Matemática Discreta - Parte VI funções

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Matemática Discreta - Parte VI funções

  1. 1. Módulo 5: Funções •UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE •CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA •DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO •Professor Ulrich Schiel
  2. 2. Funções → Sejam S e T conjuntos. Uma função (ou aplicação) f de S em T, f : S→T, é um subconjunto de SxT onde cada elemento de S aparece exatamente uma vez como primeiro elemento de um par ordenado. → Ou seja, uma função é uma relação muitos-para-um fraca. → S é o domínio e T é o contradomínio da função. → Se (s,t) pertence à função, escrevemos f(s) = t. → t é a imagem de s por f e dizemos que f leva s em t. → s é a pré-imagem de t por f. A pré-imagem pode ser um conjunto. Escrevemos f-1 (t) = {s1, s2,.., sn} f s f(s)=t S T
  3. 3. Exemplos Quais itens abaixo definem funções do domínio no contradomínio dados: 1. f : S →T, onde S = T = {1,2,3} f = {(1,1), (2,3), (3,1), (2,1)} 1. g : Z → Z, onde g é definida como: g(x) = |x|; 2. r: R → R, onde r é definida como: r(x) = √(x); 3. h : N → N, onde h é definida por: h(x) = x – 4; 4. g : N → N, onde g é definida por: g(x) = x+3 se x≥5 e g(x) = x se x≤5.
  4. 4. Funções bem definidas • Seja f : S → T, uma função. • Dados A ⊆ S e B ⊆ T, podemos definir • g:A → T como g(x) = f(x), é a restrição de f a A. • Se g(x) ∈ B, para todo x ∈ A, dizemos que g é uma função bem definida em B. • Em outras palavras uma função f : S → T é bem definida quando para todo x ∈ A existe um único y ∈ T, tal que f(x) = y.
  5. 5. Exemplos Determinar se são bem definidas e encontrar o domínio e o contradomínio das funções: 1. associa a cada habitante de Recife o seu CPF; E o inverso? 2. Relação entre pessoas e suas idades. 3. Distância entre dois pontos no espaço, dada por D(x,y) = √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2 ]
  6. 6. Funções n-árias • Sejam S1, S2, ..., Sn conjuntos. Uma função de S1xS2x...xSn em T, f : S1xS2x...xSn → T, é um subconjunto de S1xS2x...xSnxT onde cada n-upla de elementos de S, (s1,s2,...,sn), está associada a um único elemento de T. • Ex.: f: NxN → N , onde f é dada por: f(x,y) = x+1/2.(x+y).(x+y+1). (cilindro parabólico) • f: RxR → R dada por f(x,y) = x
  7. 7. Propriedade da funções →Seja f: S → T. Então, o conjunto I = {f(s) : s ∈S}, ou I = f(S), é dito ser o conjunto imagem de f, ou simplesmente a imagem de f. • I ⊆T. • Função sobrejetiva →Uma função f : S → T é uma função sobrejetiva se a imagem de f, f(S), é igual ao contradomínio de f, ou seja, f(S) = I = T. • Ex.: seja g : R → R definida por g(x) = x3 . G é sobrejetiva. E g(x) = x2 ?
  8. 8. Propriedade das funções • Função injetiva →Uma função f : S → T é injetiva, ou um-a-um, se nenhum elemento de T for imagem de dois elementos distintos de S, ou seja, não existe s1≠ s2 tal que f(s1) = f(s2) = t. • Ex1: A função g : R → R definida por g(x) = x3 é injetiva porque se x e y com x3 = y3 e, como a raiz cúbica de um real é única, temos x = y. • Ex2: A função f : R → R dada por f(x) = x2 não é injetiva pois f(2) = f(-2) = 4. • No entanto, a função h: N → N dada por h(x) = x2 é injetiva.
  9. 9. Propriedade das funções →Uma função f: S → T é bijetiva se for ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. • Ex.: A função g: R → R definida por g(x) = x3 é uma bijeção.
  10. 10. Conjuntos equivalentes (eqüinúmeros) →Um conjunto S é equivalente (ou eqüinúmero) a um conjunto T se, e somente se, existir uma bijeção f : S → T. → Toda bijeção f : S → T possui uma função inversa g: T → S, tal que g(t) = s sss f(s) = t. Escrevemos g como f-1 : T → S →Dois conjuntos equivalentes têm a mesma cardinalidade. • Ex.: N e P (conjunto dos pares) • g : N →P definida por g(x) = 2x. • Então, |N| = |P|.
