Segmentos de reta e semi

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Segmentos de reta e semi

  1. 1. Segmentos de reta e semi-retas Quando não houver dúvida ou necessidade de orientação, podemos indicar o ângulo simplesmente pela letra queLembramos que um segmento de reta orientado AB é um representa o vértice, como por exemplo: Ô. Uma outra notaçãosegmento de reta que tem início em A e final em B. para ângulo é AÔB, sendo O o vértice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do ângulo. Notas históricas sobre ângulosUma semi-reta orientada AB é a parte de uma reta que teminício em A, passa por B e se prolonga indefinidamente. O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvezO conceito de ângulo Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo deÂngulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cireneduas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. (276 a.C.-194 a.C) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas. Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra assim como entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciênciaA interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação dadenominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois Matemática.segmentos (ou semi-retas). Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, haviaObservação: Mostraremos nas notas históricas que não a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias.existe uma definição bem estabelecida de ângulo. Frequentemente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombraPodem ser usadas três letras, por exemplo ABC para projetada sobre um certo indicador (relógio de Sol).representar um ângulo, sendo que a letra do meio Brepresenta o vértice, a primeira letra A representa um ponto Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte,do primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a terceira letra dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia serC representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi- medida por um ser humano comum. Para resolver estereta). problema, esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media a distância. Os braços deveriam permanecer bem esticados para que aUsamos a notação < para um ângulo, como por exemplo: resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de<ABC. uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantísimo no contexto científico.O mesmo ângulo poderia ser representado pelas letras CBA, eneste caso, deve ficar claro que foi escolhido como primeirosegmento (ou semi-reta) aquele que contém o ponto C, Na verdade, não se sabe quando o homem começou a medirenquanto que o segundo segmento (ou semi-reta) foi escolhido ângulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopotâmia ecomo aquele que contém o ponto A, sendo o vértice do ângulo o eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi construída,mesmo da situação anterior. 2000 a.C.Um ângulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos Quanto ao conceito de ângulo, temos algumas definições:um compasso no vértice O do ângulo e com uma certaabertura positiva (raio) traçamos um arco de circunferência a Grécia antiga: "Um ângulo é uma deflexão ou quebra em umapartir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou linha reta".semi-retas) até que este arco toque o outro segmento de reta(ou semi-reta) em um ponto B. Euclides: "Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento". Em 1893, H.Schotten resumiu as definições de ângulo em três tipos: 1. A diferença de direção entre duas retas; 2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;O AÔB está orientado positivamente se o arco foi construído 3. A porção do plano contida entre as duas retas queno sentido anti-horário enquanto o ângulo BOA está orientado definem o ângulo.negativamente, isto é, o arco foi construído no sentido horário,aquele sentido seguido pelos ponteiros de um relógio.
  2. 2. Em 1634, P.Henrigone definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição esta que tem sido usada com mais frequência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o Medida de um ângulo símbolo "<" para representar ângulo. A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:Ângulos consecutivos e adjacentes 1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais eÂngulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um reciprocamente ângulos que possuem medidas iguaisdos lados de um deles coincide com um dos lados do outro são congruentes.ângulo. AÔB DÊF equivale a m(AÔB)=m(DÊF) 2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a m(AÔB) > m(DÊF) AÔB e BÔC AÔC e BÔC são 3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um são AÔB e AÔC são consecutivos consecutivos consecutivos terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das OC é o lado comum OB é o lado OA é o lado comum medidas dos ângulos dados. comumÂngulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos sãoadjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figuraem anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔC AÔB+BÔC. Além disso: m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)Ângulos opostos pelo vértice Unidades de medida de ângulosConsideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional éponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos o radiano e o processo para obter um radiano é o seguinte:que não são adjacentes são opostos pelo vértice. Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vérticee também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice. Uma forma prática de visualizar isto, é tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferência (nãoÂngulos congruentes importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das interseções da circunferência com a reta horizontal.A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OADizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos da circunferência. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre aum sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. circunferência. O ponto B coincidirá com a outra extremidade do barbante. Traçamos então o segmento deNa figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos reta OB, que representa o outro lado do ângulo AOB. Acongruentes. Usamos a notação para denotar ângulos medida do ângulo AOB é 1 radiano.congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são semprecongruentes. Uma outra unidade é muito utilizada nos primeiros níveis educacionais é o grau. Ela é obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno o colocado como expoente do número, como 1º.
