Se muestra de forma muy detallada todo lo referente a los cálculos para el robot cartesiano, de manera que se utilizan todo tipo de imagenes, animaciones y demás para su correcta explicación, se muestran todos los cálculos realizados en la matrices así como la forma en la que se obtienen dichos datos.

1. Robot Cartesiano (PPP)
 Este robot es conocido por varios nombres, robot de
coordenadas cartesianas y robot lineal. El robot cartesiano es
un robot industrial, el cual cuenta con 3 ejes de control
primario, los cuales son todos lineales.
 Cuenta con tres articulaciones deslizantes que le permiten
agitar la muñeca hacía adentro y hacia afuera, hacia arriba y
hacia atrás.
 Son el procedimiento preferido para hacer movimientos de
punto a punto, pero este mismo, también puede realizar
movimientos complicados contorneados e interpolados.
 La configuración cartesiana facilita la programación del
extremo final del robot y sus aplicaciones debido a que la
cinemática directa es un mapa lineal entre coordenadas
articulares y cartesianas. Por otra parte, la estructura mecánica
del robot cartesiano tiene baja destreza de movilidad
comparado con otros robots, como el robot de configuración
antropomórfica por sus articulaciones prismáticas.

2. Convención de Denavit-Hartenberg
Para obtener la cinemática directa
cartesiana del robot cartesiano, es
necesario realizar el análisis de sus
componentes además del
comportamiento de estos. De aquí salen
unas características importantes, las
cuales son:
 Longitud del eslabón i-ésimo 𝑙𝑖
 Las articulaciones lineales o
prismáticas 𝑑𝑖
 El ángulo entre los ejes 𝑧𝑖−1 y 𝑧𝑖
medido con respecto al eje 𝑥𝑖 (𝛼𝑖)
 Las articulaciones rotacionales, quien
representa el ángulo entre los ejes
𝑥𝑖−1 y 𝑥𝑖, que se miden alrededor del
eje 𝑧𝑖−1.
Se toma como la
longitud del eslabón 𝑙𝑖

3. Cinemática Directa del Robot Cartesiano
Los robots cartesianos tienen forma de
paralelepípedo recto. Su sistema de referencia
cartesiano fijo ∑0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) se selecciona de
manera conveniente. El eje 𝑧0 determina el
desplazamiento lineal de la primera articulación
prismática 𝑑1, el origen del sistema ∑0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) se
encuentra ubicado en [0, 0, 𝑙1] donde 𝑙1 es la
longitud de las barras del robot cartesiano. Los ejes
𝑥0 y 𝑦0 son alineados por regla de la mano
derecha.
Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y mecatrónica”. México
(2012). Editorial ALFAOMEGA.

4. Origen del Sistema de
Referencia
Primera Articulación
Prismática
Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y
mecatrónica”. México (2012). Editorial ALFAOMEGA.

5. Para ∑1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1):
Al rotar el eje 𝑥0 un ángulo 𝛼1 = −
𝜋
2
,
quedando el eje 𝑧1 en dirección positiva
de la variable 𝑑2. Observe que el eje 𝑦1
apunta en dirección negativa del eje 𝑧0
y el eje 𝑥1es paralelo al eje 𝑥0, separado
evidentemente por la dimensión física
de la mesa cartesiana denotada por la
longitud 𝑙2.
Se toma como segunda
articulación prismática 𝑑2
Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y
mecatrónica”. México (2012). Editorial ALFAOMEGA.

6. El sistema ∑2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) sirve para medir el
desplazamiento lineal de la variable articular
𝑑3 . No obstante, el tercer sistema de
referencia no es trivial, ya que no se puede
deducir directamente del sistema ∑1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
porque no existe un ángulo 𝛼2 alrededor del
eje 𝑥1 que genere el sistema de referencia
∑2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) . Para el sistema ∑2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) ,
primero se emplea un sistema de referencia
auxiliar denominado ∑2𝑎(𝑥2𝑎, 𝑦2𝑎, 𝑧2𝑎) el cual
se obtiene realizando una rotación de 90
grados con respecto al eje 𝑧1, esta rotación
hace que el eje 𝑥2𝑎 permanezca paralelo al eje
𝑦1. Debe observarse que los ejes 𝑧1 y 𝑧2𝑎 son
paralelos entre sı de tal manera que sus
coordenadas ( 𝑑2 ) entre estos ejes sean
idénticas.
𝒅𝟐
Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y
mecatrónica”. México (2012). Editorial ALFAOMEGA.
𝒅𝟐
𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏

7. El origen del sistema de referencia auxiliar ∑2𝑎(𝑥2𝑎, 𝑦2𝑎, 𝑧2𝑎) es el mismo que
el sistema de referencia ∑1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), pero el sistema ∑2𝑎(𝑥2𝑎, 𝑦2𝑎, 𝑧2𝑎)
mantiene una rotación relativa al sistema ∑1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) expresada por la
matriz rotación 𝑅𝑧1(
𝜋
2
).
Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y
mecatrónica”. México (2012). Editorial ALFAOMEGA.

