Presentación Conjuntos y números reales - Sabrina Rivas.pdf
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Presentación Conjuntos y números reales - Sabrina Rivas.pdf
- 1. CONJUNTOS Y NÚMEROS REALES República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto – Edo. Lara Estudiante: Sabrina Rivas C.I: 31.271.895 Sección:C0O133 Barquisimeto, febrero 2023
- 2. ¿Qué son los conjuntos númericos? Los conjuntos, son agrupaciones que se hacen de todos aquellos números que tienen ciertas características en común. Consiste en una forma de organización, en la cual, dado un número específico, decimos que ese número pertenece a un determinado conjunto.
- 3. Tipos de conjuntos 1) Números Naturales: Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por ℕ y están formados por los números del 1 al infinito. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5,…}. 2) Números Enteros: Se denotan por ℤ y se componen de los números naturales, sus opuestos (negativos) y el nuúmero cero (0). Ejemplo: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES : Son aquellos que pueden expresarse como la división de dos números enteros. Se denotan por ℚ y pueden representarse como fracciones, por ejemplo, la fracción 1/2 representa el cociente de 1 dividido por 2. NÚMEROS IRRACIONALES : Son números cuya cantidad de decimales es infinita, nunca se acaban sus decimales, así que no se pueden expresar como cociente de dos números naturales, por ejemplo, π (Pi)= 3,14157...
- 4. Propiedades de los conjuntos PROPIEDAD ASOCIATIVA: Establece que el orden en el cual se agrupen los números o términos en una suma o multiplicación no altera el resultado. EJEMPLO: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)
- 5. PROPIEDAD CONMUTATIVA: refiere que el orden en el que se encuentren los EJEMPLO: números en ciertas operaciones matemáticas, no altera el resultado que se obtiene. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 𝑐 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑏 Permite tomar un factor y distribuirlo a cada miembro de un grupo de elementos que se encuentran sumándose o restando.
- 6. ELEMENTO NEUTRO: EJEMPLO: ELEMENTO OPUESTO: Es todo aquel que al ser aplicado sobre un número da como resultado el mismo número. 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 + (−𝑎) = 0 La suma de opuestos es cero. El productor de recíprocos es 1 EJEMPLO:
- 7. ELEMENTO INVERSO: EJEMPLO: Es todo aquel que al ser aplicado sobre un número da como resultado el mismo número. (𝑎)1/𝑎=1 𝑎+(-𝑎) = 0 Opereciones con conjuntos
- 8. Tipos de conjuntos 1) Números Naturales: Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por ℕ y están formados por los números del 1 al infinito. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5,…}. 2) Números Enteros: Se denotan por ℤ y se componen de los números naturales, sus opuestos (negativos) y el nuúmero cero (0). Ejemplo: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES : Son aquellos que pueden expresarse como la división de dos números enteros. Se denotan por ℚ y pueden representarse como fracciones, por ejemplo, la fracción 1/2 representa el cociente de 1 dividido por 2. NÚMEROS IRRACIONALES : Son números cuya cantidad de decimales es infinita, nunca se acaban sus decimales, así que no se pueden expresar como cociente de dos números naturales, por ejemplo, π (Pi)= 3,14157...
- 9. Tipos de conjuntos 1) Números Naturales: Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por ℕ y están formados por los números del 1 al infinito. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5,…}. 2) Números Enteros: Se denotan por ℤ y se componen de los números naturales, sus opuestos (negativos) y el nuúmero cero (0). Ejemplo: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES : Son aquellos que pueden expresarse como la división de dos números enteros. Se denotan por ℚ y pueden representarse como fracciones, por ejemplo, la fracción 1/2 representa el cociente de 1 dividido por 2. NÚMEROS IRRACIONALES : Son números cuya cantidad de decimales es infinita, nunca se acaban sus decimales, así que no se pueden expresar como cociente de dos números naturales, por ejemplo, π (Pi)= 3,14157...
- 10. Tipos de conjuntos 1) Números Naturales: Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por ℕ y están formados por los números del 1 al infinito. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5,…}. 2) Números Enteros: Se denotan por ℤ y se componen de los números naturales, sus opuestos (negativos) y el nuúmero cero (0). Ejemplo: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES : Son aquellos que pueden expresarse como la división de dos números enteros. Se denotan por ℚ y pueden representarse como fracciones, por ejemplo, la fracción 1/2 representa el cociente de 1 dividido por 2. NÚMEROS IRRACIONALES : Son números cuya cantidad de decimales es infinita, nunca se
- 11. Números reales Es el conjuto formado por los números racionales y los números irracionales y se denotan como ℝ. Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos en una línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, comúnmente a la derecha, para representar el 1. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto de la recta representa un único número real y a cada número real le corresponde un único punto de la recta. Llamamos a esta recta la recta real. En la siguiente imagen se puede ver un ejemplo:
- 12. Ejemplo de la recta real Desigualdades Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad).
- 13. En la desigualdad los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor que" o "es menor que". El primero es > y el segundo <. También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. EJEMPLO:
- 14. Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos < y > ó ≤ y ≥ se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones. Lo mismo que ocurre con las igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Los signos > y < ó ≥ y ≤ son de sentido contrario. Una desigualdad es doble cuando aparecen dos signos de desigualdad en la misma expresión Características de las desigualdades
- 15. Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se suma al término de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la resta. Así, restamos 1 en ambos lados. Ahora, tenemos la variable x multiplicada por 2. La operación inversa de la multiplicación es la división. Así, dividimos ambos lados entre 2. Esto es, la desigualdad es verdadera para todos los valores de x que sean menores que 3. Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son todos los números menores que 3. Ejemplo de desigualdades RESUELVE:
- 16. El valor absoluto de un número real representa la magnitud de dicho número. Esta magnitud es la distancia que existe, sobre la recta numérica, del número dado al cero. El valor absoluto se indica escribiendo el número entre barras verticales. La definición formal del valor absoluto es: ¿Qué es valor absoluto? la magnitud de 5 es 5, l5l= 5 y la magnitud -5 es 5 l-5l= 5. Esto se aprecia en la siguiente figura. EJEMPLO:
- 17. Desigualdades con valor absoluto Para resolver cualquier desigualdad con valor absoluto se debe conocer las propiedades siguientes. Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos de desigualdad. Por ejemplo, la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto que contiene un símbolo mayor que.
- 18. intervalo de una desigualdad Clasificación de intervalos Dados los números a y b, tales que a < b de la recta numérica, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. La clasificación de los intervalos se muestra en la siguiente tabla, la cual servirá como referencia para los ejercicios que más adelante resolveremos, donde a y b se lee, a y b elementos del conjunto de los números reales.
- 20. EJEMPLO RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO: Resolvemos la desigualdad |3-4x| ≤7 Utilizando la propiedad (2), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes: POR LO TANTO, LA SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD ES EL INTERVALO:
- 21. EJEMPLO RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO: POR LO TANTO, LA SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD ES EL INTERVALO Resolvemos la desigualdad |5x+14| >10 LA PROPIEDAD (3) NOS DICE QUE LA DESIGUALDAD ES EQUIVALENTE A: RESOLVIENDO: