Práctico N°1 Inter Mod Entorno y funciones 2022 - Análisis Matemático I.pdf

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. CARRERAS: INFORMÁTICA, AUTOM. Y ROBÓTICA, ELECTRÓNICA CONTROL ELÉCTRICO
Prof: Galli, Bermejo, Chávez
Baioni, Bermejo, Galli Práctica Análisis Matemático I. Material con fines educativos en las carreras mencionadas del INSPT-UTN. CABA, 2022 1
Trabajo Práctico Nº 1
Intervalos-Módulo- Entornos y Funciones
1) Hallar el conjunto solución y representar en la recta real
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 0} 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ/3𝑥 + 2 < 4} 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/(2𝑥 + 4)(𝑥 − 5) > 0}
2) Escribir como intervalo o unión de intervalos y representar en la recta real
a) Todos los números reales menores que 5.
b) Todos los números reales mayores que −2 y menores o iguales que 6.
3) Expresar como intervalo o por extensión los siguientes conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥| ≤ 3}
𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/|𝑥| ≤ 2}
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥| ≥ 6}
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 − 2| < 4}
𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 + 2| ≥ 5}
𝐺 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 + 3| ≤ 5}
𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 − 6| > 9}
𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 − 4| < −2}
𝐾 = {𝑥 ∈ ℝ/|2𝑥 − 6| < 8}
𝐿 = {𝑥 ∈ ℝ/|−3𝑥 − 9| ≤ 6}
𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ/2 < |𝑥 − 3| < 5}
𝑂 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 − 6| < 2 ∨ 𝑥 = 8 }
𝑃 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < −2 ∨ 𝑥 > 3}
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 1 ∨ 𝑥 ≥ 3}
𝑇 = {𝑥 ∈ ℝ/3 ≤ |𝑥 − 4| ≤ 6}
4) Expresar, si es posible, como entorno los siguientes conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/1 < 𝑥 < 7}
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ/3 ≤ 𝑥 < 6}
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 < 𝑥 < 6}
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 < 𝑥 < 10}
𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ/|𝑥 − 3| < 2}
𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 < 𝑥 < 1} − {−1}
𝐺 = {𝑥 ∈ ℝ/0 < |𝑥 − 2| < 3}
𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ/0 < |𝑥 + 4| < 3}
5) Indicar A = Dom f de las siguientes funciones f : A → R /
a)
x
x
x
f
2
5
)
(
+
=
b) 2
2
3
)
(
x
x
x
f
+
=
c)
100
)
( 2
+
−
=
x
x
x
f
d)
4
3
)
( 2
5
−
+
−
=
x
x
x
f
e)
5
6
7
)
( 2
+
−
−
=
x
x
x
x
f
f)
9
2
)
( 2
−
−
=
x
x
x
f
g) 6
)
( −
= x
x
f
h) 2
)
( x
x
f =
i) 3
)
( 2
−
= x
x
f
j) ( )
4
log
)
( −
= x
x
f
k) 2
ln
)
( −
= x
x
f
6) Encontrar la función lineal f que satisface que f (1) =0 y f (-2) = -3/2. Determinar los puntos en los
que el gráfico de f corta a los ejes coordenados y graficar.