8. Imagen tomada del libro de: Reyes, F. “MATLAB aplicado a robótica y
mecatrónica”. México (2012). Editorial ALFAOMEGA.
Por último, al girar un angulo:
𝛼2 =
𝜋
2
alrededor del eje 𝑥2𝑎 se
obtiene el sistema de referencia
∑2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2).
Donde la articulación prismática 𝑑3
se mueve linealmente sobre el eje
𝑧2. Esta ultima rotación 𝛼2 alrededor
del eje 𝑥2 determina el ángulo entre
los ejes 𝑧2 y 𝑧1. Los ejes 𝑧0, 𝑧1 y 𝑧2
son mutuamente perpendiculares
entre sí.
𝒅𝟑
Tercera articulación prismática

9. Tabla de Parámetros de Denavit-Hartenberg para el
robot cartesiano de tres grados de libertad
Es importante recordar que, debido a que la
posición del sistema se encuentra en el suelo,
𝑙1, 𝑙2 𝑦 𝑙3 son cero.

10. Denavit-Hartenberg para el PPP
La representación de Denavit-Hartenberg nos indica que cada transformación homogénea 𝐻𝑖−1
𝑖
se representa por el producto de cuatro transformaciones básicas:
De forma que, al multiplicar los valores anteriores se obtiene lo siguiente:

11. Para obtener las matrices de transformación homogénea, se
sustituyen los valores de los eslabones, con respecto a sus
interacciones. Tomando como base el resultado teórico del
algoritmo de Denavit-Hartenberg obtenido anteriormente, se
tiene la representación de las primeras dos matrices. Debido
al valor de 𝜃𝑖 lo obtenido de s𝑒𝑛 𝜃1,2 = 0 y cos 𝜃1,2 = 1, 𝑙1,2
vuelve 0 el producto donde participa.
 𝛼𝑖 en ambos eslabones tiene un valor de −
𝜋
2
, donde
sen 𝛼1,2 = −1 y cos 𝛼1,2 = 0.
 Por último se agrega el 𝑑1 y 𝑑2 para concluir con la
representación como se muestra en 𝐻0
1
y 𝐻1
2
.
Obtención de las matrices de transformación
homogénea

12. Obtención de las matrices de transformación homogénea
 Es necesario obtener la matriz de transformación homogénea de la referencia auxiliar para
obtener el segundo sistema de referencia, donde su valor de 𝛼2𝑎 = 0 y 𝜃2𝑎 =
𝜋
2
.
 Los valores correspondientes de 𝑠𝑒𝑛 𝜃2𝑎 = 1 y cos 𝜃2𝑎 = 0 , al igual que los valores de
sen 𝛼2𝑎 = 0 y cos 𝛼2𝑎 = 1 , al no tener un valor de distancia esta se vuelve cero, teniendo
como resultado la matriz representativa de 𝐻𝑅𝑧1
(
𝜋
2
)𝑇
.
 Como ultimo paso, para obtener la matriz de transformación homogénea 𝐻2𝑎 se multiplican
las matrices 𝐻𝑅𝑧1
(
𝜋
2
)𝑇 y 𝐻1
2
.

13.  Para la matriz 𝐻2
3
, a diferencia de los eslabones uno y dos, 𝛼3 = 0
volviendo los valores de s𝑒𝑛 𝛼3 = 0 y cos 𝛼3 = 1.
 Y manteniendo los valores de s𝑒𝑛 𝜃3 = 0 y cos 𝜃3 = 1.
 En consecuencia, al sustituir 𝑑3 y el valor nulo de 𝑙3, se obtienen los valores
de la matriz de transformación homogénea.

14. Finalmente, se realiza la multiplicación de las tres matrices, 𝐻0
1
, 𝐻2𝑎 y𝐻2
3
para obtener la
matriz de transformación homogénea 𝐻0
3
.
De la matriz obtenida se puede apreciar el los valores obtenidos de la matriz 𝑎1,3, 𝑎2,3 y
𝑎3,3, quienes son los valores de la cinemática directa del robot cartesiano, denotado 𝑓𝑅(𝑞).

15. Obtención del Jacobiano
Es necesario realizar el jacobiano del robot
para de esta forma comprobar si existen
problemas de singularidad en su
comportamiento.

16. Tomando en cuenta que se tienen las variables 𝑑1, 𝑑2 y 𝑑3, el jacobiano del
robot cartesiano 𝐽 𝑑3, 𝑑2, 𝑑3 =
𝜕𝑓𝑅(𝑞)
𝜕𝑞
se expresa como:
Al obtener el determinante del jacobiano, se tiene que:
det 𝐽 𝑑3, 𝑑2, 𝑑3 = 1.
Por lo tanto la configuración cartesiana no tiene singularidades.

17. Cinemática inversa
La función de cinemática inversa del
robot cartesiano termina
convirtiendo las coordenadas del
extremo final (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) del sistema
∑0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) a las coordenadas
articulares 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3 , por lo tanto,
se tiene que:
𝑑3 = 𝑥0
𝑑2 = 𝑦0
𝑑1 = 𝑧0