  11. 11. Composição de funções • Suponha que f e g são funções tais que: f : S → T e g : T → U • Então, para qualquer s ∈S, f(s) ∈T. • Assim, f(s) pertence ao domínio de g. • Então, aplicando g a f(s), obtemos g(f(s)) ∈ U. f g s f(s) g(f(s)) S T U
  12. 12. Composição de funções →Seja f : S → T e g : T → U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g ° f, ou seja, g ° f : S → U, e definida por: g° f (s) = g(f(s)). s f(s) g(f(s)) S T U f g g ° f
  13. 13. Exemplo • Sejam f : N → N e g : N → N funções dadas por: - f(x) = 2.x - g(x) = x.x • g° f = ? • f° g = ? • Quais são sobrejetivas e/ou injetivas? • E se mudarmos N para Z?
  14. 14. Propriedades da composição 1. Sejam f : S → T e g : T → U funções sobrejetivas. Então, g° f é sobrejetiva. 2. Sejam f : S → T e g : T → U funções injetivas. Então, g° f é injetiva. 3. Sejam f : S → T e g : T → U funções bijetoras. Então, g° f é bijetora.
  15. 15. Função Identidade → Seja A um conjunto. A função iA : A → A tal que iA(x) = x, para todo x ∈ A, é dita ser a função identidade em A. • Seja f : S → T uma bijeção. • para cada t ∈T existe um s∈S tal que f(s) = t. • Esta associação é uma função g : T → S que é a inversa de f, ou seja f-1 :T → S • Então, se s ∈S, g° f (s) = g(f(s)) = g(t) = f-1 (t) = s. • Ou seja, g° f é uma função identidade. • Logo, g° f = iS.
  16. 16. Função Inversa →Seja f uma função f : S → T . Se existir um função g : T → S tal que g ° f = iS e f ° g = iT , então g é a função inversa de f e é denotada por f-1 . • Teorema: Seja f : S → T . Então f é uma bijeção se, e somente se, f-1 existe. • Propriedade: • Seja f : S → T . Se f tem inversa f-1 então ela é única.
  17. 17. Gráfico de uma função → Para funções entre subconjuntos de R pode-se determinar o seu gráfico. • EXEMPLOS: – Seja f : R → R com f(x) = x2
  18. 18. Gráfico de uma função →EXEMPLOS: – Seja f : R → R com f(x) = x3
  19. 19. Gráfico de uma função → EXEMPLOS: – Seja f : R → R com f(x) = sen2 (x)
  20. 20. Gráfico de uma função → EXEMPLOS: – Funções piso x e teto x
  21. 21. Gráfico de uma função → Como obter o gráfico de uma função: → Analisar o grau e outras características da função – Exemplo: f(x) = 2x3 - x • Calcular f(0), f(1), f(-1), f(1/2), f(-1/2) – F(x) = sen2 (x) • Calcular sen(0), sen(π), sen(- π), sen(π/2)
  22. 22. Gráfico de uma função → Exemplo: f(x) = 2x3 - x
  23. 23. Gráfico de uma função – F(x) = sencos(x) (x)
  24. 24. Exercícios em sala Seja L = {a,b,c,..,z} o conjunto das letras do alfabeto. Defina 1. Uma função V: L→L tal que V(x) é a última vogal no alfabeto antes de x. Se x é uma vogal temos V(x)=x}. 2. Seja k uma função de criptografia determinada por V tal que, para uma letra ‘x’ k(x)=(V(x),n) sendo n a distância de y a x no alfabeto. Por exemplo k(‘Ana’)=a0i5a0. 1. Encontre o código de teu primeiro nome. 2. Decodifique ‘u1o0u0 o1a0o4o4a0o3’ (Obs.: ‘0’=zero e ‘o’=letra ‘o’) 3. Dado uma função f: R → R, a relação ρ em R2 dada por x ρ y ↔ f(x)=f(y) é uma relação de equivalência. • Dadas as funções f(x)=x2 +1 e g(x) = cos(x). Encontrar: – a imagem f(R) para f(x) e g(x)? – a classe de equivalência [π] para cada uma dessas funções. – expressão das combinações f°g e g°f ?
  25. 25. Ordem de Grandeza Sejam f e g funções de N em N definidas como: f(x) = x e g(x) = x2 Gráfico: f x g x •Quando x cresce, o valor de g(x) cresce mais rápido que o valor de f(x): a taxa de crescimento de g é maior que a de f. •Obs.: a diferença na taxa de crescimento não pode ser superada multiplicando-se o valor de f por uma constante: h(x) = c.f(x) •Independente de quão grande seja o valor de c, após algum ponto, os valores de g superarão os valores de h.
