Es el avance de calculo III de la universidad autonoma gabriel rene moreno de la asigantura de calculo III, con le ing Rivera, donde se aboradn todos los temas respectos a la materia
CALCULISTA AGUA POTABLE ALCANTARILLADO RURAL CURACAVÍ
MAT-214 8va clase.pdf
1. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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𝑳 = −
𝟏
𝟔
4.- lim
𝑧→ ℮
𝟑
𝟐
𝝅 𝒊
(
𝑧2+3z 𝑖−2
𝑧+𝑖
) =?
lim
𝑧→ −𝒊
(
𝑧2
+ 3z 𝑖 − 2
𝑧 + 𝑖
) = lim
𝑧→ −𝒊
[
(−𝑖)2
+ 3(− 𝑖) 𝑖 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] = lim
𝑧→ −𝒊
[
−1 + 3 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] =
0
0
lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧+2𝑖)(𝑧+𝑖)
𝑧+𝑖
= lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧 + 2𝑖) = −𝑖 + 2𝑖 = 𝑖 ⟹ 𝑳 = 𝒊
5.- lim
𝑧→ 5℮
𝝅 𝒊
𝟐
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) =?
lim
𝑧→ 5𝒊
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) = lim
𝑧→ 5𝒊
[
(5𝑖) 𝑖+5
(5𝑖)2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
−5+5
−25+25
] =
0
0
lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖+5
z2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−52𝑖2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−(5𝑖)2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖(z −5 𝑖)
(z+5 𝑖)(z −5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] =
lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(5 𝑖+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
10 𝑖
] =
1
10
⟹ 𝑳 =
𝟏
𝟏𝟎
UNIDAD No. 3
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS. – Si 𝑓(𝑧) es una función univoca en alguna región R,
del punto z, la derivada de 𝑓(𝑧) está definida por:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
Si el límite existe independientemente de la manera como ∆𝑧 → 0, en tal caso decimos que
𝑓(𝑧) es diferenciable en z.
𝑤 = 𝑓(𝑧)
∆𝑤 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. – Sea z un punto P en el plano z y w su
imagen P’ en el plano w bajo la transformación 𝑤 = 𝑓(𝑧) ya que suponemos que 𝑓(𝑧) es una
función univoca, entonces el punto z es aplicado solo en el punto w.
2. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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Plano z Plano w
Figura 1 figura 2
Si incrementamos z en ∆𝑧, obtenemos el punto Q. Este punto tiene como imagen a Q’ en el
plano W. Entonces vemos que P’Q’ representa el complejo ∆𝑊 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧). Se
deduce entonces que la derivada en z (si existe), esta dad por:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
= lim
𝑄→ 𝑃
𝑄′𝑃′
𝑄𝑃
Es decir, el límite de la razón Q’P’ a QP, cuando 𝑄 → 𝑃
ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN. – Una condición necesaria para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) =
𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica en una región R, es que en R, u y v satisfagan las
condiciones de CAUCHY-RIEMANN.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Si estas derivadas parciales son continuas en R, entonces las ecuaciones de CAUCHY-
RIEMANN, son condiciones suficientes para que 𝑓(𝑧) sea una función analítica.
INTERPRETACION. -
Plano Z Plano Z Plano Z
Figura 3 Figura 4 Figura 5
Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) +
𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica en una región R, es que las ecuaciones de CAUCHY-
U
V
ΔW
W
P'
Q'
X
Y
X
Y
X
Y ΔZ
ΔY
ΔX
X
Y
Z
ΔZ
P
Q
3. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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RIEMANN, es decir:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
y
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
, se satisfagan en R, donde se supone que estas
derivadas parciales son continuas en R.
Condición necesaria para que 𝑓(𝑧) sea analítica es que:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
El límite debe existir independientemente de la manera como ∆𝑧 ó (∆𝑥 ∧ ∆𝑦) tiendan a cero.
Para ello consideremos dos aproximaciones posibles.
Caso 1. – Si ∆𝑧 sigue la dirección del eje x, es decir ∆𝑦 = 0 y ∆𝑧 = ∆𝑥, entonces:
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
{[
𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] + [
𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] 𝑖}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
[
𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] + lim
∆𝑥→ 0
[
𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] 𝑖
𝑓′(𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 …. (1)
Probando que las derivadas parciales existen.
Caso 2. – Si ∆𝑧 sigue la dirección del eje y, es decir ∆𝑥 = 0 y ∆𝑧 = ∆𝑦 𝑖, entonces:
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
{
[𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
{[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] + [
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] 𝑖}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] + lim
∆𝑦→ 0
[
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] 𝑖