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Expresiones algebraicas - polinomios
- 2. Introductorio Expresiones algebraicas Una variable es una letra que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto dado. Sin embargo, a menos que se espe- cifique lo contrario, las variables en este curso introductorio repre- sentarán números reales. El conjunto de todos los números reales que una variable puede asumir se conoce como el dominio de la variable. En contraste con una variable, una constante es un número fijo o letra cuyo valor permanece fijo a lo largo de una discu- sión particular. Combinando constantes y variables mediante el uso de la adición, sustracción, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces, se obtienen expresiones algebraicas. EJEMP LOS =⇒ MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 12
- 4. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplos 3x − 4y MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 12
- 5. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplos 3x − 4y 2x2 − y + 1 xy MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 12
- 6. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplos 3x − 4y 2x2 − y + 1 xy ax − b + 3 √ yz 1 − x2 MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 12
- 7. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplos 3x − 4y 2x2 − y + 1 xy ax − b + 3 √ yz 1 − x2 3xy−2 + π x2 + y2 + z2 donde a y b son constantes y x, y y z son variables. MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 12
- 8. Introductorio Expresiones algebraicas Por intimidantes que pudieran parecer algunas de estas expresiones, recuerde que son solo número reales. Por ejemplo, si x = 1 y y = 4, entonces la expresión 2x2 − y + 1 xy representa el número 2(1)2 − 4 + 1 (1)(4) = −2 + 1 4 = − 7 4 obtenido al reemplazar x y y en la expresión por los valores. Los polinomios son una clase importante de expresiones algebraicas. Los polinomios más simples son los de una variable. MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 4 / 12
- 9. Introductorio Expresiones algebraicas Polinomio en una variable Un polinomio en x es una expresión algebraica de la forma anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 donde n es un entero no negativo y a0, a1, . . . , an son números reales, con an = 0. MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 12
- 10. Introductorio Expresiones algebraicas Polinomio en una variable Un polinomio en x es una expresión algebraica de la forma anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 donde n es un entero no negativo y a0, a1, . . . , an son números reales, con an = 0. Las expresiones akxk se llaman los términos de un polinomio. Los números a0, a1, . . . , an se llaman coeficientes de 1, x, x2 , . . . , xn res- pectivamente. El entero no negativo n da el grado del polinomio. =⇒ MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 12
- 11. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplo Considere el polinomio −2x5 + 8x3 − 6x2 + 3x + 1 1 Los términos del polinomio son −2x5 , 8x3 , 6x2 , 3x, 1. 2 Los coeficientes de 1, x, x2 , x3 , x4 y x5 son 1, 3, −6, 8, 0 y −2, respectivamente. 3 El grado del polinomio es 5. MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 6 / 12
- 12. Introductorio Expresiones algebraicas Un polinomio de sólo un término (como 2x3 ) se llama monomio; un polinomio de dos términos (como x3 +x) se llama binomio; y un polinomio de solo tres términos (como −2x3 +x−8) se llama trino- mio. Asimismo, un polinomio compuesto de un término (constante) a0 (como el monomio −8) se llaman polinomio constante. La mayor parte de la terminología utilizada para un polinomio en una variable se traslada a la discusión de polinomios en varias va- riables. Pero el grado de un término en un polinomio de varias variables se obtiene al sumar las potencias de todas las variables en el término, y el grado del polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos. Por ejemplo, el polinomio 2x2 y5 − 3xy3 + 8xy2 − 3y + 4 es un polinomio en dos variables x y y de grado 7. MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 12
- 13. Introductorio Expresiones algebraicas Adición y sustracción de polinomios Los términos constantes y los términos que tienen la misma variable y exponente se llaman términos similares o semejantes. Estos términos pueden combinarse al sumar o restar sus coeficientes numéricos. Por ejemplo, MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 12
- 14. Introductorio Expresiones algebraicas Adición y sustracción de polinomios Los términos constantes y los términos que tienen la misma variable y exponente se llaman términos similares o semejantes. Estos términos pueden combinarse al sumar o restar sus coeficientes numéricos. Por ejemplo, 3x + 7x = (3 + 7) x = 10x suma t´erminos semejantes MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 12
- 15. Introductorio Expresiones algebraicas Adición y sustracción de polinomios Los términos constantes y los términos que tienen la misma variable y exponente se llaman términos similares o semejantes. Estos términos pueden combinarse al sumar o restar sus coeficientes numéricos. Por ejemplo, 3x + 7x = (3 + 7) x = 10x suma t´erminos semejantes 1 2 m2 −3m2 = 1 2 − 3 m2 = − 5 2 m2 resta t´erminos semejantes MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 12
- 16. Introductorio Expresiones algebraicas Para sumar o restar dos o más polinomios, primero retire los pa- réntesis y luego combine los términos semejantes. La operación re- sultante se escribe entonces en orden de grado descendente de iz- quierda a derecha. Ejemplo 1 (3x3 + 2x2 − 4x + 5) + (−2x3 − 2x2 − 2) = 3x3 + 2x2 − 4x + 5 − 2x3 − 2x2 − 2 Retirar paréntesis = 3x3 − 2x3 + 2x2 − 2x2 − 4x + 5 − 2 Agrupar t´erminos semejantes = x3 − 4x + 3 Reducir t´erminos semejantes MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 12
- 17. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplo 2 (2x4 + 3x3 + 4x + 6) − (3x4 + 9x3 + 3x2 ) = 2x4 + 3x3 + 4x + 6 − 3x4 − 9x3 − 3x2 Retirar paréntesis Observe que el signo menos cambia todos del segundo polinomio = 2x4 − 3x4 + 3x3 − 9x3 − 3x2 + 4x + 6 Agrupar t´erminos semejantes = −x4 − 6x3 − 3x2 + 4x + 6 Reducir t´erminos semejantes MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 10 / 12
- 18. Introductorio Expresiones algebraicas Multiplicación de polinomios Para determinar el producto de dos polinomios utilizamos la propiedad distributiva de los números reales. Por ejemplo para calcular 3x(4x − 2) utilizamos la ley distributiva para obtener 3x(4x − 2) = (3x)(4x) + (3x)(−2) = 12x2 − 6x MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 12
- 19. Introductorio Expresiones algebraicas Ejemplo Determine el producto (3x + 5) (2x − 3) (3x + 5) (2x − 3) = 3x (2x − 3) + 5 (2x − 3) = (3x)(2x) + (3x)(−3) + 5(2x) + 5(3) = 6x2 − 9x + 10x − 15 = 6x2 + x − 15 MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 12 / 12