República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de popular para la educación Universitaria
Universidad Politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco”
PRESENTACIÓN PLANO NUMERICO
Prof.:
Larry Segueri
Estudiante:
Víctor León C.I: 31.132.420

PLANO NUMERICO O CARTESIANO
El plano cartesiano o sistema de ejes coordenados es un sistema de referencia conformado por
dos líneas numeradas se interceptan. Recibe este nombre en honor al matemático y filósofo René
Descartes (1596-1650).
Características del plano cartesiano
• Los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí.
• Las escalas de los ejes son iguales.
• Los números positivos están a la derecha del origen en el eje de las x y por arriba del
origen en el eje de las y.
• Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
• Es bidimensional.
Partes del plano cartesiano
En el plano cartesiano se pueden identificar varios elementos:
• Los ejes de coordenadas: son dos líneas numeradas que se cruzan delimitando ángulos
rectos entre sí.
• El origen: es el punto de intersección entre los dos ejes de coordenadas.
• El eje de abscisas o eje de las x: es la línea horizontal de los ejes de coordenadas. Hacia la
derecha del origen se encuentran los valores positivos, hacia la izquierda, se encuentran
los valores negativos.
• El eje de ordenadas o eje de las y: es la línea vertical de los ejes de coordenadas. Por
arriba del origen se encuentran los valores positivos; por debajo, los valores negativos.
• Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros regiones en que se divide el plano
por causa de los ejes x y y. En el primer cuadrante, los valores de x y 𝑦 son positivos; en el

segundo cuadrante, los valores de x son negativos y los de y son positivos; en el tercer
cuadrante, tanto x como y son negativos; en el cuarto cuadrante, los valores de x son
positivos y los de y son negativos.
Ejemplo plano cartesiano con coordenadas
En el plano cartesiano abajo están localizados varios puntos, cuyas coordenadas cartesianas son:
• punto A = (2,2) en el primer cuadrante;
• punto B = (-7,4) en el segundo cuadrante;
• punto C = (-7, -3) en el tercer cuadrante;
• punto D = (3, -5) en el cuarto cuadrante;
• punto E = (5, 4) en el primer cuadrante;
• punto F = (-2, 1) en el segundo cuadrante;
• punto G = (-3, -3) en el tercer cuadrante y
• punto H = (3, -2) en el cuarto cuadrante.
Ejercicios de planos cartesianos
1. Escriba los pares ordenados de los puntos A, B, C, D, E, F, G y H en el siguiente plano cartesiano:

Respuesta:
A = (2, 5); B = (-5, 3); C = (-5, -2); D = (2,-5); E = (5, 2); F = (-3, 2); G = (-4, -4); H = (4, -3).
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A (𝑥1, 𝑦1) y B (𝑥2, 𝑦2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa 𝐴𝐵 y emplear el teorema de
pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
𝐴(𝑋1,𝑌1)

𝐵(𝑋2,𝑌2)
𝑋𝑚 =
𝑋1 + 𝑋2
2
𝑌𝑚 =
𝑌1 + 𝑌2
2
𝑑 = 5 unidades
PUNTO MEDIO Y SUS COORDENADAS
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera
o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales.
Sean 𝐴(𝑋1, 𝑌1, 𝑍1 y 𝐵(𝑋2,𝑌2, 𝑍2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento
viene dado por:
𝑀(
𝑋1 + 𝑋2
2
,
𝑌1 + 𝑌2
2
,
𝑍1 + 𝑍2
2
)
Ejemplo:
Dados los puntos 𝐴(3, −2,5) y 𝐵(3,1,7), hallar las coordenadas del punto medio del segmento
que determinan.
Utilizando la fórmula de las coordenadas del punto medio tendremos
𝑀 (
𝑋1 + 𝑋2
2
,
𝑌1 + 𝑌2
2
,
𝑍1 + 𝑍2
2
) = (
3 + 3
2
,
−2 + 1
2
,
5 + 7
2
)
Entonces
𝑀 (3,
1
2
, 6)
Ejemplo:
Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son 𝐴(1,0,0) y 𝐵(0,1,0). Las
coordenadas del centro 𝑀 son 𝑀(0,0,1). Hallar las coordenadas de los vértices 𝐶 𝑦 𝐷.

Observemos que 𝑀 es el punto medio entre los vértices 𝐴 𝑦 𝐶 , pero también es el punto medio
entre los vértices 𝐵 𝑦 𝐷.
Al ser punto medio debe cumplir con la fórmula de las coordenadas del punto medio, utilizaremos
esta para calcular los vértices restantes.
Vértice C:
(0,0,1) = (
1 + 𝑋𝑐
2
,
0 + 𝑌𝑐
2
,
0 + 𝑍𝑐
2
)
Entonces
0 =
1 + 𝑋𝑐
2
0 =
0 + 𝑌𝑐
2
1 =
0 + 𝑍𝑐
2
Por lo tanto
𝑋𝑐 = −1 𝑌𝑐 = 0 𝑍𝑐 = 2
es decir, el vértice C es (−1,0,2).
Vértice D:
(0,0,1) = (
0 + 𝑋𝐷
2
,
1 + 𝑌𝐷
2
,
0 + 𝑍𝐷
2
)
Entonces
0 =
0 + 𝑋𝐷
2
0 =
1 + 𝑌𝐷
2
1 =
0 + 𝑍𝐷
2
Por lo tanto
𝑋𝐷 = 0 𝑌𝐷 = 1 𝑍𝐷 = 2
y de aquí tendremos que 𝐷(0, −1,2).
ECUACIONES Y TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de
otro, llamado centro de la circunferencia.
No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en

realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el
círculo una superficie).
A continuación vemos una imagen de una circunferencia.
En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el
plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que
hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.
En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a
continuación:
• Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a
la circunferencia.
• Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la
circunferencia.
• Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
• Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos
diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
• Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
• Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a
un radio.
Ecuación analítica de la circunferencia

Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto
de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al
teorema de Pitágoras: r2
= x2
+ y2
. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de
los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2
= (x – a)2
+
(y – b)2
Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado
perfecto) y obtenemos.
𝑥2
+ 𝑦2
– 2𝑎𝑥 – 2𝑏𝑦 – 𝑟2
= 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2
+ b2
– r2
tendremos que:
𝑥2
+ 𝑦 2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Ejemplo:
Si tenemos la ecuación 𝑥2
+ 𝑦 2
+ 6𝑥 – 8𝑦 – 11 = 0
Entonces tenemos que: 𝐷 = 6 → 6 = – 2𝑎 → 𝑎 = – 3
𝐸 = – 8 → – 8 = – 2𝑏 → 𝑏 = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
𝐹 = (– 3) 2
+ 42
– 𝑟 2
→ – 11 = (– 3)2
+ 42
– 𝑟 2
→ 𝑟 = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (𝑥 + 3)2
+ (𝑦 – 4)2
= 36
PARÁBOLA Y SUS ELEMENTOS
Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta
fija y un punto fijo:
Elementos de la parábola

• Foco: Es el punto fijo F.
• Directriz: Es la recta fija D.
• Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro
p.
• Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es
el eje de simetría de la parábola.
• Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el
punto de intersección del eje con la parábola.
• Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
Ecuación analítica de la parábola
Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto
el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y
un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros: 𝑥2
= 4𝑐𝑦
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería:
(𝑥– 𝑝)2
= 4𝑐(𝑦 – 𝑞)
desarrollando la ecuación tendremos:
𝑥2
+ 𝑝2
– 2𝑥𝑝 – 4𝑐𝑦 + 4𝑐𝑞 = 0
Si hacemos 𝐷 = – 2𝑝
𝐸 = – 4𝑐
𝐹 = 𝑝2
+ 4𝑐𝑞
obtendremos que es: 𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, en la que podemos observar que falta el
término de y2
.

Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los
ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario
aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.
ELIPSE Y SUS ELEMENTOS
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados
focos es constante.
Elementos de la elipse:
• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y
PF'.
• Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia
focal.
• Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
• Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
• Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes

Ecuación analítica de la elipse
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F
(c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el
caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados.
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2
x2
+ a2
y2
– 2xpb2
– 2yqa2
+ p2
b2
+ q2
a2
– a2
b2
= 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2
b2
+ q2
a2
– a2
b2
tendremos la ecuación: Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la
de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación
4x2
+ 9y2
+ 24x – 8y + 81 = 0
Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2
Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2
Þ a = 3
Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q).
C = 24 Þ 24 = – 2pb2
Þ p = – 3

D = – 54 Þ – 54 = – 2qa2
Þ q = 3
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que
debe tener el valor de 81. E = p2
b2
+ q2
a2
– a2
b2
= 81
La ecuación de la elipse queda:
(𝑥 + 3)2
9
+
(𝑦 − 3)2
4
= 1
HIPÉRBOLA Y SUS ELEMENTOS
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Elementos de la hipérbola:
• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
• Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia
que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF
y PF'.
• Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
• Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
• Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
• Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
• Relación entre los semiejes:
𝐶2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Ecuación analítica de la hipérbola
Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto
cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es
igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la
hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta
expresión: (c2
– a2
). x2
– a2
y2
– (c2
– a2
) a2
= 0.
Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2
= a2
+ b2
y por lo
tanto la ecuación nos queda: b2
x2
– a2
y2
= a2
b2
. Dividiendo cada término por a2
b2
obtenemos:
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2
x2
– a2
y2
– 2xpb2
+ 2yqa2
+ p2
b2
– q2
a2
– a2
b2
= 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2

C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2
b2
– q2
a2
– a2
b2
tendremos la ecuación: Ax2
– By2
+ Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la
de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

BIBLIOGRAFIA
https://www.todamateria.com/plano-cartesiano/
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/DistanciaEntreDosPuntos.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/punto-
medio.html#:~:text=del%20punto%20medio-
,Punto%20medio%20y%20sus%20coordenadas,divide%20en%20dos%20partes%20iguales.
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/ConceptoDeCircunferenciaYSusE
lementos.html
http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/Analisis_Al
gebra/matem/matematica/Conicas.htm