  26. 26. Ordem de Grandeza → Seja S o conjunto de todas as funções dos reais não-negativos nos reais não-negativos. Definimos a seguinte relação binária em S: • f ρ g ↔ existem constantes reais positivas n0, c1 e c2 tais que, para todo x ≥ n0, c1g(x) ≤ f(x) ≤ c2g(x) • Exemplo: Sejam f(x) = 3x2 e g(x) = 200x2 +140x+7. Para n0 = 2, c1=1/100 e c2=1, temos então que, para todo x ≥ 2, • 1/100(200x2 +140x+7) ≤ 3x2 ≤1.(200x2 +140x+7) • 2x2 + 1,4x + 0,07 ≤ 3x2 ≤ 200x2 + 140x + 7 • Portanto, f ρ g. • Exercício: Mostrar que ρ é uma relação de equivalência.
  27. 27. Classes de equivalência • Como ρ é uma relação de equivalência, então ela particiona S em classes de equivalência. • Se f está na mesma classe de equivalência que g dizemos que f tem a mesma ordem de grandeza que g. denotado por f = Θ(g), • Obs.1: devido à simetria, podemos também dizer que g tem a mesma ordem de grandeza que f, isto é, g = Θ(f). • Obs.2: a notação f = Θ(g) indica que f ∈ [g]. • Obs.3: Para cada classe de equivalência procura-se o representante mais simples. Por exemplo, para as funções f e g do exemplo anterior, podemos dizer que f = Θ(x2 ) e g = Θ(x2 ). Ou seja, a ordem de grandeza de um polinômio é sempre o termo de maior grau.
  28. 28. Ordem de Grandeza • Seja h(x) = x2 . Se multiplicarmos h por constantes c1 e c2, por exemplo, c1=1/2 e c2 = 2, as funções c1h(x) e c2h(x) têm a mesma forma de h(x) e formam uma espécie de “envelope” em torno dos valores de h(x). Alterar os valores das constantes altera o “tamanho” do envelope mas não sua forma básica: c2h(x) h(x) c1h(x)
  29. 29. Exercício Mostre que, para f(x) = x e h(x) = x2 , f não é Θ(x2 ). c2h(x) h(x) c1h(x) f(x) n0
  30. 30. Análise de Algoritmo • Na análise de algoritmos identificamos as tarefas importantes que o algoritmo deve realizar. • Em geral, o número dessas tarefas depende do tamanho da entrada: qual o acréscimo de trabalho à medida que n cresce. • Ao invés de computarmos a função exata da quantidade de trabalho, calcularmos a sua ordem de grandeza: • Por exemplo: a busca seqüencial em n elementos requer, no pior caso, n comparações (então é Θ(n)), e a busca binária requer 1+log n comparações (então é Θ(log n)).
  31. 31. Hierarquia de Classes • Podemos dizer que a classe Θ(n) é uma ordem de grandeza menor que a classe Θ(n2 ), por que funções que são Θ(n) inevitavelmente, em algum ponto, se tornam inferiores à função Θ(n2 ). • Da mesma forma, a classe Θ(log n) é menor que a classe Θ(n). • Existe, portanto, uma hierarquia de classes: ∀ Θ(log n) < Θ(n) < Θ(n2 ) < Θ(n3 ) <...< Θ(nk ) <...< Θ(2n ) < Θ(3n ) < ... • Essas classes são chamadas de classes de complexidade e nos permitem classificar algoritmos.
  32. 32. Classes de Complexidade de Algoritmos •Suponhamos que temos os algoritmos A, A’ e A’’ para realizar a mesma tarefa e que suas classes de complexidade têm diferentes ordens de grandeza: A é Θ(n), A’ é Θ(n2 ) e A’’ é Θ(2n ): Tempo total de processamento tamanho da entrada 10 50 100Algoritmo Ordem A Θ(n) 0,001s 0,005 s 0,01 s A’ Θ(n2 ) 0,01 s 0,25 s 1 s A’’ Θ(2n ) 0,1024 s 3570 anos 4x1016 séculos Obs.: supondo que um passo computacional tome 0,0001 s
  33. 33. Exemplof(x)=x+sen(x) g(x)=x c1=1,5 c2=2 c1g(x) f(x) c2g(x)

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