  3. 3. Exemplo: Em geral, associa-se um número a um ângulo Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base estabelecendo a razão entre este ângulo e outro ângulo 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em tomado como unidade. 360 partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:"primeiras menores partes" = sexagésimos "segundas menores partes" = sexagésimos de sexagésimosPor exemplo, se um ângulo Û com 1 radiano de medida forconsiderado um ângulo unitário, então o ângulo Â=6 tem a Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi amedida 6 vezes maior, isto é, Â tem 6 unidades de medida. língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:Pergunta: Você conhece a razão pela qual o círculo é divididoem 360 partes? Leia as notas históricas que seguem. "primeiras menores partes" = partes minutae primae "segundas menores partes" = partes minutae secundaeNotas históricas sobre o grau e o radiano de onde apareceram as palavras minuto e segundo.Acerca de elementos geométricos relacionados com a De um modo popular, usamos a unidade de medida de ânguloAstronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs com graus, minutos e segundos. Na verdade a unidade deum sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foiantes de Copérnico, no entanto este material histórico se uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir eperdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista o físico James T. Thomson, de uma forma independente. Nahistórico foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. verdade o termo radian apareceu pela primeira vez numenvolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua. trabalho de Thomson em 1873. Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo.A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ounão existe qualquer razão científica. Talvez exista uma razão medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade éhistórica que justifique a existência de tal número no contexto implementada ao longo do tempo.de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos Alguns ângulos especiais: Com relação às suaspantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto,Astronomia assim como pela sua relação com conceitos agudo, obtuso e raso.religiosos (eram politeistas) e para viabilizar taisprocedimentos, criaram um sistema de numeração com base60 (sistema hexagesimal). Ângulo Características GráficoNão se sabe ao certo quais as razões pelas quais, foi escolhido Ângulo cuja medida é maior do que 0o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas agudo graus e menor do que 90 graus. Ao ladoque o número 60 é um dos menores números menores do que temos um ângulo de 45 graus.100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos,a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pelaqual este número tenha sido adotado. Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus reto lados estão localizados em retasO primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes perpendiculares.foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de150 a. C. encontramos uma generalização de Hiparco paraeste procedimento. É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado obtuso temos o exemplo de um ângulo obtusoDividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples de 135 graus.para os especialistas daquela época e é possível que se tenhausado o número 60 para representar 1/6 do total que passou a Ângulo que mede exatamente 180º, osser 360. seus lados são semi-retas opostas. Neste raso caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta. O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas,Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 como no encontro de uma parede com o chão, os pés de umaé que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias derealizava em um período de aproximadamente 360 dias, o que janelas, etc...era uma estimativa razoável para a época. Hiparco mediu aduração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Apóssendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zerodias. graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).
  4. 4. Observação: É possível obter ângulos maiores do que 1 ângulo reto 90 graus 90º360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os 1 grau 60 minutos 60lados dos ângulos menores do que 360º na medida que 1 minuto 60 segundos 60"ultrapassa 360º. Para obter tais ângulos basta subtrair360º do ângulo até que este seja menor do que 360º. AssimPor exemplo um ângulo de 400º é equivalente a um ângulo de40º pois: 400º-360º=40º. 1 grau = 1 ângulo reto dividido por 90. 1 minuto = 1 grau dividido por 60. 1 segundo = 1 minuto dividido por 60. Exemplo: Expressar a medida do ângulo 35º 48 36" como fração decimal do grau.O transferidor 35º4836" = 35º + 48 + 36" = = 35º + (48/60)º + (36/3600)ºPara obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um = 35º + 0,80º + 0,01ºpapel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, = 35,81ºque contém um segmento de reta em sua base e umsemicírculo na parte superior marcado com unidades de 0 a180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 Alguns exercícios resolvidosmarcada em ambos os sentidos do arco para a medida doângulo sem muito esforço. Para medir um ângulo, coloque ocentro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o 1. Nos relógios desenhados, qual é a medida do menorsegmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo e o ângulo formado pelos ponteiros de cada relógio?outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo, comomostra a figura. Solução: No relógio lilás, o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 120º enquanto que no relógio verde o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 