcular la rapidez de cambio entre un intervalo a otro de la gráfica de una
función, siendo esta la recta tangente que cruza por un punto específico de
dicha recta, por otra parte las derivadas se pueden utilizar para resolver
problemas de optimización ya sea maximizar el uso de material o minimizar
costos.