7) Hallar la ecuación de la recta de pendiente m=-3 que pasa por el punto P= (1; -2)
8) Sea f(x)=mx +7. Encontrar el valor de m∈ ℝ tal que f(-2)=5
9) Escribir las ecuaciones de las funciones cuadrática a partir de los datos dados en cada caso,
e indicar de qué manera queda expresada (polinómica, canónica o factorizada).
a) Las raíces de la función son 4 y -3 y además a=2.
b) El vértice de la función es V= (-4; 3) y además a = -1.
c) Sus raíces son 2 y -4 y la intersección con el eje y es (0;4)
10) Responder y justificar las respuestas
a) ¿Cuál es el grado de 2
5
7
)
( 5
−
−
= x
x
x
f ?
b) ¿Cuáles son las raíces de 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)4
(𝑥 − 2)? ¿Cuál es el orden de multiplicidad de cada
raíz?
c) ¿Es correcto afirmar que el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)2
(𝑥 + 3)2
no atraviesa al
eje de las abscisas?
d) ¿Es correcto afirmar que 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 3𝑥)(𝑥2
+ 6) posee más de dos raíces ℝ?
11) Escribir en cada caso una función que cumpla con el orden de multiplicidad de las raíces
indicadas
a) 0 es una raíz de orden 2, y -2 es de orden 1
b) 3 es de orden 3, y -3 es de orden 2
c) 1, - 2 y -3 son de orden 1
d) 2 es de orden 3, y 0 es de orden 4
12) Hallar todos los ceros e indicar el conjunto de negatividad de 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 10𝑥 + 8 ,
sabiendo que f(1)=0.
13) Representar gráficamente las siguientes funciones, indicando para cada una de ellas, las
intersecciones con ambos ejes y el conjunto imagen.
a) 3
)
(
/
: 0 −
=
→
+
x
f
R
R
f
b)   5
)
(
/
1
: =
→
− x
f
R
R
f
c) 1
2
)
(
/
: +
−
=
→ x
x
f
R
R
f
d) x
x
f
Z
Z
f 4
)
(
/
: −
=
→
e) 2
2
1
)
(
/
: −
=
→
−
x
x
f
R
R
f
f) 3
2
)
(
/
: 2
−
+
=
→ x
x
x
f
R
R
f
g) 2
)
(
/
: 2
−
−
=
→ x
x
f
R
R
f
h) 2
2
)
(
/
: 2
3
−
−
+
=
→ x
x
x
x
f
R
R
f
i) 2
3
4
4
4
)
(
/
: x
x
x
x
f
R
R
f +
−
=
→
j) 4
3
)
(
/
: 2
3
−
+
−
=
→ x
x
x
f
R
R
f
k) 8
)
(
/
: 3
−
=
→ x
x
f
R
R
f
l) x
x
x
x
f
R
R
f 4
3
)
(
/
: 2
3
−
+
=
→
14) Representar gráficamente y extraer conclusiones de las siguientes funciones.
a)
5
)
(
/
: −
=
→ x
x
f
R
R
f
c) 3
)
(
/
: +
−
=
→ x
x
p
R
R
p
b) 5
)
(
/
: −
=
→ x
x
g
R
R
g
d) 3
)
(
/
: +
−
=
→ x
x
h
R
R
h

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. CARRERAS: INFORMÁTICA, AUTOM. Y ROBÓTICA, ELECTRÓNICA CONTROL
ELÉCTRICO
15) Graficar las siguientes funciones indicando el dominio y el conjunto imagen de cada
una.
a)





+
−
=
→
1
1
3
2
)
(
/
: 2
x
si
x
x
si
x
x
f
B
A
f
b)




+
−

−
=
→
2
1
4
2
2
)
(
/
: 2
x
si
x
x
x
si
x
x
f
B
A
f
c)




+

+
−
=
→
0
5
0
3
2
)
(
/
:
x
si
x
x
si
x
x
f
B
A
f
d)









+


−


−
=
=
→
5
4
1
4
2
3
2
0
1
0
2
)
(
/
:
x
si
x
x
si
x
x
si
x
si
x
f
B
A
f
e)






+


−
−
−

+
=
→
1
2
1
2
3
2
4
)
(
/
:
2
x
si
x
x
si
x
si
x
x
x
f
B
A
f
f)






−

+
=
→
0
4
0
4
)
(
/
: 2
2
x
si
x
x
si
x
x
f
B
A
f
g) 



−

+


−
−
=
→
2
3
1
2
3
3
)
(
/
:
2
x
v
x
si
x
x
si
x
x
f
B
A
f
16) Graficar las siguientes funciones, cada una de ellas en un sistema de ejes cartesianos
con su respectiva inversa.
a) x
e
x
f
R
R
f =
→ +
)
(
/
: b) 1
3
: / ( ) log
f R R f x x
+
→ =
c) 3
log
)
(
/
: 2 +
=
→
+
x
x
f
R
R
f d) 5
2
)
(
/
: +
=
→ + x
x
f
R
R
f