150º.O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura acima, podemos lerdiretamente as medidas dos seguintes ângulos: 2. Para expressar 2/3 de 1 grau (1º) em minutos, basta tomar: m(AÔD)=120 (2/3)º = 2/3 x 60 = 40. m(AÔB)=27º m(AÔC)=70º m(AÔE)=180º º m(EÔB)=15 m(EÔC)=11 m(EÔD)=60º m(EÔA)=180º 3. Para escrever 48 como uma parte fracionária do grau, basta tomar:Observação: Os ângulos AÔB e EÔB são suplementares. O 48=(48/60)º=(4/5)º=(4/5) de 1º.mesmo acontece com os pares de ângulos: AÔC e EÔC, AÔD eEÔD.Exemplos: 4. Para expressar 3/4 de 1 em segundos, tomamos 1. O ângulo BÔC pode ser medido mudando a posição do (3/4)=(3/4)x60" = 45" transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos. 5. De acordo com a figura, complete as medidas dos m(BÔC) = m(AÔC) - m(AÔB) = 70º - 26º = 44º ângulos que estão faltando em cada linha da tabela abaixo: 2. O ângulo DÔB pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos. m(AÔC) m(AÔB) m(BÔC) m(DÔB) = m(EÔB) - m(EÔD) = 154º - 60º = 94º 62º20 32º40 61º42 19º3 20"Subdivisões do grau 43º42 20" 21º49 52" 64º18 45º25 34"Em problemas reais, os ângulos nem sempre possuem medidasassociadas a números inteiros, assim precisamos usar outrasunidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 6. Posicione o mouse sobre a palavra "Resposta" e apósminuto é 1 e a notação para 1 segundo é 1". alguns segundos você verá se acertou a questão. Unidade de Número de Notação ângulo subdivisões
  5. 5. Solução: Os ângulos medem 44º e 46º. 13. Em quantos graus, a medida do suplementar de um ângulo agudo excede a medida do complementar deste7. Na figura abaixo as retas AC e BD se interseptam no ângulo? ponto O. Pergunta-se: Solução: Se x é a medida do ângulo, então a medida do suplementar de x é igual a (180-x)º e a medida do complementar de x é igual a (90-x)º, portanto, a medida do suplementar de x que excede a medida do complementar de x é igual 90º. a. Quais são ângulos agudos? b. Quais são ângulos obtusos? c. Quais são os nomes de quatro pares de ângulos suplementares? d. Quais ângulos são opostos pelo vértice? e. Identifique dois ângulos que são adjacentes ao ângulo DÔA. 14. Se (3x-15) graus é a medida de um ângulo agudo, que restrições devemos ter para o número x? Solução: Solução: O ângulo agudo mede 3x-15. Temos que um ângulo agudo deve medir mais do que zero graus e f. Ângulos agudos são BÔA e CÔD. menos do que 90 graus, assim, 0<(3x-15)<90, logo g. Ângulos obtusos são BÔC e DÔA. 5<x<35. h. Quatro pares de ângulos suplementares são DÔC e CÔB, CÔB e BÔA, BÔA e DÔA, BÔA e CÔD. 15. A soma das medidas de dois ângulos complementares é i. Ângulos opostos pelo vértice: DÔC e AÔB, 86º maior do que a diferença de suas medidas. Calcule a AÔD e BÔC. medida de cada ângulo. j. Dois ângulos adjacentes ao ângulo DÔA são: BÔA e DÔC. Solução: As medidas dos ângulos: 43º e 47º.8. Mostre que ângulos são opostos pelo vértice são congruentes. Solução: Se m(AÔB)=x, m(CÔD)=y e m(CÔB)=z, como Interior e exterior de um ângulo os pares de ângulos AÔB, BÔC e BÔC, CÔD são suplementares, temos que x+z=180º e y+z=180º, Interior de um ângulo: O interior do ângulo AÔB é a portanto x=y, o que implica que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes. interseção de dois semi-planos. O semi-plano 1 com origem na reta OA e que contém o ponto B e o semi-plano 2 com origem em OB e que contém o ponto A.9. A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus. Dessa forma, podemos obter o interior do ângulo AÔB, como a interseção desse semi-planos, isto é: Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Assim, temos duas equações: x+y=120º e x=3y-40º. Interior de AÔB = 1 2 Resolvendo este sistema, obtemos x=40º e y= 80º. Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o interior deste10. Dois ângulos são suplementares, a medida de um ângulo é uma região convexa, o que significa que quaisquer dois deles é 24 graus menor do que o dobro da medida do pontos contidos no interior do ângulo são extremidades de um outro.Calcule a medida de cada ângulo. segmento de reta inteiramente contido nesta região. Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Desse modo: x+y=180º e x=2y-24º. Assim: x=112º e y=68º.11. Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ângulo. Solução: Medidas dos ângulos: 36º e 54º.12. Dois ângulos complementares têm medidas Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10. Determinar ângulo e a reunião de um ângulo com seu interior é um setor a medida de cada ângulo.
  6. 6. angular, também conhecido como ângulo convexo. Algunsautores definem desta forma um ângulo.Exterior de um ângulo: O exterior do ângulo AÔB é oconjunto de todos os pontos que não pertencem nem ao ânguloAÔB nem ao interior de AÔB.O exterior de AÔB é a reunião de dois semi-planos, o semi-plano 1 com origem na reta OA e que não contém o ponto Be o semi-plano 2 com origem em OB e que não contém oponto A. Assim, basta tomar a reunião desses dois semi-planos:Exterior de AÔB = 1 U 2Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o exteriordeste ângulo é uma região côncava, isto quer dizer que não éuma região convexa. Os pontos do exterior de um ângulo sãopontos externos ao ângulo e a reunião do ângulo com seuexterior, também é conhecida como ângulo côncavo.Ângulos complementares, suplementares e replementaresDois ângulos são denominados:Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º eneste caso, um ângulo é o complemento do outro.Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º eneste caso, um ângulo é o suplemento do outro.Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º eneste caso, um ângulo é o replemento do outro.Complemento Replemento de Suplemento de xde x x90º - x 180º - x 360º - x

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