Respuestas
1) A={-5;2} B=(−∞; 2/3) C=(−∞; −2)U(5; +∞)
2) a. (−∞; 5) b. (−2; 6]
3)
4)
( ) ( )
 ) ( )   ( )
( ) ( ) ( )   ( )
( ) ( )   ( )
1;7 4;3
3;6 3;1 1 1;2
2;6 2;4 1;5 2 2;3
7 13
3;10 ; 7; 1 4 4;3
2 2
A E E no es posible
B No es posible F E
C E G E
D E H E



= =
= = − − − = −
= − = = − − =
 
= − = = − − − − = −
 
 
5)
a. A = ℝ − {0}
b. A = ℝ − {0}
c. A = ℝ
d. A = ℝ − {−2 ; 2}
e. A = ℝ − {1; 5}
f. A = ℝ − {−3; 3}
g. A = [6; +∞)
h. A = ℝ
i. A = (−∞; −√3 ] ∪ [√3; +∞)
j. A = ( 4; +∞)
k. A = ℝ − {2}
6) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 −
1
2
f corta a los ejes coordenados en:
✓ (1; 0) con el eje de abscisas
✓ (0; -½) con el eje de ordenadas

7) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1
8) m=1
9)
a) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) Forma factorizada b) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 4)2
+ 3 Forma
canónica c) 𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) Forma factorizada
10)
a) 5 porque es la potencia mayor de la variable x
b) x1= -3 tiene orden de multiplicidad 4 debido a que el binomio x+3 está elevado a la 4ta
y x2= 1 es de multiplicidad 1 debido a que el binomio x+1 no tiene exponente escrito que
equivale a estar elevado a la primera potencia
c) No es correcto ya que f(x) se anula en x1=0, en x2=2 y en x3= -3
d) No es correcto ya que el factor x2
+3x se anula para x1=0 y x2=-3, pero el factor x2
+6 no
se anula para ningún valor real de x, es decir que f(x) tiene exactamente dos raíces reales.
11) 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
(𝑥 + 2) 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 3)2
(𝑥 − 3)3
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4
(𝑥 − 2)3
12) 𝐶0
= {−4 ; 1; 2} C -
=(−∞; −4)𝑈(1; 2)
13)
A
Intersección con el eje Y: (0; −3)
Interesección con el eje X: ∄
Conj. Imagen: {−3}
B C
Intersección con el eje Y: (0; 6)
Interesección con el eje X: ∄
Conj. Imagen: {6}
Interesección con el eje X: (
1
2
; 0)
Conj. Imagen: ℝ

D E
Interesección con el eje X: (0; 0)
Conj. Imagen: {𝑦 ∈ ℤ/ 𝑦 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 4}
Intersección con el eje Y: ∄
Intersección con el eje X: ∄
Conj. Imagen: (−∞; −2)
F G
Intersecciones con el eje X:
{(−3; 0); (1; 0)}
Conj. Imagen: [−4; +∞)
Intersecciones con el eje X: ∄
Conj. Imagen: (−∞; 2]
H I
{(−2; 0); (−1; 0); (1; 0)}
Conj. Imagen: ℝ
Intersecciones con el eje X: {(0; 0); (2; 0)}
Conj. Imagen: [0; +∞)

J K
{(−1; 0); (2; 0)}
Conj. Imagen: ℝ
Intersecciones con el eje X: {(2; 0)}
Conj. Imagen: ℝ
L
Intersecciones con el eje X: {(−4; 0); (0; 0); (1; 0)}
Conj. Imagen: ℝ
14)
A B C D

15)
A B
𝐷𝑓 = ℝ 𝐼𝑓 = [1; +∞) 𝐷𝑓 = ℝ 𝐼𝑓 = [−4; +∞)
C D
𝐷𝑓 = ℝ 𝐼𝑓 = [5; +∞)
𝐷𝑓 = [0; +∞) 𝐼𝑓 = (−1; 1] ∪ {2} ∪ [5; 6]
E F
𝐷𝑓 = ℝ 𝐼𝑓 = ℝ 𝐷𝑓 = ℝ − {0} 𝐼𝑓 = [−4; +∞)
G

𝐷𝑓 = ℝ 𝐼𝑓 = ℝ
16)
A B
C D

A
B
C

D

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